ư khác biệt giữa tôpô zariski và tôpô thông thường trên □ n và □ n

21 LỜI CẢMMỤC ƠN LỤC Với ƠN việc hoàn thành Luận văn này, xin bày tỏ lòng biết LỜI CẢM ơn sâu sắc tói Phó Giáo sư - Tiến sĩ Nguyễn Huỳnh Phán, người MỞnhiệt ĐẰUtình bước hướng dẫn thực việc nghiên cứu đề tài: từ việc gợi ý, cung cấp tài liệu nghiên cứu, hướng dẫn phương pháp CHƯƠNG TÔPÔ ZARISKI thực truyền nhiều quý báu suốt trình thực 1.0 Kiến thức đạt chuẩn bị vềkiến Tôpôthức 1.1 luận văn Tập đến đại việcsốchỉnh sửa hoàn chỉnh nội dung luận 1.2 Iđêan 12 1.3 Cấu chân xạ tôpôcảm Zariski 19 Tôi xin thành ơn quý Thầy tổ Bộ môn Hình Học, Khoa Toán Trường Đại học Vinh Phòng Quản lý Sau đại học Trường Đại họcCHƯƠNG Đồng Tháp giúp hoàn thành tất TRÊN các□ học TÔPÔ THÔNG THƯ*ỜNG " VÀphần □ n 27 Khóa học, nâng cao trình độ kiến thức chuyên môn phương 2.1.tậpTôpô □ n 27 pháp học hữu ích; giúp hoàn thành học trình, đặc biệt luận văn tốt nghiệp 2.2 Sự tirơng đirơng chuẩn I I n 32 Xin chân thành cảm ơn quan tâm lãnh đạo Sở Giáo dục 2.3 Khái niệm hình cầu mở, hình cầu đóng 38 Đào tạo, Sở Tài tỉnh Đồng Tháp, Phòng Giáo dục Đào tạo huyện Thanh Bình, Ban Giám Hiệu trường THCS Tân Quới, huyện Thanh Bình, CHƯƠNG Sự KHÁC BIỆT CỦA TÔPÔ ZARISKI VÀ TÔPÔ tỉnh Đồng Tháp toàn thể quý đồng nghiệp, bạn khóa học, gia đình động viên, giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho hoàn thành n THÔNG THƯỜNG luận văn tốt nghiệp TRÊN □ "VÀ □ 42 Chân thành cảm ơn! Đồng Tháp, ngày 03 tháng năm 2013 Tác giả Nguyễn Thanh Hoà MỞ ĐẦU Không gian tôpô cấu trúc cho phép người ta hình thức hóa khái niệm hội tụ, tính liên thông, tính liên tục nhiều tính chất toán học khác Chúng xuất tất ngành toán học đại khái niệm có tính trọng tâm Một tập hợp cho trước có thẻ có nhiều tôpô Nếu tập cho nhiều tôpô khác nhau, xem không gian tôpô khác Bất ki tập cho tôpô rời rạc mà tập tập mở Những dãy (hay lưới) hội tụ không gian dãy cuối Bất kì tập hợp trang bị tôpô thô, tôpô có tập mở rỗng Trong tôpô này, dãy lưới hội tụ tói diêm không gian Ví dụ cho thấy không gian tôpô tồng quát, giới hạn dãy không thiết Trong luận văn này, xét hai loại tôpô, là: - Tôpô thông thường không gian Euclid □ n, □ n định nghĩa tập mở sở hình cầu mở - Tôpô thứ hai □ nvà □ n tôpô Zariski định nghĩa cách coi tập đóng tôpô Zariski tập nghiệm hệ phương trình đa thức Sau tìm hiểu, lựa chọn lĩnh vực Hình học đại số, nhận thấy có khác biệt tôpô Zariski tôpô thông thường □ n, □ n với động viên, khích lệ Thầy Nguyễn Huỳnh Phán phương châm đê thực đề tài Vì vậy, chọn tên đề tài luận văn là: “Sư khác biệt tôpô Zariski tôpô thông thường □ n □ n” Trong luận văn này, trình bày khác biệt tôpô Zariski tôpô thông thường □ n □ n Đe tài có nhiệm vụ tập họp, phát cập nhật kết khác biệt hai loại tôpô Zariski tôpô thông thường □ n □ n Nội dung luận văn bao gồm phần mở đầu, ba chương phần kết luận: Phần mở đầu Giới thiệu khái quát đề tài luận văn Chương Trình bày Tập đại số, Tôpô Zariski □ n □ n Chương Trình bày không gian Tôpô thông thường □ □ n, tương đương chuẩn □ n n khái niệm hình cầu mở, hình cầu đóng Chương Trình bày số khác biệt tôpô Zariski tôpô thông thường □ n □ n Phần kết luận Trình bày cách ngắn gọn kết CHƯƠNG TÔPÔ ZARISKI Trong chương này, nhắc lại số kiến thức tập đại số, iđêan cấu xạ tôpô Zariski Nội dung làm sơ sở cho trình bày luận văn 1.0 Kiến thửc chuẩn bị Tôpô Cho tập X khác rỗng Một họ T tập X gọi tôpô X thoả mãn đồng thời điều kiện sau: i X E T E T; ii Hợp tuỳ ý tập thuộc T thuộc T; iii Giao hữu hạn tập thuộc T thuộc T Một tập X trang bị tôpô gọi không gian tôpô, kí hiệu (X, T) Nếu kí hiệu không gian tôpô X thỉ ta ngầm hiểu X trang bị tôpô 1.1 Tập đại số X r+r + +r < n ĩ'l X 'w n 1\,r2 với d sô tự nhiên Ằ ^ 0, ta gợi chúng hệ sổ Các biểu thức EA gọi hệKhi A n với hệ tử tương ứng khác gọi dơn thức Bậc đơn thức x^x^1 X rn tổng số mũ ri + r2 + + rn Bậc f Ti bậc lớn đơn thức fvà ký hiệu degf Neu f = 0, ta quy định deg/= -co Nếu ± f Ẽ A, ta nói degf = Khi degf = 1, ta nói f đa thức bậc nhất, có dạng f = aiXi + a2x2 + + anxn + an+i, phải có hệ số khác không Người ta thường viết đa thức nhiều biến theo thức tự biến theo giá trị giảm dần bậc đơn thức, nghĩa là: V '1Y '2 y rn SI s2 Y s„ 12 n 12 n ri + r2 + .+ rn > Si + s2 + .+ Sn Ĩ1 + r2 + + rn = Si + s2 + + Sn tọa độ khác không vectơ (ĩi - Si, r2 - s2, , rn - Sn ) dương 1.1.2 Ví dụ Với biến Xi, x2, ta có : ,, m ^ „ m-l > Xy X, > „ m— 2,, X, > > X, > .> ^ „ > X, m 1.1.3 Bố đề Nếu A ỉà miền nguyên (nghĩa với c, deA mà cd = c=0 d=0, ta nói A ước không) degfg = degf+ deg g Chứng minh Mọi đon thức fg tích đon thức f đon thức g Nếu Umax , Vmax đơn thức có bậc lớn f g tương ứng với hệ tử khác không c, d, đơn thức có bậc lớn fg tích Umax Vmax với hệ tử cd Do A miền nguyên nên cd ^0 Do deg fg = deg (Umax Vmax) = deg Umax + deg Vmax = deg f + deg g 1.1.4 Bố đề Nếu A miền nguyên vành đa thức A[XJ miền nguyên phần tử khả nghịch củaA[X] phần tử khả nghịch ảm A Nếu f, g đa thức khác A[X] Do deg f, deg g > 0, nên deg fg > fg * Vậy A[X] miền nguyên Tiếp theo, f g = deg fg = deg f + deg g = 0, f g phần tử khác A Vậy f g phần tử khả nghịch A '1 n >rn rì+r2+ +r 1, giả sử ngược lại, f * Giả thiết f chứa biến Xn- Viết f dạng f = f + Xnfi + X 112f + .+ xnmfm với fo , f , f2 , , fm đa thức n - biến đầu fm * Dùng quy nạp, ta giả thiết tồn b = (bi, b2, , bn_!) G Kn ' cho fm(bi,b 2, ,b n _i) ^ Khi f (b, xn) = fo (b) + xnfi (b) + xn2 f2 (b) + xnm fm(b) Đây đa thức biến x n khác không bậc m, nên có hữu hạn nghiệm Điều mâu thuẫn với giả thiết f(a) = với a G Kn 1.1.6 Hệ Nếu trường K vô hạn f (a) = g(a) với a=(aha2, , aj G ỈC f=g Chứng minh Đặt h = f- g, áp dụng Bố đề 1.1.5, ta nhận kết 1.1.7 Chú ý Nếu K trường hữu hạn tính chất không Từ trở đi, ta giả thiết trường K vô hạn 1.1.8 Ví dụ Nếu K = { ai, ã2, , as} f (x) = (x- ai) (x- a2) (x- as) f triệt tiêu K f * 1.1.9 Dinh nghĩa tập đại số Cho K trường, tập V c Kn gọi tập đại so nghiệm họ hữu hạn hay vô hạn đa thức n biến K[X] 1.1.10 Ví dụ Tập rỗng ậ tập đại số phương trình f = với f G K mà f * vô nghiệm Tập điểm a = (ai, a2, , an) tập đại số nghiệm hệ n phương trình Các m - phang không gian afín Kn tập đại số nghiệm hệ phương trình tuyến tính Kn tập đại số nghiêm phương trình = 1.1.11 Chú ý Khái niệm “Tập đại số” không phụ thuộc vào việc chọn tọa độ, nghĩa V nghiệm hệ đa thức f(xi, x2, _, xn )e s, với tọa độ (yi, y2, , y„), ta có a l 10 a2 ịxi = cỉ0 + C ^ +ci2y2 + + clHyH i = 1, 2, , n X2 —y = điểm V với tọa độ nghiệm hệ phương trình Thật vậy, đặt V = { (a, a2); a G K } Ta có V c Z(f) Ngược lại, giả sử (ai, a2)e Z(í) Nếu ai= thỉ a2 = nên (ai, a2) = (0, o2) e V f(ci0 + Cnyi+ + Cinyn, , Cno + Cniyi+ + cmiyn) - 0, f G s kýcóhiệu tập nghiệm đa f Z(f) Khi ãi * Ta 0, ta Nếu deg f = f a, = = ệ f * : = a Nếu deg f > Z(f) gọi siêu mặt Nói riêng, deg f = (nghĩa = siêu phăng f đa thức bậc nhất) a.Z(f) : = a' s bấtsuy kỳ racủa Ký hiệu tập nghiệm tất Do taCho có (ai, a2) tập € V.con Từ Z(f)K[X] c V Vậy ta có Z(S) V = Z(f) đa thức s (thirờng gọi vắn tắt tập nghiệm S), nghĩa Z(S) tập đại c) số f = X3 - y2 Z(f) = { (a2, a3); a e K } Ta có: Thật vậy, đặt V := { (a , a ); a Gz K } Z(S) = n w Chứng minh tưong tự trên, festa có V c Z(f) Ngược lại, giả1.1.12 sử (ai, a2Chú ) e Z(f) Nếu aiímg = 0sthì nênmột (ai, ánh a2) =xạ(0từ , ohọ ) tất tập ý Tưong -> aZ(S) = 0cho vành đa thức K[X] đến họ tất tập không gian afin K n 1.1.13 Ví dụ a) Nếu f đa thức biến, tập đại số Z(f) : tập rỗng ; tập hữu hạn toàn K b) f = X -y, Z(f) = { (a, a2); a G K } Nó parabol a X 11 Do ta có (ab a2) E V Từ suy Z(f) c= V Vậy ta có V = Z(f) 1.1.14 Mệnh đề (Một số tính chất đơn giản ánh xạ Z) Ỉ.NeuSi A = Ị J n "\Z(f),B= Ụn"\Z(g) feS geW nên để chứng minh AnB ta cần xét A = U ũ n \ Z ( f ) , f eũ[x1,x2, ,xj feS B= u □n\Z(g),geũ[x1,x2, ,xJ geW Khi : AnB= (□ " \Z(f))n(ũ 11 \Z(g)) =□ n \Z(fg) ^ Vì f.g Ỷ0 (do f,g Ỷ theo giả thiết) nên Z(fg) thực bé thua □ n, nghĩa □ 11 \ Z(fg) ^ ộ Định nghĩa Tập A (Z X không gian tôpô X gợi trìỉ mật X ^T=x, (^Tlà hợp A với điểm giới hạn A), điểm X điểm giới hạn A lân cận X điêm X giao khác rỗng với A Mệnh đề Mỗi tập sở tôpô Zaiski không rỗng tập trìỉ mật Do đó, tập mở tôpô Zariski trù mật Trong khỉ đó, với tôpô thông thường 45 Chứng minh Từ kết mệnh đề 3.4, Z(S) tập mở khác rỗng tập mở khác rỗng khác giao với nó, lân cận điếm giao khác rỗng với Z(S), nghĩa Z(S) tập trù mật □ n Hệ Tôpô Zariski không Hausdorff Trong đó, tôpô thông thirờng Hausdoĩff Chúng minh Ta biết không gian Hausdorff không gian mà với hai điếm phân biệt có hai lân cận điếm rời Nhưng theo Mệnh đề 3.4 hai lân cận tôpô Zariski giao Do vậy, chứng tỏ tôpô Zariski không Hausdorff 3.8 Định lý Mọi tập T CI u đền ì tập compact vói tôpô lariski Trong đó, với tôpô thông thường Chúng minh Giả sử họ tập mở Zariski {Uj, j e jỊ phủ T c= |Jưj ,ưj jeJ = □ ” \ Z(Sị) z(5,) tập đóng Zariski T C Ụ( ũ “\z(s j )) = ũ "Qz(s J ) ng z(s J ) = z((s j )).(s J ) iđêan sinh đa thức Sj íí Y\ Tcũ"\p|z((s j ))=ũ"\z U s , s VVieJ (( \\ hữu hạn sinh - nghĩa hệ sinh Mặt khác iđêan U€j J xác định họ hữu hạn đa thức sinh 46 f\ U^J “ ) iđêan sinh hữu hạn đa thức lu^v-ĩís VJeJ ) >Tcũ1'\Z((f1,f2, ,fí))5fteSpt = l,2r ,s > Tc ũ " \ n z ( S t ) = Ú ( ũ " \ Z ( S t ) ) = Ú u t t=l t=l Mệnh đề Đường cong t=l X3 — ỷ = đồng phôi tôpô thông thường với trục Ox, nhimg hai hình không đăng cấu đa thức tôpô Zariski Chúng minh Thây Đường cong X3 - y2 = đồng phôi tôpô thông thường với trục Ox phép chiếu vuông góc lên trục Ox Nhưng hai hình không đẳng cấu đa thức tôpô Zariski theo Ví dụ 1.3.21 47 KÉT LUẬN Những kết chủ yếu mà luận văn đạt đuợc là: Trình bày xếp theo hệ thống định nghĩa, khái niệm kèm với chứng minh chi tiết mệnh đề, định lý tập đại số, tôpô Zariski, Iđêan, cấu xạ tôpô Zariski tính chất chúng; Nhắc lại tôpô thông thường L n □ n; Chỉ rõ chuẩn J 11 tương đương; Nêu tính chất khác biệt tôpô Zariski tôpô thông thường ũ 11 □ n; Hướng phát triển: Tiếp tục nghiên cứu hình học đại số hình học khác Chăng hạn hình học xạ ảnh, hình học ơclit 48 DANH MỤC CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO TIẾNG VIỆT [1] Ngô Bảo Châu (2003), Giảo trình hình học đại so, http://www.vietmaths.com [2] Văn Như Cương - Tạ Mân (2002), Hình học qfìn hình học ơc/z‘/,NXB ĐHQG Hà NỘI, Hà NỘI [3] Văn Như Cương (1977), Lịch sử hình học, NXB Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội [4] Ngô Thúc Lanh (1982), Đại sổ, NXB Giáo dục, Hà Nội [5] Nguyễn Huỳnh Phán (2012), Nhập môn hình học đại so, Viện Nghiên cứu Phát triển Công nghệ [6] Ngô Việt Trung (2009), Nhập môn đại so giao hoán hình học đại so, http://www.vietmaths.com TIẾNG ANH [7] R.Hartshome (1977), Algebraic Geometry, spring - Verlag.Bertand [8] Hauchecorne - Daniel Suratteau (1996), Des Mathẻmaticiens de Ả Z,Elipses, Paris [9] Ed WinH Spaniner (1966), Algebraic Topology, Mc Graw, New York [10] Morris w Hirsch, Stephen Smale, Robert L Devaney (1979), Dijferentiaỉ equations, dynamỉcaỉ Systems, and An introduction to chaos, Nhà xuất Đại học Trung học chuyên nghiệp - Hà Nội [...]... to n cấu n n X = g(f2, í3) với một đa thức 2 bi n g n o đó Ta có thể viết g(f2, í3) = a + f2h với ae K, he K[x] Mặt khác X - a = f2h, suy ra f G K và do đó X = g(f2, f3) G K là điều vô lý 27 CHƯƠNG 2 TÔPÔ THÔNG THƯỜNG TR N □ " VÀ □ " Chương n y chúng tôi tập hợp kết quả về tôpô thông thường (tôpô tự nhi n) tr n □ n và □ 11 Tuy nhi n, tôpô thông thường tr n □ 2,1 đồng phôi với tôpô thông thường tr n ... B n n A < a_ 1N( x) < B Hệ thức n y cho ta nh n kết quả của mệnh đề, vì a = II X || 2.2.3 Định nghĩa Giả sử E cũ n là một không gian vectơ con Ta định nghĩa một chu n tr n E là một hàm (p: E —> □ thoả m n ba tính chất của chu n trong Định nghĩa 2.2.1 Mỗi chu n tr n h n chế thành một chu n tr n E Để thấy điều n y, ta ph n tích □ n □ thành tổng trực tiếp □ 11 = E ®F Cho một chu n (p tr n E, ta định nghĩa... Iị/(x), n n Ci/C2cp(x) < Ci q/(x) < 0 và ||x - y|| = 0 n u và chỉ n u X = y; X - z|| < ||x - y|| + ||y - z|| (bất đắng thức tam giác) Như vậy, chu n Euclide □ 11 tr n sinh ra một khoảng cách ơclit □ Tổng quát h n, ... Định nghĩa Cho I là iđêan thục sụ của vành A và f, g e A Ta n i /đong dư với g tr n I n u f - g G I Rõ ràng quan hệ đồng du tr n là một quan hệ tirơng đuơng tr n A Lớp tuơng đirơng chứa f là tập f+ I := { f + h I he I} thì A/I lập thành một vành Định nghĩa tr n tập thirơng A/I theo quan hệ n y với hai phép to n 20 Ký hiệu 7r:A —» AA ; f 7c(ỹ) = f+I gợi là ánh xạ chính tắc Ta thấy K là một to n cấu vành... tương ư ng với: Y là đóng n u ph n bù □ " \Y là mở 2.1.13 Các đinh nghĩa a Một tập con Xc □ n gọi là bị ch n nếu t n tại a > 0 sao cho X c Ba(0) b Một tập con X gợi là compắc n u mỗi dãy trong X có một dãy con hội tụ đ n một điểm trong X 2.1.14 Định lý Bônxanô-Vâyơstrax Một tập con của □ n là compắc n u n đỏng và bị ch n 2.1.15 Các tính chất a Giả sửK c □ n là compắc và f: K —> □ n là một ánh xạ li n. .. ánh xạ (hàm so) li n tục f: Kd □ n -> □ xác định tr n một tập compẳc K sẽ đạt đ n một giả trị l n nhất và một giá trị nhỏ nhất 33 i cp(x) > 0, V xe □ n và (p(x) = 0 X = 0; ii (p(A,x) = |Aị ... số, Tôpô Zariski □ n □ n Chương Trình bày không gian Tôpô thông thường □ □ n, tương ư ng chu n □ n n khái niệm hình cầu mở, hình cầu đóng Chương Trình bày số khác biệt tôpô Zariski tôpô thông thường. .. li n thông thường nhung điều ngược lại không đủng Chứng minh Vì tôpô K[xbthô x2, ,h n Xn]9f :tôpô □ n - >thông Zariski □ thường (Mệnh đề 3.2), n n li n tục tôpô Zariski li n tục tôpô thông thường. .. tài lu n v n là: “Sư khác biệt tôpô Zariski tôpô thông thường □ n □ n 4 Trong lu n v n này, trình bày khác biệt tôpô Zariski tôpô thông thường □ n □ n Đe tài có nhiệm vụ tập họp, phát cập nhật