Bài toán ứng dụng thực tế về Nguyên Hàm Tích Phân có hướng dẫn giải chi tiết – Xuctu.com

Vì tính đối xứng trụ nên diện tích của mảnh đất tương ứng với 4 lần diện tích của mảnh đất thuộc góc phần tư thứ nhất của hệ trục tọa độ Oxy.. Hướng dẫn giải.[r]

(1)

Mua STK Tốn(Free Ship) tồn quốc: 0918.972.605- Thuận tiện- Nhanh chóng- Đảm bảo

x y

Câu 1: (CHUYÊN KHTN L4) Gọi ( )H phần giao hai khối

4 hình trụ có bán kính a, hai trục hình trụ vng góc với Xem hình vẽ bên Tính thể tích ( )H

A ( )

3 = H

a

V B ( )

3

3 = H

a

V

C ( )

2 = H

a

V D ( )

3

4 π = H

a

V

Hướng dẫn giải

Chọn đáp án A

Ta gọi trục tọa độ Oxyz hình vẽ Khi phần giao ( )H vật thể có đáy phần tư hình trịn tâm O bán kính a, thiết diện mặt phẳng vng góc với trục Ox hình vng có diện tích ( )= −

S x a x

Thể tích khối ( )H ( ) ( )

3 2

0

2

= − =

∫ ∫

a a

x a

S x dx a dx

Câu 2: (CHUYÊN VINH – L2)Trong Công viên Tốn học có mảnh đất

(2)

x y

O

a M

H K

Tính diện tích S mảnh đất Bernoulli biết đơn vị hệ tọa độ Oxy tương ứng với chiều dài mét

A 125 ( )2

6

S= m B 125 ( )2

4

S = m

C 250 ( )2

3

S= m D 125 ( )2

3

S = m

Chọn D

Vì tính đối xứng trụ nên diện tích mảnh đất tương ứng với lần diện tích mảnh đất thuộc góc phần tư thứ hệ trục tọa độ Oxy

Từ giả thuyết tốn, ta có 5

4

y= ± x −x

Góc phần tư thứ 25 2; [ ]0;5

4

y= x −x x∈

Nên

5

2

( )

1 125 125

25 d ( )

4 12

I

S = ∫x −x x= ⇒S = m

Câu 3: (CHUYÊN VINH – L2)Gọi V thể tích khối trịn xoay tạo thành quay hình phẳng giới hạn đường

y= x, y=0 x=4 quanh trục Ox Đường thẳng

(0 4)

x=a < <a cắt đồ thị hàm y= x M (hình vẽ bên) Gọi V1 thể tích khối trịn xoay tạo thành quay tam giác OMH quanh trục Ox Biết V =2V1 Khi

A a=2 B a=2 C

2

a= D a=3

Chọn D

Ta có x = ⇔ =0 x Khi

4

0

d

V =π∫x x= π

Ta có M a( ); a

Khi quay tam giác OMH quanh trục Ox tạo thành hai hình nón có chung đáy:

(3)

Mua STK Toán(Free Ship) tồn quốc: 0918.972.605- Thuận tiện- Nhanh chóng- Đảm bảo

= =

R MK a

Khi 2

1

3π 3π 3π

= + =

V R h R h a

Theo đề

4

2

3

π π

= ⇔ = ⇒ =

V V a a

Câu 4: (CHU VĂN AN – HN) Cho hai mặt cầu ( )S1 , ( )S2 có bán kính R thỏa mãn tính chất: tâm ( )S1 thuộc ( )S2 ngược lại Tính thể tích phần chung V hai khối cầu tạo ( )S1 ( )S2

A

V =πR B

3

2 R

V =π C

3

5 12

R

V = π D

3

2

R V = π

Chọn C

Gắn hệ trục Oxy hình vẽ

Khối cầu S O R( , ) chứa đường tròn lớn

( ): 2

C x +y =R

Dựa vào hình vẽ, thể tích cần tính

( ) 3

2 2

2

5

2 d

3 12

R R

x R

V = π R −x x= πR x−  = π

 

∫

Câu 5: Một thùng rượu có bán kính đáy 30cm, thiết diện vng góc với trục cách

đều hai đáy có bán kính 40cm, chiều cao thùng rượu 1m (hình vẽ) Biết mặt phẳng chứa trục cắt mặt xung quanh thùng rượu đường parabol, hỏi thể tích thùng rượu

( đơn vị lít) ?

O R

2 R

2 2

( ) :C x +y =R y

(4)

A 425, lit B 425162lit C 212581lit D 212, 6lit

x y

0,4m

0,3m 0,5m

O S

A

Gọi ( )

:

P y=ax +bx+c parabol qua điểm A(0,5; 0,3) có đỉnh S(0; 0, 4) (hình vẽ) Khi đó, thể tích thùng rượu thể tích khối trịn xoay cho hình phẳng giới hạn ( )P , trục hoành hai đường thẳng x= ±0,5 quay quanh trục Ox

Dễ dàng tìm ( ): 2 0, 4

P y= − x +

Thể tích thùng rượu là:

2

0,5 0,5

2

0,5

2 203

0, 0, 425,5 (l)

5 1500

V x dx x dx

−

   

= − +  = − +  = ≈

   

∫ ∫ π

π π

Chọn A

Câu 6: Một bồn hình trụ chứa dầu, đặt nằm ngang, có chiều dài bồn 5m, có

bán kính đáy 1m, với nắp bồn đặt mặt nằm ngang mặt trụ Người ta rút dầu bồn tương ứng với 0,5m đường kính đáy Tính thể tích gần khối dầu cịn lại bồn (theo đơn vị m3)

A 11,781m 3 B 12,637m 3 C 114,923 m 3 D 8,307 m 3

(5)

C

D

O O'

A

B

Thể tích bồn (hình trụ) đựng dầu là: V =πr h2 =π.12.5 (m )= π

Thể tích phần rút dầu (phần mặt (ABCD)) là:

3

.5 3,070 (m )

V = −  ≈

 

π

Vậy thể tích cần tìm là:

2 3, 07 12, 637 (m )

V = − =V V π− ≈

Chọn B

Câu 7: Bác Năm làm cửa nhà hình parabol có chiều cao từ mặt đất đến đỉnh

2,25 mét, chiều rộng tiếp giáp với mặt đất mét Giá thuê mét vuông 1500000 đồng Vậy số tiền bác Năm phải trả là:

A. 33750000 đồng B 12750000 đồng C. 6750000 đồng D.3750000 đồng

x y

A B

O

Gắn parabol ( )P hệ trục tọa độ cho ( )P đi qua (0;0)O Gọi phương trình parbol (P):( ):

P y=ax +bx+c Theo đề ra, ( )P qua ba điểm (0;0)O , (3;0)A , (1,5; 2, 25)B Từ đó, suy ( ): 3

P y= − +x x

Diện tích phần Bác Năm xây dựng:

3

0

9

(6)

Vậy số tiền bác Năm phải trả là:9.1500000 675

2 = 000 (đồng)

Chọn C

Câu 8: Một Bác thợ gốm làm lọ có dạng khối trịn xoay tạo thành quay

hình phẳng giới hạn đường y= x+1và trục Ox quay quanh trục Ox biết đáy lọ miệng lọ có đường kính dm dm, thể tích lọ là:

A 8 dm π B 15 dm 3

2π C

2 14

dm

3 π D

2 15

dm Hướng dẫn giải

1 1

r = y = ⇒x =

2 2

r = y = ⇒ x =

Suy ra: ( )

3

2

0

15

2

x

V =π y dx=π x+ dx=π +x = π

 

∫ ∫

Chọn B

Câu 9: Trong chương trình nơng thơn mới, xã X có xây cầu bê tơng

như hình vẽ Tính thể tích khối bê tơng để đổ đủ cầu (Đường cong hình vẽ đường Parabol)

x y

(7)

A 19m3 B 21m3 C 18 3

m D 40m3 Hướng dẫn giải

Chọn D

Chọn hệ trục Oxy hình vẽ

Ta có

Gọi ( ) :

P y=ax +c Parabol qua hai điểm 19;0 , ( )0; 2

A  B

 

Nên ta có hệ phương trình sau:

( )

2

8 19

0

:

361

2

a a

P y x

b b

   

= −

= +

   

⇔ ⇒ = − +

   

 =  =



Gọi ( ) 2 :

P y=ax +c Parabol qua hai điểm (10;0 ,) 0;5 C D 

 

Nên ta có hệ phương trình sau: ( ) ( )

2

1

0 10

1

40

2 :

5 40

2

a a

P y x

b b



 = + = −



 

⇔ ⇒ = − +

 

 =  =

 

 

y

O x

0,5m 19m 0,5m

(8)

Ta tích bê tơng là:

19

10 2 2 3

2

0

1

5.2 40

40 361

V =  − x + dx− − x + dx= m

   

∫ ∫ 

Câu 10: Ơng An có mảnh vườn hình Elip có độ dài trục lớn 16m độ dài trục

bé bằng10m Ông muốn trồng hoa dải đất rộng 8m nhận trục bé elip làm trục đối xứng (như hình vẽ) Biết kinh phí để trồng hoa 100.000 đồng/1m Hỏi 2

ông An cần tiền để trồng hoa dải đất đó? (Số tiền làm trịn đến hàng nghìn.)

A. 7.862.000 đồng B. 7.653.000 đồng

C. 7.128.000 đồng D. 7.826.000 đồng

Chọn B.

Giả sử elip có phương trình

2

x y

a +b =

Từ giả thiết ta có 2a=16⇒a=8 2b=10⇒b=5

Vậy phương trình elip

2

5

64 ( )

8

5 64 25

64 ( )

8

y y E

x y

y y E

 = − −



+ = ⇒ 

 = −



Khi diện tích dải vườn giới hạn đường ( ); ( );E1 E2 x= −4; x=4

diện tích dải vườn

4

2

4

5

2 64 d 64 d

8

S x x x x

−

= ∫ − = ∫ −

Tính tích phân phép đổi biến x=8sint, ta 80

6

S= π +   

Khi số tiền 80 100000 7652891,82 7.653.000

6

T = π +  =

  ≃

Câu 11: (SỞ GD HÀ NỘI) Cho hàm số ( ) , , ,( , 0)

y= f x =ax +bx + +cx d a b c∈ℝ a≠ có

đồ thị ( )C . Biết đồ thị ( )C tiếp xúc với đường thẳng y=4 điểm có hồnh độ âm đồ thị hàm số y= f′( )x cho hình vẽ đây:

(9)

Tính diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị ( )C trục hoành

A.S =9 B. 27

4

S= C.21

4 D.

5 4

Chọn B.

Từ đồ thị suy f′( )x =3x2 −3

( ) ( ) (3 3) 3

f x = ∫ f′ x dx=∫ x − dx= x − x+C

Do ( )C tiếp xúc với đường thẳng y =4 điểm có hồnh độ x0 âm nên

( )

0 0 3 3 0 1

f′ x = ⇔ x − = ⇔ x = −

Suy f ( )− = ⇔ =1 4 C 2⇒( )C :y= x3 −3x+2

Xét phương trình 3 2 0 2 1

x

x x

x = −



− + = ⇔ 

=



Diện tích hình phẳng cần tìm là: ( )

2

27 3 2

4

x x dx

− − + =

∫

Câu 12: `(CHU VĂN AN – HN) Cho hàm số 3

(10)

Gọi S1, S2 S3là diện tích miền gạch chéo cho hình vẽ Tìm m để

1

S +S =S

A

2

m= − B

4

m= − C

2

m= D

4 m=

Chọn D

Giả sử x b= nghiệm dương lớn phương trình x4−3x2+ =m Khi ta có

4 3 0

b − b + =m (1)

Nếu xảy S1+S2=S3

( ) ( )

0

3 d 0 (2)

5

b

b b

x − x +m x= ⇒ − +b mb= ⇒ − + =b m b>

∫

Từ (1) (2), trừ vế theo vế ta

4 2

4

2 (do 0)

5b − b = ⇒b = b>

Thay trở ngược vào (1) ta m=

Câu 13: Người ta dựng lều vải (H) có dạng hình “chóp lục giác cong đều” hình vẽ bên Đáy (H) hình lục giác cạnh m Chiều cao SO=6m (SO vng góc với mặt phẳng đáy) Các cạnh bên (H)

O x

y

3

S

1

S S2

( )Cm

c1

c4 c5

c2 c6

c3

3m 1m

(11)

SO Giả sử giao tuyến (nếu có) (H) với mặt phẳng (P) vng góc với SO lục giác (P) qua trung điểm SO lục giác có cạnh m Tính thể tích phần khơng gian nằm bên lều (H)

A 135 ( 3)

5 m B

3 96

( )

5 m

C 135 ( 3)

4 m D

3 135

( ) m

Chọn D

Đặt hệ tọa độ hình vẽ, ta có parabol cần tìm qua điểm có tọa độ (0;6), (1;3), (3;0)A B C nên có phương trình

2

1

6

2

y= x − x+

Theo hình vẽ ta có cạnh thiết diện BM

Nếu ta đặt t=OM

2

BM = − t+

Khi diện tích thiết diện lục giác:

2

2 3 3 7 1

( ) ,

4 2

BM

S t = =  − t+ 

  với t∈[ ]0;6

Vậy thể tích túp lều theo đề là:

2

6

0

3 135

( )

2

V = S t dt =  − t+  dt =

 

∫ ∫

Câu 14: Một vật có kích thước hình dáng hình vẽ Đáy hình trịn giới

hạn đường tròn 2 16

(12)

y

x O

A. 32 3

V = B. 256

3

V = C. 256

3

V = D. 32

3 V =

Giải phương trình 2 16 16 16

x +y = ⇔ y = − ⇔ = ±x y −x

Diện tích thiết diện ( ) 2 16 2.sin (16 2) 3

2

S x = −x π= −x

Thể tích cần tìm ( )

4

2

4

256 ( ) 16

3

V S x dx x dx

− −

= ∫ = ∫ − =

(13)

Câu 15: Vòm cửa lớn trung tâm văn hố có dạng hình Parabol Người ta

dự định lắp cửa kính cường lực cho vịm cửa Hãy tính diện tích mặt kính cần lắp vào biết vòm cửa cao 8m rộng 8m (như hình vẽ)

A 28( 2)

3 m B.

2

26( )

3 m C.

2

128( )

3 m D.

2

131( ) m Hướng dẫn giải

Chọn hệ trục Oxy hình vẽ Ta có

Gọi ( )

1 :

P y=ax +c Parabol qua hai điểm

( ) ( )4;0 , 0;8

A B

Nên ta có hệ phương trình sau:

( )

1

0 16

:

2

8 8

a c a

P y x

c c  = + = −   ⇔ ⇒ = − +   =   =  ( ) 2 128 S

2x m

−

= −∫ + =

Câu 16: Một công ty quảng cáo X muốn làm tranh trang trí hình MNEIFở tường hình chữ nhật ABCD có chiều cao

6

BC= m, chiều dài 12

CD= m (hình vẽ bên) Cho biết MNEF hình chữ nhật cóMN =4 m; cung EIFcó hình dạng phần cung parabol có đỉnh I trung điểm của cạnh AB qua hai điểm C, D Kinh phí làm tranh 900.000 đồng/

m Hỏi công ty X cần tiền để làm tranh ?

A 20.400.000 đồng B 20.600.000 đồng

A B

(14)

C 20.800.000 đồng D 21.200.000 đồng

- Nếu chọn hệ trục tọa độ có gốc trung điểm O MN, trục hoành trùng với đường thẳng MN parabol có phương trình 6

6

y= − x +

- Khi diện tích khung tranh

2

1 208

6

S x dx m

−

 

= − +  =

 

∫

- Suy số tiền là: 208 900.000 20.800.000

9 × = đồng

Câu 17: Một khối cầu có bán kính 5 dm( ), người ta cắt bỏ hai phần khối cầu hai mặt phẳng song song vng góc đường kính cách tâm khoảng 3 dm( ) để làm lu đựng nước (như hình vẽ) Tính thể tích mà lu chứa

A 100 ( )3

3 π dm B ( )

3

43

3 π dm C ( )

3

41π dm D 132π( )dm3 Hướng dẫn giải

Chọn D

Cách 1: Trên hệ trục tọa độ Oxy , xét đường tròn 2

( ) : (C x−5) +y =25 Ta thấy cho nửa trục Ox ( )C quay quanh trục Ox ta mặt cầu bán kính

Nếu cho hình phẳng ( )H giới hạn nửa trục Ox ( )C , trục Ox, hai đường thẳng x=0, x=2 quay xung quanh trục Ox ta khối trịn xoay phần cắt khối cầu đề

Ta có 2

(x−5) +y =25⇔ = ±y 25 (− −x 5)

⇒ Nửa trục Ox ( )C có phương trình y= 25 (− −x 5)2 = 10x−x2 ⇒ Thể tích vật thể trịn xoay cho ( )H quay quanh Ox là:

( )

2

1

0

52

10 d

3

x

V =π x−x x=π x −  = π

 

(15)

3

Thể tích cần tìm: ( )3

2

500 52

2 132

3

V = −V V = π − π = π dm

Cách 2: Hai phần cắt tích nhau, phần chỏm cầu tích ( 2) 5( 2)

1

3

52 25

3 R

d

V =π∫ R −x dx=π∫ −x dx= π

Vậy thể tích lu

4 52

2 132

3

c

V = −V V = π − π = π

Câu 18: Một sân chơi cho trẻ em hình chữ nhật có chiều dài 100 chiều rộng 60m người ta làm đường nằm sân (Như hình vẽ) Biết viền ngồi viền đường hai đường elip, Elip đường viền ngồi có trục lớn trục bé song song với cạnh hình chữ nhật chiều rộng mặt đường 2m Kinh phí cho

m làm đường 600.000 đồng Tính tổng số tiền làm đường (Số tiền làm trịn đến hàng nghìn)

2m 100m

60m

A 293904000 B 283904000

C 293804000 D 283604000

Hướng dẫn giải Chọn A

Xét hệ trục tọa độ Oxy đặt gốc tọa độ O vào tâm hình Elip

Phương trình Elip đường viền đường ( )

2

1 :502 302

x y

E + = Phần

đồ thị ( )E1 nằm phía trục hồnh có phương trình ( )

2

1

30 50

x

(16)

Phương trình Elip đường viền đường ( )

2

2 : 2

48 28

x y

E + = Phần

đồ thị ( )E2 nằm phía trục hồnh có phương trình ( )

2 2 28 48 x

y= − = f x

Gọi S1 diện tích ( )E1 hai lần diện tích phần hình phẳng giới hạn

trục hoành đồ thị hàm số y= f x1( ) Gọi S2 diện tích ( )E2 hai lần diện tích phần hình phẳng giới hạn trục hồnh đồ thị hàm số y= f2( )x

Gọi S diện tích đường Khi

50 48

50

2

1

48

2 30 502d 28 482d

x x

S S S x x

− −

−

= − = ∫ − ∫ −

Tính tích phân ( )

2

2 d , ,

a

x x

I b a

a b

+

−

= ∫ − ∈ℝ

Đặt sin , d cos d

2

x=a t − ≤ ≤π t π ⇒ x=a t t

 

Đổi cận ;

2

x= −a⇒t= −π x=a⇒t=π

Khi ( )

2 2

2

2 2

sin cos d co

2 t a t t s dt t cos 2t d

I b ab ab t

π π π π π π − − − = = + = ∫ − ∫ ∫ 2 sin 2

ab t t ab

π π π −   +   =  = 

Do S= −S1 S2 =50.30π −48.28π =156π

Vậy tổng số tiền làm đường 600000.S=600000.156π ≈294053000 (đồng)

Câu 19:Có vật thể hình trịn xoay có dạng giống ly hình vẽ Người ta đo đường kính miệng ly 4cm chiều cao 6cm Biết thiết diện ly cắt mặt phẳng đối xứng parabol Tính thể tích

( )3

V cm vật thể cho

(17)

5

Hướng dẫn giải Chọn A

Chọn gốc tọa độ O trùng với đỉnh I parabol ( )P Vì parabol ( )P qua

điểm A(−2;6 ,) ( )B 2;6 I( )0;0 nên parabol ( )P có phương trình 2 y= x

Ta có 2

2

= ⇔ =

y x x y Khi thể tích vật thể cho

( )

6

3

0

2

12

3

V =π  y dy = π cm

 

∫

Câu 20:Một mảnh vườn hình trịn tâm O bán kính 6m Người ta cần trồng dải đất rộng 6m nhận O làm tâm đối xứng, biết kinh phí trồng 70000 đồng/ m Hỏi cần 2

tiền để trồng dải đất (số tiền làm trịn đến hàng đơn vị)

A. 8412322 đồng B.8142232 đồng

C. 4821232 đồng D.4821322 đồng

Xét hệ trục tọa độ oxy đặt vào tâm khu vườn , phương trình đường trịn tâm O

2

x +y =36 Khi phần nửa cung trịn phía trục Ox có phương trình

2

36 (x)

y= −x = f

Khi diện tích S mảnh đất lần diện tích hình phẳng giới hạn trục hoành, đồ thị y= f(x) hai đường thẳng x= −3; x=3

3

2

3

2 36 x dx S

−

⇒ = ∫ −

6 cm

A B

O 4 cm

I

6m

(18)

Đặt x=6sint⇒dx=6costdt Đổi cận :

6

x= − ⇒t= −π ;

6 x= ⇒t=π

6

2

6

2 36cos 36 (c os2t+1) dt 18(sin t t) 18 12

S tdt

π

π π

π

− −

−

⇒ = ∫ = ∫ = + = +

Định dạng
Số trang	18
Dung lượng	418,78 KB