Gọi E, F lần lượt là chân đường cao kẻ từ đỉnh B, C của tam giác ABC.. E là giao điểm thứ hai của BI và đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, đường thẳng AE cắt CD tại X.. Trên cung nhỏ B
Trang 1CHINH PHỤC MỤC TIÊU 25 ĐIỂM ĐẠI HỌC
Thầy Đặng Việt Hùng – MOON.VN Công thức 25 điểm trở lên: Toán 8.5; Lí 8; Hóa 8,5 và điểm ưu tiên
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
PHẦN 1 : ĐỀ BÀI
(Chỉ xem giải khi bất lực !!!!)
Câu 1: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC với 9; 3
M
−
là trung điểm của đoạn BC
và đường cao xuất phát từ đỉnh A có phương trình x+3y− =5 0. Gọi E, F lần lượt là chân đường cao kẻ từ
đỉnh B, C của tam giác ABC Tìm tọa độ đỉnh A, biết đường thẳng đi qua hai điểm E, F có phương trình
2x− + =y 2 0
;
x y
∈
ℝ
Câu 3: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại B có AB = 2BC, D là trung điểm
cạnh AB E thuộc cạnh AC sao cho AC = 3EC Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết phương trình
đường thẳng CD x: −3y+ =1 0và 16;1
3
E
x y y x
x y R
x x y x y xy x y
∈
Câu 5: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm K và ngoại tiếp
đường tròn tâm I(1; 5 − ) Gọi D là điểm đối xứng của A qua K E là giao điểm thứ hai của BI và đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, đường thẳng AE cắt CD tại X Giả sử C(− −2; 2 ,) (X −2; 4 ) Tìm tọa độ đỉnh A và B
2 2
x − + x − −x x x + = x − +x
Câu 7: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có đỉnh C(2; 5− ) và nội tiếp đường tròn
tâm I Trên cung nhỏ BC của đường tròn ( )I lấy điểm E, trên tia đối của tia EA lấy điểm M sao cho
EM =EC Tìm tọa độ đỉnh A, biết đỉnh B thuộc đường thẳng y− =2 0 và M(8; 3 − )
Câu 8: Giải hệ phương trình ( ) ( )
2
∈
PHẦN 2: LỜI GIẢI CHI TIẾT
(Không bị bất lực vẫn cần phải cố gắng hơn nữa)
Trang 2Câu 1: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC với 9; 3
M
−
là trung điểm của đoạn BC
và đường cao xuất phát từ đỉnh A có phương trình x+3y− =5 0. Gọi E, F lần lượt là chân đường cao kẻ từ
đỉnh B, C của tam giác ABC Tìm tọa độ đỉnh A, biết đường thẳng đi qua hai điểm E, F có phương trình
2x− + =y 2 0
Lời giải:
Gọi I là trung điểm của AH ta có: 1
2
IE=IF = AH
2
ME=MF = BC nên IM và đường trung trực của EF
Lại có: IEH =IHE MEH ; =MBH ( do IE=IH ME; =MB)
Mặt khác IHE+MBH=900⇒IEH+HEM =900⇒IE⊥ME
3
t
t
=
= ⇔ + − + − + = ⇔ = −
Với t = ⇔2 E( )2; 6 Gọi A(5 3 ;− u u) ta có:
3
( )
2;1 6
A u
=
Với t = ⇔2 E(− −3; 4)
3
Kết luận: A( )2;1 hay A(−13; 6 )
;
x y
∈
ℝ
Lời giải
Điều kiện 3x+ ≥y 0;y≥0
Đặt a= 3x+y b; =2 y a; ≥0,b≥0thì phương trình thứ nhất trở thành
Phương trình thứ hai trở thành 3x3−5x2+ =3 x232x2−x3 Điều kiện x∈ℝ
Nhận xét: x=0 không thỏa mãn phương trình đã cho
Xét trường hợp x≠0, phương trình đã cho tương đương với
Đặt 1 t
3t − + =5t 3 2t− ⇔1 3t + =t 3 2t− +1 2t−1 (*)
Xét hàm số ( ) 3
3
f t = t +t ta có ( ) 2
Do đó hàm số f t( )liên tục và đồng biến trên ℝ Suy ra
Trang 3Thử lại, phương trình đã cho có tập nghiệm 1;1 5 1; 5
S − +
Câu 3: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại B có AB = 2BC, D là trung điểm
cạnh AB E thuộc cạnh AC sao cho AC = 3EC Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết phương trình
đường thẳng CD x: −3y+ =1 0và 16;1
3
E
Lời giải
Giả sử BC =a AB, =2a⇒CD=a 2,AC=a 5
3 cos
DCA
CD CA
Đường thẳng AC qua 16;1
3
E
nên gọi phương trình
3
AC a x b y
10 10
−
a
a b
=
• Trường hợp 1: a=0⇒ AC y: − =1 0
Ta có C = AC∩CD⇒C( )2;1 Do AC=3EC⇒CA=3CE⇒ A( )12;1
Do D∈DC⇒D(3t−1;t)⇒B(6t−14; 2t−1)
Ta có AB=(6t−26; 2t−2 ,) CB=(6t−16; 2t−2)
Mà (6 26 6)( 16) (2 2 2)( 2) 0 37 ( ) ( )4;5
7; 2 2
=
• Trường hợp 2: 4a+3b=0 chọn a=3,b= −4⇒ AC: 3x−4y−12=0
Ta có C = AC∩CD⇒C( )8;3 Do AC =3EC⇒CA =3CE⇒ A(0; 3− )
Do D∈DC⇒D(3t−1;t)⇒B(6t−2; 2t+3)
Ta có AB=(6t−2; 2t+6 ,) CB=(6t−10; 2t)
Mà (6 2 6)( 10) 2 2( 6) 0 12 ( ) ( )1; 4
4;5 1
B t
B t
=
Câu 4: Giải hệ phương trình 43 4 3 2 ( )
x y y x
x y R
x x y x y xy x y
∈
Lời giải:
5x 5x 4x y 4xy x y y 0
⇔5x−4xy− = ⇔ −y 0 y 5x= −4xy
Thế vào (1) ta được x4+y4−4xy+ = ⇔2 0 x4+y4+ =2 4xy
Trang 4Áp dụng BĐT Côsi ta có x4+y4+ =2 x4+y4+ + ≥1 1 44 x y4 4.1.1=4 xy ≥4xy.
Dấu " "= xảy ra
1 1
1 0
xy
= =
= = −
Thử lại ta được x= =y 1 thỏa mãn
Câu 5: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm K và ngoại tiếp
đường tròn tâm I(1; 5 − ) Gọi D là điểm đối xứng của A qua K E là giao điểm thứ hai của BI và đường tròn
ngoại tiếp tam giác ABC, đường thẳng AE cắt CD tại X Giả sử C(− −2; 2 ,) (X −2; 4 ) Tìm tọa độ đỉnh A và B
Lời giải:
Ta có: AC CX⊥ ⇒ AC y: = −2
Lại có:
IAE= +CAE= + =AIE
Do vậy tam giác EAI cân tại E Do vậy ta có: EA=EI =EC
Mặt khác KA=KC⇒EK là trung trực của AC khi đó KE là
đường trung bình trong tam giác ADX
Gọi A(2 ; 2t − )⇒E t( −1;1)
( )4;1 : 2 7 0
Lấy điểm A đối xứng với A qua IE ta được 1 A1(−2; 4) Suy ra BC x: = −2⇒B(− −2; 11)
Vậy A(10; 2 ;− ) (B − −2; 11)
Câu 6: Giải phương trình 2 2 2 1 ( 2 )
2 2
x − + x − −x x x + = x − +x
Lời giải:
ĐK:
2
2
1
1 3
x x
x
x x
≥
⇔
≤ −
≥
x≥ ⇒ x − −x x x + = − −x x < ⇒x x + >x − ≥x
( )
2 2 3x − ≤ +1 2 3x − =1 3x +1
7x − + −x 4 3x + =1 4x − + =x 3 3x +x x− + >1 3 0, ∀ ≥x 1
2 2
Kết hợp với (2) ⇒VT( )1 <VP( )1 ⇒∀ ≥x 1 đều không thỏa mãn (1)
3
x= −t⇒− ≤ −t ⇒t≥
Trang 5Phương trình (1) trở thành 2 2 2 1 ( 2 )
2 2
t − + t + +t t t + = t + +t
2 6t 2 2 2t 2t 2t 2t 2 7t t 4
2t 2t 2 t 1 2 2t 2t 3t 1 2 6t 2 3t 1 5t 10t 5
2
t
2
t
( )2
t t
Đặt
5
t T
Với
2
3
Khi đó (2) ( )2
Đ/s: x= −1
Câu 7: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có đỉnh C(2; 5− ) và nội tiếp đường tròn
tâm I Trên cung nhỏ BC của đường tròn ( )I lấy điểm E, trên tia đối của tia EA lấy điểm M sao cho
EM =EC Tìm tọa độ đỉnh A, biết đỉnh B thuộc đường thẳng y− =2 0 và M(8; 3 − )
Lời giải:
Ta có: AEB=ACB=45 ;0 CEM=900
Phương trình đường thẳng CM: x−3y− =17 0
Do vậy BEC=BEM=1350 ⇒∆BEC= ∆BEM ⇒BC=BM
Lại có: EC=EM nên BE là trung trực của CM
Khi đó: BE: 3x+ − =y 11 0⇒B( )3; 2 ⇒AB x: +7y− =17 0
Gọi E t( ;11 3− t) ta có: ME CE =0
( 8)( 2) (16 3 )(14 3 ) 0 6 ( (6; 7) )
Do B,E cùng phía với CM nên điểm E(6; 7− ) bị loại Khi đó: AE x: +2y− =2 0
Do vậy A= AE∩AB⇒A(−4;3)
Câu 8: Giải hệ phương trình ( ) ( )
2
∈
Lời giải:
Trang 6ĐK: x≥0, y≥0, xy+ −(x y) ( xy− ≥2) 0 (*)
• Với y=0 khi đó (3) trở thành − +2x x = ⇔ − = = ⇔ =0 2x x 0 x 0
Thay vào (2) ta thấy không thỏa mãn ⇒ Loại
• Với y>0⇒T = xy+ −(x y) ( xy− + >2) y 0 và B= x+ y >0
2
0
xy x y xy y x y
(4)
( ) (2 )
3
x x
− +
Kết hợp với T B, 0 y xy 2 1 0
> ⇒ + > nên (4) ⇔ =x y
x+ x+ + −x x x = ⇔ x+ x − x + =
1
2
x
x
=
=
Kết hợp với (*) ta được
x y
Câu 9: Giải hệ phương trình 3 2 ( )
Giải:
Điều kiện:
2
1
(*) 3
x
y y
−
≥
1 ⇔2 y +6y +12y+ + + =8 y 2 2 x+4 x+ +4 x+4 ( ) (3 ) ( )3
Xét hàm số f t( )=2t3+ ∀ ∈t t R có f t'( )=6t2+ > ∀ ∈1 0 t R nên ( )f t là hàm đồng biến
Trang 72
y
≥ −
Thế − −y2 4y= −x vào (2) ta có ( ) 2
2 ⇔ 3x+ +1 3x −14x− =8 6−x
3
−
Với x=5⇒y+ = ⇔ =2 3 y 1
Đ/s: ( ) ( )x y; = 5;1
Các khóa Vệ tinh chuyên sâu các mảng Toán khó tại Moon.vn
- Khóa CHINH PHỤC HÌNH PHẲNG OXY
- Khóa CHINH PHỤC PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
- Khóa KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT
- Khóa KĨ THUẬT SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO
- Khóa CHINH PHỤC ĐIỂM 10 MÔN TOÁN
Thầy Đặng Việt Hùng