Nhóm giao hoán, phép trừ và phép chia, nhóm con, mã tuyến tính nhị phân, tính chất của lớp ghép, đồng dư, không gian vector

Chương Nhắc lại số kiến thức đại số liên quan ntnhut@hcmus.edu.vn Nhóm giao hoán Đ : Tập G với phép toán cộng G, ký hiệu (G,+) nhóm giao hoán nếu: i ii iii iv (Kết hợp) ∀x, y, z ∈ G: x + (y + z) = (x + y) + z (Giao hoán) ∀x, y ∈ G: x + y = y + x (Có ptử trung hoà) ∃0 ∈ G: x + = x, ∀x ∈ G (Có ptử đối) ∀x ∈ G, ∃(-x) ∈ G: x + (-x) = Đối với (G,*), ta viết xy thay cho x*y, ptử đơn vị 1, ptử nghịch đảo x-1 VD: (Z,+), (R,+), (Mn(R),+), (R\{0},*), ({0,1}n,+), (Zp,⊕) ntnhut@hcmus.edu.vn VD1: Nhóm ({0,1}n,+) • {0,1}n tập tất chuỗi nhị phân độ dài n • Phép + phép cộng bit không nhớ • Phần tử đối –x x ∈ {0,1}n x • Phần tử trung hoà 00…0 VD: {0,1}2 = {00, 01, 10, 11} 01 + 11 = 10 11 + 11 = 00 ntnhut@hcmus.edu.vn VD2: Nhóm (Zp, ⊕) • Zp = {0, 1, 2, …, p – 1} • Phép cộng: với x, y ∈ Zp, – Nếu x + y < p x ⊕ y = x + y – Nếu x + y ≥ p x ⊕ y = x + y – p • Phần tử trung hoà • Phần tử đối x p – x • Nếu nhập nhằng ta viết + thay cho ⊕ ntnhut@hcmus.edu.vn Phép trừ phép chia x – y := x + (– y) x/y := xy-1 ntnhut@hcmus.edu.vn Nhóm Đ : Cho G nhóm giao hoán, K ⊆ G K gọi nhóm (subgroup) G, ký hiệu K ≤ G, đóng với phép toán +, tức là: – ∀x, y ∈ K: x + y ∈ K – ∈ K – Nếu x ∈ K –x ∈ K Lớp ghép (coset) x ∈ G modulo K tập x + K = {x + k | k ∈ K} ntnhut@hcmus.edu.vn Ví dụ • Tập tất số nguyên chẵn Zeven tập Z • Lớp ghép tập tất số lẻ: • + Zeven = {1 + k | k chẵn} = Zodd • Zodd = + Zeven = + Zeven = -1 + Zeven = … • Lớp ghép Zeven: • + Zeven = Zeven = + Zeven = + Zeven = … • Như vậy: Z = Zodd ∪ Zeven ntnhut@hcmus.edu.vn Bài tập CMR nhóm (Z,+) có dạng pZ với p = 0, 1, 2, … Tìm tất nhóm (Z12,+) CMR nhóm giao hoán G: a) Có pt trung hoà/pt đơn vị b) Mỗi x ∈ G, có phần tử đối/nghịch đảo ntnhut@hcmus.edu.vn Mã tuyến tính nhị phân Mệnh đề: Mọi mã tuyến tính nhị phân K độ dài n nhóm nhóm {0, 1}n Chứng minh: Thực vậy, thoả tính chất nhóm con: – Đóng với phép cộng – Có phần tử trung hoà – Có phần tử đối ntnhut@hcmus.edu.vn Tính chất lớp ghép Mệnh đề: lớp ghép modulo K nhóm G thoả tính chất sau: – Mỗi phần tử G nằm lớp – Hai lớp phân biệt phần tử chung – Hai phần tử x, y nằm lớp hiệu chúng x – y thuộc nhóm K – Nếu |K| = r lớp có r phần tử Chứng minh: (bài tập) ntnhut@hcmus.edu.vn 10 Bài tập Viết bảng phép toán cho Z5 Tìm x-1 cho x khác thuộc Z5 CMR tập sau với hai phép toán lập thành trường ntnhut@hcmus.edu.vn 21 Không gian vector Đ : Cho F trường, phần tử ∈ F gọi scalar (vô hướng) Tập L gồm phần tử gọi vector, với phép cộng vector phép nhân với vô hướng gọi không gian vector (vector space) nếu: – (L,+) nhóm giao hoán – st(a) = s(ta) với a ∈ L, s, t ∈ F – t(a + b) = ta + tb (s + t)a = sa + ta với s, t ∈ F, a, b ∈ L – 1a = a với a VD: Z2n = {từ nhị phân độ dài n} KGVT ntnhut@hcmus.edu.vn 22 Lưu ý 0a = với a ∈ L (-1)a = -a với a ∈ L t0 = với t ∈ F Bài tập: Có vector KGVT Z2n, Z3n CM tập ma trận với phép toán cộng nhân vô hướng lập thành KGVT ntnhut@hcmus.edu.vn 23 KGVT Đ : Tập K ⊂ L gọi KGVT (subspace) đóng với phép cộng nhân: – a + b ∈ K với a, b ∈ K – ta ∈ K với a ∈ K, t ∈ F VD: Một mã nhị phân tuyến tính độ dài n KGVT Z2n ntnhut@hcmus.edu.vn 24 Tổ hợp tuyến tính Đ : Tổ hợp tuyến tính (linear combination) vector a1, a2, …, am ∈ L tổng t1a1 + t2a2 + … + tmam với t1, …, tm ∈ F • Span(a1,…, am) := {t1a1 + t2a2 + … + tmam | t1, …, tm ∈ F} KGVT sinh {a1, …, am} ĐL: Span(a1,…, am) KGVT nhỏ chứa {a1, …, am} ntnhut@hcmus.edu.vn 25 Ví dụ Vector (1,0,-1) R3 sinh đường thẳng K = t(1,0,-1) gồm vector (t,0,-t) với t ∈ R Hai vector (1,0,-1) (0,1,1) sinh mặt phẳng P = t(1,0,-1) + s(0,1,1) Mã kiểm chẵn lẻ độ dài sinh ba vector 1100, 1010, 1001! ntnhut@hcmus.edu.vn 26 Độc lập tuyến tính Đ : vector a1, …, am gọi độc lập tuyến tính (linearly independent) không vector tổ hợp tuyến tính vector lại • Một tập vector độc lập tuyến tính sinh L gọi sở (basis) KGVT L Số vector sở L gọi số chiều (dimension) L ntnhut@hcmus.edu.vn 27 Ví dụ R2 KGVT chiều Một sở {(0,1),(1,0)} {0,1}n = {từ nhị phân độ dài n} có n chiều Một sở tập tất từ có w(e) = Mã kiểm chẵn lẻ độ dài sinh ba vector 1100, 1010, 1001 độc lập tuyến tính số chiều = ntnhut@hcmus.edu.vn 28 Tổ hợp tuyến tính sở ĐL: Cho {e1, e2, …, em} sở L Với vector a ∈ L, tồn vô hướng t1, …, tm cho a = t1e1 + t2e2 + … + tmem VD: Một từ mã kiểm chẵn lẻ độ dài bất kỳ, chẳn hạn 0110 viết tổ hợp tuyến tính tập sinh {1100, 1010, 1001} 0110 = 1100 + 1010 ntnhut@hcmus.edu.vn 29 Tính chất sở MĐ: KGVT k-chiều L: 1) Mọi sở L có k vector 2) Mọi k vector độc lập tuyến tính tạo thành sở 3) k số phần tử lớn tập độc lập tuyến tính vector L 4) Các KGVT L có số chiều nhỏ k ntnhut@hcmus.edu.vn 30 Tích vô hướng Đ : Tích vô hướng (inner product) hai vector a = (a1, a2, …, an) b = (b1, b2, …, bn) là: a·b = a1b1 + a2b2 + … + anbn • Hai vector gọi trực giao (orthogonal) tích vô hướng chúng = VD: Cho L ntnhut@hcmus.edu.vn 31 Bù trực giao Đ : Cho L KGVT Fn Phần bù trực giao L, ký hiệu L⊥ tập vector Fn trực giao với tất vector L L⊥ = {a ∈ Fn | a·b = với b ∈ L} VD: Cho L đường thẳng R2 Khi đó, L⊥ đường thẳng vuông góc với L qua gốc toạ độ ntnhut@hcmus.edu.vn 32 Tính chất phần bù trực giao L⊥ KGVT N ếu dim(L) = k dim(L⊥)= n – k (L⊥)⊥ = L ntnhut@hcmus.edu.vn 33 Tóm tắt • • • • • • • • ĐN nhóm, nhóm con, lớp ghép, trường N hóm Zp, Z/pZ Standard array Coset leader Trường Zp ĐLập TT, Tổ Hợp TT, Cơ Sở Tích vô hướng Bù trực giao ntnhut@hcmus.edu.vn 34 Homework • Đọc làm Chương 6+7 [1] • Đọc trước chương [1] ntnhut@hcmus.edu.vn 35 [...]... a) mã lặp KN b) Mã Hamming (7,4) 2 Gọi K là mã tuyến tính tạo bởi các tổng của các từ 101011, 011101, 011010 a) Tìm ma trận parity check H của K b) Tìm một dãy chuNn của K Giải mã chuỗi nhận được 111011 ntnhut@hcmus.edu.vn 17 Trường Đ : Tập F với hai phép toán + và * được gọi là trường (field) nếu thoả các tính chất sau: 1) (F,+) là một nhóm giao hoán với pt trung hoà 0 2) (F - {0},*) là một nhóm giao. .. Viết bảng phép toán cho Z5 Tìm x-1 cho các x khác 0 thuộc Z5 2 CMR tập sau cùng với hai phép toán lập thành một trường ntnhut@hcmus.edu.vn 21 Không gian vector Đ : Cho F là một trường, các phần tử ∈ F gọi là các scalar (vô hướng) Tập L gồm các phần tử gọi là vector, cùng với phép cộng vector và phép nhân với vô hướng được gọi là một không gian vector (vector space) nếu: – (L,+) là một nhóm giao hoán... 1 Vector (1,0,-1) trong R3 sinh đường thẳng K = t(1,0,-1) gồm các vector (t,0,-t) với t ∈ R 2 Hai vector (1,0,-1) và (0,1,1) sinh mặt phẳng P = t(1,0,-1) + s(0,1,1) 3 Mã kiểm chẵn lẻ độ dài 4 có thể sinh bởi ba vector 1100, 1010, 1001! ntnhut@hcmus.edu.vn 26 Độc lập tuyến tính Đ : các vector a1, …, am được gọi là độc lập tuyến tính (linearly independent) nếu không vector nào là tổ hợp tuyến tính của. .. cơ sở của L có k vector 2) Mọi bộ k vector độc lập tuyến tính tạo thành một cơ sở 3) k là số phần tử lớn nhất của một tập độc lập tuyến tính các vector trong L 4) Các KGVT con của L có số chiều nhỏ hơn k ntnhut@hcmus.edu.vn 30 Tích vô hướng Đ : Tích vô hướng (inner product) của hai vector a = (a1, a2, …, an) và b = (b1, b2, …, bn) là: a·b = a1b1 + a2b2 + … + anbn • Hai vector được gọi là trực giao (orthogonal)... lập tuyến tính số chiều = 3 ntnhut@hcmus.edu.vn 28 Tổ hợp tuyến tính của cơ sở ĐL: Cho {e1, e2, …, em} là một cơ sở của L Với mỗi vector a ∈ L, tồn tại duy nhất các vô hướng t1, …, tm sao cho a = t1e1 + t2e2 + … + tmem VD: Một từ mã kiểm chẵn lẻ độ dài 4 bất kỳ, chẳn hạn 0110 có thể viết dưới tổ hợp tuyến tính của tập sinh {1100, 1010, 1001} là 0110 = 1100 + 1010 ntnhut@hcmus.edu.vn 29 Tính chất của. .. hướng của chúng = 0 VD: Cho L là một ntnhut@hcmus.edu.vn 31 Bù trực giao Đ : Cho L là một KGVT con của Fn Phần bù trực giao của L, ký hiệu L⊥ là tập các vector của Fn trực giao với tất cả các vector trong L L⊥ = {a ∈ Fn | a·b = 0 với mọi b ∈ L} VD: Cho L là một đường thẳng trong R2 Khi đó, L⊥ là đường thẳng vuông góc với L và đi qua gốc toạ độ ntnhut@hcmus.edu.vn 32 Tính chất của phần bù trực giao 1... ntnhut@hcmus.edu.vn 23 KGVT con Đ : Tập K ⊂ L được gọi là KGVT con (subspace) nếu nó đóng với phép cộng và nhân: – a + b ∈ K với mọi a, b ∈ K – ta ∈ K với mọi a ∈ K, t ∈ F VD: Một mã nhị phân tuyến tính độ dài n là một KGVT con của Z2n ntnhut@hcmus.edu.vn 24 Tổ hợp tuyến tính Đ : Tổ hợp tuyến tính (linear combination) của các vector a1, a2, …, am ∈ L là tổng t1a1 + t2a2 + … + tmam với t1, …, tm ∈ F • Span(a1,…,... nhóm G có thể phân hoạch thành các lớp rời nhau cùng kích thước • Nếu G là một nhóm hữu hạn n phần tử, K là một nhóm con r phần tử của G thì số các lớp là n/r • Mỗi lớp ghép ta chọn một phần tử đại diện, gọi là coset leader • Tập tất cả các coset leader ký hiệu là G/K ntnhut@hcmus.edu.vn 11 Lớp Z/pZ • Với mỗi số tự nhiên p, đặt pZ = {pn | n ∈ Z} • pZ là một nhóm con của (Z,+) • Có đúng p lớp ghép của. .. các vector còn lại • Một tập các vector độc lập tuyến tính sinh ra được chính L được gọi là cơ sở (basis) của KGVT L Số vector trong một cơ sở của L được gọi là số chiều (dimension) của L ntnhut@hcmus.edu.vn 27 Ví dụ 1 R2 là một KGVT 2 chiều Một cơ sở là {(0,1),(1,0)} 2 {0,1}n = {từ nhị phân độ dài n} có n chiều Một cơ sở là tập tất cả các từ có w(e) = 1 3 Mã kiểm chẵn lẻ độ dài 4 có thể sinh bởi ba vector. .. – 1 làm các coset leader cho các lớp ghép này • Vậy Z/pZ = Zp ntnhut@hcmus.edu.vn 12 Đồng dư Đ : hai số nguyên x, y được gọi là đồng dư modulo p, ký hiệu x ≡ y (mod p), nếu chúng cùng nằm trong một lớp ghép modulo pZ Nói cách khác x – y chia hết cho p VD: 1 ≡ -1 (mod 2) • 14 ≡ 2 (mod 12) ntnhut@hcmus.edu.vn 13 Dãy chuNn trong mã nhị phân tuyến tính • K là nhóm con của {0, 1}n • K phân hoạch được thành ... đảo ntnhut@hcmus.edu.vn Mã tuyến tính nhị phân Mệnh đề: Mọi mã tuyến tính nhị phân K độ dài n nhóm nhóm {0, 1}n Chứng minh: Thực vậy, thoả tính chất nhóm con: – Đóng với phép cộng – Có phần tử... lập tuyến tính Đ : vector a1, …, am gọi độc lập tuyến tính (linearly independent) không vector tổ hợp tuyến tính vector lại • Một tập vector độc lập tuyến tính sinh L gọi sở (basis) KGVT L Số vector. .. ntnhut@hcmus.edu.vn 21 Không gian vector Đ : Cho F trường, phần tử ∈ F gọi scalar (vô hướng) Tập L gồm phần tử gọi vector, với phép cộng vector phép nhân với vô hướng gọi không gian vector (vector space)