chuyên đề tích phân có hướng dẫn giải chi tiết

CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN I. ĐỔI BIẾN SỐ TÓM TẮT GIÁO KHOA VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 1. Đổi biến số dạng 1 1.1. Phương pháp thường dùng Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b], để tính b a f(x)dx ò ta thực hiện các bước sau: Bước 1. Đặt x = u(t) và tính / dx u (t)dt= . Bước 2. Đổi cận: x a t , x b t= = = =Þ a Þ b . Bước 3. b / a f(x)dx f[u(t)]u (t)dt g(t)dt b b a a = = ò ò ò . Ví dụ 1. Tính tích phân 1 2 2 0 1 I dx 1 x = - ò . Giải Đặt x sin t, t ; dx cos tdt 2 2 p p é ù = - =Î Þ ê ú ë û 1 x 0 t 0, x t 2 6 p = = = =Þ Þ 6 6 2 0 0 cos t cos t I dt dt cos t 1 sin t p p = =Þ - ò ò 6 6 0 0 dt t 0 6 6 p p p p = = = - = ò . Vậy I 6 p = . Ví dụ 2. Tính tích phân 2 2 0 I 4 x dx= - ò . Giải Đặt x 2 sin t, t ; dx 2 cos tdt 2 2 p p é ù = - =Î Þ ê ú ë û x 0 t 0, x 2 t 2 p = = = =Þ Þ 2 2 2 2 0 0 I 2 cos t 4 4 sin tdt 4 cos tdt p p = - =Þ ò ò ( ) 2 2 0 0 2 (1 cos 2t)dt 2t sin 2t p p = + = + = p ò . Vậy I = p . Ví dụ 3. Tính tích phân 1 2 0 dx I 1 x = + ò . Giải Đặt ( ) 2 x t gt, t ; dx (t g x 1)dt 2 2 p p = - = +Î Þ 1 x 0 t 0, x 1 t 4 p = = = =Þ Þ 4 4 2 2 0 0 tg t 1 I dt dt 4 1 tg t p p + p = = =Þ + ò ò . Vậy I 4 p = . Ví dụ 4. Tính tích phân 3 1 2 0 dx I x 2x 2 - = + + ò . Giải 3 1 3 1 2 2 0 0 dx dx I x 2x 2 1 (x 1) - - = = + + + + ò ò . Đặt ( ) 2 x 1 tgt, t ; dx (t g x 1)dt 2 2 p p + = - = +Î Þ x 0 t , x 3 1 t 4 3 p p = = = - =Þ Þ 3 3 2 2 4 4 tg t 1 I dt dt 3 4 12 1 tg t p p p p + ppp = = = - =Þ + ò ò . Vậy I 12 p = . 1.2. Phương pháp đặc biệt (dùng cho trắc nghiệm) Hàm lượng giác ngược + y arcsin x x sin y= =Û với [ ] x 1; 1 , y ; 2 2 p p é ù - -Î Î ê ú ë û . + y arctgx x tgy= =Û với ( ) x , y ; 2 2 p p -ΠΡ . Chẳng hạn: ( ) 2 arcsin , arcsin( 1) , arctg 3 2 4 2 3 p p p = - = - - = - . Công thức ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 dx x dx 1 x arcsin , arctg a 0 a a a a x a x b b b b a a a a = = > + - ò ò . Ví dụ 5. Tính tích phân 2 2 0 dx I 4 x = - ò . Giải 2 2 2 0 0 dx x I arcsin arcsin 1 arcsin 0 2 4 x = = = - - ò . Vậy I 2 p = . Ví dụ 6. Tính tích phân 3 1 2 0 dx I x 2x 2 - = + + ò . Giải 3 1 3 1 2 0 0 d(x 1) I arctg(x 1) arctg 3 arctg1 1 (x 1) - - + = = + = - + + ò . 2 Vậy I 12 p = . 2. Đổi biến số dạng 2 Để tính tích phân b / a f[u(x)]u (x)dx ò ta thực hiện các bước sau: Bước 1. Đặt t = u(x) và tính / dt u (x)dx= . Bước 2. Đổi cận: x a t u(a) , x b t u(b)= = = = = =Þ a Þ b . Bước 3. b / a f[u(x)]u (x)dx f(t)dt b a = ò ò . Ví dụ 7. Tính tích phân 2 e e dx I x ln x = ò . Giải Đặt dx t ln x dt x = =Þ 2 x e t 1, x e t 2= = = =Þ Þ 2 2 1 1 dt I ln t ln 2 t = = =Þ ò . Vậy I ln 2= . Ví dụ 8. Tính tích phân 4 3 0 cos x I dx (sin x cos x) p = + ò . Giải 4 4 3 3 2 0 0 cos x 1 dx I dx . (sin x cos x) (t gx 1) cos x p p = = + + ò ò . Đặt 2 dx t t gx 1 dt cos x = + =Þ x 0 t 1, x t 2 4 p = = = =Þ Þ ( ) 2 2 3 2 1 1 dt 1 1 1 3 I 1 2 4 8 t 2t - = = = - - =Þ ò . Vậy 3 I 8 = . Ví dụ 9. Tính tích phân 3 1 2 dx I (1 x) 2x 3 = + + ò . Giải Đặt dx t 2x 3 dt 2x 3 = + =Þ + 2 2 2 t 3 t 1 t 2x 3 x x 1 2 2 - - = + = + =Þ Þ 3 1 x t 2, x 3 t 3 2 = = = =Þ Þ ( ) 3 3 2 2 2 2dt 1 1 I dt t 1 t 1 t 1 = = -Þ - + - ò ò ( ) 3 2 t 1 1 1 3 ln ln ln ln t 1 2 3 2 - = = - = + . Vậy 3 I ln 2 = . Ví dụ 10. Tính tích phân 1 0 3 x I dx 1 x - = + ò . Giải Đặt 2 3 x x 3 t t 1 x x 1 - - + = =Þ + + 2 2 2 4 8t dt x 1 dx t 1 (t 1) - = - =Þ Þ + + x 0 t 3, x 1 t 1= = = =Þ Þ 1 3 2 2 2 2 2 2 1 3 8t dt t dt I 8 (t 1) (t 1) - = =Þ + + ò ò . Đặt ( ) 2 t t gu, u ; dt (tg u 1)du 2 2 p p = - = +Î Þ t 1 u , t 3 u 4 3 p p = = = =Þ Þ ( ) 3 3 2 2 2 2 2 2 4 4 tg u tg u 1 du tg udu I 8 8 (tg u 1) t g u 1 p p p p + = =Þ + + ò ò 3 3 2 4 4 8 sin udu 4 (1 cos 2u)du p p p p = = - ò ò ( ) 3 4 4u 2 sin 2u 3 2 3 p p p = - = - + . Vậy I 3 2 3 p = - + . Chú ý: Phân tích 1 0 3 x I dx 1 x - = + ò , rồi đặt t 1 x= + sẽ tính nhanh hơn. 3. Các dạng đặc biệt 3.1. Dạng lượng giác Ví dụ 11 (bậc sin lẻ). Tính tích phân 2 2 3 0 I cos x sin xdx p = ò . Giải Đặt t cos x dt sin xdx= = -Þ x 0 t 1, x t 0 2 p = = = =Þ Þ 0 2 2 2 2 2 0 1 I cos x(1 cos x) sin xdx t (1 t )dt p = - = - -Þ ò ò 1 1 3 5 2 4 0 0 t t 2 (t t )dt 3 5 15 æ ö ÷ ç = - = - = ÷ ç ÷ ç è ø ò . Vậy 2 I 15 = . 4 Ví dụ 12 (bậc cosin lẻ). Tính tích phân 2 5 0 I cos xdx p = ò . Giải Đặt t sin x dt cos xdx= =Þ x 0 t 0, x t 1 2 p = = = =Þ Þ 2 2 5 2 2 0 0 I cos xdx (1 sin x) cos xdx p p = = -Þ ò ò 1 1 3 5 2 2 0 0 2t t 8 (1 t ) dt t 3 5 15 æ ö ÷ ç = - = - + = ÷ ç ÷ ç è ø ò . Vậy 8 I 15 = . Ví dụ 13 (bậc sin và cosin chẵn). Tính tích phân 2 4 2 0 I cos x sin xdx p = ò . Giải 2 2 4 2 2 2 0 0 1 I cos x sin xdx cos x sin 2xdx 4 p p = = ò ò 2 2 2 0 0 1 1 (1 cos 4x)dx cos 2x sin 2xdx 16 4 p p = - + ò ò 2 2 2 0 0 1 1 (1 cos 4x)dx sin 2xd(sin 2x) 16 8 p p = - + ò ò 3 2 0 x 1 sin 2x sin 4x 16 64 24 32 p æ ö p ÷ ç = - + = ÷ ç ÷ ç è ø . Vậy I 32 p = . Ví dụ 14. Tính tích phân 2 0 dx I cos x sin x 1 p = + + ò . Giải Đặt ( ) 2 2 x 1 x 2dt t t g dt tg 1 dx dx 2 2 2 t 1 = = + =Þ Þ + x 0 t 0, x t 1 2 p = = = =Þ Þ 1 2 2 0 2 2 1 2dt I . 1 t 2t 1 t 1 1 t 1 t =Þ - + + + + + ò 1 1 0 0 dt ln t 1 ln 2 t 1 = = + = + ò . Vậy I ln 2= . 3.2. Dạng liên kết Ví dụ 15. Tính tích phân 0 xdx I sin x 1 p = + ò . Giải Đặt x t dx dt= - = -p Þ x 0 t , x t 0= = = =Þ p pÞ ( ) 0 0 ( t)dt t I dt sin( t) 1 sin t 1 sin t 1 p p -p p = - = -Þ - + + +p ò ò 0 0 dt dt I I sin t 1 2 sin t 1 p p p = - =p Þ + + ò ò 5 ( ) ( ) 2 2 0 0 dt dt t t t 2 4 cos sin cos 2 4 2 2 p p p p = = p - + ò ò ( ) ( ) ( ) 2 0 0 t d t 2 4 tg t 2 2 2 4 cos 2 4 p p p - p p p = = - = p p - ò . Vậy I = p . Tổng quát: 0 0 xf(sin x)dx f(sin x)dx 2 p p p = ò ò . Ví dụ 16. Tính tích phân 2 2007 2007 2007 0 sin x I dx sin x cos x p = + ò . Giải Đặt x t dx dt 2 p = - = -Þ x 0 t , x t 0 2 2 p p = = = =Þ Þ ( ) ( ) ( ) 2007 0 2007 2007 2 sin t 2 I dx sin t cos t 2 2 p p - = -Þ p p - + - ò 2 2007 2007 2007 0 cos t dx J sin t cos t p = = + ò (1). Mặt khác 2 0 I J dx 2 p p + = = ò (2). Từ (1) và (2) suy ra I 4 p = . Tổng quát: 2 2 n n n n n n 0 0 sin x cos x dx dx , n sin x cos x sin x cos x 4 p p + p = = Î + + ò ò Z . Ví dụ 17. Tính tích phân 6 2 0 sin x I dx sin x 3 cos x p = + ò và 6 2 0 cos x J dx sin x 3 cos x p = + ò . Giải + 6 6 2 2 0 0 sin x 3 cos x I 3J dx (sin x 3 cos x)dx sin x 3 cos x p p - - = = - + ò ò ( ) 6 0 cos x 3 sin x 1 3 p = - - = - (1). + ( ) 6 6 0 0 dx 1 dx I J dx 2 sin x 3 cos x sin x 3 p p + = = p + + ò ò Đặt t x dt dx 3 p = + =Þ x 0 t , x t 3 6 2 p p p = = = =Þ Þ 2 2 2 3 3 1 dt 1 sin tdt I J 2 sin t 2 sin t p p p p + = =Þ ò ò ( ) 2 2 2 3 3 d(cos t) 1 1 1 1 d(cos t) 2 4 cos t 1 cos t 1 cos t 1 p p p p = = - - + - ò ò 6 2 3 1 cos t 1 1 ln ln 3 4 cos t 1 4 p p - = = + (2). T (1) v (2) 3 1 3 I 3J 1 3 I ln 3 16 4 1 1 1 3 I J ln 3 J ln 3 4 16 4 ỡ - ù ỡ - = - ù ù = + ù ù ù ù ị ớ ớ ù ù - + = ù ù = - ù ù ợ ù ợ . Vy 3 1 3 1 1 3 I ln 3 , J ln 3 16 4 16 4 - - = + = - . Vớ d 18. Tớnh tớch phõn 1 2 0 ln(1 x) I dx 1 x + = + ũ . Gii t 2 x t gt dx (1 t g t)dt= = +ị x 0 t 0, x 1 t 4 p = = = =ị ị ( ) 4 4 2 2 0 0 ln(1 t gt) I 1 t g t dt ln(1 t gt)dt 1 tg t p p + = + = +ị + ũ ũ . t t u dt du 4 p = - = -ị t 0 u , t u 0 4 4 p p = = = =ị ị ( ) 0 4 0 4 I ln(1 t gt)dt ln 1 tg u du 4 p p p ộ ự = + = - + -ị ờ ỳ ở ỷ ũ ũ 4 4 0 0 1 tgu 2 ln 1 du ln du 1 t gu 1 t gu p p - ổ ử ổ ử ữ ữ ỗ ỗ = + = ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ố ứ ố ứ + + ũ ũ ( ) 4 4 0 0 ln 2du ln 1 t gu du ln 2 I 4 p p p = - + = - ũ ũ . Vy I ln 2 8 p = . Vớ d 19. Tớnh tớch phõn 4 x 4 cos x I dx 2007 1 p p - = + ũ . Gii t x t dx dt= - = -ị x t , x t 4 4 4 4 p p p p = - = = = -ị ị 4 4 t t t 4 4 cos( t) 2007 cos t I dt dt 2007 1 1 2007 p p - - p p - - = - =ị + + ũ ũ ( ) 4 4 t t t 4 4 (1 2007 ) 1 1 cos tdt 1 cos t dt 1 2007 2007 1 p p p p - - + - = = - + + ũ ũ 7 4 4 4 0 4 4 1 2 cos tdt I I cos tdt cos tdt 2 2 p p p p p - - = - = = =ị ũ ũ ũ . Tng quỏt: Vi a > 0 , 0>a , hm s f(x) chn v liờn tc trờn on [ ] ; - aa thỡ x 0 f(x) dx f(x)dx a 1 a a - a = + ũ ũ . Vớ d 20. Cho hm s f(x) liờn tc trờn Ă v tha f( x) 2f(x) cos x- + = . Tớnh tớch phõn 2 2 I f(x)dx p p - = ũ . Gii t 2 2 J f( x)dx p p - = - ũ , x t dx dt= - = -ị x t , x t 2 2 2 2 p p p p = - = = = -ị ị [ ] 2 2 2 2 I f( t)dt J 3I J 2I f( x) 2f(x) dx p p p p - - = - = = + = - +ị ị ũ ũ 2 2 0 2 cos xdx 2 cos xdx 2 p p p - = = = ũ ũ . Vy 2 I 3 = . 3.3. Cỏc kt qu cn nh i/ Vi a > 0 , hm s f(x) l v liờn tc trờn on [a; a] thỡ a a f(x)dx 0 - = ũ . ii/ Vi a > 0 , hm s f(x) chn v liờn tc trờn on [a; a] thỡ a a a 0 f(x)dx 2 f(x)dx - = ũ ũ . iii/ Cụng thc Walliss (dựng cho trc nghim) 2 2 n n 0 0 (n 1) !! , n !! cos xdx sin xdx (n 1) !! . , n !! 2 p p -ỡ ù ù ù ù = = ớ ù - p ù ù ù ợ ũ ũ neỏu n leỷ neỏu n chaỹn . Trong ú n!! c l n walliss v c nh ngha da vo n l hay chn. Chng hn: 0 !! 1; 1!! 1; 2 !! 2; 3!! 1.3; 4 !! 2.4; 5!! 1.3.5;= = = = = = 6 !! 2.4.6; 7 !! 1.3.5.7; 8 !! 2.4.6.8; 9!! 1.3.5.7.9; 10 !! 2.4.6.8.10= = = = = . 8 Ví dụ 21. 2 11 0 10 !! 2.4.6.8.10 256 cos xdx 11!! 1.3.5.7.9.11 693 p = = = ò . Ví dụ 22. 2 10 0 9 !! 1.3.5.7.9 63 sin xdx . . 10 !! 2 2.4.6.8.10 2 512 p p p p = = = ò . (Độc giả có thể thử lại các ví dụ 11 – 13!). II. TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN 1. Công thức Cho hai hàm số u(x), v(x) liên tục và có đạo hàm trên đoạn [a; b]. Ta có ( ) ( ) / / / / / / uv u v uv uv dx u vdx uv dx= + = +Þ ( ) b b b a a a d uv vdu udv d(uv) vdu udv= + = +Þ Þ ò ò ò b b b b b b a a a a a a uv vdu udv udv uv vdu= + = -Þ Þ ò ò ò ò . Công thức: b b b a a a udv uv vdu= - ò ò (1). Công thức (1) còn được viết dưới dạng: b b b / / a a a f(x)g (x)dx f(x)g(x) f (x)g(x)dx= - ò ò (2). 2. Phương pháp giải toán 2.1. Sử dụng công thức Giả sử cần tính tích phân b a f(x)g(x)dx ò ta thực hiện Cách 1. Bước 1. Đặt u f(x), dv g(x)dx= = (hoặc ngược lại) sao cho dễ tìm nguyên hàm v(x) và vi phân / du u (x)dx= không quá phức tạp. Hơn nữa, tích phân b a vdu ò phải tính được. Bước 2. Thay vào công thức (1) để tính kết quả. Đặc biệt: i/ Nếu gặp b b b ax a a a P(x) sin axdx, P(x) cos axdx, e .P(x)dx ò ò ò với P(x) là đa thức thì đặt u P(x)= . ii/ Nếu gặp b a P(x) ln xdx ò thì đặt u ln x= . Cách 2. Viết lại tích phân b b / a a f(x)g(x)dx f(x)G (x)dx= ò ò và sử dụng trực tiếp công thức (2). 9 Ví dụ 1. Tính tích phân 1 x 0 I xe dx= ò . Giải Cách 1. Đặt x x u x du dx dv e dx v e = = ì ì ï ï ï ï Þ í í = ï ï = ï ïî î (chọn C 0= ) 1 1 1 1 x x x x 0 0 0 0 xe dx xe e dx (x 1)e 1= - = - =Þ ò ò . Cách 2. ( ) 1 1 1 1 / 1 x x x / x x 0 0 0 0 0 xe dx x e dx xe x e dx (x 1)e 1= = - = - = ò ò ò . Vậy I 1= . Ví dụ 2. Tính tích phân e 1 I x ln xdx= ò . Giải Cách 1. Đặt 2 dx du u ln x x dv xdx x v 2 ì ï = ï = ì ï ï ï ï Þ í í ï ï = ï ï î = ï ï î e e e 2 2 1 1 1 x 1 e 1 x ln xdx ln x xdx 2 2 4 + = - =Þ ò ò . Cách 2. e e e / e 2 2 2 1 1 1 1 x x 1 e 1 x ln xdx ln x. dx ln x xdx 2 2 2 4 æ ö + ÷ ç = = - = ÷ ç ÷ ç è ø ò ò ò . Vậy 2 e 1 I 4 + = . Ví dụ 3. Tính tích phân 2 x 0 I e sin xdx p = ò . Giải Cách 1. Đặt x x u sin x du cos xdx dv e dx v e = = ì ì ïï ï ï Þ í í ï ï = = ï ï î î 2 2 x x x 2 2 0 0 0 I e sin xdx e sin x e cos xdx e J p p p p = = - = -Þ ò ò . Đặt x x u cos x du sin xdx dv e dx v e = = - ì ì ï ï ï ï Þ í í = ï ï = ï ïî î 2 2 x x x 2 0 0 0 J e cos xdx e cos x e sin xdx 1 I p p p = = + = - +Þ ò ò 10 . ngang là tích 2 nhân tử còn trong tích phân (cùng với dấu trên mũi tên). Ví dụ 5. Tính tích phân e 1 I ln xdx= ò . Giải e e e 1 1 1 I ln xdx x ln x dx 1= = - = ò ò . Ví dụ 6. Tính tích phân 2 x 0 I. nghiệm) Ví dụ 4. Tính tích phân 1 2 x 0 I x e dx= ò . Giải ( ) 1 1 2 x 0 0 I x 2x 2 e 0dx e 2= - + - = - ò . Chú thích: + Mũi tên đi xuống chỉ tích của 2 nhân tử ra khỏi tích phân (cùng với dấu. dụ 5. Tính tích phân 2 2 0 dx I 4 x = - ò . Giải 2 2 2 0 0 dx x I arcsin arcsin 1 arcsin 0 2 4 x = = = - - ò . Vậy I 2 p = . Ví dụ 6. Tính tích phân 3 1 2 0 dx I x 2x 2 - = + + ò . Giải 3 1 3