TÓM GỌN ĐIỂM 8-9 MÔN TOÁN TRONG KÌ THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG TÓM GỌN ĐIỂM 8-9 MÔN TOÁN TRONG KÌ THI THPTQG 2016 Thầy Đặng Việt Hùng – Facebook: LyHung95 VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN 9 3 Câu 1: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC với M ; − trung điểm đoạn BC 2 2 đường cao xuất phát từ đỉnh A có phương trình x + y − = Gọi E, F chân đường cao kẻ từ đỉnh B, C tam giác ABC Tìm tọa độ đỉnh A, biết đường thẳng qua hai điểm E, F có phương trình x − y + = Lời giải: Gọi I trung điểm AH ta có: IE = IF = AH Mặt khác ME = MF = BC nên IM đường trung trực EF 11 Khi đó: IM : x + y − = ⇒ I − ; 2 Lại có: IEH = IHE; MEH = MBH ( IE = IH ; ME = MB ) Mặt khác IHE + MBH = 900 ⇒ IEH + HEM = 900 ⇒ IE ⊥ ME t = 7 11 Gọi E ( t ; 2t + ) ta có: EM EI = ⇔ t + t − + 2t − 2t + = ⇔ 2 t = −3 Với t = ⇔ E ( 2;6 ) Gọi A ( − 3u; u ) ta có: IA2 = IE = 2 125 125 21 ⇔ − 3u + u − = 2 u = A ( 2;1) ⇔ ⇒ u = A ( −13; ) 2 125 21 Với t = ⇔ E ( −3; −4 ) ⇒ − 3u + u − = (tương tự TH trên) 2 Kết luận: A ( 2;1) hay A ( −13;6 ) 3 x − 11 y + y ( x + y ) + x + y = y , Câu 2: Giải hệ phương trình 3 x y − y + = y y − x3 Lời giải Điều kiện x + y ≥ 0; y ≥ ( x; y ∈ ℝ ) Đặt a = 3x + y ; b = y ; a ≥ 0, b ≥ phương trình thứ trở thành a + 2ab − 3b + a − b = ⇔ a + 3ab + a − ab − 3b − b = ⇔ a ( a + 3b + 1) − b ( a + 3b + 1) = ⇔ ( a − b )( a + 3b + 1) = ⇒ a = b ⇒ x = y Phương trình thứ hai trở thành 3x − x + = x x − x3 Điều kiện x ∈ ℝ Nhận xét: x = không thỏa mãn phương trình cho Xét trường hợp x ≠ , phương trình cho tương đương với Đặt = t thu phương trình 3t − 5t + = 2t − ⇔ 3t + t = ( 2t − 1) + 2t − (*) x Xét hàm số f ( t ) = 3t + t ta có f ′ ( t ) = 9t + > 0, ∀t ∈ ℝ Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2016! TÓM GỌN ĐIỂM 8-9 MÔN TOÁN TRONG KÌ THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Do hàm số f ( t ) liên tục đồng biến ℝ Suy ( ∗) ⇔ f ( t ) = f ( ) 2t − ⇔ t − 2t + = ⇔ ( t − 1) ( t + t − 1) = −1 − −1 + − + ; ; ⇒ t ∈ 1; ⇒ x ∈ 1; 2 2 − + Thử lại, phương trình cho có tập nghiệm S = 1; ; 2 Câu 3: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông B có AB = 2BC, D trung điểm cạnh AB E thuộc cạnh AC cho AC = 3EC Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC biết phương trình 16 đường thẳng CD : x − y + = E ;1 Lời giải Giả sử BC = a, AB = 2a ⇒ CD = a 2, AC = a CD + CA2 − AD = 2CD.CA 10 16 Đường thẳng AC qua E ;1 nên gọi phương trình 16 đường thẳng AC : a x − + b ( y − 1) = 3 a − 3b Ta có cos DAC = cos ( CD, CA) = = 10 10 a + b Ta có cos DCA = a = ⇒ a − 3b = a + b ⇔ ( a − 3b ) = ( a + b ) ⇔ 8a + 6ab = ⇔ 4a + 3b = • Trường hợp 1: a = ⇒ AC : y − = Ta có C = AC ∩ CD ⇒ C ( 2;1) Do AC = 3EC ⇒ CA = 3CE ⇒ A (12;1) Do D ∈ DC ⇒ D ( 3t − 1; t ) ⇒ B ( 6t − 14; 2t − 1) Ta có AB = ( 6t − 26; 2t − ) , CB = ( 6t − 16; 2t − ) t = B ( 4;5 ) Mà AB ⊥ CB ⇒ ( 6t − 26 )( 6t − 16 ) + ( 2t − )( 2t − ) = ⇔ ⇒ t = B ( 7; ) • Trường hợp 2: 4a + 3b = chọn a = 3, b = −4 ⇒ AC : x − y − 12 = Ta có C = AC ∩ CD ⇒ C ( 8;3) Do AC = 3EC ⇒ CA = 3CE ⇒ A ( 0; −3) Do D ∈ DC ⇒ D ( 3t − 1; t ) ⇒ B ( 6t − 2; 2t + 3) Ta có AB = ( 6t − 2; 2t + ) , CB = ( 6t − 10; 2t ) B (1; ) t= Mà AB ⊥ CB ⇒ ( 6t − )( 6t − 10 ) + 2t ( 2t + ) = ⇒ 2⇒ B ( 4;5 ) t = x + y + y − x + = Câu 4: Giải hệ phương trình 3 5 x − x y − x y = xy − x + y ( x, y ∈ R ) Lời giải: Ta có (2) ⇔ ( x + x ) − ( x y + xy ) − ( x y + y ) = Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2016! TÓM GỌN ĐIỂM 8-9 MÔN TOÁN TRONG KÌ THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG ⇔ x ( x + 1) − xy ( x + 1) − y ( x + 1) = ⇔ ( x + 1) ( x − xy − y ) = ⇔ x − xy − y = ⇔ y − x = −4 xy Thế vào (1) ta x + y − xy + = ⇔ x + y + = xy Áp dụng BĐT Côsi ta có x + y + = x + y + + ≥ 4 x y 1.1 = xy ≥ xy x4 = y = x = y = Dấu " = " xảy ⇔ ⇔ x = y = −1 xy ≥ Thử lại ta x = y = thỏa mãn Câu 5: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm K ngoại tiếp đường tròn tâm I (1; −5 ) Gọi D điểm đối xứng A qua K E giao điểm thứ hai BI đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, đường thẳng AE cắt CD X Giả sử C ( −2; −2 ) , X ( −2; ) Tìm tọa độ đỉnh A B Ta có: AC ⊥CX ⇒ AC : y = −2 Lời giải: A A+ B + CAE = = AIE 2 Do tam giác EAI cân E Do ta có: EA = EI = EC Mặt khác KA = KC ⇒ EK trung trực AC KE đường trung bình tam giác ADX Gọi A ( 2t ; −2 ) ⇒ E ( t − 1;1) Lại có: IAE = Khi đó: ( t + 1) + = ( t − ) + 36 ⇔ t = ⇒ A (10; −2 ) 2 E ( 4;1) ⇒ EI : x − y − = Lấy điểm A1 đối xứng với A qua IE ta A1 ( −2; ) Suy BC : x = −2 ⇒ B ( −2; −11) Vậy A (10; −2 ) ; B ( −2; −11) Câu 6: Giải phương trình 3x − + x − x − x x + = (7x 2 − x + 4) Lời giải: x ≥1 3 x ≥ ĐK: ⇔ x ≤ − x ≥ x • (*) Xét với x ≥ ⇒ ( x − x ) − x ( x + 1) = − x − x < ⇒ x ( x + 1) > x − x ≥ ⇒ x x + > x − x ⇒ x − x − x x + < ⇒ VT (1) < 3x − (2) Áp dụng BĐT Côsi ta có 2 x − ≤ + ( x − 1) = x + Mặt khác x − x + − ( x + 1) = x − x + = x + x ( x − 1) + > 0, ∀x ≥ ⇒ x + < x − x + ⇒ 2 x − < x − x + ⇒ x − < (7 x 2 − x + ) = VP (1) Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2016! TÓM GỌN ĐIỂM 8-9 MÔN TOÁN TRONG KÌ THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Kết hợp với (2) ⇒ VT (1) < VP (1) ⇒ ∀x ≥ không thỏa mãn (1) • Xét với x ≤ − 1 ta đặt x = −t ⇒ −t ≤ − ⇒t≥ 3 Phương trình (1) trở thành 3t − + t + t + t t + = ( 7t + t + 4) ⇔ 6t − + 2t + 2t + 2t 2t + = 7t + t + ⇔ 2t ( ) ( ) ( 2t + − t − + 2t + 2t − 3t − + ) 6t − − 3t + = 5t − 10t + 2 2t 2t + − ( t + 1) ( 2t + 2t ) − ( 3t + 1) 2 6t − − ( 3t − 1) + = t −1 ⇔ + ( ) 2t + + t + 2t + 2t + 3t + 6t − + 3t − ⇔ 2t ( t − 2t + 1) t + + 2t + 2 + −t + 2t − 3t + + 2t + 2t + ( −3t + 6t − 3) 3t − + 6t − 2 = ( t − 1) 2t 2 ⇔ ( t − 1) − − − 5 = 2 t + + 2t + 3t + + 2t + 2t 3t − + 6t − Đặt T = Với t ≥ 2t t + + 2t + − 3t + + 2t + 2t − 3t − + 6t − (2) − 1 2t −5 − 3t − 2t + > ⇒T < +0+0−5 = < 3 t + + 2t + t + + 2t + Khi (2) ⇔ ( t − 1) = ⇔ t = ⇒ − x = ⇒ x = −1 thỏa mãn (*) Đ/s: x = −1 Câu 7: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có đỉnh C ( 2; −5) nội tiếp đường tròn tâm I Trên cung nhỏ BC đường tròn ( I ) lấ y điểm E, tia đối tia EA lấy điểm M cho EM = EC Tìm tọa độ đỉnh A, biết đỉnh B thuộc đường thẳng y − = M ( 8; −3) Lời giải: Ta có: AEB = ACB = 45 ; CEM = 90 Phương trình đường thẳng CM: x − y − 17 = 0 Do BEC = BEM = 1350 ⇒ ∆BEC = ∆BEM ⇒ BC = BM Lại có: EC = EM nên BE trung trực CM Khi đó: BE : 3x + y − 11 = ⇒ B ( 3; ) ⇒ AB : x + y − 17 = Gọi E ( t ;11 − 3t ) ta có: ME.CE = t = ⇒ E ( 6; −7 ) ⇔ ( t − )( t − ) + (16 − 3t )(14 − 3t ) = ⇔ t = ⇒ E ( 4; −1) Do B,E phía với CM nên điểm E ( 6; −7 ) bị loại Khi đó: AE : x + y − = Do A = AE ∩ AB ⇒ A ( −4;3) Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2016! TÓM GỌN ĐIỂM 8-9 MÔN TOÁN TRONG KÌ THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG ( ) xy + x − y ( ) xy − + x = y + y Câu 8: Giải hệ phương trình ( x + 1) y + xy + x (1 − x ) = ( ) ( x, y ∈ R ) Lời giải: ĐK: x ≥ 0, y ≥ 0, xy + ( x − y ) Khi (1) ⇔ xy + ( x − y ) • ( ( ) xy − ≥ (*) ) xy − − y + x − y = Với y = (3) trở thành (3) −2 x + x = ⇔ −2 x = x = ⇔ x = Thay vào (2) ta thấy không thỏa mãn ⇒ Loại • Với y > ⇒ T = xy + ( x − y ) Khi (3) ⇔ ⇔ xy + ( x − y ) ( ( ) xy − − y T y ( x − y) + ( x − y) T ( ) xy − + y > B = x + y > xy − + x− y =0 B ) + x − y = ⇔ ( x − y ) y + B xy − + =0 T B (4) + ( x + 1) ( x − x − ) 4 Từ (2) ⇒ y + xy + x − x = ⇒ y + xy − = + x −x−2= x +1 x +1 x +1 x − x + ( x − 1) ( x + ) ⇒ y + xy − = = ≥ 0, ∀x ≥ x +1 x +1 Kết hợp với T , B > ⇒ y + xy − + > nên (4) ⇔ x = y T B Thế vào (2) ta ( x + 1) ( x + x + x − x ) = ⇔ ( x + 1) ( x − x ) + = x = ⇔ x − x − x + = ⇔ ( x − 1) ( x − x − ) = ⇔ x = ± 17 2 x = 1⇒ y = Kết hợp với (*) ta x = + 17 ⇒ y = + 17 2 Đ/s: ( x; y ) = (1;1) , + 17 + 17 ; 2 2 y + 12 y + 25 y + 18 = ( x + ) x + Câu 9: Giải hệ phương trình 2 x + + x − 14 x − = − y − y Giải: Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2016! TÓM GỌN ĐIỂM 8-9 MÔN TOÁN TRONG KÌ THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG −1 x ≥ Điều kiện: (*) 6 − y − y ≥ Xét Phương trình (1) có: (1) ⇔ ( y + y + 12 y + ) + y + = ( x + ) x + + x + ⇔ ( y + 2) + ( y + 2) = ( ) x+4 + x+4 Xét hàm số f (t ) = 2t + t∀t ∈ R có f '(t ) = 6t + > 0∀t ∈ R nên f (t ) hàm đồng biến y ≥ −2 ⇒ y+2= x+4 ⇔ y + 4y + = x + Thế − y − y = − x vào (2) ta có ( ) ⇔ x + + x − 14 x − = − x ⇔ ( ) ( ) x + − + − − x + x − 14 x − = ⇔ −1 + + ( x + 1) > 0, ∀x ≥ ) 3x + + + − x V ới x = ⇒ y + = ⇔ y = ( x − 5) x −5 + ( x − 5)( 3x + 1) = ⇔ x = 3x + + + − x + (Do Đ/s: ( x; y ) = ( 5;1) Câu 10: [Trích đề thi thử trường chuyên ĐHSP - Lần – 2015] Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với AC H 17 29 17 Gọi E ; , F ; , G (1;5 ) trung điểm đoạn thẳng CH , BH AD Tìm tọa độ A 5 5 tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABE Lời giải Do EF đường trung bình ∆HBC nên ta có EF / / BC , mà AG / / BC AG = EF = BC nên AGEF hình bình hành BH ⊥ AC Ta có ⇒ F trực tâm ∆ABE EF ⊥ AB ⇒ AF ⊥ BE ⇒ GE ⊥ BE 17 29 Đường thẳng GE qua E ; G (1;5 ) nên 5 phương trình GE : x − y + 14 = 17 29 Đường thẳng BE qua E ; vuông góc với GE nên đường thẳng BE : x + y − 16 = 5 Ta có AG = FE ⇒ A (1;1) Đường thẳng AB qua A (1;1) vuông góc với EF nên đường thẳng AB : y = Do B = BE ∩ AB ⇒ B ( 5;1) 17 29 Tam giác ABE có A (1;1) , B ( 5;1) , E ; nên có tâm đường tròn ngoại tiếp I ( 3;3) 5 Vậy A (1;1) tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABE I ( 3;3) Câu 11: [Trích đề thi thử THPT Đông Sơn - Lần – 2015] Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( x − 1) + ( y − ) 2 (T ) có phương trình = 25 Các điểm K ( −1;1) , H ( 2;5) chân đường cao hạ từ A, B tam giác ABC Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC biết đỉnh C có hoành độ dương Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2016! TÓM GỌN ĐIỂM 8-9 MÔN TOÁN TRONG KÌ THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Lời giải Kẻ Cx tiếp tuyến đường tròn Do AHB = AKB = 900 nên tứ giác ABKH tứ giác nội tiếp Ta có ACx = ABC CHK = ABC (do tứ giác ABKH nội tiếp) ⇒ ACx = CHK ⇒ Cx / / HK Mà TC ⊥ Cx ⇒ TC ⊥ HK Đường thẳng HK qua H ( 2;5) , K ( −1;1) nên phương trình đường thẳng HK : x − y + = Đường thẳng TC qua T (1; ) vuông góc với đường thẳng HK nên phương trình TC : x + y − 11 = Do C ∈ TC ⇒ C (1 + 4t ; − 3t ) t = ⇒ C ( 5; −1) Mà TC = ⇒ 16t + 9t = 25 ⇔ t = −1 ⇒ C ( −3;5 ) → l Đường thẳng AC qua C ( 5; −1) , H ( 2;5 ) nên phương trình đường thẳng AC : x + y − = Đường thẳng BH qua H ( 2;5 ) vuông góc với đường thẳng AC nên đường thẳng BH : x − y + = Đường thẳng BC qua C ( 5; −1) , K ( −1;1) nên phương trình đường thẳng BC : x + y − = Ta có B = BC ∩ BH ⇒ B ( −4; ) Đường thẳng AK qua K ( −1;1) vuông góc với đường thẳng BC nên đường thẳng AK : x − y + = 31 Ta có A = AC ∩ AK ⇒ A ; 5 31 Vậy A ; , B ( −4; ) , C ( 5; −1) điểm cần tìm 5 Câu 12: [Trích đề thi thử THPT Đào Duy Từ - Thanh Hóa - Lần – 2015] xy − y − = y − x − + y − 3x + Giải hệ phương trình (1 − y ) x − y + ( x − 1) = ( x − y − 1) y Lời giải: ĐK: y ≥ 0; x − y ≥ 0; y − x − ≥ 0; y − x + ≥ Khi đó: PT ( ) ⇔ (1 − y ) ( ) ( ) x − y − + ( x − y − 1) − y = y =1 1 ⇔ (1 − y )( x − y − 1) + =0 ⇔ 2x − y + 1 + y 2 x − = y Với y = vào PT(1) ta có: x − = − x + − x ( ) Với y = x − vào PT(1) ta có: ⇔ x2 − x + x − ( ) x − + − x = x2 − 5x − x − −1 +1 − − x = x −3 x −3 x−2 + = ⇔ ( x − 3) x + + = ⇔ x = ⇒ y = MS1 MS MS MS Vậy nghiệm HPT ( x; y ) = ( 3;5) ⇔ x ( x − 3) + x − ( y − 1) x − y + ( x − y − 1) y + = x Câu 13: Giải hệ phương trình 5 + y − = x + y + x + Lời giải: Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2016! TÓM GỌN ĐIỂM 8-9 MÔN TOÁN TRONG KÌ THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG a = x − y ĐK : x ≥ y ≥ 0; x ≥ Đặt ( a; b ≥ ) PT (1) ⇔ ( b − 1) a + ( a − 1) b + = a + b b = y ⇔ ab + a 2b − a − b + = a + b ⇔ ( ab − 1)( a + b ) = ( a + b ) − 2ab − 2 a = ⇔ x − y = ⇔ ( ab − 1)( a + b ) + 2ab − = ( a + b ) − ⇔ ( a − 1)( b − 1)( a + b + ) = ⇔ b = ⇔ y = Cách 2: PT (1) ⇔ ( x − y − 1) y − ( x − y − 1) = (1 − y ) x − y − (1 − y ) y =1 1 y − ⇔ (1 − y )( x − y − 1) + =0⇔ x − y +1 1+ y x = y +1 x ≤ − 41 +) Với y = ⇒ x + x + = ⇔ ⇔x= x − x + 10 = ⇔ (1 − y ) ( ) x − y − = ( x − y − 1) ( ) +) Với x = y + ta có: + x − = x − + x + (*) ⇔ (3 − x ) = x + − x − = Giải (1) ⇔ 10 x − 12 + (3 − x ) x = ⇔ x+6 +3 x−2 x + + x − = (1) ( x + )( x − ) = 16 ⇔ x + x − 12 = 14 − x 15 2 ≤ x ≤ ⇔ ( ) 16 x − 176 x + 232 = − 41 Vậy nghiệm hệ PT là: ( x; y ) = ;1 ; ( 3; ) Câu 14: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1 : x + y + = 0, d : x − y + = điểm M (1; ) Viết phương trình đường tròn qua M cắt d1 hai điểm A B cho AB = đồng thời tiếp xúc với d Lời giải Gọi I ( a; b ) tâm đường tròn, H trung điểm AB Ta có M (1; ) ∈ d , mà M ∈ ( C ) ⇒ M giao điểm d ( C ) H ∈ d ⇒ H ( a; a + 1) AB = 2 2 ⇒ ( a − 1) + ( a − 1) = 32 ⇔ ( a − 1) = 16 Ta có MH = a = ⇒ H ( 5;6 ) ⇒ a = −3 ⇒ H ( −3; −2 ) Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2016! TÓM GỌN ĐIỂM 8-9 MÔN TOÁN TRONG KÌ THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Các khóa Vệ tinh chuyên sâu mảng Toán khó Moon.vn - Khóa CHINH PHỤC HÌNH PHẲNG OXY - Khóa CHINH PHỤC PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ - Khóa KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT - Khóa KĨ THUẬT SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO - Khóa CHINH PHỤC ĐIỂM 10 MÔN TOÁN Thầy Đặng Việt Hùng Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2016!