Bài giảng phép biến đổi hình học

PHÉP BIẾN ĐỔI HÌNH HỌC CBGD: PGS.TS PHAN ĐÌNH HUẤN - ĐHBK - ĐHQGTPHCM 3.1 Tóm tắt lý thuyết 3.1.1 Phần tử tham chiếu phép biến hình Để đơn giản hóa việc tính toán phần tử thực có hình dạng phức tạp, khái niệm phần tử tham chiếu đưa Phần tử tham chiếu Vr phần tử có hình dạng đơn giản xác định không gian tham chiếu Phần tử tham chiếu chuyển đổi qua phần tử thực cách dùng phép biến đổi hình học τe CBGD: PGS.TS PHAN ĐÌNH HUẤN - ĐHBK - ĐHQGTPHCM Phép biến hình τe có tính chất sau:  τe song ánh cho tất điểm nằm bên nằm biên phần tử CBGD: PGS.TS PHAN ĐÌNH HUẤN - ĐHBK - ĐHQGTPHCM  Các nút hình học phần tử tham chiếu tương ứng với nút hình học phần tử thực  Các đoạn biên phần tử tham chiếu tương ứng với đoạn biên phần tử thực Xét phần tử tham chiếu phần tử thực không gian chiều CBGD: PGS.TS PHAN ĐÌNH HUẤN - ĐHBK - ĐHQGTPHCM Tọa độ điểm bên bên phần tử hai không gian có quan hệ qua biểu thức: n x   N i ( , ,  ).xi i 1 n y   N i ( , ,  ) yi (3.1) i 1 n z   N i ( , ,  ).zi i 1 với (x, y, z), (xi ,yi ,zi ) tọa độ điểm tọa độ nút hình học phần tử thực, Ni ( , ,  ) hàm dạng phần tử tham chiếu CBGD: PGS.TS PHAN ĐÌNH HUẤN - ĐHBK - ĐHQGTPHCM 3.1.2 Ma trận Jacobi Các đạo hàm bậc theo không gian phần tử tham chiếu phần tử thực có quan hệ với theo biểu thức:     x y z                    x      x y z                    y      x y z                    z   x y z          x y z  (3.2) J              x y z         Với [J] ma trận Jacobi phép biến hình CBGD: PGS.TS PHAN ĐÌNH HUẤN - ĐHBK - ĐHQGTPHCM Tương tự ta có mối quan hệ:       x   x            y   y          z   z           x x              y y              z z        x     j   y     z     x x     (3.3) y y      z z  ma trận nghịch đảo ma trận Jacobi: [j]=[J]-1 CBGD: PGS.TS PHAN ĐÌNH HUẤN - ĐHBK - ĐHQGTPHCM 3.2 Bài tập giải sẵn Bài tập Xét phần tử tham chiếu phần tử thực sau: 1/ Viết lại biểu thức (3.1) cho hai phần tử 2/ Kiểm chứng tính chất phép biến hình τ 3/ Xác định ma trận Jacobi Ma trận suy biến trường hợp nào? CBGD: PGS.TS PHAN ĐÌNH HUẤN - ĐHBK - ĐHQGTPHCM Giải 1/ Viết lại biểu thức (3.1) cho hai phần tử Ta có: 3 i 1 i 1 x   Ni ( , ) xi , y   Ni ( , ) yi với N1 ( , )      , N ( , )   , N ( , )   2/ Kiểm chứng tính chất phép biến hình - Ảnh đỉnh (ξ = 0, η=0), (ξ = 1, η=0), (ξ = 0, η=1) đỉnh (x = xi , y = yi ), (x = xj , y = yj ), (x = xk ,y = yk ) Thật vậy, ta có: CBGD: PGS.TS PHAN ĐÌNH HUẤN - ĐHBK - ĐHQGTPHCM x  (1    ) xi   x j   xk , y  (1     ) yi   y j   yk (1) x  0, 0  xi , y Tương tự, ta có:  0, 0  yi x  1,   xj, y  1,   yj x   0, 1  xk , y   0, 1  yk - Ảnh cạnh biên (1- ξ- η = 0), (ξ = 0), (η = 0) Xét biên (1- ξ- η = 0).Thay 1- ξ- η = vào (1) , ta được: x   x j   xk , y   y j   yk (2) Phương trình (2) tuyến tính theo ξ, η phụ thuộc vào tọa đô hai nút nằm biên xj ,yj ,xk yk Tương tự cho biên (ξ = 0), (η = 0) CBGD: PGS.TS PHAN ĐÌNH HUẤN - ĐHBK - ĐHQGTPHCM  x   3/ Ma trận Jacobi Thay (1) vào ma trận Jacobi [ J ]    x    y     ,ta được: y     x j  xi y j  yi  [J ]    x  x y  y k i  k i  det[ J ]  ( x j  xi )( yk  yi )  ( xk  xi )( y j  yi )  A với A diện tích tam giác (i, j, k) Do vậy, định thức ma trận Jacobi không ba đỉnh i, j, k phần tử thực thẳng hàng CBGD: PGS.TS PHAN ĐÌNH HUẤN - ĐHBK - ĐHQGTPHCM Bài tập Xét phần tử tứ giác nút hai không gian tham chiếu không gian thực hình sau Tìm ảnh điểm B (0, ) CBGD: PGS.TS PHAN ĐÌNH HUẤN - ĐHBK - ĐHQGTPHCM Giải Hàm dạng phần tử tứ giác nút không gian tham chiếu: 1 (1   )(1   )  N1 (0, )  1 N ( , )  (1   )(1   )  N (0, )  1 N ( , )  (1   )(1   )  N (0, )  1 N ( , )  (1   )(1   )  N (0, )  N1 ( , )  Ảnh B’ điểm B nội suy từ biểu thức 1 3 x  N1 x1  N x2  N3 x3  N x4      8 8 1 3 y  N1 y1  N y2  N3 y3  N y4      2, 75 8 8 nghĩa ta có B’(3; 2,75) CBGD: PGS.TS PHAN ĐÌNH HUẤN - ĐHBK - ĐHQGTPHCM Bài tập Xét phần tử tam giác nút không gian tham chiếu không gian thực hình sau: 1/ Xác định tọa độ điểm A’, ảnh điểm A(ξ = 1/3, η = 1/3) 2/ Tìm ma trận Jacobi phép biến đổi hình học điểm A CBGD: PGS.TS PHAN ĐÌNH HUẤN - ĐHBK - ĐHQGTPHCM Giải 1/ Ảnh điểm A Ta có: 3 i 1 i 1 x   Ni ( , ) xi , y   Ni ( , ) yi (1) với N1(ξ, η ) =1- ξ- η, N2(ξ, η ) = ξ, N3(ξ, η ) = η Thay x1 = 2, y1 = 2, x2 = 5, y2 =3, x3 = 4, y3 = 5, ξ = 1/3, η = 1/3 vào (1), ta được: xA’ = 11/3, yA’ = 10/3  x   Ma trận Jacobi có dạng tổng quát: [ J ]    x    2/ Ma trận Jacobi y     y    CBGD: PGS.TS PHAN ĐÌNH HUẤN - ĐHBK - ĐHQGTPHCM   J11  ( N1 x1  N x2  N x3 )  1                J12  ( N1 y1  N y2  N y3 )  1          5      J 21  ( N1 x1  N x2  N x3 )  1                J 22  ( N1 y1  N y2  N y3 )  1          5     1  [J ]      CBGD: PGS.TS PHAN ĐÌNH HUẤN - ĐHBK - ĐHQGTPHCM Bài tập Xét phần tử tứ giác nút hai không gian tham chiếu không gian thực hình sau: Nút 1: x1 = 2, y1 = 1; Nút 2: x2 = 5, y2 = Nút 3: x3 = 3, y3 = 5; Nút 4: x4 = 1, y4 = 1/ Tìm ảnh điểm A(ξ = 0,2; η = 0,6) 2/ Hãy: a/ Viết biểu thức tổng quát ma trận Jacobi b/ Xác định ma trận Jacobi điểm B( - 0,57735; - 0,57735) CBGD: PGS.TS PHAN ĐÌNH HUẤN - ĐHBK - ĐHQGTPHCM 1/ Ảnh điểm A Các hàm dạng phần tử tứ giác nút không gian tham chiếu: 1   ,    1   1   ,   ,    1   1   , 4 1   ,    1   1   ,  4 ,    1   1    4 Tọa độ điểm A’, ảnh điểm A xác định qua biểu thức sau: x A '  1    ,     x1      ,     x2      ,     x3      ,     x4 y A '  1    ,     y1      ,     y2      ,     y3      ,     y4  x '  2,52; y '  CBGD: PGS.TS PHAN ĐÌNH HUẤN - ĐHBK - ĐHQGTPHCM 2/ Ma trận Jacobi a/ Biểu thức tổng quát Quan hệ tọa độ điểm phần tử tham chiếu phần tử thực thể qua biểu thức: 1   1   x1  1   1   x2  1   1   x3  1   1   x4 4 4 1 1 y  1   1    y1  1   1    y  1   1    y3  1   1    y 4 4 x Biểu thức tổng quát ma trận Jacobi:  J11 J12   J  J J   21 22  CBGD: PGS.TS PHAN ĐÌNH HUẤN - ĐHBK - ĐHQGTPHCM (1) 1 1 J11   1    x1  1    x2  1    x3  1    x4 4 4 1 1 J12   1    y1  1    y2  1    y3  1    y4 4 4 1 1 J 21   1    x1  1    x2  1    x3  1    x4 4 4 1 1 J 22   1    y1  1    y2  1    y3  1    y4 4 4 b/ Ma trận Jacobi điểm (ξ = - 0,57735; η = - 0,57735 ) Thay giá trị ξ, η, x1, y1, x2, y2, x3, y3, x4, y4 vào biểu thức (1) ta được:  1,39434 J    - 0,60566 0,50000  1,50000  CBGD: PGS.TS PHAN ĐÌNH HUẤN - ĐHBK - ĐHQGTPHCM [...]...  3  3  2, 75 8 8 8 8 nghĩa là ta có B’(3; 2,75) CBGD: PGS.TS PHAN ĐÌNH HUẤN - ĐHBK - ĐHQGTPHCM Bài tập 3 Xét phần tử tam giác 3 nút trong không gian tham chiếu và không gian thực như ở hình sau: 1/ Xác định tọa độ điểm A’, ảnh của điểm A(ξ = 1/3, η = 1/3) 2/ Tìm ma trận Jacobi của phép biến đổi hình học tại điểm A CBGD: PGS.TS PHAN ĐÌNH HUẤN - ĐHBK - ĐHQGTPHCM Giải 1/ Ảnh điểm A Ta có: 3 3 i 1 i... giác (i, j, k) Do vậy, định thức ma trận Jacobi bằng không khi ba đỉnh i, j, k của phần tử thực thẳng hàng CBGD: PGS.TS PHAN ĐÌNH HUẤN - ĐHBK - ĐHQGTPHCM Bài tập 2 Xét phần tử tứ giác 4 nút trong hai không gian tham chiếu và không gian thực như ở hình sau 1 Tìm ảnh của điểm B (0, ) 2 CBGD: PGS.TS PHAN ĐÌNH HUẤN - ĐHBK - ĐHQGTPHCM Giải Hàm dạng của phần tử tứ giác 4 nút trên không gian tham chiếu: 1...  J 22  ( N1 y1  N 2 y2  N 3 y3 )  1      2   3   5  3    3 1  [J ]    2 3   CBGD: PGS.TS PHAN ĐÌNH HUẤN - ĐHBK - ĐHQGTPHCM Bài tập 4 Xét phần tử tứ giác 4 nút trong hai không gian tham chiếu và không gian thực như ở hình sau: Nút 1: x1 = 2, y1 = 1; Nút 2: x2 = 5, y2 = 2 Nút 3: x3 = 3, y3 = 5; Nút 4: x4 = 1, y4 = 4 1/ Tìm ảnh của điểm A(ξ = 0,2; η = 0,6) 2/ Hãy: a/ Viết ... gian tham chiếu Phần tử tham chiếu chuyển đổi qua phần tử thực cách dùng phép biến đổi hình học τe CBGD: PGS.TS PHAN ĐÌNH HUẤN - ĐHBK - ĐHQGTPHCM Phép biến hình τe có tính chất sau:  τe song ánh... ĐHQGTPHCM Bài tập Xét phần tử tam giác nút không gian tham chiếu không gian thực hình sau: 1/ Xác định tọa độ điểm A’, ảnh điểm A(ξ = 1/3, η = 1/3) 2/ Tìm ma trận Jacobi phép biến đổi hình học điểm... Bài tập giải sẵn Bài tập Xét phần tử tham chiếu phần tử thực sau: 1/ Viết lại biểu thức (3.1) cho hai phần tử 2/ Kiểm chứng tính chất phép biến hình τ 3/ Xác định ma trận Jacobi Ma trận suy biến