PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ THEO CÁC MỨC ĐỘ NHẬN THỨC

Trong chương trình Đại số lớp 8, phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử là một nội dung của chương trình toán, được áp dụng nhiều vào giải các bài tập . Phương pháp này cũng là một công cụ hữu ích cho học sinh trong quá trình luyện tập như : Rút gọn biểu thức, giải phương trình tích, chia đa thức… không những vận dụng giải các bài toán ở chương trình lớp 8 mà còn vận dụng giải các bài tập của các lớp 9 ,10 và về sau này.Bản thân tôi là giáo viên giảng dạy môn Toán, qua một số năm dạy tôi thấy học sinh sau khi học vẫn còn lúng túng phân tích đa thức thành nhân tử và thường mắc phải những sai sót khi làm bài tập . Để giúp học sinh tự học, học thêm ở nhà tránh những sai sót và định hướng được một số cách giải khi gặp các dạng toán phải dùng đến việc phân tích đa thức thành nhân tử, do đó tôi chọn viết đề tài: “PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ THEO CÁC MỨC ĐỘ NHẬN THỨC ” . phân tích đa thức thành nhân tử theo mức độ nhận thức tức là giáo viên đưa ra các phương pháp cụ thể cho học sinh nhưng phải theo từng đối tượng học sinh thì với mỗi bài toán cụ thể các em có thể đưa ra phương pháp giải một cách chính xác. Đó là các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử được tôi tích lũy trong quá trình học và dạy toán, với niềm mong ước giúp các em học sinh dễ dàng giải các dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử thường gặp trong chương trình lớp 8 cũng như trong các cuộc thi học sinh giỏi các cấp

BÁO CÁO KẾT QUẢ

NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG CỦA SÁNG KIẾN

1 Lời giới thiệu

Trong chương trình Đại số lớp 8, phương pháp phân tích đa thức thànhnhân tử là một nội dung của chương trình toán, được áp dụng nhiều vào giải cácbài tập Phương pháp này cũng là một công cụ hữu ích cho học sinh trong quátrình luyện tập như : Rút gọn biểu thức, giải phương trình tích, chia đa thức…không những vận dụng giải các bài toán ở chương trình lớp 8 mà còn vận dụnggiải các bài tập của các lớp 9 ,10 và về sau này

Bản thân tôi là giáo viên giảng dạy môn Toán, qua một số năm dạy tôithấy học sinh sau khi học vẫn còn lúng túng phân tích đa thức thành nhân tử vàthường mắc phải những sai sót khi làm bài tập

Để giúp học sinh tự học, học thêm ở nhà tránh những sai sót và địnhhướng được một số cách giải khi gặp các dạng toán phải dùng đến việc phân tích

đa thức thành nhân tử, do đó tôi chọn viết đề tài: “PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ THEO CÁC MỨC ĐỘ NHẬN THỨC ” phân tích đa

thức thành nhân tử theo mức độ nhận thức tức là giáo viên đưa ra các phươngpháp cụ thể cho học sinh nhưng phải theo từng đối tượng học sinh thì với mỗibài toán cụ thể các em có thể đưa ra phương pháp giải một cách chính xác Đó làcác phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử được tôi tích lũy trong quátrình học và dạy toán, với niềm mong ước giúp các em học sinh dễ dàng giải cácdạng toán phân tích đa thức thành nhân tử thường gặp trong chương trình lớp 8cũng như trong các cuộc thi học sinh giỏi các cấp

7 Mô tả bản chất của chuyên đề

7.1 Mục đích, nhiệm vụ, đối tượng, phạm vi, phương pháp nghiên cứu 7.1.1 Mục đích nghiên cứu

Trong khuôn khổ đề tài này bản thân tôi sẽ trình bày một số phương phápgiải toán phân tích đa thức thành nhân tử Cụ thể là:

+ Các phương pháp thường dùng khi giải phân tích đa thức thành nhân tử

+ Rèn kỹ năng vận dụng kiến thức để giải các bài toán có liên quan

+ Củng cố và hướng dẫn học sinh làm bài tập

7.1.2 Nhiệm vụ nghiên cứu

+ Xây dựng hệ thống lý luận về vấn đề nghiên cứu

+ Đánh giá thực trạng vấn đề nghiên cứu

+ Đề xuất giải pháp nghiên cứu

+ Tiến hành thử nghiệm và đối chiếu kết quả

7.1.3 Địa điểm, thời gian, đối tượng và phạm vi nghiên cứu

+ Địa điểm: Lớp 8 Trường THCS Lũng Hòa -Vĩnh Tường -Vĩnh Phúc

+ Thời gian: Từ tháng 11 năm 2014 đến tháng 1 năm 2016

+ Đối tượng khảo sát: Học sinh lớp 8 Trường THCS Lũng Hòa -Vĩnh Vĩnh Phúc

+ Phạm vi nghiên cứu qua các tiết dạy về phân tích đa thức thành nhân tửlớp 8, qua các buổi chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi

7.1.4 Phương pháp nghiên cứu

1 Đọc tài liệu : Tham Khảo tài liệu chuyên môn có liên quan

+ Sách giáo khoa 8, sách giáo viên, sách bài tập

+ Một số vấn đề phương pháp dạy học ở trường phổ thông

+ Tài liệu bồi dưỡng GV dạy môn toán

+ Đổi mới phương pháp dạy học toán

+ Bài tập nâng cao và một số chuyên đề Toán 8,tài liệu chuyên toán lớp

8 ,nâng cao và phát triển toán 8,

2 Điều tra :

a Dự giờ:

- Dự giờ học hỏi kinh nghiệm các giáo viên trong tổ

- Rút kinh nghiệm tiết dạy trên lớp, tiết dự giờ Qua đó, tôi luôn chú ý đếnphương pháp giảng dạy cũng như cách tổ chức tiết dạy của mỗi giáo viên, từ đógiúp tôi tích lũy một số kinh nghiệm và hiệu quả của việc đổi mới phương phápdạy học

b Đàm thoại:

- Trong quá trình giảng dạy giáo viên trao đổi với học sinh để tìm ra cácnguyên nhân học sinh chưa có phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử ởtừng dạng toán cụ thể Xem học sinh hỏng kiến thức nào, phần nào học sinhchưa biết cách trình bày để có biện pháp xử lí kịp thời.

- Trao đổi với giáo viên ở tổ chuyên môn trong nhà trường cùng bàn biệnpháp nâng cao chất lượng, tìm hiểu nguyên nhân học sinh học yếu ở các lớpkhác

ở nhà tạo thói quen tự học cho học sinh Ngoài ra đối với học sinh khá giỏi giáoviến nên có thêm những bài tập đỏi hỏi tính tư duy cao

d.Theo dõi các bài kiểm tra:

- Khi kiểm tra miệng, 15 phút, 1 tiết tôi phân loại học sinh yếu, trung bình,khá, giỏi cập nhật vào sổ điểm riêng Từ đó giáo viên tìm ra các giải pháp thíchhợp cho từng đối tượng học sinh

7.2 Định nghĩa và các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

7.2.1.Định nghĩa :

phân tích đa thức thành nhân tử là biến đổi đa thức thành tích của các đa thức khác

7.2.2 các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

- Sắp xếp bài toán theo các mức độ từ dễ đến khó

- Xây dựng các phương pháp giải cơ bản về phân tích đa thức thành nhân tử

1) Đối với học sinh yếu, kém: Củng cố kiến thức cơ bản

Dạng 1: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung.

Phương pháp: Dùng khi các hạng tử của đa thức có nhân tử chung.

A.B + A.C = A ( B + C)

 Tìm nhân tử chung của các hệ số (ƯCLN của các hệ số).

 Tìm nhân tử chung của các biến (lấy với số mũ nhỏ nhất)

 Nhiều khi để làm xuất hiện nhân tử chung ta cần đổi dấu các hạng tử

Ví dụ 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:

1) 5x x2  2y 15x x  2y

GV: Tìm nhân tử chung của các hệ số?

HS: Nhân tử chung của các hệ số là 5 vì ƯCLN(5;15) = 5

GV: Tìm nhân tử chung của các biến?

- Thực hiện đổi dấu sai: 9x( x – y) – 10( y – x)2 = 9x( x – y) + 10( x - y)2

- Sai lầm là do đổi dấu ba nhân tử: - 10 và ( y – x)2 của tích – 10( y – x)2

Vì – 10( y – x)2 = - 10( y – x)( y –x)

Cách giải đúng:

9x( x – y) – 10( y – x)2 = 9x( x – y) - 10( x - y)2

= ( x – y) [9x - 10( x – y)]

= ( x – y)(10y – x)

Qua các ví dụ trên giáo viên củng cố các kiến thức cơ bản cho học sinh:

- Cách tìm nhân tử chung của các hạng tử

- Quy tắc đổi dấu và cách đổi dấu của các nhân tử trong một tích

Dạng 2: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử.

Phương pháp: Biến đổi để xuất hiện một trong 7 hằng đẳng thức đáng nhớ

2) 2

8 8

Qua các ví dụ trên giáo viên củng cố các kiến thức cơ bản cho học sinh:

- Quy tắc dấu ngoặc

- Kỹ năng nhận dạng hằng đẳng thức qua bài toán dựa vào các hạng tử, số

Phương pháp: Kết hợp nhiều hạng tử thích hợp của đa thức khi đa thức chưa có

nhân tử chung hoặc chưa áp dụng được hằng đẳng thức

 Phát hiện nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức ở từng nhóm

 Nhóm để áp dụng phương pháp đặt nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức

 Đặt nhân tử chung cho toàn đa thức

Ví dụ 3: Phân tích đa thức thành nhân tử:

1) 3x2  3xy 5x 5y 2) x2  4x y 2  4 3) x2 – 2x– 4y2 – 4y

2) x2  4x y 2  4

Sai lầm: HS không biết nhóm các hạng tử nào với nhau.

GV: Nếu như nhóm 2 hạng tử không được ta nhóm ba hạng tử

Sai lầm: Đặt dấu sai khi nhóm hạng tử ở nhóm thứ hai.

Cách giải đúng:

x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) – ( 2x + 4y)

= ( x + 2y )( x – 2y ) – 2( x + 2y ) = ( x + 2y )( x – 2y – 2 )

Qua các ví dụ trên giáo viên củng cố các kiến thức cơ bản cho học sinh:

2) Đối với học sinh trung bình: Vận dụng và phát triển kỹ năng

Dạng 4: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp.

 Chữa các sai lầm thường gặp của học sinh trong giải toán

 Cũng cố các phép biến đổi cơ bản và hoàn thiện các kỹ năng thực hành

 Tìm cách giải hay, khai thác bài toán

Phương pháp: Là sự kết hợp nhuần nhuyễn các phương pháp cơ bản:

 Phương pháp đặt nhân tử chung

 Phương pháp dùng hằng đẳng thức

 Phương pháp nhóm nhiều hạng tử

Ví dụ 4: Phân tích đa thức thành nhân tử:

1) x4 – 9x3 + x2 – 9x 2) 8xy3 x x y  3

Qua các ví dụ trên giáo viên củng cố các kiến thức cơ bản cho học sinh:

- Khi số mũ của phần biến lớn hơn hoặc bằng 2 thì ta vẫn có thể phân tíchđược nữa

Phương pháp: Thêm, bớt cùng một hạng tử để nhóm với các hạng tử đã có

trong đa thức nhằm xuất hiện nhân tử chung mới hoặc xuất hiện hằng đẳng thức,

đặc biệt là xuất hiện hiệu của hai bình phương

Đây là một kỹ thuật rất quan trọng liên quan đến dạng toán tìm Min, Max,

do đó GV cần phải hướng dẫn thật kỹ phương pháp này cho HS

Ví dụ 5: Phân tích đa thức thành nhân tử:

GV: Đối với phương pháp này các em nên tách để đưa về dạng A2  2AB B 2

GV: Theo em ở câu 1 chúng ta nên tách hạng tử nào để xuất hiện hằng đẳng

- Có nhiều cách tách để đi đến kết quả như tách hạng tử thứ nhất, tách hạng

thử thứ ba Tuy nhiên tách hạng tử thứ hai là dễ dàng giải quyết bài toán

- Đối với đa thức từ bậc ba trở lên để làm xuất hiện các hệ số tỉ lệ, tuỳ theo

đặc điểm của các hệ số mà vận dụng cách tách hạng tử cho phù hợp nhằm vận

dụng được các phương pháp phân tích cơ bản đã học

Dạng 7: Dạng thêm bớt khi số mũ chia 3 dư 1, số mũ chia 3 dư 2

Phương pháp: Ta biến đổi giảm dần số mũ của đa thức để xuất hiện nhân tử

Phương pháp:Dựa trên hai nhận xét sau:

 Nhận xét 1: Giả sử phải phân tích biểu thức F(a, b, c) thành nhân tử, trong đó a, b, c có vai trò như nhau trong biểu thức đó Nếu F(a, b, c)

= 0 khi a = b thì F(a, b, c) sẽ chứa các nhân tử a - b, b - c và c - a

Ví dụ 8: Phân tích đa thức thành nhân tử:

1) F(a, b, c) = a2(b - c) + b2(c - a) + c2(a - b)

Nhận xét : Khi a = b ta có :

F(a, b, c) = a2(a - c) + a2(c - a) = 0, do đó F(a, b, c) có chứa nhân tử a - b

Tương tự F(a, b, c) chứa các nhân tử b - c, c - a Vì F(a, b, c) là biểu thức bậc ba,

do đó F(a, b, c) = k.(a - b)(b - c)(c - a)

Cho a = 1, b = 0, c = -1 ta có : 1 + 1 = k.1.1.(-2) => k = -1

Vậy : F(a, b, c) = -(a - b)(b - c)(c - a)

2) F(a, b, c) = a3(b - c) + b3(c - a) + c3(a - b)

Nhận xét : Tương tự như bài toán 1, ta thấy F(a, b, c) phải chứa các nhân tử a -

b, b - c, c - a Nhưng ở đây F(a, b, c) là biểu thức bậc bốn, trong khi đó (a - b)(b

- c)(c - a) bậc ba, vì vậy F(a, b, c) phải có một thừa số bậc nhất của a, b, c Do vai trò a, b, c như nhau nên thừa số này có dạng k(a + b + c) Do đó :

F(a, b, c) = k(a - b)(b - c)(c - a)(a + b + c)

Cho a = 0 ; b = 1 ; c = 2 => k = -1

Vậy : F(a, b, c) = -(a - b)(b - c)(c - a)(a + b + c)

 Nhận xét 2: Trong một số bài toán, nếu F(a, b, c) là biểu thức đối xứng của a, b, c nhưng F(a, b, c) ≠ 0 khi a = b thì ta thử xem khi a = -

b, F(a, b, c) có triệt tiêu không, nếu thỏa mãn thì F(a, b, c) chứa nhân

tử a + b, và từ đó chứa các nhân tử b + c, c + a.

3) F(x, y, z) = x3 + y3 + z3 - 3xyz

Nhận xét : Ta thấy rằng khi x = y hay x = -y thì F(x, y, z) ≠ 0 Nhưng nếu thay x

= -(y + z) thì F(x, y, z) = 0 nên F(x, y, z) có nhân tử x + y + z Chia F(x, y, z)

cho x + y + z, ta được thương x2 + y2 + z2 - xy - yz - zx và dư là 0 Do đó :

Phương pháp: Trong một số bài toán, ta nên đưa một biến phụ vào để việc giải

bài toán được gọn gàng, tránh nhầm lẫn Đặt ẩn phụ để đưa về dạng tam thức bậc hai rồi sử dụng các phương pháp cơ bản khác và tiếp tục phân tích

Xét Q(x) = ay2 + by + c Nếu có các số m, n sao cho m.n = a.c, m + n = b thì ay2+ by + c = ay2 + (m +n)y + m.n/a hay y2 + by + c = a(y + m/a)(y + n/a) (*).Nếu a

= 1 thì y2 + by + c = (y + m)(y + n) Trong trường hợp này a, b, c nguyên thì trước hết phân tích hai số nguyên m.n sao cho giá trị tuyệt đối của m và n nhỏ hơn b Sau đó chọn m, n thoả mãn m + n = b

Ví dụ 9: Phân tích đa thức thành nhân tử:

Q(y) = y(y + 2) – 1 = y2 +2y – 15 = y2 – 3y + 5y – 15

= y(y – 3) + 5( y – 3) = (y – 3)(y + 5)

Do đó: P(x) = (x2 +5x + 1)(x2 + 5x + 9)

Tổng quát: Nếu đa thức dạng P(x) = (a1x + a2)(b1x + b2)(c1x + c2)(d1x + d2)

thoả mãn a1b1 = c1d1 và a1b2 + a2b1 = c1d2 +c2d1 thì đặt y =(a1x + a2)(b1x + b2) rồibiến đổi như trên

Bài tập áp dụng:

Phương pháp: Một số đa thức có bậc cao, nhờ đặt biến phụ đưa về đa thức có

bậc thấp hơn để thuận tiện cho việc phân tích ra nhân tử, sau khi phân tích ra

nhân tử đối với đa thức mới, thay trở lại biến cũ để được đa thức với biến cũ

Ví dụ 11: Phân tích đa thức thành nhân tử:

Dạng 12: Đặt biến phụ dạng hồi quy

Ví dụ 12: Phân tích đa thức thành nhân tử:

Đặt x 1 t

x

  thì 2 2

2 1

Qua ví dụ cụ thể các em sẽ thấy được phương pháp của dạng này

Ví dụ 13: Phân tích đa thức thành nhân tử:

Ta lần lượt kiểm tra với x = 1; 2; 4 ta thấy f(2) = 0.

Đa thức f(x) có nghiệm x = 2, do đó khi phân tích ra nhân tử, f(x) chứa nhân tử x– 2

3 5

; 3 1



 , ta thấy

3 1

là nghiệm của đa thức, do đó khi phân tích ra nhân

tử, đa thức chứa nhân tử 3x – 1

Phương pháp: Nếu trên một tập hợp số nào đó mà hai đa thức f(x) và g(x) đồng

nhất với nhau, tức là ứng với mọi giá trị của biến lấy trên tập hợp số đã cho màf(x) và g(x) luôn có các giá trị bằng nhau thì hệ số của các hạng tử cùng bậc làbằng nhau

(x2 + ax + b)( x2+ cx + d) = x4 + (a + c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad +bc)x +bd Đồng nhất hệ số đa thức này với đa thức đã cho, ta có:

x4 + 6x3 +7x2 + 6x + 1 =x4 +(a + c)x3 + (ac + b +d)x2 + (ad + bc)x +bd

6761

Nhận xét: Các số 1; 3 không phải là nghiện của đa thức f(x) nên đa thức

không có nghiệm nguyên, cũng không có nghiệm hữu tỉ Như vậy nếu f(x) phân tích được thành nhân tử thì phải có dạng: (x2 + ax + b)( x2 + cx + d), với a, b, c,

d  Z.

Khai triển dạng này ra ta được đa thức: x4 + (a+c)x3 + (ac+b+d)x2 + (ad+bc)x +

bd Đồng nhất đa thức này với f(x) ta được hệ điều kiện:

bd bc ad

d b ac c a

Xét bd = 3, với b, d  Z, b  {1; 3} Với b = 3 thì d = 1, hệ điều kiện trở thành:

86

c a ac c a

Từ đó ta tìm được: a = -2; c = -4 Vậy f(x) = (x2 - 2x + 3)( x2 - 4x + 1)

Ta trình bày lời giải như sau:

f(x) = x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3 = (x4 - 4x3 + x2) - (2x3+ 8x2 - 2x) + (3x2 12x +3)

= x2(x2 - 4x + 1) - 2x(x2 - 4x + 1) + 3(x2 - 4x + 1)= (x2 - 4x + 1)(x2 - 2x +3)

Phương pháp: Áp dụng linh hoạt các phương pháp đã học.

Ví dụ 17: Phân tích đa thức thành nhân tử:

Nhận xét: Nếu thay x bởi y thì P = 0, nên P chia hết cho x - y

Hơn nữa nếu thay x bởi y, y bởi z, z bởi x thì P không thay đổi ( Ta nới đa thức

P có thể hoán vị vòng quanh) Do đó: P chia hết cho x - y thì P cũng chia hết

cho y - z và z - x

Từ đó: P = a(x - y)(y - z)(z - x); trong đó a là hằng số, không chứa biến vì P có

bậc 3 đối với tập hợp các biến

Ta có: P = x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y) = a(x - y)(y - z)(z - x) (*) đúng với mọi

x, y, z  R nên ta chọn các giá trị riêng cho x, y, z để tìm hằng số a là xong Chú ý: Các giá trị của x, y, z ta có thể chọ tùy ý, chỉ cần chúng đôi một khác

nhau để tránh P = 0 là được

Chẳng hạn: Chọn x = 2; y = 1; z = 0 thay vào đẳng thức (*), ta tìm được a = - 1

Vậy: P = x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y) = -(x - y)(y - z)(z - x) = (x - y)(y - z)(x - z)

2) Q = a(b + c - a)2 + b(c + a - b)2 + c(a + b - c)2 + (a + b - c)( b + c - a)( c + a - b).

Nhận xét: với a = 0 thì Q = 0, cho nên a là một nhân tử của Q Do vai trò bình

đẳng của a, b, c nên b và c cũng là nhân tử của Q, mà Q có bậc 3 đối với tập hợpcác biến nên Q = k.abc

Chọn a = b = c = 1 được k = 4 Vậy Q = 4abc

Trên đây là một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử kèm theo ví dụ

và bài tập vận dụng Các bài toán về phân tích đa thức thành nhân tử thật đadạng và phong phú kèm theo cả mức độ khó ,dễ Vì vậy,Chúng ta nên hướngdẫn học sinh giải những bài tập phân tích đa thức thành nhân tử theo các mức độnhận thức của học sinh để cho từng đối tượng học sinh đều làm được dạng toánnày theo mức độ nhận thức của mình.Qua các bài tập trên ta thấy mỗi dạng bàitập sử dụng các phương pháp biến đổi khác nhau và có liên quan tới nhiều kiếnthức toán khác cho nên để làm được tốt dạng toán này yêu cầu học sinh phảinắm chắc các kiến thức như : bảy hằng đẳng thức đáng nhớ ,phương pháp hệ sốbất định ,dấu hiệu chía hết , Đồng thời giáo viên phải lựa chọn đưa ra các bàitập phân tích đa thức thành nhân tử theo dạng toán và theo mức độ từ dễ đến khó

để học sinh nắm chắc cách giài từng dạng toán mà không bị lúng túng hoặc cósai lầm kho gặp dạng toán này.Khi đã làm được như vậy thì việc giải các bàitoán phân tích đa thức thành thân tử trở thành niềm say ,mê hứng thú cho họcsinh từ đó học sinh sẽ giải được những dạng toán khác có liên quan trongchương trình toán lớp 8,lớp 9

8 Những thông tin cần được bảo mật chuyên đề

Không

9 Các điều kiện cần thiết để áp dụng chuyên đề

Phòng học, bảng, bàn ghế, học sinh,tài liệu tham khảo

10 Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến thu được do áp dụng chuyên đề

10.1 Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến thu được do áp dụng chuyên

đề theo ý kiến của tác giả

Chúng ta đều biết: Phân tích đa thức thành nhân tử là biến đổi đa thức

đó thành tích của những đơn thức và đa thức khác Do vậy đối với một số dạngtoán nếu áp dụng kết quả phân tích đa thức thành nhân tử thì sẽ giải được dễdàng như một số dạng toán sau:

Dạng 1: Tính nhanh