Chuyên đề Tích Phân chi tiết, đầy đủ các dạng.

Chuyên đề Tích Phân chi tiết, đầy đủ các dạng.

GV: Nguyễn Đức Kiên Tích phân- ôn thi ĐHCĐ CHUYÊN ĐỀ: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN A. CHỦ ĐỀ NGUYÊN HÀM 1. Định nghĩa VD1. Cho ( ) ( ) 3 2 3 F x x f x x  =   =   VD2. Cho ( ) ( ) cos sin F x x f x x =    = −   Ta thấy ở hai ví dụ trên đều có ( ) ( ) 'F x f x= . Ta gọi ( ) F x là một nguyên hàm của ( ) f x . Vì với C là một hằng số bất kỳ, ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ' 'F x C F x f x+ = = nên nếu ( ) F x là nguyên hàm của ( ) f x thì ( ) F x C+ cũng là một nguyên hàm của ( ) f x . Ta gọi ( ) ( ) ,F x C C const+ − là Họ nguyên hàm của ( ) f x . Ký hiệu: ( ) ( ) f x dx F x C = + ∫ VD: 4 5 1 ; cos sin 5 x dx x C xdx x C= + = + ∫ ∫ 2. Tính chất • ( ) ( ) ( ) ' f x dx f x= ∫ • ( ) ( ) kf x dx k f x dx = ∫ ∫ , k là hằng số • ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x dx f x dx g x dx+ = +     ∫ ∫ ∫ • ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x dx f x dx g x dx − = −     ∫ ∫ ∫ 3. Sự tồn tại nguyên hàm Mọi hàm số liên tục trên đoạn [ ] ;a b đều có nguyên hàm trên đoạn [ ] ;a b 4. BẢNG NGUYÊN HÀM CỦA MỘT SỐ HÀM SỐ THƯỜNG GẶP 1 dx x C= + ∫ du u C= + ∫ 2 1 1 1 x dx x C + = + + ∫ α α α 1 1 1 u du u C + = + + ∫ α α α 3 ( ) ln 0 dx x C x x = + ≠ ∫ ( ) ln 0 du u C u u = + ≠ ∫ 4 x x e dx e C = + ∫ u u e du e C = + ∫ 5 ( ) 0 1 ln x x a a dx C a a = + < ≠ ∫ ( ) 0 1 ln u u a a du C a a = + < ≠ ∫ 6 cos sinxdx x C= + ∫ cos sinudu u C= + ∫ 7 sin cosxdx x C = − + ∫ sin cosudu u C = − + ∫ Văn lang- Hưng Hà- Thái Bình 1 GV: Nguyễn Đức Kiên Tích phân- ôn thi ĐHCĐ 8 2 tan cos dx x C x = + ∫ 2 tan cos du u C u = + ∫ 9 2 cot sin dx x C x = − + ∫ 2 cot sin du u C u = − + ∫ Chú ý: Nguyên hàm của hàm hợp khi áp dụng phải nhân thêm , 1 u VI PHÂN Nhớ lại: ( ) ( ) ( ) ( ) 'y f x dy d f x f x dx= ⇒ = = Vậy có: • ( ) .d ax b a dx+ = • 2 1 1 d dx x x   = −  ÷   • ( ) 2 dx d x x = • ( ) sin cosd x xdx= • ( ) cos sind x xdx= − • ( ) 2 1 tan cos d x dx x = • ( ) 2 1 cot sin d x dx x = − • ( ) x x d e e dx = • ( ) ln dx d x x = 5. MỘT SỐ NGUYÊN HÀM HAY DÙNG 1. 2 2 1 ln 2 dx x a C x a a x a − = + − + ∫ . Đặc biệt 2 2 1 1 ln 1 2 1 dx x C x x − = + − + ∫ 2. 2 2 2 2 ln dx x a x C x a = + + + + ∫ 3. 2 2 2 2 ln dx x a x C x a = − + + − ∫ 4. ln tan sin 2 dx x C x = + ∫ 5. ln tan cos 2 4 dx x C x π   = + +  ÷   ∫ 6. 2 2 2 2 1 ln 2 xdx x a C x a = + + + ∫ 7. 2 2 2 2 1 ln 2 xdx x a C x a = − + − ∫ 8. 2 2 2 2 xdx x a C x a = + + + ∫ 9. 2 2 2 2 xdx x a C x a = − + − ∫ 10. 2 2 2 2 2 2 ln 2 2 x a x a dx x a x x a C+ = + + + + + ∫ 11. 2 2 2 2 2 2 ln 2 2 x a x a dx x a x x a C− = − − + − + ∫ BÀI TẬP: Dạng 1: Xác định nguyên hàm bằng định nghĩa pp: Văn lang- Hưng Hà- Thái Bình 2 GV: Nguyễn Đức Kiên Tích phân- ôn thi ĐHCĐ Văn lang- Hưng Hà- Thái Bình 3 GV: Nguyễn Đức Kiên Tích phân- ôn thi ĐHCĐ Văn lang- Hưng Hà- Thái Bình 4 GV: Nguyễn Đức Kiên Tích phân- ôn thi ĐHCĐ Bài tập tương tự Dạng 2: Tính nguyên hàm dựa vào bảng nguyên hàm Ví dụ 1. Tính nguyên hàm dựa vào bảng nguyên hàm có sẵn • 8 9 1 9 I x dx x C= = + ∫ • 5 5 1 4 5 1 1 5 1 4 dx I = x dx x C x C x − − + − = = + = − + − + ∫ ∫ • ( ) ( ) 2 2 4 3 2 5 4 3 1 4 2 4 4 5 3 I x x dx x x x dx x x x C= + = + + = + + + ∫ ∫ • 1 1 ln 2 2 2 dx dx I x C x x = = = + ∫ ∫ Văn lang- Hưng Hà- Thái Bình 5 GV: Nguyễn Đức Kiên Tích phân- ôn thi ĐHCĐ • ( ) 2 2 2 1 2 2 x x x I e dx e d x e C= = = + ∫ ∫ • ( ) 4 4 4 1 1 4 4 4 x x x C I e dx e d x e + = = = ∫ ∫ • ( ) 1 1 cos2 cos2 2 sin 2 2 2 I xdx xd x x C= = = + ∫ ∫ • ( ) 1 1 sin 2 sin 2 2 cos2 2 2 I xdx xd x x C= = = − + ∫ ∫ • ( ) 2 2 2 2 1 1 . 2 2 x x x I x e dx e d x e C= = = + ∫ ∫ • ( ) cos sin tan ln cos cos cos d x x I xdx dx x C x x = = = − = − + ∫ ∫ ∫ • ( ) sin cos cot ln sin sin sin d x x I x dx x C x x = = = = + ∫ ∫ ∫ • ( ) cos2 sin 2 1 1 tan 2 ln cos2 cos2 2 cos2 2 d x x I xdx dx x C x x = = = − = − + ∫ ∫ ∫ • ( ) sin 2 cos2 1 1 cot 2 ln sin 2 sin 2 2 sin2 2 d x x I xdx dx x C x x = = = = + ∫ ∫ ∫ • ( ) 2 2 3 1 sin .cos sin sin sin 3 I x xdx xd x x C= = = + ∫ ∫ • ( ) 2 2 3 1 cos .sin cos cos cos 3 I x xdx xd x x C= = − = − + ∫ ∫ • ( ) 4 4 5 1 sin .cos cos cos cos 5 I x xdx xd x x C= = − = − + ∫ ∫ • ( ) 4 4 5 1 cos .sin sin sin sin 5 I x xdx xd x x C= = = + ∫ ∫ • ( ) ( ) ( ) 2 2 1 3sin cos 1 3sin sinI x xdx x d x= − = − ∫ ∫ ( ) 2 3 sin 3sin sin sind x xdx x x C = − = − + ∫ ∫ • ( ) 3 2 2 cos cos .cos 1 sin .cosI xdx x xdx x xdx= = = − ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) 2 3 1 1 sin sin sin sin 3 x d x x x C= − = − + ∫ • ( ) ( ) 3 2 2 3 1 sin sin .sin 1 cos cos cos cos 3 I xdx x xdx x d x x x C= = = − − = − + ∫ ∫ ∫ • 2 1 cos2 1 1 1 1 sin cos2 sin 2 2 2 2 2 4 x I xdx dx dx xdx x x C − = = = − = − + ∫ ∫ ∫ ∫ • 2 1 cos2 1 1 1 1 cos cos2 sin 2 2 2 2 2 4 x I xdx dx dx xdx x x C + = = = + = + + ∫ ∫ ∫ ∫ • 2 1 cos4 1 1 1 sin 2 cos4 sin4 2 2 2 2 8 x x I xdx dx dx xdx x C − = = = − = − + ∫ ∫ ∫ ∫ Văn lang- Hưng Hà- Thái Bình 6 GV: Nguyễn Đức Kiên Tích phân- ôn thi ĐHCĐ • 2 1 cos4 1 1 1 cos 2 cos4 sin 4 2 2 2 2 8 x x I xdx dx dx xdx x C + = = = + = + + ∫ ∫ ∫ ∫ • 2 2 2 2 2 2 sin 1 cos tan tan cos cos cos x x dx I xdx dx dx dx x x C x x x − = = = = − = − + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ • 2 2 2 2 2 2 cos 1 sin cot cot sin sin sin x x dx I xdx dx dx dx x x C x x x − = = = = − = − − + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Ví dụ 2. Tìm các nguyên hàm: • ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 2 2 1 1 1 . 2 1 4 4 1 2 2 2 1 2 1 d x dx dx I x C x x x x − − = = = = − − + − + − − ∫ ∫ ∫ • ( ) sin cos sin cos ln sin cos sin cos sin cos d x x x x I dx x x C x x x x − + = = = − + − − ∫ ∫ • ( ) 1 ln 1 1 1 x x x x x d e e dx I e C e e + = = = + + + + ∫ ∫ • ( ) ln x x x x x x x x x x d e e e e I dx e e C e e e e − − − − − + − = = = + + + + ∫ ∫ • ( ) ( ) 2 2 2 ln 2 2 2 4 4 2 x x x x x x x x x x d e e dx e dx e dx I e C e e e e e + = = = = = + + + + + + + ∫ ∫ ∫ ∫ • ( ) ( ) cos2 cos cos3 cos cos2 cos3 sin sin 2 sin3 sin 2 sin sin3 x x x x x x I dx dx x x x x x x + + + + = = + + + + ∫ ∫ cos2 2cos2 cos sin 2 2sin 2 cos x x x dx x x x + = + ∫ ( ) ( ) cos2 1 2cos sin 2 1 2cos x x dx x x + = + ∫ ( ) sin 2 cos2 1 1 ln sin 2 sin 2 2 sin2 2 d x x dx x C x x = = = + ∫ ∫ Ví dụ 3. Ví dụ 4 . Tìm các nguyên hàm: Trong Ví dụ này cần chú ý: ( ) ( ) 2 2 tan 1 tan cos dx d x x dx x = = + Văn lang- Hưng Hà- Thái Bình 7 GV: Nguyễn Đức Kiên Tích phân- ôn thi ĐHCĐ • ( ) ( ) 3 3 2 1 tan tan tan tan tan tan 1 tanB xdx x x x dx x x x dx   = = + − = + −   ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) 2 sin tan tan 1 tan tan tan cos x x x dx xdx xd x dx x = + − = − ∫ ∫ ∫ ∫ 2 1 tan ln cos 2 x x C= + + • ( ) ( ) 4 4 2 2 2 2 2 2 tan tan tan tan tan tan 1 tanB xdx x x x dx x x dx xdx= = + − = + − ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) 2 3 1 tan tan tan tan tan 3 xd x x x C x x x C= − − + = − + + ∫ • ( ) 5 5 3 3 3 tan tan tan tan tan tanB xdx x x x x x dx = = + − − + ∫ ∫ ( ) ( ) 3 2 2 tan tan 1 tan tan 1 tanx x dx x x dx xdx= + − + + ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) 3 4 2 1 1 tan tan tan tan tan tan tan ln cos 4 2 xd x xd x xdx x x x C= − + = − − + ∫ ∫ ∫ • ( ) 6 6 4 4 2 2 4 tan tan tan tan tan tanB xdx x x x x x dx = = + − − + ∫ ∫ ( ) ( ) 4 2 2 2 2 tan tan 1 tan tan 1 tanx x dx x x dx xdx= + − + + ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) 4 2 2 tan tan tan tan tanxd x xd x xdx = − + ∫ ∫ ∫ 5 3 1 1 tan tan tan 5 3 x x x x C= − + − + • ( ) 7 7 5 5 3 3 5 tan tan tan tan tan tan tan tanB xdx x x x x x x x dx= = + − − + + − ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) 5 2 3 2 2 tan tan 1 tan tan 1 tan tan 1 tanx dx x dx x dx xdx = + − + + + − ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) 5 3 tan tan tan tan tan tan tanxd x xd x xd x xdx= − + − ∫ ∫ ∫ ∫ 6 4 2 1 1 1 tan tan tan ln cos 6 4 2 x x x x C= − + + + Bài tập tương tự 1. f(x) = x 2 – 3x + x 1 ĐS. F(x) = Cx xx ++− ln 2 3 3 23 2. f(x) = 2 4 32 x x + ĐS. F(x) = C x x +− 3 3 2 3 .3 f(x) = 2 1 x x − ĐS. F(x) = lnx + x 1 + C 4. f(x) = 2 22 )1( x x − ĐS. F(x) = C x x x ++− 1 2 3 3 5. f(x) = 4 3 xxx ++ ĐS. F(x) = C xxx +++ 5 4 4 3 3 2 4 5 3 4 2 3 Văn lang- Hưng Hà- Thái Bình 8 GV: Nguyễn Đức Kiên Tích phân- ôn thi ĐHCĐ 6. f(x) = 3 21 xx − ĐS. F(x) = Cxx +− 3 2 32 7. f(x) = x x 2 )1( − ĐS. F(x) = Cxxx ++− ln4 8. f(x) = 3 1 x x − ĐS. F(x) = Cxx +− 3 2 3 5 9. f(x) = 2 sin2 2 x ĐS. F(x) = x – sinx + C 10. f(x) = tan 2 x ĐS. F(x) = tanx – x + C 11. f(x) = cos 2 x ĐS. F(x) = Cxx ++ 2sin 4 1 2 1 12. f(x) = (tanx – cotx) 2 ĐS. F(x) = tanx - cotx – 4x + C 13. f(x) = xx 22 cos.sin 1 ĐS. F(x) = tanx - cotx + C 14. f(x) = xx x 22 cos.sin 2cos ĐS. F(x) = - cotx – tanx + C 15. f(x) = sin3x ĐS. F(x) = Cx +− 3cos 3 1 16. f(x) = 2sin3xcos2x ĐS. F(x) = Cxx +−− cos5cos 5 1 17. f(x) = e x (e x – 1) ĐS. F(x) = Cee xx +− 2 2 1 18. f(x) = e x (2 + ) cos 2 x e x− ĐS. F(x) = 2e x + tanx + C 19. f(x) = 2a x + 3 x ĐS. F(x) = C a a xx ++ 3ln 3 ln 2 20. f(x) = e 3x+1 ĐS. F(x) = Ce x + +13 3 1 Dạng 3: Tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến pp - Đặt giá trị thích hợp bằng U(x)=t - Lấy vi phân 2 vế -Tính nguyên hàm với ẩn t -Trả lại ẩn cũ 1. ( ) ax b dx+ ∫ Đặt t ax b= + 2. 1 . n n x x dx + ∫ Đặt 1n t x + = 3. ( ) . 2 dx f x x ∫ Đặt t x= 4. ( ) sin cosf x xdx ∫ Đặt sint x= Văn lang- Hưng Hà- Thái Bình 9 GV: Nguyễn Đức Kiên Tích phân- ôn thi ĐHCĐ 5. ( ) cos sinf x xdx ∫ Đặt cost x= 6. ( ) 2 tan cos dx f x x ∫ Đặt tant x= 7. ( ) 2 cot sin dx f x x ∫ Đặt cott x= 8. ( ) . x x f e e dx ∫ Đặt x t e= 9. ( ) ln dx f x x ∫ Đặt lnt x= 10. 1 1 .f x x dx x x     ± ±  ÷ ÷     ∫ Đặt 1 t x x = ± 11. ( ) 2 0 dx I a x a = ≠ + ∫ Đặt 2 t x x a= + + Ngoài ra có một số cách đặt ở nguyên hàm chứa căn Một số cách đặt thường gặp : ( ) dxxaxS ∫ − 22 , đặt .cos 0 sin x a t t x a t π =  ≤ ≤  =  ( ) dxxaxS ∫ + 22 , đặt 22 tan. ππ <<−= ttax ( ) dxaxxS ∫ − 22 , đặt cos , 2 sin a x t t k t k a x t π π π  =  ≠ + ≠   =   ( ) dxcbxaxxS ∫ ++ 2 , đặt ( )       >±±=++ =++−=++ >±=++ 0;. 0; 0; 2 000 2 2 atxacbxax cbxaxxxtcbxax ccxtcbxax ∫         + + m dcx bax xS , đặt 0; ≠− + + = cbad dcx bax t m Bài tập Bài 1. Tính tích phân bất định sau : ( ) 8 2 2 2 3I x x dx= − ∫ Giải Đặt : ( ) ( ) 8 2 2 2 8 8 9 2 6 2 1 2 3 2 3 2 2 3 3 3 dt xdx t t x x x t t t t x = −  −    = − ⇒ ⇔ − = = − −   ÷ =     . Vậy : ( ) ( ) ( ) ( ) 8 9 10 2 2 8 9 9 10 2 2 1 2 1 2 1 2 3 2 2 3 2 3 3 27 30 27 30 I x x dx t dt t dt t t C x x C= − = − = − + = − − − + ∫ ∫ ∫ Bài 2 : Tính tích phân bất định : 3 1 x dx x− ∫ Văn lang- Hưng Hà- Thái Bình 10 [...]... Tính tích phân I = ∫ e Gải: Đặt e x = t ⇒ e x dx = dt Thay vào ta được: x L = ∫ et +1dt = ∫ et +1d ( t + 1) = et +1 + C = ee +1 + C Văn lang- Hưng Hà- Thái Bình 12 GV: Nguyễn Đức Kiên Tích phân- ơn thi ĐHCĐ Bài 12: 2x Tính tích phân I = ∫ e Giải: 2 + ln x dx 2x ln x 2x Ta có: M = ∫ e e dx = ∫ e xdx 2 M = ∫ et Bài 13: 2 Đặt 2 x 2 = t ⇒ 4 xdx = dt ⇒ xdx = dt 1 t 1 2 = e + C = e2 x + C 4 4 4 Tính tích phân. .. 2 − 1 + C 2 2 I =I =− * Chú ý : Tích phân dạng này ta có thể giải bằng cách khác nhanh hơn : Ta có : x2 x2 −1 = x2 −1 + 1 x2 −1 = x2 −1 + 2 2 Với : J = ∫ x − 1dx = x x − 1 − ∫ Văn lang- Hưng Hà- Thái Bình 1 x2 −1 x2 x −1 2 ⇒I =∫ x 2 dx x2 − 1 = ∫ x 2 − 1dx + ∫ dx x2 −1 = J + K ( 1) dx = x x 2 − 1 − I ( a ) 14 GV: Nguyễn Đức Kiên Tích phân- ơn thi ĐHCĐ dx 2 2 2 Tích phân : K = ∫ 2 = ln x + x − 1 ⇒ I... I1 Bài 3: Tính tích phân I = ∫ x cos 2 2 xdx = ∫ x 2 2 2 4 Văn lang- Hưng Hà- Thái Bình 17 GV: Nguyễn Đức Kiên Tích phân- ơn thi ĐHCĐ 1  1  du = 2 dx u = x  1 ⇒ 2 Tính I1 = ∫ x cos 4 xdx Đặt  2 dv = cos 4 xdx v = 1 sin 4 x    4 1 1 1 1 ⇒ I1 = x sin 4 x − ∫ sin 4 xdx = x sin 4 x + cos 4 x + C 8 8 8 32 1 2 1 1 Từ đó: I = x + x sin 4 x + cos 4 x + C 4 8 32 2 x Bài 4: Tính tích phân I = ∫ (... Hà- Thái Bình 18 GV: Nguyễn Đức Kiên ⇒I= ( 3sin 3x + 2cos3 x ) e 13 Bài 6: Tính tích phân I = ∫ Tích phân- ơn thi ĐHCĐ 2x +C ( x ln x + x 2 + 1 x2 + 1 ) dx Giải: ) ( u = ln x + x 2 + 1 dx  du =    x2 + 1 ⇒ Đặt  x dx dv =  2 v = x + 1  x2 + 1  ( ) 2 2 Ta được I = x + 1ln x + x + 1 − x + C ( ) 2 2 Bài 7: Tính tích phân I = ∫ ln x + x + 1 dx Giải: ) ( ) ( dx  u = ln 2 x + x 2 + 1 du = 2ln... 2 + 1 + 2 x + C 2  ln x  Bài 8:Tính tích phân I = ∫  ÷ dx  x  Giải: ln 2 x Ta có I = ∫ 2 dx x dx  u = ln 2 x du = 2ln x   x Đặt  dx ⇒  dv = x 2 v = − 1   x  1 1 Ta được I = − ln x − + C x x 1  dx dx  1 − 2 ÷dx = ∫ − ∫ 2 = I1 − I 2 Bài 9: Tính tích phân I = ∫  ln x ln x  ln x ln x  Văn lang- Hưng Hà- Thái Bình 19 GV: Nguyễn Đức Kiên Tích phân- ơn thi ĐHCĐ 1 dx   u = du =... ÷+ C ) 4 2 1 1   PHỐI HỢP ĐỔI BIẾN SỐ VÀ PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN Bài 10: Tính tích phân I = ∫ sin xdx Giải 2 Đặt x = t ⇒ x = t ⇒ dx = 2tdt ⇒ I = ∫ sin t.( 2tdt ) = ∫ 2t sin tdt u = 2t du = 2dt ⇒ ⇒ I = −2t cos t + 2 ∫ cos tdt = −2t cos t + 2sin t + C dv = sin tdt v = − cos t Đặt  Vậy I = 2sin x − 2 x cos x + C Bài 11: Tính tích phân I = ∫ sin ( ln x ) dx Giải dx  ⇒ dx = xdt dt = x... Bài 12: Tính tích phân I = ∫ x e dx Giải 3x 2 dx = dt  3 Đặt x = t ⇒  6 2 x = t  1 2 t 1 6 3 x3 Từ đó I = ∫ t e dt = ( x − 2 x + 2 ) e + C 3 3 x Bài 13 Tính tích phân I = ∫ e dx Giải Đặt x = t ⇒ x = t 2 ⇒ dx = 2tdt ⇒ I = 2∫ tet dt = 2 xe x − 2e x +C Bài tập tương tư 2 Bài 1: I = ∫ x ln xdx Văn lang- Hưng Hà- Thái Bình 1 3 1 3 ĐS: I = x ln x − x + C 3 9 20 GV: Nguyễn Đức Kiên Tích phân- ơn thi... bài đơn giản) Chú ý: Đối với dạng tích phân này còn có thể giải bằng pp đồng nhất tử 2 Biến đổi tử số thành dạng : Ax+B=E.d(ax + bx + c) + D = E ( 2ax + b ) dx + D ) Bài 1: Tính tích phân I= ∫ Giải 2( x + 1) dx x + 2x + 3 2 d ( x 2 + 2 x − 3) 2( x + 1) 2x + 2 I= ∫ 2 dx = ∫ 2 dx = ∫ = ln x 2 + 2 x + 3 + C 2 x + 2x + 3 x + 2x + 3 x + 2x + 3 2 ( x − 2 ) dx Bài 2: Tính tích phân I= ∫ 2 x − 4x + 4 Giải: d... 343 x + 4 =− Bài 3: Tính các tích phân sau : I= ∫ (x 1 2 + 3x + 2 ) 2 dx Giải: Ta có : 2  1 1  = = −  2 2 ( x 2 + 3x + 2 ) ( x + 1) ( x + 2 )   ( x + 1) ( x + 2 )    1 1 2 1 1 1   1 = + − = + − 2 − ÷ 2 2 2 2  x +1 x + 2  ( x + 1) ( x + 2 ) ( x + 1) ( x + 2 ) ( x + 1) ( x + 2 ) 1 1  1 1 x +1  − − 2 ln +C x+2 ÷  x +1 x + 2  Vậy : I =  − Bài 4: Tính các tích phân sau I = ∫ 1 + x2 dx... tích phân I= ∫ 2x − 3 dx x + 4x + 4 2 Giải: Biến đổi tử thành đạo hàm của mẫu 2x − 3 2x + 4 − 7 2x + 4 7 = 2 = 2 − 2 x + 4x + 4 x + 4x + 4 x + 4x + 4 x + 4x + 4 2x − 3 2x + 4 1 I =∫ 2 dx = ∫ 2 dx − 7 ∫ dx 2 Vậy : x + 4x + 4 x + 4x + 4 ( x + 2) Ta có: I =∫ 2 d ( x 2 + 4 x + 4) − 7 ∫ ( x + 2) −2 dx x2 + 4 x + 4 Bài 4: Tính tích phân I = ∫ => I= ln x 2 + 4 x + 4 + 5x + 3 dx x2 + x + 1 7 +C x+2 Giải: Cách