Mặt phẳng với mật độ

ộgp Bộ BộGIÁO GIÁODỤC DỤCVÀ VÀĐÀO ĐÀOTẠO TẠO ' ""1 TRƯỜNG TRƯỜNG ĐẠI ĐẬI HỌC HỌC sữ SỬPHẠM PHẠMTP TP.HO HÒCHÍ CHÍMINH MINH Phan Thị Thái Hòa Phan Thị Thái Hòa MẶT PHẲNG VỚI MẬT ĐỘ ••• MẶT PHẲNG VỚI MẬT ĐỘ Chuyên ngành : Hình học Tôpô Mã số : 60 46 1*0 LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC : PGS.TS LÊ ANH vũ Thành Thànhphố phốHồ HồChí ChíMinh Minh 2009 2009 LỜI CẢM ƠN Trong luận văn này, xin gửi lời cảm ơn chân thành đến quý thầy cô khoa Anh, khoa Triết khoa Toán- Tin truờng Đại Học Su Phạm TP Hồ Chí Minh tham gia giảng dạy cung cấp cho tri thức, phương pháp tiếp cận khoa học làm việc hiệu Đặc biệt, cảm nhận tình cảm thầy trò sâu sắc lòng nhiệt thành công việc PGS.TS Lê Anh Vũ- người trực tiếp hướng dẫn khoa học, thầy cho gưong sáng học tập làm việc.Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy Tôi xin gửi lời cảm ơn cán phòng Khoa Học Công Nghệ & Sau Đại Học, phòng Ke hoạch - Tài Trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh; Ban giám hiệu trường THPT Trấn Biên- Biên Hoà- Đồng Nai, toàn thể quý đồng nghiệp, bạn bè, gia đình động viên, giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho hoàn thành luận văn Thưa thầy, có nhiều cố gắng song thân nhiều hạn chế trình độ, kinh nghiệm, thời gian nghiên cứu nên chắn viết không tránh khỏi thiếu sót Do kính mong thầy đóng góp cho kiến thức quý báu để hoàn thiện tốt Một lần chân thành cảm ơn xin trân trọng kính chào Tp Hồ Chí Minh, tháng 05 năm 2009 Tác giả Phan Thị Thái Hoà DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU Ý nghĩa Không gian Gauss m- chiều Không gian Euclid n- chiều Hàm mật độ Đường cong a Danh mục ký hiệu MỤC LỤC Diện tích theo mật độ Lời cảm ơn Thể tích đa tạp Mục lục Vi phân độ dài đường cong theo mật độ Độ cong Gauss Danh mục hình Độ cong Gauss theo mật độ cp MỞ ĐẦU Độ cong đường t Chương 1: KIẾN THỨCtạiCHUẨN BỊ cp-độ củavới đường cong 1.1 cong Đa tạp mật độ Chu Riemann 1.2.vi Một số kết hình học .6 Chu 2: vi ĐƯÒNG Riemann theo mậtTRONG độ e[...]... Trong mặt phang Gauss ơ2, độ cong theo mật độ của đường thẳng là hằng số và hằng số này bằng khoảng cách từ gốc toạ độ đến đưòng thẳng Tuy nhiên, trên mặt phẳng R2 với mật độ er thì độ cong của đường thẳng không còn là hằng số Định nghĩa 2.1.3(Xem [15, tr 4]) Đưòĩig trắc địa là đường cong đẳng chu có độ cong theo mật độ là Ví dụ 2.1.4 Trong mặt phẳng R2 với mật độ e~r /2, các đường thẳng qua gốc tọa độ. .. tọa độ khi p -» 0, hoặc là tia đơn vị khi p -» +CO Hình 2.1 : Mặt phẳng với mật độ rp,p > 0 Định lý 2.2.8 (Xem[8, tr.8]) Trong mặt phẳngi^2 với hàm mật độ ex Neu a là đường cong giới hạn một miền và có kọ là hằng Thì a hoặc là đóng hoặc có độ dài theo mật độ CHỦNG MINH Giả sử ngược lại, tức tồn tại một đường cong a không đóng và có độ dài theo mật độ xác định bao miền D Vì a có độ dài theo mật độ. .. thẳng thực 2.1 Độ cong của đường cong trong mặt phắng vói mật độ( Xem[2],[15]) Định nghĩa 2.1.1(Xem[15, tr 3]) Trên đa tạp Riemann 2-chiều với mật độ eẹ, độ cong theo mật độ hay ọ-ẫọ cong k v của đường cong theo pháp vectơ đơn vị n được cho bởi công thức: dn (2.1.1) 9 Ví dụ 2.1.2 a Trong mặt phẳng Gauss G2, một đường tròn có bán kính r với vectơ pháp tuyến hướng vào trong có độ cong theo mật độ là hằng... 1.2.7(Xem [8, tr 13]) Trong mặt phẳng Gauss có duy nhất một đuờng trắc địa đóng, là đuờng Định lý 1.2.8(Xem [6]) Trong R"+] với một mật độ cầu, log-lồi các hình cầu tâm ở gốc toạ độ là miền đẳng chu duy nhất 8 Chương 2 ĐƯỜNG CONG TRONG MẶT PHẢNG VỚI MẬT Độ Trong chương này, chúng tôi đưa ra một số công thức về độ cong tại t và độ cong theo mật độ e(p, dựa vào đó đi tính độ cong của các đường quen thuộc... mật độ trên biên của pháp vectơ và □ là vi phân độ dài của đường cong theo mật độ Định nghĩa 2.1.13(Xem[2, tr.15]) Ta có = e^ds Trên mặt phẳng R2 với mật độ eẹ, (Ọ-ẫộ cong toàn phần của mộtdsẹ đường cong tran a : —> R2, a;b E R dt dt Tham số hóa độ dài cung theo s được cho bởi công thức = J eẹ vds -1 e^kvds = -(J (k )evvds) = -J kyVds dn Định lý 2.1.14(Xem|2, tr.15]) r dA,n Trên mặt phẳng R2 với mật. ..7 của nó là một siêu mặt có chứa diện tích nhỏ nhất trong các miền Í2 có thể tích V (£2) = t Định lý 1.2.4(Xem[8, tr 5]) Cho mặt phẳng n với hàm mật độ r p -2 < p < 0 , lúc đó không tồn tại miền đẳng chu Định lý 1.2.5(Xem[8, tr 7]) Trong mặt phẳng n với hàm mật độ rp ,p> 0 hoặc p < -2 thì tồn tại miền đẳng chu Định lý 1.2.6(Xem[8, tr 3]) Trong mặt phang n với mật độ eẹ không là hằng và G(p =G-A(p... thẳng đứng, chu vi lớn hơn diện tích A Densỉty=ex Hình 2.2: Mặt phẳng với mật độ ex 2.3 Mặt phẳng với mật độ ex ~y , gọi là c - phẳng Định nghĩa 2.3.1 được định nghĩa như sau / '-R2 —> R+ (x,y)\-^ f[(x,y)] :=eỵ2~y2 Nhận xét 2.3.2 Mật độ ex ~y là hằng trên mỗi hyperbol X2 - y2 = c(const) nghĩa là trên mồi điểm của hyperbol đều có cùng mật độ Định lý 2.3.3 (Xem[8, tr.10]) Cho Ỵ là một đường trắc địa... trên mặt phang này Mệnh đề 2.1.5(Xem[15, tr.4]) Cho một đường cong r(0) trên đa tạp Riemann 2-chiều với mật độ eẹ^ Khi đó độ cong theo mật độ kp được cho bởi công thức: dọ ị r2 + lr'2-rr' É đỊ:r 2 '2 rH——r —r + r') r^(r2 dn +r,2y r^r2 +r'2 (2.1.2) 10 Định lý 2.1.6(Xem[15, tr 5]) Trên mặt phẳng R2 với mật độ eọ( ... Riemann theo mậtTRONG độ e