LIÊN THÔNG FINSLER Hình học và Tôpô

Lý do chọn đề tài Hình học vi phân của các mặt trong không gian Ơclit ba chiều đã được nghiên cứu từ nửa cuối thế kỷ XIX với những công trình nghiên cứu của Gauss, Christoffel.. Chọn đ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS KHU QUỐC ANH

Thành phố Hồ Chí Minh – 2008

LỜI CẢM ƠN

Đầu tiên tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy TS Khu Quốc Anh, trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội đã từng bước hướng dẫn, động viên và giúp đỡ tôi làm quen với “Liên thông Finsler” để từng bước tiến tới nắm vững

lý thuyết về “Liên thông Finsler” và tự giải quyết bài toán của mình

Tôi xin gởi lời cảm ơn đến quý Thầy, Cô trong hội đồng chấm luận văn đã dành thời gian đọc, chỉnh sửa và đóng góp ý kiến giúp tôi hoàn thành luận văn này một cách hoàn chỉnh

Tôi xin chân thành cảm ơn các Thầy trong tổ hình học, Khoa Toán-Tin Trường Đại Học Sư Phạm TP Hồ Chí Minh đã giúp đỡ tôi nâng cao trình độ chuyên môn và phương pháp làm việc đạt hiệu quả trong suốt quá trình học cao học

Chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, Phòng Tổ chức Hành Chánh, Phòng Khoa Học Công Nghệ và Sau Đại Học, Phòng Kế hoạch-Tài chính Trường Đại Học Sư Phạm Tp Hồ Chí Minh đã động viên, giúp đỡ, tạo điều kiện cho tôi hoàn thành luận văn này

Xin chân thành cảm ơn UBND Tỉnh Tây Ninh, Ban Giám Hiệu và tập thể tổ toán Trường THPT Hoàng Văn Thụ đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành luận văn này

MỤC LỤC

Trang phụ bìa 1

Lời cảm ơn 2

Mục lục 3

MỞ ĐẦU 9

Chương 1: CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 11

1.1 Không gian Tenxơ 11

1.1.1 Không gian vectơ thực n-chiều 11

1.1.2 Không gian tenxơ kiểu (r,s) r s V 12

1.1.3 Trường vectơ tiếp xúc X trên đa tạp khả vi M 12

1.1.4 Trường vectơ song song S(u) 13

1.1.5 Mệnh đề 14

1.2 Nhóm tuyến tính tổng quát G GL n ( , ) 14

1.2.1 Phép tự đẳng cấu trong L 14 g 1.2.2 Biểu diễn liên hợp của g 15

1.2.3 Tích Lie của các trường vectơ tiếp xúc 15

1.2.4 Dạng vi phân trên đa tạp khả vi M 16

1.3 Tác động của G lên r s V 17

1.3.1 Tác động của G lên không gian vectơ thực n-chiều 17

1.3.2 Tác động của G lên không gian vectơ đối ngẫu 17

1.3.3 Tác động của G lên r

s

V 18

1.3.4 Trường vectơ cơ bản V(A) trên r s V 18

1.3.5 Tác động  của L(G) lên r s V 19

1.3.6 Tính chất 19

1.3.7 Ví dụ 19

1.4 Phân thớ các mục tiêu L(M) 20

1.4.1 Định nghĩa phân thớ các mục tiêu L(M) 20

1.4.2 Biểu thức tọa độ trên không gian toàn phần L 20

1.4.3 Không gian con thẳng đứng v z L 21

1.4.4 Trường vectơ cơ bản Z(A)trên L 21

1.5 Phân thớ Tenxơ tiếp xúc 22

1.5.1 Phân thớ tenxơ tiếp xúc 22

1.5.2 Biểu thức tọa độ trên r s T 23

1.5.3 Không gian con thẳng đứng trên r s T 23

1.5.4 Ánh xạ thừa nhận được Ánh xạ liên kết 24

1.5.5 Nhận xét 24

1.6 Trường Tenxơ 25

1.6.1 Trường tenxơ trên đa đạp khả vi M 25

1.6.2 Dạng cơ bản  trên L 27

1.6.3 Tính chất 27

1.7 Liên thông tuyến tính 28

1.7.1 Liên thông tuyến tính  trên đa tạp khả vi M 28

1.7.2 Dạng liên thông  của  29

1.7.3.Tính chất của  29

1.7.4 Đường cong nằm ngang 29

1.7.5 Trường vectơ nằm ngang B(v)trên L 30

1.7.6 Tính chất của B(v) 30

1.7.7 Vi phân thuận biến Đạo hàm thuận biến 31

1.7.8 Tích Lie của các trường vectơ tiếp xúc 31

1.7.9 Liên thông liên kết với  32

1.7.10 Tính chất của liên thông liên kết 32

Chương 2: LIÊN THÔNG FINSLER 34

2.1 Phân thớ Finsler 34

2.1.1 Phân thớ Finsler F(M) 34

2.1.2 Không gian con thẳng đứng v u F của F 35 u 2.1.3 Trường vectơ cơ bản Z(A) trên F 35

2.1.4 Mệnh đề 1 36

2.1.5 Nhận xét 37

2.1.6 Không gian con tựa thẳng đứng q u F 37

2.1.7 Định nghĩa hàm  38

2.1.8 Mệnh đề 2 38

2.2 Các dạng Tenxơ Finsler 40

2.2.1 Trường tenxơ Finsler 40

2.2.2 Biểu thức tọa độ trên F 41

2.2.3 Định nghĩa 42

2.2.4 Tính chất 42

2.3 Liên thông thẳng đứng 42

2.3.1 Không gian con thẳng đứng cảm sinh i u F 42

2.3.2 Trường vectơ cơ bản cảm sinh Y(v) trên F 43

2.3.3 Mệnh đề 1 43

2.3.4 Mệnh đề 2 44

2.3.5 Phân thớ Finsler con của F(M) 45

2.3.6 Liên thông thẳng đứng v trong F 46

2.3.7 Liên thông dẹt thẳng đứng 47

2.3.8 Trường vectơ v-cơ bản B (v) của v v 47

2.3.9 Trường tenxơ Cartan C 48

2.4 Liên thông trong phân thớ Finsler 49

2.4.1 Liên thông  trong phân thớ Finsler 49

2.4.2 Liên thông thẳng đứng liên kết v 50

2.4.3 Liên thông tầm thường t trong F 50

2.4.4 Định lý 52

2.5 Liên thông phi tuyến và V-liên thông 52

2.5.1 Liên thông phi tuyến N 52

2.5.2 Dạng v-cơ bản v 53

2.5.3 V-liên thông  53 V 2.5.4 Dạng V-liên thông của  54 V 2.5.5 Trường vectơ V-cơ bản B (v )(v) 1 trên L 55

2.5.6 Liên thông phi tuyến N 56 *

2.5.7 Liên thông phi tuyến liên kết với  57 V 2.6 Liên thông Finsler 57

2.6.1 Liên thông Finsler 57

2.6.2 Phần v-nằm ngang và h-nằm ngang của  58

2.6.3 Cặp Finsler  h, v trong F(M) 59

2.6.4 Định lý 1 59

2.6.5 Trường vectơ h-cơ bản B (v) 61 h 2.6.6 Mệnh đề 62

2.6.7 Trường tenxơ lệch D của liên thông Finsler F 63

2.6.8 V-liên thông liên kết  của F 63 V 2.6.9 Định nghĩa bộ ba Finsler 64

2.6.10 Định lý 2 65

2.6.11 Dạng liên thông  của  67

2.6.12 Liên thông Finsler tầm thường tF 68

2.6.13 Định lý 4 68

2.7 Phép chuyển dời song song 70

2.7.1 Phân thớ tenxơ Finsler kiểu (r,s) trên đa tạp khả vi 70

2.7.2 Định nghĩa 1 72

2.7.3 Mệnh đề 1 73

2.7.4 Định nghĩa 2 73

2.7.5 Định nghĩa 3 74

2.7.6 Định nghĩa 4 75

2.8 Các tham số liên thông 75

KẾT LUẬN 80

TÀI LIỆU THAM KHẢO 82

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Hình học vi phân của các mặt trong không gian Ơclit ba chiều đã được nghiên cứu từ nửa cuối thế kỷ XIX với những công trình nghiên cứu của Gauss, Christoffel Phép tính tenxơ đã được nghiên cứu vào những năm 1900 qua các công trình của Ricci và Levi-Civita Để nghiên cứu sự biến thiên của các trường vectơ, các trường tenxơ trên mặt nói riêng và trên đa tạp nói chung người ta cần dựa vào phép tịnh tiến song song Trong không gian afin phép tịnh tiến song song được định nghĩa một cách trực quan và dễ dàng Tuy nhiên, trên các mặt nói riêng và trên các đa tạp khả vi nói chung việc định nghĩa phép chuyển dời song song không hề đơn giản Để giải quyết vấn đề này thì lý thuyết liên thông ra đời Người đầu tiên trình bày khái niệm chuyển dời song song đối với các mặt là Levi-Civita (năm 1917) Đến năm 1918 qua những công trình nghiên cứu của mình, nhà toán học Đức Paul Finsler (1894-1970) đã cho ra đời “Hình học Finsler” theo quan điểm của toán học cổ điển

và đến năm 1934 E.Cartan là người đầu tiên nghiên cứu hình học Finsler theo quan điểm của toán học hiện đại Hình học Finsler được xem như là sự mở rộng của hình học Riemann Ngay từ khi ra đời, hình học Finsler đã được nhiều nhà toán học quan tâm như: E Cartan, V Barthel, H Rund, S.S Chern, M.Matsumoto,…và trở thành một hướng nghiên cứu quan trọng của hình học

vi phân hiện đại và phát triển mạnh mẽ cho đến ngày nay Trong những năm gần đây, metric Finsler đã được nghiên cứu và sử dụng rộng rãi chẳng những trong hình học vi phân mà còn cả trong giải tích phức hiện đại, tôpô vi phân,

lý thuyết số, Chọn đề tài về liên thông Finsler, một lĩnh vực của hình học Finsler chúng tôi muốn tìm hiểu sâu hơn về hình học vi phân đã được học ở đại học

2 Mục đích

Luận văn này nghiên cứu và chứng minh một cách đầy đủ một số định

lý và mệnh đề chủ yếu về Liên thông Finsler

3 Đối tượng và nội dung nghiên cứu

Trong luận văn này, tôi nghiên cứu 3 định nghĩa tương đương về liên

thông Finsler, một số định lý và mệnh đề chủ yếu nhất

4 Ý nghĩa khoa học thực tiễn

Kết quả của luận văn này tạo ra những cơ sở mở đầu để nghiên cứu về

Liên thông Finsler Thông qua đó, nó giúp ta tìm hiểu sâu hơn về hình học vi

phân đã được học ở đại học

5 Cấu trúc luận văn

Luận văn gồm có 2 chương

Chương 1: Các kiến thức chuẩn bị

Giới thiệu các khái niệm cơ bản về không gian tenxơ, nhóm tuyến tính

tổng quát G GL n ( , ), phân thớ các mục tiêu L(M), phân thớ tenxơ tiếp

xúc, trường tenxơ, liên thông tuyến tính trên đa tạp khả vi

Chương 2: Liên thông Finsler

Trình bày liên thông Finsler và đi đến kết luận: có 3 định nghĩa tương đương về liên thông Finsler:

+ F  ( , )N

+ F    h, v 

+ F   V , ,N v 

Chương 1: CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ1.1 KHÔNG GIAN TENXƠ

1.1.1 Không gian vectơ thực n-chiều Biểu thức tọa độ của vectơ

Gọi V là không gian vectơ thực n-chiều và  e a a1,2, ,n

v v e v



  Ứng với cơ sở  e a

của V ta thu được ánh xạ V  n ,v  v a , do đó V được xem như là một

đa tạp khả vi n-chiều và tập  v a được gọi là tọa độ của v đối với cơ sở  e a

Ta ký hiệu V1o hay V là không gian vectơ đối ngẫu của V Giá trị *

của v*V * tại v V được biểu thị dưới dạng  v v, *  và được gọi là tích trong của v và v Không gian V ban đầu cũng được xem là không gian đối *

ngẫu của V sao cho với * v V ta có ánh xạ tuyến tính V * ,v* v v, * Tập hợp n phần tử e aV *, a1,2, , là một cơ sở của n V , ký hiệu là *

 e a với e được xác định bởi phương trình a  ,  0,

a b  n Khi đó,  e a được gọi là cơ sở đối ngẫu với  e a Theo cơ sở

 e , bất kỳ vectơ a v*V * được biểu thị duy nhất dưới dạng

1.1.2 Không gian tenxơ kiểu (r,s) V Biểu thức tọa độ của các Tenxơ s r

Cho r, s là các số nguyên dương hoặc bằng 0 (r, s không đồng thời bằng không), một tenxơ kiểu (r,s) w là một ánh xạ đa tuyến tính

b b

a a

e 

 là cơ sở của V s r và được gọi là cơ sở được suy ra

từ  e a Ta có, V s r là không gian vectơ thực n r s - chiều và với bất kỳ

1.1.3 Trường vectơ tiếp xúc X trên đa tạp khả vi M

Gọi   t là nhóm các phép biến đổi một tham số trên đa tạp khả vi M Khi đó, một trường vectơ tiếp xúc X trên M được sinh ra từ   t bởi phương trình:

trong đó, f là một hàm trên M Ngược lại, nhóm các phép biến đổi một tham

số   t được sinh ra một cách địa phương bởi trường vectơ tiếp xúc X sao cho phương trình trên thỏa mãn

1.1.4 Trường vectơ song song S(u)

Bây giờ, ta xét không gian vectơ thực m-chiều U Với phép lấy tổng

 1 2 1 2

:U U U, u u, u u

biến đổi của U và với bất kỳ điểm cố định u U , ánh xạ

    cho ta nhóm các phép biến đổi một tham số   tu

của U Khi đó, trường vectơ tiếp xúc S(u) được cảm sinh từ   tu gọi là trường vectơ song song ứng với u U Ta có:

Một cách tổng quát, cho P, Q, M là các đa tạp khả vi và

:P Q M p q, ( , ) pq là một ánh xạ khả vi Khi đó, với bất kỳ điểm cố

định p P ta thu được ánh xạ cố định bên trái  p của  như sau:

Và với bất kỳ điểm cố định q Q , ta cũng thu được ánh xạ cố định bên phải 

q của  như sau:

q :P M p,  pq

1.1.5 Mệnh đề

Cho ánh xạ khả vi :M  , khi đó vi phân U

 :M x U u, u ( )x là một ánh xạ tuyến tính Mặt khác, nếu xem  là một hàm trên M lấy giá trị trong U thì từ vi phân ngoài d:M x  và U

phép đẳng cấu tuyến tính S U u : U u ta có  S d u 

1.2 NHÓM TUYẾN TÍNH TỔNG QUÁT

Ta ký hiệu nhóm tuyến tính tổng quát thực GL n( , ) Phần tử G

g G là một cấu trúc khả vi thực không suy biến n -chiều và tập 2  a

phải Bằng cách kết hợp cả hai phép tịnh tiến, ta có một phép tự đẳng cấu trong Lg  g  g1 g1.g

1.2.2 Biểu diễn liên hợp của g

Gọi L(G) là đại số Lie của G Mỗi phần tử A L G ( )là một trường vectơ bất biến trái trên G, nghĩa là g  với g G A A  Giá trị của A tại điểm g G được xác định bởi A = g g với e là phần tử đơn vị của G, do A e

đó ta có đẳng cấu LL : ( )L G G e, A A e, ở đây G là không gian vectơ e

tiếp xúc với G tại e

Hơn nữa, vi phân L của phép tự đẳng cấu trong g L cho ta biễu diễn gliên hợp của g như sau:

1.2.3 Tích Lie của các trường vectơ tiếp xúc

Bây giờ ta sẽ định nghĩa tích Lie của các trường vectơ tiếp xúc trên đa tạp khả vi Cho X, Y, Z là các trường vectơ tiếp xúc trên đa tạp khả vi M, khi

đó với f, g là các hàm trên M ta có:

 

[ , ]A B d t ad a e B ( ( ))t

ở đây  a là nhóm các phép biến đổi một tham số được sinh ra bởi A t

* Đặc biệt, trong nhóm Lie L(G) của nhóm tuyến tính tổng quát G, tích Lie [A,B] biểu thị đơn giản dưới dạng:

[ , ]A B AB BA

ở đây AB & BA là tích của các ma trận A và B

1.2.4 Dạng vi phân trên đa tạp khả vi M

Ta sẽ nhắc lại các dạng vi phân trên đa tạp khả vi M Cho X, Y, Z là các vectơ tiếp xúc trên M, khi đó ta có :

( là vi phân 2-dạng)

1.3 TÁC ĐỘNG CỦA G LÊN V s r

1.3.1 Tác động của G lên không gian vectơ thực n-chiều V

Gọi  e là cơ sở cố định của không gian vectơ V, theo cơ sở này a

nhóm tuyến tính tổng quát G GL n ( , ) thực hiện phép toán  trên V như sau:

:G V V , ( , )g v  gv

Nghĩa là, nếu  a

b

g là tọa độ tự nhiên của g G và  v là tọa độ tự a

nhiên của v đối với cơ sở  e thì tọa độ tự nhiên của gv là a  a b

b

g v Do đó G

là nhóm Lie các phép biến đổi của V

1.3.2 Tác động của G lên không gian vectơ đối ngẫu V *

Gọi  e là cơ sở đối ngẫu của a  e , khi đó phép toán của G trên a V *

1.3.3 Tác động của G lên không gian tenxơ V s r

Gọi  1 

1

s r

1.3.4 Trường vectơ cơ bản V(A) trên V s r

Một vectơ tiếp xúc tại điểm w V s r được xác định bởi:

1.3.5 Tác động  của đại số Lie L(G) trên V s r

Tác động  của đại số Lie L(G) trên V được xác định như sau: s r

* Nếu A L G ( )sinh ra nhóm các phép biến đổi một tham số  a thì t

V(A) sinh ra nhóm các phép biến đổi một tham số a e t( ) với g là ánh xạ

cố định trái của 

* Trường vectơ tiếp xúc S(w) sinh ra nhóm các phép biến đổi một tham số   tw

* Aw d t a e w   t( )  với  a là nhóm các phép biến đổi một tham số t

được sinh ra bởi A

1.4.1 Định nghĩa phân thớ các mục tiêu L(M)

Cho M là một đa tạp khả vi n-chiều, M x là không gian vectơ tiếp xúc với M tại x Một cơ sở z  z a ,a1,2, , của n M x được gọi là mục tiêu tuyến tính trên M với x là điểm gốc của z Tập hợp L của tất cả các mục tiêu tuyến tính trên M có cấu trúc của phân thớ chính L M( )L M, , ,L G được gọi là phân thớ các mục tiêu trên M, trong đó không gian toàn phần L là đa tạp khả vi n2 n-chiều, phép chiếu L:L M z,  là ánh xạ khả vi x

với x là điểm gốc của z và G GL n ( , )là nhóm cấu trúc

1.4.2 Biểu thức tọa độ trên không gian toàn phần L

Gọi U là miền xác định của tọa độ  x i trên M và mục tiêu tuyến tính ( )a

z  z với điểm gốc x  x i được biểu thị bởi    

 Đây được gọi là tọa độ được cảm sinh từ  x i

Xét phép toán  :L G L, z g, zg , nghĩa là nếu z ( )z a và

lấy điểm z L và đặt x L( )z thì quỹ tích của điểm z bởi G gọi là thớ trên

x hoặc thớ qua z, ký hiệu L1( )x

1.4.3 Không gian con thẳng đứng L v z

Không gian vectơ tiếp xúc với thớ L1( )x tại z là không gian con của không gian vectơ tiếp xúc với L tại z, ký hiệu  L1( )

L Do đó, ta thu được phân bố thẳng đứng L z L v :   L v z

1.4.4 Trường vectơ cơ bản Z A( ) trên L

Lấy một phần tử A L G ( ), khi đó trường vectơ thẳng đứng Z A( ) mà giá trị của Z A( ) tại z xác định bởi:

( )z z ( )L v z

Z A   L A L

được gọi là trường vectơ cơ bản trên L ứng với A L G ( )

Hơn nữa, do Z A( ) sinh ra nhóm các phép biến đổi một tham số

  a e t( ) nên ta có:

 

( ) ( )z t( )

Z A f d t f za e

Ở đây, f là một hàm trên L và  a là nhóm các phép biến đổi một t

tham số được sinh ra bởi A

Bây giờ, ta sẽ xác định cơ sở của không gian con thẳng đứng L v z

Gọi A1, , A n2 là cơ sở của đại số Lie L(G), khi đó tập hợp n2 các trường vectơ cơ bản Z A 1 , , Z A n2  là một cơ sở của L v z tại mọi z L

Hơn nữa, ta có:

 ( )  ( 1) 

1.5 PHÂN THỚ TENXƠ TIẾP XÚC

1.5.1 Phân thớ tenxơ tiếp xúc

a) Định nghĩa

Do nhóm cấu trúc G của phân thớ các mục tiêu L(M) trên M là nhóm Lie các phép biến đổi của không gian V bởi phép toán s r , tính chất này được suy ra từ lý thuyết tổng quát của các phân thớ vectơ liên kết

Để chứng minh điều này ta sẽ xây dựng cơ sở  1 

phép chiếu T được biểu thị bởi T ( )K x K, (M x s)r

1.5.2 Biểu thức tọa độ trên T s r

Gọi U là miền xác định của tọa độ  x trên M, i i ,  i

1.5.3 Không gian con thẳng đứng ( )T s K r v trên T s r

* Ảnh ngược T1( )x với x M bởi phép chiếu T được gọi là phân thớ

trên x hoặc phân thớ qua K T1( )x

* Không gian vectơ tiếp xúc với phân thớ T1( )x tại điểm K, ký hiệu

 T1( )

K

x

 là không gian con của không gian vectơ tiếp xúc ( )T s K r với T s r tại

K và là hạt nhân của ánh xạ tiếp xúc T : ( )T s K r v X ( )T s K r T ( ) 0X  

Khi đó, ( )T s K r v được gọi là không gian con thẳng đứng của ( )T s K r trên T s r

Do vậy, ta có phân bố thẳng đứng trong T s r như sau:

( ) :T s r v K T s r ( )T s K r v

1.5.4 Ánh xạ thừa nhận được Ánh xạ liên kết

Ta ký hiệu :L V s r T s r, ( , )z w zw là phép chiếu chính tắc trên không gian thương T s r Bây giờ ta sẽ định nghĩa ánh xạ thừa nhận được

Hơn nữa, ta có tính chất sau:

Không gian con thẳng đứng T của không gian vectơ tiếp xúc y v T y

đẳng cấu với không gian vectơ tiếp xúc M x x, T ( )y nghĩa là tồn tại một phép đẳng cấu tuyến tính:

1.6 TRƯỜNG TENXƠ

1.6.1 Trường tenxơ trên đa tạp khả vi M

Gọi (M x s)r T1( )x là không gian tenxơ kiểu (r,s) tại điểm x, khi đó một trường tenxơ kiểu (r,s) K trên đa tạp khả vi M là một phân bố:

r s

Hơn nữa: Hàm K thu được thỏa tính chất K.g g K1 (2)

hay ta có biểu đồ sau giao hoán:

Bây giờ ta sẽ khái quát hóa khái niệm trên

Cho U là một không gian vectơ và  :G U  là phép toán của G U

trên U Khi đó, một p-dạng  trên L lấy giá trị trong U được gọi là dạng kiểu

ngang thì  được gọi là dạng tenxơ Đặc biệt nếu p = 0, thì một 0-dạng kiểu

 gọi là một trường tenxơ kiểu 

Bây giờ chúng ta sẽ xét dạng liên thông trên không gian vectơ ( ) s r

L G V Cho LV :L G( )V11 là một phép đẳng cấu tuyến tính sao cho ( )b b

1.6.3 Mệnh đề

Nếu K L:  là một trường tenxơ, khi đó ta có U

Z A K( )  AK

Ở đây, Z A là một trường vectơ cơ bản ứng với ( ) A L G ( )và ( , )

AK  A K là tác động của A L G ( ) trên K U

1.7 LIÊN THÔNG TUYẾN TÍNH

1.7.1 Liên thông tuyến tính  trên đa tạp khả vi M

a) Định nghĩa

Một liên thông tuyến tính  trên đa tạp khả vi n-chiều M hay trong phân thớ các mục tiêu L(M) trên M là một phân bố trong không gian toàn phần L:

:z L   z L z

thỏa mãn các điều kiện sau:

(i) L z   z L v z

(ii)    g Trong đó, L z L v :  L v z là phân bố thẳng đứng và g là ánh xạ tiếp xúc của phép tịnh tiến phải g

b) Nhận xét

* Không gian con z của không gian vectơ tiếp xúc L z được gọi là không gian con nằm ngang Khi đó bất kỳ vectơ tiếp xúc X L z đều được viết duy nhất dưới dạng:

X hX v X hX  v X L

hX được gọi là thành phần nằm ngang của X và v X là thành phần thẳng

đứng của X

* Cả 2 toán tử chiếu h v giao hoán với bất kỳ , g

* Ánh xạ 1 :z M x  z, x L( )z là một phép đẳng cấu tuyến tính

và L 1z = đồng nhất Vectơ tiếp xúc 1 ( )z X gọi là cái nâng của X M x tới

điểm z L

1.7.2 Dạng liên thông  của 

Bây giờ, ta định nghĩa 1-dạng  trên L lấy giá trị trong L(G) như sau: Với trường vectơ cơ bản Z A trên L, 1-dạng ( )  được xác định bởi:

 Z A( )A,   0 Khi đó,  được gọi là dạng liên thông của 

 z X L z X 0

1.7.4 Đường cong nằm ngang

Nếu trường vectơ tiếp xúc dọc đường cong C*:[0,1]L là nằm ngang tức là  * *

  Đường cong 1z(0)C được gọi là cái nâng của C tới L xuất phát

từ z(0) Khi đó, cái nâng 1zg C xuất phát từ zg, g G được cho bởi g.1z C

1.7.5 Trường vectơ nằm ngang B v( ) trên L

Không gian con nằm ngang z được sinh bởi các vectơ cơ sở được xác định như sau: với một vectơ v V  và một điểm z L ta có một vectơ nằm ngang, ký hiệu B v( )z được xác định bởi:

( )z 1 ( )z

B v  zv

Khi đó, B v( ) được gọi là trường vectơ nằm ngang trên L hay trường vectơ cơ sở ứng với v V

1.7.6 Tính chất của trường vectơ nằm ngang B v( )

Trường vectơ nằm ngang B v( ) có các tính chất sau:

Chú ý: Thành phần nằm ngang hX của X L z được biểu thị bởi

 ( )

B  X và thành phần thẳng đứng v X được biểu thị bởi Z W X ( )

1.7.7 Vi phân thuận biến Đạo hàm thuận biến

a) Vi phân thuận biến D

Cho  là vi phân p-dạng trên L, khi đó ta có đường nằm ngang dạng D xác định bởi:

(p+1)- 0, , ,1 p  0, 1, , p, z

D X X  X d hX hX  hX X s L 

với d là vi phân ngoài của  Nếu  là dạng kiểu  thì D cũng là dạng kiểu  Khi đó, D được gọi là vi phân thuận biến của 

b) Đạo hàm thuận biến K

Xét trường tenxơ kiểu (r,s) K (0-dạng), khi đó vi phân thuận biến

DK là một đường nằm ngang 1-dạng của (r,s)-kiểu

Do vậy, ta có một trường tenxơ kiểu (r+1,s) K sao cho:

Ở đây, A L G v V ( ),  và Av là phép toán của A L G ( ) trên

1.7.9 Liên thông liên kết với 

Cho một liên thông tuyến tính  trong L(M) và ánh xạ liên kết

zw hay ( )(zg g w1 ) của K

Khi đó, phân bố s r được gọi là liên thông liên kết với 

1.7.10 Các tính chất của liên thông liên kết  s r

w z  K V thì 1z(0)C là cái nâng của C tới L xuất phát từ z(0)

* Hơn nữa ta có C* w.1z(0)C :[0,1]T s r, t K t( ) là đường cong trong T Đường cong s r C* này được gọi là cái nâng của C tới T xuất s r

phát từ K(0) Khi đó, K(t) là một trường tenxơ kiểu (r,s) được xác định dọc theo đường cong C trên M hay K(t) thu được từ K(0) bởi phép chuyển dời song song dọc theo C đối với liên thông tuyến tính

Chương 2: LIÊN THÔNG FINSLER 2.1 PHÂN THỚ FINSLER

2.1.1 Phân thớ Finsler F(M)

a) Định nghĩa

Cho phân thớ các mục tiêu L(M) và phân thớ tiếp xúc T(M) trên M, khi đó, phép chiếu T :T M( )M là một ánh xạ khả vi Theo lý thuyết về các phân thớ vectơ, ta thu được một phân thớ cảm sinh T1( ( ))L M từ L(M) bởi T , ký hiệu là F(M) và được gọi là phân thớ Finsler của M Cấu trúc của phân thớ chính F(M) được biểu thị bởi F M( ) ( , , , ) F T 1G , trong đó:

* T là không gian cơ sở của F(M)

* F là không gian toàn thể với F ( , )y z  T L T ( )y L( )z 

* Phép toán  :F G F u g, ( , )ug của G trên F là phép toán được cảm sinh từ phép toán  của G trên L, nghĩa là

 , ( , ) ( , ), ( , )

ug  y  z g  y zg u  y z

* Ánh xạ cố định trái u của  được gọi là ánh xạ cơ bản và ánh xạ cố định phải g của  là phép tịnh tiến phải

2.1.2 Không gian con thẳng đứng F của u v F u

Tập hợp các điểm u F bởi G được gọi là phân thớ qua u hay phân thớ trên y 1( )u , ký hiệu 11( )y Khi đó, không gian vectơ tiếp xúc với phân thớ 11( )y tại u, ký hiệu  1 

2.1.3 Trường vectơ cơ bản Z(A) trên F

Một trường vectơ cơ bản Z(A) trên F, ứng với A L G ( ) được định nghĩa bởi:

( )u u ( )L

Thật vậy, do ug.Lg1a ugg g uag 1  và  g u a uag nên

Suy ra:

* Gọi A A1, , ,2 A n2 là một cơ sở của L(G), khi đó tập hợp n 2

trường vectơ cơ bản Z A Z A( ), ( ), , (1 2 Z A n2) là một cơ sở của không gian con thẳng đứng F với   u v u F

* Dạng h-cơ bản h là 1-dạng trên F lấy giá trị trong V, được cảm sinh từ dạng cơ bản  trên L, nghĩa là: h   2

* Hơn nữa, dạng h thỏa phương trình

Không gian con tựa thẳng đứng F của không gian vectơ tiếp xúc u q F u

được định nghĩa bởi

q

F  X F    X  Khi đó, không gian F được gọi là “tựa thẳng đứng” u q

b) Tính chất

Không gian con thẳng đứng F được chứa trong không gian con tựa u v

thẳng đứng F nghĩa là u q F u v F u q

2.1.7 Định nghĩa hàm 

Một hàm  trên F lấy giá trị trong V xác định bởi

( )u z y u1 , ( , )y z được gọi là phần tử của giá

1:L V F, ( , )z v ( , )zv z

L Sau đây ta sẽ đi tìm vi phân của 

(1) Mỗi vectơ tiếp xúc X F u được xác định duy nhất bởi X2 2X và