Chuyên đề Cao học ngành Toán Lý thuyết Tôpô

Chun đề Cao học ngành Tốn Lý thuyết Tơpơ PGS.TS Trần Văn Ân Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 / 111 Lý thuyết Tơpơ Tài liệu tham khảo [1] Phan Đức Chính, Giải tích hàm, Nhà xuất Đại học Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội 1978 Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 / 111 Lý thuyết Tôpô Tài liệu tham khảo [1] Phan Đức Chính, Giải tích hàm, Nhà xuất Đại học Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội 1978 [2] J Kelley, Tôpô đại cương, chuyên nghiệp, Hà Nội 1973 Trần Văn Ân () Nhà xuất Đại học Trung học Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 / 111 Lý thuyết Tôpô Tài liệu tham khảo [1] Phan Đức Chính, Giải tích hàm, Nhà xuất Đại học Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội 1978 [2] J Kelley, Tôpô đại cương, chuyên nghiệp, Hà Nội 1973 Nhà xuất Đại học Trung học [3] Đỗ văn Lưu, Tôpô đại cương, Nhà xuất Khoa học Kỹ thuụât, Hà Nội 1998 Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 / 111 Chương Không gian tôpô 1.1 Các khái niệm 1.1 Các khái niệm 1.1.1 Định nghĩa Cho tập hợp X Họ T tập X gọi tôpô thoả mãn điều kiện sau (T1 ) φ, X ∈ T ; (T2 ) Nếu Gα ∈ T , α ∈ Λ Gα ∈ T ; α∈Λ (T3 ) Nếu G1 , G2 ∈ T , G1 ∩ G2 ∈ T Khi cặp (X , T ) gọi không gian tôpô Các phần tử X gọi điểm không gian tôpô, tập hợp thuộc T gọi tập mở n Nhận xét từ (T3 ) ta suy Gi ∈ T , i = 1, , n, Gi ∈ T i=1 Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 / 111 Chương Không gian tôpô 1.1 Các khái niệm Các ví dụ 1) Giả sử X tập hợp tuỳ ý, T = {φ, X } Khi T tơpơ X gọi tơpơ thơ X , (X , T ) gọi không gian tôpô thô 2) Giả sử X tập hợp tuỳ ý, T = P(X ) Khi T tơpơ X gọi tơpơ rời rạc X , (X , T ) gọi không gian tôpô rời rạc 3) Giả sử X = R Ký hiệu (ai , bi )|ai , bi ∈ R, ≤ bi , i ∈ I , I tập số tuỳ } T ={ i∈I Khi T tơpơ X gọi tơpơ tự nhiên hay tơpơ thơng thường R Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 / 111 Chương Không gian tôpô 1.1 Các khái niệm 1.1.2 Định nghĩa Cho tập hợp X Giả sử T , U hai tơpơ X Ta nói tôpô T thô tôpô U (hay tôpô U mịn tôpô T ) T ⊂ U Lúc ta nói tơpơ T yếu tôpô U (hay tôpô U mạnh tôpô T ) 1.1.3 Định nghĩa Cho không gian tôpô (X , T ) Tập E ⊂ X gọi đóng tập X \ E mở Nhận xét Ký hiệu F họ tất tập đóng khơng gian tơpơ X Khi họ F có tính chất (F1 ) φ, X ∈ F (F2 ) Giao họ tuỳ ý tập hợp thuộc F thuộc F; (F3 ) Hợp hai tập hợp thuộc họ F thuộc họ F; Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Tốn Vinh, 10/2008 / 111 Chương Khơng gian tôpô 1.1 Các khái niệm 1.1.4 Định nghĩa Cho không gian tôpô X , E ⊂ X Giao họ tất tập đóng X mà chứa E tập đóng chứa E Ta gọi giao bao đóng E ký hiệu E , nghĩa E= Trần Văn Ân () {F : F đóng, E ⊂ F ⊂ X } Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 / 111 Chương Không gian tôpô 1.1 Các khái niệm 1.1.4 Định nghĩa Cho không gian tôpô X , E ⊂ X Giao họ tất tập đóng X mà chứa E tập đóng chứa E Ta gọi giao bao đóng E ký hiệu E , nghĩa E= {F : F đóng, E ⊂ F ⊂ X } 1.1.5 Các tính chất bao đóng a) E ⊂ E với E ⊂ X ; b) Nếu E ⊂ F ⊂ X , E ⊂ F ; c) Với E , F ⊂ X ta có E ∪ F = E ∪ F ; d) E = (E ) = E ; e) Giả sử E ⊂ X Khi tập E đóng E = E Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 / 111 Chương Không gian tôpô 1.1 Các khái niệm 1.1.6 Định nghĩa Giả sử X không gian tôpô, A ⊂ X Tập U ⊂ X gọi lân cận A X , tồn tập mở V ⊂ X cho A ⊂ V ⊂ U Trường hợp A = {x}, ta nói U lân cận điểm x Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Tốn Vinh, 10/2008 / 111 Chương V Khơng gian liên thông, liên thông địa phương 5.1 Không gian liên thông B Không gian liên thông 5.1.3 Định nghĩa Không gian tôpô (X , T) liên thông X biểu diễn dạng hợp hai tập hợp khác rỗng, tách Tập A không gian tôpô (X , T) liên thông không gian A với tôpô cảm sinh không gian liên thông Nhận xét Dễ dàng chứng minh tập Y ⊂ X liên thông Y không hợp hai tập khác rỗng tách Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 104 / 111 Chương V Không gian liên thông, liên thông địa phương 5.1 Không gian liên thông B Không gian liên thông 5.1.3 Định nghĩa Không gian tôpô (X , T) liên thông X biểu diễn dạng hợp hai tập hợp khác rỗng, tách Tập A không gian tôpô (X , T) liên thông không gian A với tôpô cảm sinh không gian liên thông Nhận xét Dễ dàng chứng minh tập Y ⊂ X liên thông Y không hợp hai tập khác rỗng tách 5.1.4 Mệnh đề Tập Y không gian tôpô X liên thông tập φ Y tập vừa mở, vừa đóng Y Chứng minh dành cho độc giả Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 104 / 111 Chương V Không gian liên thông, liên thông địa phương 5.1 Không gian liên thông 5.1.5 Mệnh đề Đoạn [a, b] R tập liên thông Chứng minh Gỉa sử ngược lại đoạn [a, b] = A ∪ B A, B tập khác rỗng vừa đóng, vừa mở rời [a, b] giả thiết a ∈ A Ký hiệu M = {x ∈ [a, b] : [a, x) ⊂ A} Vì A mở, nên M = φ Đặt c = sup M Khi c ∈ M Thật vậy, với điểm x ′ ∈ [a, c), theo định nghĩa cận tồn điểm y ∈ (x ′ , c) Vì [a, y ] ⊂ A Do x ′ ∈ A, nghĩa [a, c) ⊂ A Bởi vậy, c ∈ M Lại A đóng nên [a, c] ⊂ A Baay ta chứng tỏ c = b Nếu ngược lại c < b, từ tính mở A tồn ε > cho (c − ε, c + ε) ⊂ A Vì c + ε ∈ M Điều mâu thuẩn với cách đặt c = sup M Toàn chứng minh chứng tỏ [a, b] ⊂ A Kết luận trái với giả thiết phản chứng Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 105 / 111 Chương V Không gian liên thông, liên thông địa phương 5.1 Không gian liên thông 5.1.6 Định lý Tập A không gian tôpô X tập liên thông với cặp tập mở U, V X cho A ⊂ U ∪ V , A ∩ U = φ A ∩ V = φ, A ∩ U ∩ V = φ Chứng minh xem tập Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 106 / 111 Chương V Không gian liên thông, liên thông địa phương 5.1 Không gian liên thông 5.1.6 Định lý Tập A không gian tôpô X tập liên thông với cặp tập mở U, V X cho A ⊂ U ∪ V , A ∩ U = φ A ∩ V = φ, A ∩ U ∩ V = φ Chứng minh xem tập 5.1.7 Định lý Gỉa sử A tập hợp liên thông không gian tôpô X B tập X cho A ⊂ B ⊂ A Khi B tập liên thơng Từ suy A liên thơng A liên thông Chứng minh Giả sử B tập khơng liên thơng Khi B = B1 ∪ B2 B1 , B2 tập mở khác rỗng B1 ∩ B2 = φ Vì A = (A ∩ B1 ) ∪ (A ∩ B2 ) Do A trù mật B B1 , B2 mở, nên A ∩ B1 = φ, A ∩ B2 = φ (A ∩ B1 ) ∩ (A ∩ B2 ) = φ Suy A tập không liên thông Điều mâu thuẩn với giả thiết A liên thông Vậy B tập liên thông Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 106 / 111 Chương V Không gian liên thông, liên thông địa phương 5.1 Không gian liên thông 5.1.8 Định lý ảnh liên tục không gian liên thông không gian liên thông Chứng minh xem tập Nhận xét Từ định lý 5.1.8 ta suy s([0, 1]) tập liên thông X Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 107 / 111 Chương V Không gian liên thông, liên thông địa phương 5.1 Không gian liên thông 5.1.8 Định lý ảnh liên tục không gian liên thông không gian liên thông Chứng minh xem tập Nhận xét Từ định lý 5.1.8 ta suy s([0, 1]) tập liên thông X 5.1.9 Định lý Một không gian liên thông tuyến tính liên thơng Chứng minh Giả sử ngược lại X khơng gian liên thơng tuyến tính không liên thông, nghĩa tồn tập vừa mở, vừa đóng khác rỗng U V cho X = U ∪ V , U ∩ V = φ Khi với hai điểm a ∈ U, b ∈ V tồn đường cong s nối a với b Xét tập s([0, 1]) ta có s([0, 1]) = (s([0, 1]) ∩ U) ∪ (s([0, 1]) ∩ V ), U ∩ V = φ, U, V mở U ∩ s([0, 1]) = φ, V ∩ s([0, 1]) = φ Vậy tập s([0, 1]) không liên thông Điều mâu thuẩn Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 107 / 111 Chương V Không gian liên thông, liên thông địa phương 5.1 Không gian liên thông Nhận xét Không gian Ơclit Rn không gian liên thông 5.1.10 Định lý.Giả sủ U họ tập liên thơng khơng gian tơpơ X Nếu khơng có hai phần tử họ U tách được, ∪{A : A ∈ U } tập liên thông Chứng minh Ký hiệu C = {A : A ∈ U } D tập vừa mở, vừa đóng C Khi với tập hợp A ∈ U, tập hợp A ∩ D vừa mở, vừa đóng A Vì tập A liên thơng, nên A ⊂ D A ⊂ C \ D Nếu A B phần tử họ U bao hàm thức A ⊂ D B ⊂ C \ D khơng đồng thời xẩy ra, ngược lại A B tương ứng tập tập tách C C \ D, nên chúng cúng tách Do phần tử họ U tập C \ D, D = φ, phần tử họ U tập D, C \ D = φ Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 108 / 111 Chương V Không gian liên thông, liên thông địa phương 5.1 Không gian liên thông 5.1.11 Định nghĩa Ta gọi tập liên thông cực không gian tôpô X thành phần liên thông không gian Thành phần tập A không gian tôpô thành phần không gian A với tôpô cảm sinh Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 109 / 111 Chương V Không gian liên thông, liên thông địa phương 5.1 Không gian liên thông 5.1.11 Định nghĩa Ta gọi tập liên thông cực không gian tôpô X thành phần liên thơng khơng gian Thành phần tập A không gian tôpô thành phần không gian A với tôpô cảm sinh 5.1.12 Định lý (a) Mỗi tập liên thông không gian tôpô chứa thành phần (b) Mỗi thành phần tập đóng (c) Các thành phần khác không gian tôpô tách Chứng minh xem tài liệu tham khảo [2] 5.1.13 Định lý Để tích X = Xα không gian tôpô α∈Λ Xα , α ∈ Λ không gian liên thôngđiều kiện cần đủ Xα liên thông, với α ∈ Λ Chứng minh xem tài liệu tham khảo [1] Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 109 / 111 Chương V Không gian liên thông, liên thông địa phương 5.2 Không gian liên thông địa phương 5.2 Không gian liên thông địa phương 5.2.1 Định nghĩa Không gian tôpô X gọi liên thông địa phương điểm x ∈ X có sở lân cận liên thông Tập A không gian tôpô X gọi tập liên thông địa phương A không gian liên thông địa phương với tôpô cảm sinh Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 110 / 111 Chương V Không gian liên thông, liên thông địa phương 5.2 Không gian liên thông địa phương 5.2 Không gian liên thông địa phương 5.2.1 Định nghĩa Không gian tôpô X gọi liên thông địa phương điểm x ∈ X có sở lân cận liên thông Tập A không gian tôpô X gọi tập liên thông địa phương A không gian liên thông địa phương với tôpô cảm sinh 5.2.2 Định lý Không gian tôpô X liên thông địa phương thành phần liên thông tập mở tập mở Chứng minh Cần Giả sử X không gian liên thông địa phương, U tập mở X C thành phần liên thông nằm U Ta cần chứng minh C mở Giả sử x điểm tuỳ ý thuộc C Khi x ∈ U Vì U mở X liên thơng địa phương ta suy tồn lân cận liên thông V cho x ∈ V ⊂ U Do C thành phần liên thông U nên x ∈ V ⊂ C Vì C mở Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 110 / 111 Chương V Không gian liên thông, liên thông địa phương 5.2 Không gian liên thông địa phương Đủ Giả sử thành phần liên thông tập mở tập mở x điểm thuộc X Ta cần chứng minh x có sở lân cận gồm tập hợp liên thông Thật vậy, giả sử U lân cận mở x Ký hiệu C thành phần liên thông chứa điểm x C ⊂ U Theo giả thiết C mở, C lân cận liên thông x thoả mãn x ∈ C ⊂ U Vậy X không gian liên thông địa phương Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Tốn Vinh, 10/2008 111 / 111 Chương V Khơng gian liên thông, liên thông địa phương 5.2 Không gian liên thông địa phương Đủ Giả sử thành phần liên thông tập mở tập mở x điểm thuộc X Ta cần chứng minh x có sở lân cận gồm tập hợp liên thông Thật vậy, giả sử U lân cận mở x Ký hiệu C thành phần liên thông chứa điểm x C ⊂ U Theo giả thiết C mở, C lân cận liên thông x thoả mãn x ∈ C ⊂ U Vậy X không gian liên thông địa phương 5.2.3 Hệ Nếu X không gian compact liên thơng địa phương, số thành phần liên thơng hữu hạn Chứng minh xem tài liệu tham khảo [2] Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 111 / 111 Chương V Không gian liên thông, liên thông địa phương 5.2 Không gian liên thông địa phương Đủ Giả sử thành phần liên thông tập mở tập mở x điểm thuộc X Ta cần chứng minh x có sở lân cận gồm tập hợp liên thông Thật vậy, giả sử U lân cận mở x Ký hiệu C thành phần liên thông chứa điểm x C ⊂ U Theo giả thiết C mở, C lân cận liên thơng x thoả mãn x ∈ C ⊂ U Vậy X không gian liên thông địa phương 5.2.3 Hệ Nếu X không gian compact liên thông địa phương, số thành phần liên thơng hữu hạn Chứng minh xem tài liệu tham khảo [2] 5.2.4 Định lý Để tích X = Xα không gian tôpô α∈Λ Xα , α ∈ Λ không gian liên thông địa phương, điều kiện cần đủ Xα , α ∈ Λ khơng gian liên thơng địa phương, ngồi trừ số hữu hạn hầu hết Xα không gian liên thông Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 111 / 111