Bài giảng phép nội suy

PHÉP NỘI SUY CBGD: PGS.TS PHAN ĐÌNH HUẤN - ĐHBK - ĐHQGTPHCM 4.1 Tóm tắt lý thuyết 4.1.1 Nội suy đại lượng vật lý Gọi ui đại lượng vật lý liên kết với nút i Giá trị đại lượng vật lý điểm phần tử nội suy sau: Trên phần tử tham chiếu n nút, ta có: n u( , ,  )   Ni ( , ,  )ui (4.1) i 1 với Ni (ξ, η, ς) hàm nội suy không gian tham chiếu CBGD: PGS.TS PHAN ĐÌNH HUẤN - ĐHBK - ĐHQGTPHCM Trên phần tử tham thực n nút, ta có: n u( x, y, z )   Ni ( x, y, z )ui (4.2) i 1 với Ni (x, y, z) hàm nội suy không gian thực Ghi chú: - Hàm nội suy Ni xác định có tính chất giống hàm dạng N i chương - Gọi uA (ξ, η, ς) giá trị đại lượng vật lý nội suy từ giá trị biến nút ui phần tử tham chiếu, uA’ (x, y, z) giá trị đại lượng vật lý nội suy từ giá trị biến nút ui phần tử thực CBGD: PGS.TS PHAN ĐÌNH HUẤN - ĐHBK - ĐHQGTPHCM Nếu A A’ ảnh phép biến đổi hình học hai không gian thực không gian tham chiếu, ta có: uA (ξ, η, ς) = uA’ (x, y ,z) (4.3) 4.1.2 Tính liên tục - Liên tục C0 Xét điều kiện liên tục hàm u(X) biên phần tử thực Hàm nội suy từ biến nút qua biểu thức:  u1  u   2 u ( X )  N1 ( X ) N ( X ) N n ( X )     un  CBGD: PGS.TS PHAN ĐÌNH HUẤN - ĐHBK - ĐHQGTPHCM Các tích số Ni (X)ui phải không ui biến nút liên kết với nút biên xét Nói khác đi, Ni (X) = X nằm biên xét ui biến nút biên Tương tự, cho phần tử tham chiếu: Ni (ξ) = ξ nằm biên xét ui biến nút biên - Liên tục C1 u ( X ) Xét điều kiện liên tục đạo hàm X biên phần tử thực Đạo hàm nội suy từ biến nút qua biểu thức:  u1  u  N n ( X )   N1 ( X ) N ( X ) u ( X )    X X X X   un  CBGD: PGS.TS PHAN ĐÌNH HUẤN - ĐHBK - ĐHQGTPHCM Do vậy, N i ( X )  X nằm biên xét X ui biến nút biên Tương tự cho phần tử tham chiếu Xét phần tử tham chiếu hai chiều Điều kiện để biểu thức Ni  Ni   0  X  X ξ nằm biên xét ui biến nút biên CBGD: PGS.TS PHAN ĐÌNH HUẤN - ĐHBK - ĐHQGTPHCM 4.2 Bài tập giải sẵn Bài tập Dùng tam giác Pascal, viết biểu thức tổng quát hàm nội suy cho phần tử sau: CBGD: PGS.TS PHAN ĐÌNH HUẤN - ĐHBK - ĐHQGTPHCM Giải Với tam giác Pascal CBGD: PGS.TS PHAN ĐÌNH HUẤN - ĐHBK - ĐHQGTPHCM Biểu thức tổng quát hàm nội suy - phần tử tuyến tính có dạng   C1  C2 x  C3 y - phần tử bậc hai có dạng   C1  C2 x  C3 y  C4 x  C5 xy  C6 y 2 -phần tử bậc ba có dạng   C1  C2 x  C3 y  C4 x  C5 xy  C6 y  C7 x  C8 x y  C9 xy  C10 y 2 CBGD: PGS.TS PHAN ĐÌNH HUẤN - ĐHBK - ĐHQGTPHCM Bài tập Xét phần tử tứ giác nút hệ tọa độ xy hình hình vẽ Nhiệt độ tính nút T1 = 1000 , T2 = 600 , T3 = 500 , T4 = 900 Hãy nội suy nhiệt độ điểm A có tọa độ x = 2,5 y = 2,5 Giải CBGD: PGS.TS PHAN ĐÌNH HUẤN - ĐHBK - ĐHQGTPHCM Trong trường hợp gốc tọa độ nằm nút 1, biểu thức hàm dạng là: a  x  b  y   N ( x, y )  ,N x b  y  ( x, y )  ab ab y a  x xy N ( x, y )  , N ( x, y )  ; a  2, b  ab ab Tọa độ tương đối A so với nút 1: xA  Thay (2) vào (1), ta có: a b , yA  a b a b a b a b N1  ,   , N2  ,   , N3  ,   , N4  ,    2 4 2 4  4  Nhiệt độ điểm A: 1 TA  N1T1  N2 T2  N3 T3  N4 T4  100  60  50  90 8 8  TA  850 CBGD: PGS.TS PHAN ĐÌNH HUẤN - ĐHBK - ĐHQGTPHCM (1) (2) Bài tập Xét phần tử tam giác nút với tọa độ nút x1 = 200; y1 = 200; x2 = 400; y2 = 200; x3 = 400; y3 = 400 Các chuyển vị nút (mm) u1 = - 0,0100; v1 = 0,1000; u2 = 0,0200; v2 = 0,1000; u3 = - 0,0200; v3 = 0,2000 với ui vi thành phần chuyển vị theo phương x y Hãy xác định chuyển vị điểm A(300, 250) CBGD: PGS.TS PHAN ĐÌNH HUẤN - ĐHBK - ĐHQGTPHCM Giải Chuyển vị điểm (x, y) phần tử: 3 u( x, y)   Ni ( x, y).ui , v( x, y)   Ni ( x, y).vi i 1 i 1 (1) với Ni hàm nội suy nút thứ i: x2 y3  x3 y2  x( y2  y3 )  y ( x3  x2 ) N1 ( x, y )  ( x2 y3  x3 y2  x1 y3  x1 y2  x3 y1  x2 y1 ) (2) N ( x, y )  x2 y1  x1 y3  x( y3  y1 )  y ( x1  x3 ) ( x2 y3  x3 y2  x1 y3  x1 y2  x3 y1  x2 y1 ) (3) N ( x, y )  x1 y2  x2 y1  x( y1  y2 )  y ( x2  x1 ) ( x2 y3  x3 y2  x1 y3  x1 y2  x3 y1  x2 y1 ) (4) Thay (2), (3), (4) giá trị xA , yA , ui , vi , i = 1, 2, vào (1), ta được: u (300, 250) = - 0,015 mm, v(300, 250) = 0,125 mm CBGD: PGS.TS PHAN ĐÌNH HUẤN - ĐHBK - ĐHQGTPHCM Bài tập Các chuyển vị nút toán chịu lực phẳng có giá trị (mm): u1 v1 u2 0,05 v2 u3 v3 0,05 -0,009 u4 Hãy xác định chuyển vị, biến dạng ứng suất điểm A Biết vật liệu có mô đun đàn hồi young E = 200000 Mpa, hệ số Poisson v = 0.3 CBGD: PGS.TS PHAN ĐÌNH HUẤN - ĐHBK - ĐHQGTPHCM v4 -0,009 Giải - Chuyển vị Chuyển vị điểm phần tử nội suy qua biểu thức: 5 ux, y   N i x, y.u i , v x, y   N i x, y.v i (1) i 1 với  x, y    x, y   i 1 1 x - 250 y - 150 ,  x, y    x y - 150  37500 37500 1 x y,  x, y    x - 150  y 37500 37500 Thay x = 125, y = 62,5 giá trị chuyển vị nút ui , vi vào (1), ta chuyển vị điểm A: uA = 0,025 mm, vA = -0,00375 mm CBGD: PGS.TS PHAN ĐÌNH HUẤN - ĐHBK - ĐHQGTPHCM - Biến dạng Các biến dạng có cách lấy đạo hàm biểu thức (1): u 1 1  y  150  u   y  150  u  x   y u3  y u4 x 37500 37500 37500 37500 y  v x  250  v1  x v  x v  x  250  v  y 37500 37500 37500 37500  xy  u v  y x 1 1  x u2  x u3   x  250  u1   x  250  u 37500 37500 37500 37500  1 1 y  250 v  y  150 v  y v  y v4     37500 37500 37500 37500 CBGD: PGS.TS PHAN ĐÌNH HUẤN - ĐHBK - ĐHQGTPHCM Thay giá trị x, y ui vào biểu thức biến dạng, ta được:   x  0, 0002    y  0, 00006    xy - Ứng suất Áp dụng định luật Hooke, ta có:   x   D11 D12    x          y   D12 D 22    y        D 33   xy   xy   CBGD: PGS.TS PHAN ĐÌNH HUẤN - ĐHBK - ĐHQGTPHCM với ma trận độ cứng vật liệu:     v  v  D    1 v     v  v2   v2         1  v   0  219780, 22 65934, 07   MPa   D    65934, 07 219780, 22   0 76923, 08    x  40         y     MPa      xy    CBGD: PGS.TS PHAN ĐÌNH HUẤN - ĐHBK - ĐHQGTPHCM Bài tập Xét phần tử tam giác nút không gian thực hình sau: CBGD: PGS.TS PHAN ĐÌNH HUẤN - ĐHBK - ĐHQGTPHCM Giải - Phương pháp 1: nội suy phần tử thực: Các hàm nội suy có dạng: x y3  x y   x y  y3   yx  x   (x, y)  2 x y1  x y3   x y  y1   y x  x   (x, y)  2 x y  x y1   x y1  y   yx  x   (x, y)  2 với A diện tích tam giác 1-2-3: 1 A  det  x1  y1 x2 y2 1 x3  y3  CBGD: PGS.TS PHAN ĐÌNH HUẤN - ĐHBK - ĐHQGTPHCM Với x1 = 2, y1 = 2, x2 = 7, y2 = 1, x3 = 5, y3 = 4, x = 5, y = 2, hàm nội suy A có giá trị: N1  5,   , N  5,   , N  5,   13 13 13 Nhiệt độ điểm A nội suy qua biểu thức: TA  N1T1  N 2T2  N 3T3  50  60  70  59, 230 13 13 13 - Phương pháp 2: nội suy phần tử tham chiếu Nội dung phương pháp nội suy ảnh điểm xét phần tử tham chiếu Tọa độ ảnh A’ suy cách giải hệ phương trình: CBGD: PGS.TS PHAN ĐÌNH HUẤN - ĐHBK - ĐHQGTPHCM 3   i i 1 3   i  i 1  ,   x1  x  ,   yi  y 1      x1  1      y1  5  3      2    x y  x3  y       ,   13 13 CBGD: PGS.TS PHAN ĐÌNH HUẤN - ĐHBK - ĐHQGTPHCM x y Nhiệt độ điểm A nhiệt độ điểm A’:  ,   1     1   2   3     '  3    ,   59, 230  13 13  CBGD: PGS.TS PHAN ĐÌNH HUẤN - ĐHBK - ĐHQGTPHCM TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Phan Đình Huấn, Bài tập phương pháp phần tử hữu hạn tập 1, Nhà xuất Thành Phố Hồ Chí Minh, 2007 CBGD: PGS.TS PHAN ĐÌNH HUẤN - ĐHBK - ĐHQGTPHCM [...]... x = 5, y = 2, các hàm nội suy tại A có giá trị: 4 6 3 N1  5, 2   , N 2  5, 2   , N 3  5, 2   13 13 13 Nhiệt độ tại điểm A được nội suy qua biểu thức: 4 6 3 TA  N1T1  N 2T2  N 3T3  50  60  70  59, 230 13 13 13 - Phương pháp 2: nội suy trên phần tử tham chiếu Nội dung của phương pháp là nội suy tại ảnh của điểm đang xét trên phần tử tham chiếu Tọa độ ảnh A’ được suy ra bằng cách giải... x  40         y    0  MPa    0   xy    CBGD: PGS.TS PHAN ĐÌNH HUẤN - ĐHBK - ĐHQGTPHCM Bài tập 5 Xét phần tử tam giác 3 nút trong không gian thực như ở hình sau: CBGD: PGS.TS PHAN ĐÌNH HUẤN - ĐHBK - ĐHQGTPHCM Giải - Phương pháp 1: nội suy trên phần tử thực: Các hàm nội suy có dạng: 1 x 2 y3  x 3 y 2   x y 2  y3   yx 3  x 2   1 (x, y)  2 1 x 3 y1  x 1 y3  ... - ĐHQGTPHCM Bài tập 4 Các chuyển vị nút của bài toán tấm chịu lực phẳng có giá trị (mm): u1 0 v1 0 u2 0,05 v2 0 u3 v3 0,05 -0,009 u4 0 Hãy xác định chuyển vị, biến dạng và ứng suất tại điểm A Biết vật liệu tấm có mô đun đàn hồi young E = 200000 Mpa, hệ số Poisson v = 0.3 CBGD: PGS.TS PHAN ĐÌNH HUẤN - ĐHBK - ĐHQGTPHCM v4 -0,009 Giải - Chuyển vị Chuyển vị tại 1 điểm của phần tử được nội suy qua biểu... điểm A(300, 250) CBGD: PGS.TS PHAN ĐÌNH HUẤN - ĐHBK - ĐHQGTPHCM Giải Chuyển vị tại một điểm (x, y) của phần tử: 3 3 u( x, y)   Ni ( x, y).ui , v( x, y)   Ni ( x, y).vi i 1 i 1 (1) với Ni là hàm nội suy tại nút thứ i: x2 y3  x3 y2  x( y2  y3 )  y ( x3  x2 ) N1 ( x, y )  ( x2 y3  x3 y2  x1 y3  x1 y2  x3 y1  x2 y1 ) (2) N 2 ( x, y )  x2 y1  x1 y3  x( y3  y1 )  y ( x1  x3 ) ( x2 y3...  ,    4 2 8 4 2 8 4 2  8 4 2  8 Nhiệt độ tại điểm A: 3 1 1 3 TA  N1T1  N2 T2  N3 T3  N4 T4  100  60  50  90 8 8 8 8  TA  850 CBGD: PGS.TS PHAN ĐÌNH HUẤN - ĐHBK - ĐHQGTPHCM (1) (2) Bài tập 3 Xét phần tử tam giác 3 nút với tọa độ các nút x1 = 200; y1 = 200; x2 = 400; y2 = 200; x3 = 400; y3 = 400 Các chuyển vị nút (mm) u1 = - 0,0100; v1 = 0,1000; u2 = 0,0200; v2 = 0,1000; u3 = - 0,0200;... là nhiệt độ tại điểm A’:  ,   1     1   2   3     '  6 3    ,   59, 230  13 13  CBGD: PGS.TS PHAN ĐÌNH HUẤN - ĐHBK - ĐHQGTPHCM TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Phan Đình Huấn, Bài tập phương pháp phần tử hữu hạn tập 1, Nhà xuất bản Thành Phố Hồ Chí Minh, 2007 CBGD: PGS.TS PHAN ĐÌNH HUẤN - ĐHBK - ĐHQGTPHCM ... hàm nội suy A có giá trị: N1  5,   , N  5,   , N  5,   13 13 13 Nhiệt độ điểm A nội suy qua biểu thức: TA  N1T1  N 2T2  N 3T3  50  60  70  59, 230 13 13 13 - Phương pháp 2: nội suy. .. ĐHBK - ĐHQGTPHCM Bài tập Xét phần tử tam giác nút không gian thực hình sau: CBGD: PGS.TS PHAN ĐÌNH HUẤN - ĐHBK - ĐHQGTPHCM Giải - Phương pháp 1: nội suy phần tử thực: Các hàm nội suy có dạng: x... hàm nội suy không gian thực Ghi chú: - Hàm nội suy Ni xác định có tính chất giống hàm dạng N i chương - Gọi uA (ξ, η, ς) giá trị đại lượng vật lý nội suy từ giá trị biến nút ui phần tử tham chiếu,