Sự khác biệt giữa tôpô zariski và tôpô thông thường trên Rn và Cn

1 LỜI CẢM ƠN Với việc hoàn thành Luận văn này, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Phó Giáo sư – Tiến sĩ Nguyễn Huỳnh Phán, người nhiệt tình bước hướng dẫn thực việc nghiên cứu đề tài: từ việc gợi ý, cung cấp tài liệu nghiên cứu, hướng dẫn phương pháp thực truyền đạt nhiều kiến thức quý báu suốt trình thực luận văn đến việc chỉnh sửa hoàn chỉnh nội dung luận Tôi xin chân thành cảm ơn quý Thầy tổ Bộ môn Hình Học, Khoa Toán Trường Đại học Vinh Phòng Quản lý Sau đại học Trường Đại học Đồng Tháp giúp hoàn thành tất học phần Khóa học, nâng cao trình độ kiến thức chuyên môn phương pháp học tập hữu ích; giúp hoàn thành học trình, đặc biệt luận văn tốt nghiệp Xin chân thành cảm ơn quan tâm lãnh đạo Sở Giáo dục Đào tạo, Sở Tài tỉnh Đồng Tháp, Phòng Giáo dục Đào tạo huyện Thanh Bình, Ban Giám Hiệu trường THCS Tân Quới, huyện Thanh Bình, tỉnh Đồng Tháp toàn thể quý đồng nghiệp, bạn khóa học, gia đình động viên, giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho hoàn thành luận văn tốt nghiệp Chân thành cảm ơn! Đồng Tháp, ngày 03 tháng năm 2013 Tác giả Nguyễn Thanh Hoà MỤC LỤC MỞ ĐẦU Không gian tôpô cấu trúc cho phép người ta hình thức hóa khái niệm hội tụ, tính liên thông, tính liên tục nhiều tính chất toán học khác Chúng xuất tất ngành toán học đại khái niệm có tính trọng tâm Một tập hợp cho trước có nhiều tôpô Nếu tập cho nhiều tôpô khác nhau, xem không gian tôpô khác Bất kì tập cho tôpô rời rạc mà tập tập mở Những dãy (hay lưới) hội tụ không gian dãy cuối Bất kì tập hợp trang bị tôpô thô, tôpô có tập mở rỗng Trong tôpô này, dãy lưới hội tụ tới điểm không gian Ví dụ cho thấy không gian tôpô tổng quát, giới hạn dãy không thiết Trong luận văn này, xét hai loại tôpô, là: − Tôpô thông thường không gian Euclid ¡ n , £ n định nghĩa tập mở sở hình cầu mở − Tôpô thứ hai ¡ n £ n tôpô Zariski định nghĩa cách coi tập đóng tôpô Zariski tập nghiệm hệ phương trình đa thức Sau tìm hiểu, lựa chọn lĩnh vực Hình học đại số, nhận thấy có khác biệt tôpô Zariski tôpô thông thường ¡ n , £ n với động viên, khích lệ Thầy Nguyễn Huỳnh Phán phương châm để thực đề tài Vì vậy, chọn tên đề tài luận văn là: “Sự khác biệt tôpô Zariski tôpô thông thường ¡ n £ n ” Trong luận văn này, trình bày khác biệt tôpô Zariski tôpô thông thường ¡ n £ n Đề tài có nhiệm vụ tập hợp, phát cập nhật kết khác biệt hai loại tôpô Zariski tôpô thông thường ¡ n £ n Nội dung luận văn bao gồm phần mở đầu, ba chương phần kết luận: Phần mở đầu Giới thiệu khái quát đề tài luận văn Chương Trình bày Tập đại số, Tôpô Zariski ¡ n £ n Chương Trình bày không gian Tôpô thông thường ¡ £ n , tương đương chuẩn ¡ n n khái niệm hình cầu mở, hình cầu đóng Chương Trình bày số khác biệt tôpô Zariski tôpô thông thường ¡ n £ n Phần kết luận Trình bày cách ngắn gọn kết luận văn hướng phát triển đề tài thời gian tới CHƯƠNG TÔPÔ ZARISKI Trong chương này, nhắc lại số kiến thức tập đại số, iđêan cấu xạ tôpô Zariski Nội dung làm sơ sở cho trình bày luận văn 1.0 Kiến thức chuẩn bị Tôpô Định nghĩa Cho tập X khác rỗng Một họ T tập X gọi tôpô X thoả mãn đồng thời điều kiện sau: i X ∈ T ∅ ∈ T; ii Hợp tuỳ ý tập thuộc T thuộc T; iii Giao hữu hạn tập thuộc T thuộc T Một tập X trang bị tôpô gọi không gian tôpô, kí hiệu (X, T) Nếu kí hiệu không gian tôpô X ta ngầm hiểu X trang bị tôpô 1.1 Tập đại số 1.1.1 Định nghĩa Cho A vành giao hoán có đơn vị Vành đa thức n biến x1, x2,…., xn A tập A[X] : = A[x 1, x2,…., xn ] Mỗi phần tử f A[X] gọi đa thức, có dạng f = ∑ r1+r2 + +rn≤ d λr1,r2 , ,rn x1r1 x2r2 xn rn với d số tự nhiên λr1,r2 , ,rn ∈ A gọi hệ tử Khi A trường λr1,r2 , ,rn ≠ 0, ta gọi chúng hệ số Các biểu thức x1r1 x2r2 xn rn với hệ tử tương ứng khác gọi đơn thức Bậc đơn thức x1r1 x2r2 xn rn tổng số mũ r1 + r2 +… + rn Bậc f ≠ bậc lớn đơn thức f ký hiệu degf Nếu f = 0, ta quy định deg f = −∞ Nếu ≠ f ∈ A, ta nói degf = Khi degf = 1, ta nói f đa thức bậc nhất, có dạng f = a1x1 + a2x2 + … + anxn + an+1, phải có hệ số khác không Người ta thường viết đa thức nhiều biến theo thức tự biến theo giá trị giảm dần bậc đơn thức, nghĩa là: x1r1 x2r2 xn rn > x1s1 x2 s2 xn sn r1 + r2 +… + rn > s1 + s2 +… + sn r1 + r2 +… + rn = s1 + s2 +… + sn tọa độ khác không vectơ (r1 – s1, r2 – s2 ,… , rn - sn ) dương 1.1.2 Ví dụ Với biến x1, x2, ta có : x1m > x1m−1x2 > x1m−2 x2 > > x2 m > > x1 > x2 1.1.3 Bổ đề Nếu A miền nguyên (nghĩa với c, d ∈A mà cd = c=0 d=0, ta nói A ước không) deg fg = deg f + deg g Chứng minh Mọi đơn thức fg tích đơn thức f đơn thức g Nếu umax , vmax đơn thức có bậc lớn f g tương ứng với hệ tử khác không c, d, đơn thức có bậc lớn fg tích u max vmax với hệ tử cd Do A miền nguyên nên cd ≠ Do deg fg = deg (umax vmax) = deg umax + deg vmax = deg f + deg g 1.1.4 Bổ đề Nếu A miền nguyên vành đa thức A[X] miền nguyên phần tử khả nghịch A[X] phần tử khả nghịch A Chứng minh Nếu f, g đa thức khác A[X] Do deg f, deg g ≥ 0, nên deg fg ≥ fg ≠ Vậy A[X] miền nguyên Tiếp theo, f g = deg fg = deg f + deg g = 0, f g phần tử khác A Vậy f g phần tử khả nghịch A Cho f đa thức hệ số trường K Coi K n không gian afin nchiều Điểm a = (a1, a2,…., an) ∈ Kn gọi nghiệm f f (a) = ∑ r1+r2+ +rn≤d λr1,r2 , ,rn a1r1 a2r2 an rn = Chú ý rằng, đa thức f xác định ánh xạ f : Kn → K; a a f(a), gọi ánh xạ đa thức 1.1.5 Bổ đề Nếu trường K vô hạn f(a) = với ∀ a ∈ Kn ⇔ f = Chứng minh Nếu n = 1, đa thức biến khác có hữu hạn nghiệm nên kết hiển nhiên Khi n > 1, giả sử ngược lại, f ≠ Giả thiết f chứa biến xn Viết f dạng f = f0 + xnf1 + xn2f2 + … + xnmfm với f0 , f1 , f2 , … , fm đa thức n – biến đầu f m ≠ Dùng quy nạp, ta giả thiết tồn b = (b 1, b2,…., bn-1) ∈ Kn - cho fm(b1,b2, ….,bn-1) ≠ Khi f (b, xn) = f0 (b) + xnf1 (b) + xn2 f2 (b) …+ xnm fm(b) Đây đa thức biến x n khác không bậc m, nên có hữu hạn nghiệm Điều mâu thuẫn với giả thiết f(a) = với a ∈ Kn 1.1.6 Hệ Nếu trường K vô hạn f (a) = g(a) với a=(a1,a2, …., an) ∈ Kn f = g Chứng minh Đặt h = f – g, áp dụng Bổ đề 1.1.5, ta nhận kết 1.1.7 Chú ý Nếu K trường hữu hạn tính chất không Từ trở đi, ta giả thiết trường K vô hạn 1.1.8 Ví dụ Nếu K = { a1, a2,…., as} f (x) = (x - a1) (x - a2)… (x - as) f triệt tiêu K f ≠ 1.1.9 Định nghĩa tập đại số Cho K trường, tập V ⊆ Kn gọi tập đại số nghiệm họ hữu hạn hay vô hạn đa thức n biến K[X] 1.1.10 Ví dụ Tập rỗng φ tập đại số phương trình f = với f ∈ K mà f ≠ vô nghiệm Tập điểm a = (a1, a2,…., an) tập đại số nghiệm hệ n phương trình  xi - a i =  i = 1, 2, , n Các m – phẳng không gian afin Kn tập đại số nghiệm hệ phương trình tuyến tính Kn tập đại số nghiệm phương trình = 1.1.11 Chú ý Khái niệm “Tập đại số” không phụ thuộc vào việc chọn tọa độ, nghĩa V nghiệm hệ đa thức f(x 1, x2,…., xn )∈ S, với tọa độ (y1, y2,…., yn ), ta có  xi = ci + ci1 y1 + ci y2 + .+ cin yn   i = 1, 2, , n điểm V với tọa độ nghiệm hệ phương trình f(c10 + c11y1+….+ c1nyn,… , cn0 + cn1y1+….+ cnnyn) = 0, f ∈ S Ta ký hiệu tập nghiệm đa f Z(f) Nếu deg f =  K n neáu f = Z(f) =   φ neáu f ≠ Nếu deg f > Z(f) gọi siêu mặt Nói riêng, deg f = (nghĩa f đa thức bậc nhất) Z(f) siêu phẳng Cho S tập K[X] Ký hiệu Z(S) tập nghiệm tất đa thức S (thường gọi vắn tắt tập nghiệm S), nghĩa Z(S) tập đại số Ta có: Z(S) = IZ(f) f ∈S 1.1.12 Chú ý Tương ứng S → Z(S) cho ánh xạ từ họ tất tập vành đa thức K[X] đến họ tất tập không gian afin Kn 1.1.13 Ví dụ a) Nếu f đa thức biến, tập đại số Z(f) : tập rỗng ; tập hữu hạn toàn K 10 b) f = x2 – y, Z(f) = { (a, a2) ; a ∈ K } Nó parabol y x x2 – y = Thật vậy, đặt V = { (a, a2) ; a ∈ K } Ta có V ⊆ Z(f) Ngược lại, giả sử (a1, a2) ∈ Z(f) Nếu a1= a2 = nên (a1, a2) = (0, 02) ∈ V Khi a1 ≠ 0, ta có  a =    a2 =  a12 a  a  = = ÷ := a a1 a  a1  a 22 a 22  a  = =  ÷ : = a2 a a1  a1  Do ta có (a, a) ∈ V Từ suy Z(f) ⊆ V Vậy ta có V = Z(f) c) f = x3 – y2 Z(f) = { (a2, a3) ; a ∈ K } Thật vậy, đặt V := { (a2, a3) ; a ∈ K } Chứng minh tương tự trên, ta có V ⊆ Z(f) Ngược lại, giả sử (a1, a2) ∈ Z(f) Nếu a1 = a2 = nên (a1, a2) = (02, 03) ∈ V Khi a1 ≠ 0, ta có y x x3 – y2=0 34 Vậy ta lấy A = , B = cho chuẩn max hoặc, cách n tương đương || x ||max ≤ || x || ≤ x n max Bây giờ, ta giả sử ϕ: ¡ n → ¡ chuẩn Ta chứng minh ϕ liên tục Ta có: ϕ(x) = ϕ ( ∑ x e ) ≤ ∑ || x j j j || ϕ(e j ) , e1, ,en sở tắc, nghĩa ei vuông góc với ej chuẩn Ơclit ei Nếu max{ϕ (e1), , ϕ (en)} = M ϕ (x) ≤ M ∑ || x j || ≤ Mn || x ||max ≤ Mn || x || Theo bất đẳng thức tam giác thì: |ϕ (x) – ϕ (y)| ≤ ϕ (x – y) ≤ Mn||x – y|| Điều chứng tỏ ϕ liên tục, giả sử lim xk = y ¡ n |ϕ (xk) – ϕy)| ≤ Mn||xk – y||, limϕ (xk) = ϕ (y) ¡ Vì ϕ liên tục , nên đạt giá trị cực đại B giá trị cực tiểu A tập đóng bị chặn {x ∈ ¡ n \ ||x|| = 1} Bây giả sử x ∈ ¡ n Nếu x = 0, mệnh đề hiển nhiên 35 Nếu ||x|| = α ≠ 0, ϕ (x) = α.ϕ (α-1x) Vì ||α-1x || = 1, ta có A ≤ ϕ (α-1x) ≤ B nên A ≤ α-1N(x) ≤ B Hệ thức cho ta nhận kết mệnh đề, α = || x || 2.2.3 Định nghĩa Giả sử E ⊂ ¡ n không gian vectơ Ta định nghĩa chuẩn E hàm ϕ: E → ¡ thoả mãn ba tính chất chuẩn Định nghĩa 2.2.1 Mỗi chuẩn ¡ hạn chế thành chuẩn E Để thấy điều này, ta phân tích ¡ tổng trực tiếp ¡ n n n thành = E ⊕F Cho chuẩn ϕ E, ta định nghĩa chuẩn ϕ’ ¡ n ϕ’(x) = ϕ(y) + ||z||, x = y + z, y ∈ E, z ∈ F ||z || chuẩn Ơclit z 2.2.4 Định nghĩa Một không gian vectơ E ⊂ ¡ n với chuẩn ϕ E gọi không gian định chuẩn, ký hiệu (E,ϕ) đơn giản E 2.2.5 Mệnh đề Giả sử (E, ϕ) không gian vectơ định chuẩn Một dãy {xk} E hội tụ đến y lim ϕ(x k - y) = k →∞ Chứng minh Giử sử A > 0, B > mệnh đề 2.1.3 ϕ(x k - y) = lim k →∞ 36 Khi bất đẳng thức ≤ ||xk – y || ≤ A–1 ϕ(xk – y) ϕ(x k - y) = , từ xk → y Chứng tỏ lim k →∞ Ngược lại, giả sử dãy {xk} ∈ E hội tụ đến y Theo định nghĩa, lim ||x k - y || = k →∞ Áp dụng Mệnh đề 2.2.2 ta có: lim ϕ(x k - y) = k →∞ 2.2.6 Mệnh đề Giả sử (E,N) không gian vectơ định chuẩn Khi hình cầu đơn vị D = {x∈E |N(x) ≤ 1} compắc Chứng minh Giả sử B Mệnh đề 2.2.2 Khi D tập bị n chặn ¡ , chứa tập {x∈ ¡ n | ||x ||≤ B– 1} Từ Mệnh đề 2.2.5, suy D tập đóng Vậy D tập bị chặn đóng nên compắc 2.2.7 Định nghĩa Cho hai chuẩn ϕ ψ ¡ n ϕ gọi tương đương với ψ tồn số dương C1, C2 cho C1ψ(x) ≤ ϕ(x) ≤ C2ψ(x), ∀x ∈ ¡ n (*) 37 Dễ thấy quan hệ ~ chuẩn quan hệ tương đương Thật vậy, có bất đẳng thức (*), ta có 1/C ϕ(x) ≤ ψ(x), nên C1/C2ϕ(x) ≤ C1 ψ(x) ≤ ϕ(x), suy 1/C2ϕ(x) ≤ ψ(x) ≤ 1/C1 ϕ(x), nghĩa ψ tương đương với ϕ Vậy ϕ tương đương với ψ ta viết ϕ ~ ψ (vì chúng tương đương với nhau) Định lý sau cho phép sau ta cần xét chuẩn ¡ n , đặc biệt chuẩn Ơclit chuẩn max 2.2.8 Định lý Hai chuẩn ¡ n tương đương Chứng minh Chỉ cần chứng minh chuẩn ¡ n tương đương với chuẩn max Giả sử e1, e2, , en sở tắc ¡ n nghĩa ei vuông góc với ej chuẩn Ơclit ei Viết n ∑ x e , x = (x , x , , x ) ∈ ¡ x= i=1 i i n n Ta có: n ϕ(x) ≤ ∑ i=1 |xi|ϕ(ei) ≤ C2||x||max, ∀x ∈ ¡ n n Với C2 = ∑ ϕ(ei) > i =1 Để tìm C1 cho: C1||x||max ≤ ϕ(x), ∀x ∈ ¡ n Ta xét S = {x∈ ¡ n : || x|| =1} Chỉ cần chứng tỏ α = inf{ϕ(x) : x∈S} > Vì 38  x  ÷ ≥ α||x||max C1 chọn α || x ||  ∞  ϕ(x) = ||x||maxϕ  k k k Nếu α = 0, tồn dãy xk = ( x1 + x + + x n ) ⊂ S cho lim ϕ(x k) = x →∞ 2.2.9 Định nghĩa: Cho d1, d2 khoảng cách ¡ n Hai khoảng cách gọi tương đương tồn α, β > cho αd1(x,y) < d2(x,y) < βd1(x,y) 2.2.10 Định lý Hai khoảng cách ¡ n tương đương Chứng minh Tương tự chứng minh Định lý 2.3 Khái niệm hình cầu mở, hình cầu đóng 2.3.1 Các định nghĩa Cho d khoảng cách ¡ n ; Giả sử x0 là điểm không gian ¡ n r số thực dương, ta gọi hình cầu mở, hình cầu đóng, mặt cầu tâm x0, bán kính r (đối với khoảng cách d) tập sau đây: B(x0,r) = {x∈ ¡ n |d(x0,x) < r}, B’(x0,r) = {x∈ ¡ n |d(x0,x) ≤ r}, S(x0,r) = {x∈ ¡ n |d(x0,x) = r} Cho A ⊂ ¡ n x0 ∈ ¡ n Ta nói x0 điểm (ngoài) A tồn số dương ε cho B(x0,ε) ⊂ A, B(x0,ε) ∩ A = φ x0 gọi 39 điểm biên A x0 vừa điểm trong, vừa điểm A; Tức là, với ε > ta có B(x0,ε) ∩ A ≠ φ B(x0,ε) \A≠ φ Tập điểm trong, điểm ngoài, điểm biên A gọi phần trong, phần ngoài, biên A kí hiệu Int(A), Ext(A) ∂A Rõ ràng ba tập lập thành phân hoạch ¡ n (nghĩa chúng rời có hợp ¡ n ) Hơn nữa, từ định nghĩa ta có: Int(A) ⊂ A ⊂ Int(A) ∪ ∂A; Ext(A) ⊂ ¡ n \A Tập A gọi tập mở nếu: A = Int(A), gọi tập đóng nếu: A = Int(A) ∪ ∂A, hay, cách tương đương ∂A ⊂ A Nhận xét: i Với A ⊂ ¡ n , Int(A) mở tập mở lớn A ii Cho A ⊂ ¡ n Lúc A đóng ¡ n \A mở iv Họ tập mở theo khoảng cách d lập thành tôpô ¡ n gọi tôpô sinh khoảng cách d Ví dụ tập mở theo metric ¡ Cho x = ( x1, x2), y = (y1, y2) metric sau: d1(x, y) = |x1 – y1| + |x2 – y2| d2(x, y) = (x1 – y1)2 + (x2 – y2)2]1/2 d ∞ (x, y) = max{|x1 - y1|, |x - y |} 40 Khi cầu mở tương ứng với metric ¡ Bd1 (0,1) , Bd2 (0,1) , Bd∞ (0,1) hình vẽ: : Bd1 (0, 1) 2.3.2 Bd2 (0, 1) Bd∞ (0, 1) Mệnh đề Cho d1, d2 hai khoảng cách ¡ n Thế họ tập mở theo chuẩn d 1, d2 ¡ n trùng Nói khác đi, hai tôpô sinh hai khoảng cách trùng Chứng minh Theo Định lý 2.2.10, hai khoảng cách d1, d2 tương đương Nghĩa là, tồn số dương A1, A2, B1, B2 cho: A1d1(x,y) ≤ d2(x,y) ≤ B1d1(x,y) A2d2(x,y) ≤d1(x,y) ≤ B2d2(x,y) Do với A ⊂ ¡ n x ∈ A tồn hình cầu mở B1(x,r1) = {y∈ ¡ n |d1(x,y) < r1} theo khoảng cách d1, bán kính r1, tâm x nằm trọn A tồn hình cầu mở B2(x,r2) = {y∈ ¡ n |d2(x,y) < r2} theo khoảng cách d2, bán kính r2, tâm x nằm trọn A ngược lại 41 Nghĩa là, A ⊂ ¡ n mở khoảng cách d1 A mở khoảng cách d2 ngược lại 42 CHƯƠNG SỰ KHÁC BIỆT CỦA TÔPÔ ZARISKI VÀ TÔPÔ THÔNG THƯỜNG TRÊN ¡ n VÀ £ n Trong Chương I II, ¡ n £ n giới thiệu hai tôpô phổ biến tôpô Zariski tôpô thông thường Trong chương này, khảo sát khác biệt hai tôpô Hầu hết kết chương tự phát chứng minh, vài kết lấy từ giảng Thầy hướng dẫn Mệnh đề Trên ¡ có loại tập đóng Zariski ∅, ¡ tập hữu hạn Nhưng tôpô thông thường Chứng minh Giả sử A ∈ ¡ tập đóng Zariski ¡ Nghĩa A tập nghiệm họ F đa thức biến vành đa thức ¡ [x] Mỗi đa thức có hữu hạn nghiệm vô nghiệm Nên A luôn tập hữu hạn tập rỗng Khi F gồm đa thức không A = ¡ Cho nên tập tập đại số ¡ có ba loại ∅, ¡ tập hữu hạn Ngược lại, trình bày Chương I cho thấy ¢ tập đóng tôpô thông thường không đóng tôpô Zariski tập vô hạn Mệnh đề Tôpô Zariski ¡ (nghĩa A ⊂ ¡ n n thực thô tôpô thông thường mở tôpô Zariski ¡ n A tập mở tôpô thông thường ¡ n ) điều ngược lại không Chứng minh Nếu A ⊂ ¡ n mở Zariski, nghĩa 43 A = ¡ n \Z(S) = A = ¡ n \ Z(S) = ¡ n \ ( I Z(f)) = U ( ¡ n \ Z(f)) , f ∈S f ∈S Z(f) tập nghiệm ¡ n đa thức f thuộc vành đa thức ¡ n [X] Nhưng Z(f) đóng tôpô Zariski đóng tôpô thông thường đa thức f cho ta ánh xạ liên tục K[x1, x2,…, xn] ∋ f: ¡ n → ¡ a a f(a) −1 Z ( f ) = f ({0}) đóng tôpô thông thường {0} tập đóng ¡ ⇒ ¡ n \ Z ( f ) mở tôpô thông thường Do A = U ( ¡ f ∈S n \ Z(f) tập mở tôpô thông thường Ngược lại, có tập đóng A tôpô thông thường không đóng tôpô Zariski Ví dụ, A = ¢ tập đóng tôpô thông thường không đóng tôpô tôpô Zariski tập vô hạn 3 Mệnh đề f: ¡ n → ¡ n liên tục tôpô Zariski liên tục tôpô thông thường điều ngược lại không Chứng minh Vì tôpô Zariski thô tôpô thông thường (Mệnh đề 3.2), nên liên tục tôpô Zariski liên tục tôpô thông thường Ngược lại có hàm số liên tục tôpô thông thường không liên tục tôpô Zariski Ví dụ: hàm cos: ¡ → ¡ liên tục tôpô thông thường Nhưng nghịch ảnh π cos-1({1}) = {2kπ| k∈ ¢ }, cos-1({0}) = { +kπ| k∈ ¢ } 44 tập vô hạn nên tập đại số ¡ Trong đó, tập số {1} lại đóng tôpô Zariski Cho nên hàm cos không liên tục tôpô Zariski ngược ảnh hàm cos tập đóng Zariski tập đóng Zariski Mệnh đề Hai tập mở Zariski không rỗng giao (trong tôpô Zariski) tôpô thông thường tính chất Chứng minh A, B ⊂ ¡ n - mở Zariski ⇒ A = U ¡ n \ Z(f), B = f ∈S U¡ g∈W n \ Z(g) nên để chứng minh A∩B ≠∅ ta cần xét A= B= U¡ n f ∈S ¡ U g∈W \ Z(f), f ∈ ¡ [x1 , x , , x n ] n \ Z(g), g ∈ ¡ [x1 ,x , ,x n ] n n n Khi : A∩B= (¡ \ Z(f)) ∩ (¡ \ Z(g)) = ¡ \ Z(fg) ≠ φ Vì f.g ≠0 (do f,g ≠ theo giả thiết) nên Z(fg) thực bé thua ¡ n , nghĩa ¡ n \ Z(fg) ≠ φ Định nghĩa Tập A ⊂ X không gian tôpô X gọi trù mật X A =X, ( A hợp A với điểm giới hạn A), điểm x điểm giới hạn A lân cận X điểm x giao khác rỗng với A Mệnh đề Mỗi tập sở tôpô Zaiski không rỗng tập trù mật Do đó, tập mở tôpô Zariski trù mật Trong đó, với tôpô thông thường 45 Chứng minh Từ kết mệnh đề 3.4, Z(S) tập mở khác rỗng tập mở khác rỗng khác giao với nó, lân cận điểm ¡ n giao khác rỗng với Z(S), nghĩa Z(S) tập trù mật ¡ n Hệ Tôpô Zariski không Hausdorff Trong đó, tôpô thông thường Hausdorff Chứng minh Ta biết không gian Hausdorff không gian mà với hai điểm phân biệt có hai lân cận điểm rời Nhưng theo Mệnh đề 3.4 hai lân cận tôpô Zariski giao Do vậy, chứng tỏ tôpô Zariski không Hausdorff Định lý Mọi tập T ⊂ ¡ n tập compact với tôpô Zariski.Trong đó, với tôpô thông thường Chứng minh Giả sử họ tập mở Zariski { U , j ∈ J} j phủ T ⊂ UU j , U j j∈J n mở Zariski ⇒ U j = ¡ \ Z(Si ) Z ( Si ) tập đóng Zariski ( ) T ⊂ U ¡ n \ Z ( Sj ) = ¡ j∈J n IZ ( S ) j j∈J ( ) ( ( ) ) ,( S ) Z S j = Z S j j iđêan sinh đa thức Sj   ⇒ T ⊂ ¡ n \ IZ ( S j ) = ¡ n \ Z   US j ÷÷  j∈J ÷ j∈J   ( )    j∈J  Mặt khác iđêan  U S j ÷÷là hữu hạn sinh – nghĩa hệ sinh xác định họ hữu hạn đa thức sinh   ⇒  US j ÷ = ( f1 , f ,…, f s ) iđêan sinh hữu hạn đa thức  j∈J  f1 , f ,…, fs 46 ⇒ T ⊂ ¡ n \ Z ( (f1 , f ,…, f s ) ) , f t ∈ St , t = 1, 2,…,s ⇒T ⊂ ¡ n s s t =1 t =1 \ IZ ( St ) = UU ( ¡ \ Z ( St ) ) = n s Ut t =1 Mệnh đề Đường cong x3 – y2 = đồng phôi tôpô thông thường với trục Ox, hai hình không đẳng cấu đa thức tôpô Zariski Chứng minh Thậy Đường cong x3 – y2 = đồng phôi tôpô thông thường với trục Ox phép chiếu vuông góc lên trục Ox Nhưng hai hình không đẳng cấu đa thức tôpô Zariski theo Ví dụ 1.3.21 47 KẾT LUẬN Những kết chủ yếu mà luận văn đạt là: Trình bày xếp theo hệ thống định nghĩa, khái niệm kèm với chứng minh chi tiết mệnh đề, định lý tập đại số, tôpô Zariski, Iđêan, cấu xạ tôpô Zariski tính chất chúng; Nhắc lại tôpô thông thường ¡ n £ n ; Chỉ rõ chuẩn ¡ n tương đương; Nêu tính chất khác biệt tôpô Zariski tôpô thông thường ¡ n £ n ; Hướng phát triển: Tiếp tục nghiên cứu hình học đại số hình học khác Chẳng hạn hình học xạ ảnh, hình học Ơclit 48 DANH MỤC CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO TIẾNG VIỆT [1] Ngô Bảo Châu (2003), Giáo trình hình học đại số, http://www.vietmaths.com [2] Văn Như Cương - Tạ Mân (2002), Hình học afin hình học Ơclit,NXB ĐHQG Hà Nội, Hà Nội [3] Văn Như Cương (1977), Lịch sử hình học, NXB Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội [4] Ngô Thúc Lanh (1982), Đại số, NXB Giáo dục, Hà Nội [5] Nguyễn Huỳnh Phán (2012), Nhập môn hình học đại số, Viện Nghiên cứu Phát triển Công nghệ [6] Ngô Việt Trung (2009), Nhập môn đại số giao hoán hình học đại số, http://www.vietmaths.com TIẾNG ANH [7] R.Hartshorne (1977), Algebraic Geometry, Spring - Verlag.Bertand [8] Hauchecorne - Daniel Suratteau (1996), Des Mathématiciens de A Z,Elipses, Paris [9] Ed WinH Spaniner (1966), Algebraic Topology, Mc Graw, New York [10] Morris W Hirsch, Stephen Smale, Robert L Devaney (1979), Differential equations, dynamical systems, and An introduction to chaos, Nhà xuất Đại học Trung học chuyên nghiệp – Hà Nội [11] Serge Lang (1970), Linear Algebra, Addison-Wesley [...]... ri rc xk = yk 0, d(x,y) = , Vi mi k 2 xk yk , xk yk 2.1.8 nh ngha Cho > 0, th thỡ - lõn cn ca x Ă B (x) := {y Ă n | ||x y|| < } n l tp 31 2.1.9 a Cỏc nh ngha Mt lõn cn ca x l mt tp hp con no ú ca Ă n cha mt - lõn cn ca x b Mt tp X Ă n gi l m (i vi khong cỏch d) nu nú l lõn cn ca mi mt x X Rừ rng hn, X l m nu v ch nu vi mi mt x X tn ti > 0 ph thuc x sao cho B (x) X c Mt dóy {x k } = x... 1.1.15 H qu H tt c cỏc tp i s trong K n lp thnh mt tụpụ, gi l tụpụ Zariski Mi phn t ca tụpụ ny (tc l mi tp Z(S)) gi l mt tp úng Zariski Chng minh Ký hiu Z(Kn) l h tt c cỏc tp i s Z(S) trong K n Th thỡ h ny cha rng, cha Kn v úng kớn vi hp hu hn, giao tựy ý nờn nú lp thnh mt tụpụ (theo ngụn ng tp úng) trờn Kn 1.1.16 Chỳ ý Mi tp m trong tụpụ Zariski l tp dng Kn \ Z(S) = Kn \ I Z( f ) f S = U(K f S n \ Z(f)... cỏc tp i s sang nghiờn cu cỏc iờan dng I V Hn na, h tt c cỏc iờan I V 19 n dng { IV ; V K l tp i s} lp nờn mt tụpụ trong K[X] ng phụi vi tụpụ Zariski trong Kn 1.3 Cu x trong tụpụ Zariski Trong phn ny, chỳng tụi nghiờn cu cỏc ỏnh x liờn tc trờn khụng gian tụpụ Zariski K n 1.3.1 nh ngha Cho V Kn, hm F : V K gi l hm a thc nu tn ti a thc f sao cho F = f|V , ngha l F(a) = f(a) vi mi a V 1.3.2 Chỳ ý Khỏi... (A/I)/(J/I) 1.3.7 nh ngha Cu x trong tụpụ Zariski Cho ỏnh x F: F W K m K n V 21 thỡ F luụn cú dng F(a) = (F1(a), F2(a), , Fm(a)); a V m ỏnh x F1 , F2 , , Fm : V K gi l hm ta Chỳ ý rng, Fi = pi.F ; pi l phộp chiu lờn to th i 1.3.8 nh ngha Cho V v W l hai tp i s nh x F núi trờn gi l ỏnh x a thc nu F1 , F2 , , Fm l cỏc hm a thc (ngha l chỳng cho bi cỏc a thc) Nu K l trng úng i s thỡ ỏnh x a thc c gi l... IW, F(V) = (F*)-1 (IV, V) = (F*)-1 (0) = ker F* 1.3.16 Mnh Cho V v W l cỏc tp i s thỡ mi ỏnh x a thc F 23 F W K m K n V l liờn tc vi tụpụ Zariski Hn na, vi mi tp úng Zariski T trong W ta cú F-1 (T) = Z(F*(IW, T)) Chng minh nh x a thc F l liờn tc vi tụpụ Zariski vỡ ngc nh ca tp úng T l tp úng Z(F*(IW, T)) Cho tựy ý a V Ta cú F(a) T khi v ch khi F*(G)(a) = G(F(a)) = 0 vi mi G IW, T , cú ngha l... l iờan cn khi v ch khi trong A khụng cú phn t ly linh Nhng vnh nh vy gi l vnh rỳt gn Vớ d, mi min nguyờn l vnh rỳt gn 1.2 10 B : IV l mt iờan cn 18 Chng minh Nu f r IV thỡ fr(a) = 0 vi mi a V, do ú f(a) = 0 vi mi a V, ngha l IV = IV 1.2 11 Mnh Gi s I, J l cỏc iờan trong K[X] Khi ú: IJ = I J = I J Chng minh Ta cú: IJ I J (1) I J I, I J J , (2) T (1) v (2) suy ra Ta cn chng... 1.3.4 Vớ d Khi V = {a} l tp 1 im thỡ mi hm a thc trờn nú l hm hng Vỡ vy, vnh a thc ca tp 1 im l trng K Mt hm a thc cú th c cho bi nhiu a thc khỏc nhau Tuy nhiờn, do f|V = g|V suy ra f g IV, nờn ta cú khỏi nim sau 1.3.5 nh ngha Cho I l iờan thc s ca vnh A v f, g A Ta núi f ng d vi g trờn I nu f g I Rừ rng quan h ng d trờn l mt quan h tng ng trờn A Lp tng ng cha f l tp f + I := { f + h | h I} nh... IV, thỡ do V = Z(IV ) nờn f(a) = 0 vi mi a V , ngha l f IV , do ú IV = IV 1.2 8 Ký hiu Cho I l iờan ca vnh A Ký hiu := {f A; f r I vi r no ú} 1.2 9 B Cho I l iờan, th thỡ I cng l iờan v I I Nu I = I thỡ I gi l iờan cn Chng minh Ly f, g ( f + g) I , ngha l fr , gs r+s = I Khi ú r+s Cri + s f r + s i gi i =1 Trong cp s t nhiờn (r + s i, i) , i = 1, , r + s luụn cú hoc thnh phn u ln hn r,... s chng minh cỏc ỏnh x a thc F nh vy l ỏnh x liờn tc trờn tụpụ Zariski 1.3.10 Vớ d i Mi hm s a thc trờn V l ỏnh x a thc t V vo K1 = K ; ii nh x ng nht IdV trờn V l ỏnh x a thc vỡ id : V V cho bi: IdV (a) = (p1(a), p2(a), , pn(a)), õy pi : V K l phộp chiu lờn to th i iii Nu F: V K l ỏnh x a thc thỡ mi tp úng T V, ỏnh x F thu hp trờn T cng l ỏnh x a thc iv Vi mi hm G : W K, ta gi hp thnh G o F :... nh nht cha I v J, 2 IJ = {f1g1++ frgr| f1,,fr I, g1,;gr J, r1} l mt iờan Chng minh 1 Vi , I+J, Ta cn chng minh + I+J v I+J + f ) + (g + g ) I + J + = (f 141 2 432 141 2 432 Vụựi f1 , f2 I vaứ g1 , g 2 J I J = f1 + g1 = f2 + g2 = f1.f 2 +f1.g 2 +g1.f 2 +g1.g 2 I + J 2 Vi , IJ, Ta cn chng minh + I J v I J Tng t nh 1 Ta cú : + f ) + (g + g ) IJ + = (f 141 2 432 141 2 432 ... = r1+r2 + +rn d r1,r2 , ,rn x1r1 x2r2 xn rn vi d l mt s t nhiờn no ú v r1,r2 , ,rn A gi l cỏc h t Khi A l trng v r1,r2 , ,rn 0, ta gi chỳng l cỏc h s Cỏc biu thc x1r1 x2r2 xn rn vi h t tng... li l úng tụpụ Zariski Cho nờn hm cos khụng liờn tc trờn tụpụ Zariski vỡ ngc nh bi hm cos ca úng Zariski khụng phi l úng Zariski Mnh Hai m Zariski khụng rng bt k u giao (trong tụpụ Zariski) nhng... minh Ta bit rng khụng gian Hausdorff l khụng gian m vi hai im phõn bit luụn cú hai lõn cn im ri Nhng theo Mnh 3.4 thỡ hai lõn cn bt k tụpụ Zariski u giao Do vy, chng t rng tụpụ Zariski khụng