Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 73 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
73
Dung lượng
764,26 KB
Nội dung
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Phan Thị Thái Hòa MẶT PHẲNG VỚI MẬT ÐỘ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2009 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Phan Thị Thái Hòa MẶT PHẲNG VỚI MẬT ÐỘ Chuyên ngành : Hình học Tôpô Mã số : 60 46 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC : PGS.TS LÊ ANH VŨ Thành phố Hồ Chí Minh – 2009 LỜI CẢM ƠN Trong luận văn này, xin gửi lời cảm ơn chân thành đến quý thầy cô khoa Anh, khoa Triết khoa Toán- Tin trường Đại Học Sư Phạm TP Hồ Chí Minh tham gia giảng dạy cung cấp cho tri thức, phương pháp tiếp cận khoa học làm việc hiệu Đặc biệt, cảm nhận tình cảm thầy trò sâu sắc lòng nhiệt thành công việc PGS.TS Lê Anh Vũ- người trực tiếp hướng dẫn khoa học, thầy cho gương sáng học tập làm việc.Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy Tôi xin gửi lời cảm ơn cán phòng Khoa Học Công Nghệ & Sau Đại Học, phòng Kế hoạch – Tài Trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh; Ban giám hiệu trường THPT Trấn Biên- Biên Hoà- Đồng Nai, toàn thể quý đồng nghiệp, bạn bè, gia đình động viên, giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho hoàn thành luận văn Thưa thầy, có nhiều cố gắng song thân nhiều hạn chế trình độ, kinh nghiệm, thời gian nghiên cứu nên chắn viết không tránh khỏi thiếu sót Do kính mong thầy đóng góp cho kiến thức quý báu để hoàn thiện tốt Một lần chân thành cảm ơn xin trân trọng kính chào Tp Hồ Chí Minh, tháng 05 năm 2009 Tác giả Phan Thị Thái Hoà MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cảm ơn Mục lục Danh mục ký hiệu Danh mục hình MỞ ÐẦU Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Đa tạp với mật độ 1.2 Một số kết hình học Chương 2: ÐƯỜNG CONG TRONG MẶT PHẲNG VỚI MẬT ÐỘ 2.1 Độ cong đường cong mặt phẳng với mật độ 2.2 Mặt phẳng với mật độ r p x 2.3 Mặt phẳng với mật độ e x e 15 y2 , gọi - phẳng 21 2.4 Định lý bốn đỉnh 29 2.5 Bài toán đẳng chu đường thẳng thực với hàm mật độ 42 Chương 3: ĐƯỜNG CONG VỚI ÐỘCONG HẰNG 3.1 Đường cong có độ cong với mật độ e x y 52 3.2 Hình vẽ minh họa đường có độ cong 59 KẾT LUẬN 63 TÀI LIỆU THAM KHẢO 64 BẢNG TRA CỨU THUẬT NGỮ 66 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU Ký hiệu Ý nghĩa Gm : Không gian Gauss m- chiều Rn : Không gian Euclid n- chiều φ : Hàm mật độ (t) : Đường cong A : Diện tích theo mật độ V(M) : Thể tích đa tạp ds : Vi phân độ dài đường cong theo mật độ G : Độ cong Gauss Gφ : Độ cong Gauss theo mật độ φ k : Độ cong đường t kφ : φ-độ cong đường cong dP : Chu vi Riemann dPφ : Chu vi Riemann theo mật độ eφ dV : Thể tích Riemann dVφ : Thể tích Riemann theo mật độ eφ r(x) : r ( x) x12 x n2 , x n R : Biên miền R : Miền đẳng chu Vol( ) : Thể tích với mật độ f ( x) e P( ,U) : Chu vi : Siêu mặt chứa gốc tọa độ (v ) : Biến phân thứ DANH MỤC CÁC HÌNH Hình 2.1 p : Mặt phẳng với mật độ r , p 19 Hình 2.2 : Mặt phẳng với mật độ e 21 Hình 2.3 : Lưới đường trắc địa Hình 2.4 : Đồ thị đường trắc địa phẳng 24 Hình 2.5 : Đồ thị đường trắc địa phẳng qua gốc mang x phẳng 23 hướng dương hội tụ đường thẳng song song với Ox 24 Hình 2.6 : Đồ thị đường .27 Hình 2.7 : Đồ thị hàm h( p) .29 Hình 2.8 : Đường tròn có hai đỉnh mặt phẳng Gauss 31 Hình 2.9 : Tồn mật độ cầu để đường tròn chứa gốc tọa độ có 2n đỉnh 39 Hình 2.10 : Miền đẳng chu với mật độ e x 46 Hình 2.11 : Miền đẳng chu với mật độ f(x) VD 2.5.10 nửa đường thẳng khoảng bị chặn 48 Hình 2.12 : Không tồn miền đẳng chu với mật độ f(x) VD 2.5.12 49 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Như biết hình học Affine, hình học Euclid, hình học xạ ảnh, hình học vi phân xây dựng sở xác định nhóm phép biến đổi thích hợp không gian xác định nghiên cứu bất biến qua nhóm phép biến đổi Trong hình học này, phận hình học vi phân cổ điển dành để nghiên cứu tính chất địa phương đường mặt phẳng Euclid thông thường Trong mặt phẳng mật độ xem điểm Vấn đề đặt là, mật độ điểm không tính chất hình học độ cong, toán đẳng chu, … thay đổi nào? Đây vấn đề thú vị có nhiều ý nghĩa nội Toán học lẫn thực tiễn Đa tạp với mật độ đa tạp Riemann Mn với hàm mật độ dương e dùng làm trọng số việc đánh giá thể tích, diện tích siêu mặt, độ dài đường…Đa tạp với mật độ xuất nhiều nơi Vật lý Toán học đa tạp Riemann thương không gian Gauss Không n n gian Gauss G , không gian Euclid với mật độ xác suất Gauss (2 ) e r2 không gian quan trọng nhà xác suất thống kê Đa tạp với mật độ xứng đáng tập trung nghiên cứu xa kết liên quan đến chuyển động Brown, đặc biệt mặt phẳng xác xuất r Gauss, mặt phẳng R2 với mật độ e 2 dùng để nghiên cứu phương thức đặt giá thị trường chứng khoán nhiều ý nghĩa thực tiễn sâu sắc khác Trong vài năm gần hướng nghiên cứu toán đẳng chu đa tạp với mật độ quan tâm nhiều nhà toán học giới Các kết toán đẳng chu không gian với mật độ Gauss có ứng dụng xác suất thống kê Năm 1975 C Borell, chứng minh cách độc lập nửa không gian nghiệm toán đẳng chu không gian Gauss Năm 1982 A Ehrhard đưa chứng minh cách sử dụng phép đối xứng hoá Steiner mở rộng cho không gian Gauss Năm 2008 C Rosales với cộng chứng minh số kết tính tồn nghiệm miền đẳng chu không gian với độ đo toàn phần vô hạn đưa giả thuyết sau: Trong R n 1 với mật độ cầu, log-lồi hình cầu tâm gốc toạ độ miền đẳng chu Bài toán tồn miền đẳng chu không gian với mật độ vấn đề thời nhiều vấn đề mở Không phải không gian với mật độ miền đẳng chu tồn Có không gian chứng minh không tồn miền đẳng chu Xuất phát từ kiện biên miền đẳng chu có độ cong Một toán liên quan đến độ cong đường cong phẳng định lý bốn đỉnh- định lý toàn cục tiếng hình học vi phân Định lý bốn đỉnh khẳng định rằng: “Mọi đường cong đơn đóng mặt phẳng Euclid có bốn đỉnh” Định lý tưởng chừng đơn giản lại có mệnh đề đảo vừa chứng minh gần Với lý nêu mà luận văn mang tên “Mặt phẳng với mật độ” Mục đích nghiên cứu Từ báo, tạp chí khoa học GS-P.GS nước Frank Morgan, Colin Carroll, Ivan Corwin, M.D Carmo Đoàn Thế Hiếu(Đại Học Sư Phạm Huế) dùng để nghiên cứu độ cong đường, với mật độ khác độ cong thay đổi nào? Từ đề cập, giới thiệu đa tạp với mật độ toán liên quan đến chúng Một định lý có lịch sử lâu đời hình học vi phân “Định lý bốn đỉnh” toán tồn miền đẳng chu không gian với mật độ 3 Đối tượng nội dung nghiên cứu Luận văn nghiên cứu vấn đề sau: - Độ cong đường cong mặt phẳng với mật độ - Định lý bốn đỉnh - Bài toán đẳng chu đường thẳng thực với hàm mật độ p x - Mặt phẳng với mật độ r ; e ; e x2 y - Độ cong đường cong với mật độ e x y Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Mặt phẳng với mật độ liên quan đến kinh tế, đặc biệt mặt phẳng xác suất Gauss dùng để nghiên cứu thị trường chứng khoán Trong vài năm gần hướng nghiên cứu toán đẳng chu đa tạp với mật độ quan tâm nhiều, kết toán đẳng chu không gian với mật độ Gauss có ứng dụng xác suất thống kê Cấu trúc luận văn Nội dung luận văn bao gồm phần mở đầu, chương nội dung phần kết luận Cụ thể: Phần mở đầu: Nêu xuất xứ vấn đề đặt toán nghiên cứu Chương 1: Giới thiệu khái niệm kết sử dụng, xây dựng cho chương sau như: Đa tạp với mật độ, mặt phẳng Gauss, không gian Gauss, đa tạp với mật độ tỏa tròn n-chiều, độ cong, mục tiêu Frenet… Chương 2: Những định lý, toán liên quan đến độ cong mặt phẳng p x với mật độ khác như: r , e , e x y , ex y Chương 3: Liệt kê đường cong có độ cong với mật độ e x y hình vẽ minh họa cho đường cong Phần kết luận: Đưa nhận xét vấn đề mở tiếp tục nghiên cứu tiếp sau đề tài Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương này, trình bày khái niệm đa tạp với mật độ, mặt phẳng Gauss, không gian Gauss, đa tạp với mật độ tỏa tròn n-chiều, độ cong, mục tiêu Frenet…và ứng dụng Toán học, Vật lý Kinh tế Hơn nữa, đưa kết độ cong theo mật độ, mặt phẳng với mật độ khác định lý để làm tảng, xây dựng cho chương sau 1.1 Đa tạp với mật độ Định nghĩa 1.1.1(Xem[2],[11, tr.853],[15, tr.3]) Đa tạp với mật độ đa tạp Riemann Mn với hàm mật độ dương e dùng làm trọng số việc đánh giá thể tích, chu vi, diện tích siêu mặt, độ dài đường Giả sử dV dP phần tử thể tích chu vi Riemann Khi đó, phần tử thể tích chu vi theo mật độ e cho công thức: dV e dV dP e dP (1.1.1) Ví dụ 1.1.2(Xem[15, tr.3]) a Xét đường cong nửa mặt phẳng đóng Euclid (biên Ox) mặt tròn xoay sinh đường cong quay quanh Ox Khi đó, diện tích mặt tương ứng với độ dài đường cong nửa mặt phẳng với mật độ 2y b Trong Vật lý, đối tượng có mật độ nội khác điểm Do đó, để xác định khối lượng ta phải tính tích phân theo mật độ 53 1 et c1 ( c1 ) 1 1 1 t c1 t c1 2 )c x c1 ln((e ( c1 ))(e ( c1 )) c1 ln( 1 2 2 2 t c1 e ( c1 ) 2 1 et c1 ( c1 ) y t c ln((et c1 ( c ))(et c1 ( c )) c ln( 2 )c 1 1 1 2 2 2 t c1 e ( c1 ) 2 (c) Các đường sau c = x y t 2c1 ln((e2 2 t 2c1 ln((e2 2 (t c1 ) (t c1 ) e (c1 2c1 ) ) c1 ln( e e (c1 2c1 ) ) c1 ln( e 2 (t c1 ) (c1 2c1 ) (t c1 ) (c1 2c1 ) (t c1 ) (c1 2c1 ) (t c1 ) (c1 2c1 ) ) c2 ) c3 e (t c1 ) (c1 2c1 ) 1 2 (t c1 ) ) c2 (c1 2c1 ) ) c1 ln( (t c ) x t 2c1 ln((e 2 e ( c c ) 1 (t c1 ) e (c1 2c1 ) 1 2 (t c1 ) ) c3 (c1 2c1 ) ) c1 ln( (t c ) y t 2c1 ln((e e ( c c ) 1 CHỨNG MINH Giả sử (t ) ( x (t ), y (t )) đường cong tham số hoá tự nhiên R2 Khi ta có x y xy xy x y c Mà k k Mặt khác ta có Từ phương trình Hay d d 0k dn dn kn ( c x y )( y ; x ) x y suy xx y y x y y x (3.1.1) 54 Do hệ (3.1.1) tương đương với hệ x (c x y )( y ) y (c x y ) x x y Đặt x sin Khi y cos Nên hệ (3.1.1) tương đương với hệ x sin y cos cos sin c x sin y cos cos sin c x sin y cos (1 c) (1 c) tan ( 2) tan( 2) tan ( 2) x sin y cos (1 c) (1 c) tan ( 2) tan( 2) tan ( 2) x sin y cos (1 tan ( 2))d dt (1 c) (1 c) tan ( 2) tan( 2) x sin y cos (1 tan ( 2))d dt (1 c) (1 c) tan ( 2) tan( 2) 55 x sin y cos 2d (tan( 2)) dt (1 c) (1 c) tan ( 2) tan( 2) x sin y cos 2d (tan( 2)) dt (1 c) (1 c) tan ( 2) tan( 2) Nếu c = hệ x sin y cos d (tan( 2)) dt tan ( 2) tan( 2) x sin y cos d (tan( 2)) dt 1 tan( 2) x sin y cos d (tan( 2)) dt tan ( 2) tan( 2) x sin y cos ln tan( 2) t c1 tan( 2) x sin y cos tan( 2) e t c1 tan( 2) x sin y cos d (tan( 2)) dt 1 tan( 2) x sin y cos ln tan( 2) t c x sin y cos t c1 tan( 2) e 56 x sin y cos t c1 tan( 2) e e t c1 x sin y cos t c1 tan( 2) e tan( 2) x tan ( 2) tan ( 2) y tan ( 2) tan( 2) e t c1 2e t c1 (1 e t c1 ) x (1 e t c1 ) (e t c1 ) t c1 ) (e t c1 ) y (1 e (1 e t c1 ) (e t c1 ) 2(e t c1 1) x (1 e t c1 ) t c1 y (e 1) (e t c1 1) 2 tan( 2) x tan ( 2) tan ( 2) y tan ( 2) e t c1 tan( 2) e t c1 e t (1 c1 )e c1 1 c1 c1 t t ) c2 x t ln(( e (1 c1 )e )(e (1 c1 )e ) c1 ln( t 2 e (1 c1 )e c1 c1 t y ln(( e t (1 c )e c1 )( e t (1 c )e c1 ) c ln( e (1 c1 )e ) c 1 2 e t (1 c1 )e c1 e t (1 c1 )e c1 1 c1 c1 t t x t e c e e c e c ln(( ( ) )( ( ) ) ln( ) c2 1 c1 t 2 e ( c ) e t c1 y c ln(( e t c1 (1 c ))( e t c1 (1 c )) c ln( e (1 c1 ) ) c 1 2 e t c1 (1 c1 ) Nếu c =- hệ tương đương với hệ 57 x sin y cos d (tan( 2)) dt 1 tan( 2) x sin y cos d (tan( 2)) dt tan( 2) tan ( 2) x sin y cos ln t c1 tan( 2) x sin y cos ln tan( 2) t c1 tan( 2) x sin y cos 1 tan( 2) t c e x sin y cos tan( 2) e t c1 tan( 2) x sin y cos t c1 tan( 2) e x sin y cos t c1 tan( 2) e e t c1 (1 e t c1 ) x (1 e t c1 ) t c1 ) y (1 e t c (1 e )2 1 et c1 ( c1 ) 1 1 1 t c t c 2 )c x c1 ln((e ( c1 ))(e ( c1 )) c1 ln( 1 2 2 2 et c1 ( c1 ) 2 1 et c1 ( c1 ) y t c ln((et c1 ( c ))(et c1 ( c )) c ln( 2 )c 1 1 1 2 2 2 t c1 e ( c ) 2 58 Nếu c = hệ tương đương với hệ x sin y cos 2d (tan( 2)) dt 1 tan ( 2) tan( 2) x sin y cos 2d (tan( 2)) dt 1 tan ( 2) tan( 2) x sin y cos 2d (tan( 2)) dt ( tan( 2) 1)( tan( 2) 1) x sin y cos 2d (tan( 2)) dt ( tan( 2) 1)( tan( 2) 1) x sin x sin y cos y cos ln tan( 2) t c ln tan( 2) t c 1 2 tan( 2) tan( 2) x sin y cos tan( 2) e tan( 2) ( t c1 ) x sin y cos tan( 2) e tan( 2) ( t c1 ) 59 x sin y cos ( t c1 ) ( 1) tan( 2) ( 1)e ( t c1 ) 1 e x sin y cos ( t c1 ) (1 ) tan( 2) ( 1)e e (t c1 ) 2(1 e (t c1 ) )(( 1)e (t c1 ) (1 )) x (1 e (t c1 ) ) (( 1)e (t c1 ) (1 )) (1 e (t c1 ) ) (( 1) y 3.2 Hình vẽ minh họa đường cong Các đường cong -độ cong : k 60 Các đường cong -độ cong : k 2 Các đường cong -độ cong : k Các đường cong -độ cong : k 1 61 Các đường cong -độ cong : k Các đường cong -độ cong : k 62 Các đường cong -độ cong : k 63 KẾT LUẬN Qua phần trình bày tìm hiểu, giải hệ thống lại số vấn đề hình học vi phân cổ điển đa tạp với mật độ như: Tính độ cong đường gắn hàm mật độ dương e dùng làm trọng số việc đánh giá thể tích, diện tích siêu mặt, độ dài đường, x x y x hàm mật độ sử dụng chủ yếu e , e , e y2 , r p Định lý bốn đỉnh định lý đặt trưng cho mặt phẳng Euclid, đồng thời khẳng định tồn mật độ cầu khác mật độ Euclid để định lý bốn đỉnh cho lớp đường cong bất biến qua phép quay quanh gốc tọa độ Hơn dựa vào tính phân loại đầy đủ đường cong có độ cong với x y mật độ e Từ kết trên, cách tự nhiên gợi ý cho hướng mở cần nghiên cứu sau: *Tính độ cong trung bình độ cong Gauss theo mật độ cho mặt không gian R3 Hình cầu tâm O không gian Rn với hàm mật độ, có miền đẳng chu *Trong mặt phẳng R2 biết số đỉnh đường cong Vậy mặt phẳng với mật độ, có đường cong có vai trò đường tròn mặt phẳng không? *Trong mặt phẳng R2 với mật độ Gauss, có đường cong đóng , lồi có số đỉnh lẻ không? Với kết đạt được, luận văn giải vấn đề đặt Tuy nhiên luận văn tránh khỏi thiếu sót Hy vọng với thời gian rèn luyện tri thức, tác độc giả quan tâm đến đề tài luận văn tìm nhiều kết đẹp 64 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Đoàn Thế Hiếu (2008), Đa tạp với mật độ, Tạp chí khoa học trường Đại học Sư phạm Huế Trần Lê Nam (2006), Đa tạp với mật độ, Luận văn thạc sỹ Toán học trường Đại học Sư phạm Huế Đoàn Quỳnh, Hình học vi phân , NXB Hà Nội Tiếng Anh Ros Antonio(2005), The isoperimetric problem Global theory of minimal surfaces (Proc Clay Math Inst Summer School, 2001), Amer Math Soc., Providence, RI M Gromov, Isoperimetry of waists and concentration of maps, Geom Funct Anal 13 (2003), 178-215 Rosales Cesar, Canete Antonio, Bayle Vincent, and Morgan Frank(2005), On the isoperimetric problem in Euclidean space with density, arXiv.org Borell Christer (1975), The Brunn-Minkowski inequality in Gauss Space, Invent Math Carroll Colin, Jacob Adam, Quinn Conor, Walters Robin(2007), The isoperimetric problem on Planes with density, arXiv.org Adams Elizabeth, Corwin Ivan, Davis Diana, Lee Michelle, Visocchi Regina(2005), Isoperimetric regions in sectors of Gauss space, J.8(2007), No.1 Geometry Group report, Williams College 10 Morgan Frank(2005), Geometric Measure Theory, A Beginner’s Guide, third edition, Academic Press 11 Morgan Frank(2005), Manifolds with density, Notices Amer Math Soc.52, 853-858 65 12 Morgan Frank(2003), Regularity of isoperimetric hypersurfaces in Riemannian manifolds, Trans Amer Math Soc.355, 5041-5052 13 Gluck Herman(1933), The converse to four vertex theorem, L’Enseignement Math.,17 14 Doan The Hieu and Tran Le Nam, On the four vertex theorem in planes with radial density, in preparation 15 Corwin Ivan, Hoffman Neil, Hurder Stephanie and Ya Xu(2006), Differential geometry of manifolds with density, Rose- Hlman Und Math J.7, No.1 16 Lee Michelle(2006), Isoperimetric regions in locally Euclidean manifolds and in manifolds with density, Honofr thesis, Williams College 17 Ulrich Pinkall(1987), On the four vertex theorem, Aequationes Math 34, No.2-3 18 Osserman R.(1985), The four or more vertex theorem, Amer Math Monthly 92, No.5 19 Carmo M.D(1976), Differential of curves and surfaces, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ 66 BẢNG TRA CỨU THUẬT NGỮ THUẬT NGỮ TRANG Bài toán đẳng chu đường thẳng thực 42 Biến phân thứ 12 Chu vi Riemann Chu vi miền 42 Đa tạp với mật độ Đa tạp với mật độ toả tròn n-chiều Điểm vô cực 42 Đỉnh đường cong phẳng quy Định lý bốn đỉnh 6;29 Độ cong t Độ cong đường cong mặt phẳng với mật độ Độ cong toàn phần đường cong đơn đóng lồi 14 x y Đường có độ cong với mật độ e 51 Độ cong có mật độ 38 Đường Cycloid 11 Đường Hyperbol 12 Đường Parabol 12 Đường trắc địa 9;14 Đường trắc địa mặt phẳng Gauss Đường trắc địa mặt phẳng với mật độ e x 25 y2 21 Giá trị trung bình ravg 18 Isoperimetric profile 42 Không gian Gauss Lá Descartes 11 Mặt phẳng Gauss 6;25 Mặt phằng (Siêu phẳng chứa gốc tọa độ) Mặt phẳng với mật độ r 1 15 15 67 THUẬT NGỮ TRANG Mặt phẳng với mật độ r p ( 2 p 0) 15 Mặt phẳng với mật độ r p ( p 2) 17 Mặt phẳng với mật độ r p ( p 0) 18 Mặt phẳng với mật độ e x 20 y2 21 Mặt phẳng với mật độ e Ar B 33 Mặt phẳng với mật độ e x Mặt phẳng với mật độ cầu e (r ) 34 Miền đẳng chu Miền đẳng chu đường thẳng thực 42 Miền đẳng chu với hàm mật độ f ( x) e x 43 Miền đẳng chu với hàm mật độ f ( x) 43 Miền đẳng chu với hàm mật độ f ( x) e x 43 Miền đẳng chu với hàm mật độ f ( x) e Miền đẳng chu với hàm mật độ f ( x) e x 1 Miền đẳng chu với hàm mật độ 45 x x ln x ln e x x ln f ( x) 1 x ln x ln 18 Miền đẳng chu với mật độ cầu log- lồi R 46 48 7;50 Mục tiêu Frenet Phép dời thuận Thể tích miền 42 Thể tích Riemann Unimodal density 42 Vi phân độ dài đường theo mật độ ds 13 [...]... đỉnh(Xem[2],[13],[14],[17],[18]) Định lý bốn đỉnh chỉ đúng trong mặt phẳng với mật độ Euclid (mật độ hằng) Luận văn đã chỉ ra được rằng đối với lớp đường cong đơn đóng, đối xứng qua gốc tọa độ định lý đúng trên tất cả không gian với mật độ cầu 30 (e (r ) ) Trước hết nhận xét rằng định lý bốn đỉnh không còn đúng trong mặt phẳng Gauss Định lý 2.4.1(Xem[14, tr.1]) 1 e Trong mặt phẳng Gauss G với mật độ e 2 2 r 2 2 , đường tròn... biên 7 của nó là một siêu mặt có chứa diện tích nhỏ nhất trong các miền có thể tích V () t Định lý 1.2.4(Xem[8, tr 5]) p Cho mặt phẳng với hàm mật độ r , 2 p 0 , lúc đó không tồn tại miền đẳng chu Định lý 1.2.5(Xem[8, tr 7]) p Trong mặt phẳng với hàm mật độ r , p 0 hoặc p 2 thì tồn tại miền đẳng chu Định lý 1.2.6(Xem[8, tr 3]) Trong mặt phẳng П với mật độ e không là hằng và... 2.2.7(Xem[8, tr.7]) p Trong mặt phẳng với hàm mật độ r , p 0 cho trước diện tích A Thì xác định được một miền đẳng chu R là một đường cong đóng dĩa lồi, chứa gốc tọa độ(như hình 2.1) Miền đẳng chu hoặc là một đường tròn bao quanh gốc tọa độ khi p 0 , hoặc là tia đơn vị khi p 0 p Hình 2.1 : Mặt phẳng với mật độ r , p 0 Định lý 2.2.8 (Xem[8, tr.8]) x Trong mặt phẳng R 2 với hàm mật độ e Nếu là... ngang của mặt phẳng, để bao quanh độ dài đường nằm ngang thì p p lấy một điểm với mật độ e bao độ dài e phía bên trái Diện tích của miền p được tính bởi tích phân của độ dài đường nằm ngang e và chu vi được tính 21 p bởi tích phân của e Vì vậy biên không thể là đường thẳng đứng, chu vi lớn hơn diện tích A Density=ex y (-a,b) x (-a,-b) Hình 2.2: Mặt phẳng với mật độ e x 2.3 Mặt phẳng với mật độ e 2... này bằng r b Trong mặt phẳng Gauss G 2 , độ cong theo mật độ của đường thẳng là hằng số và hằng số này bằng khoảng cách từ gốc toạ độ đến đường thẳng Tuy 3 nhiên, trên mặt phẳng R2 với mật độ e r thì độ cong của đường thẳng không còn là hằng số Định nghĩa 2.1.3(Xem [15, tr 4]) Đường trắc địa là đường cong đẳng chu có độ cong theo mật độ là k 0 Ví dụ 2.1.4 r Trong mặt phẳng R2 với mật độ e 2 2 , các... của đường cong trong mặt phẳng với mật độ(Xem[2],[15]) Định nghĩa 2.1.1(Xem[15, tr 3]) Trên đa tạp Riemann 2-chiều với mật độ e , độ cong theo mật độ hay độ cong k của đường cong theo pháp vectơ đơn vị n được cho bởi công thức: k k d dn (2.1.1) 9 Ví dụ 2.1.2 a Trong mặt phẳng Gauss G 2 , một đường tròn có bán kính r với vectơ pháp tuyến hướng vào trong có độ cong theo mật độ là hằng số và... ) Hệ quả 2.2.9 (Xem[8, tr.8]) x Trong mặt phẳng R 2 với hàm mật độ e không tồn tại miền đẳng chu CHỨNG MINH Mọi miền đẳng chu R phải có biên trơn với độ cong theo k là hằng Theo định lí (2.2.8) phải đóng Tức R là một miền compact theo từng thành phần, điểu này mâu thuẫn với định lí (1.2.1) (đpcm) Hệ quả 2.2.10 (Xem[8, tr.9]) x Trong mặt phẳng R 2 với mật độ e thì cận dưới nhỏ nhất của chu vi... (1.2.1) Định lý 1.2.7(Xem [8, tr 13]) Trong mặt phẳng Gauss có duy nhất một đường trắc địa đóng, là đường tròn Định lý 1.2.8(Xem [6]) Trong R n 1 với một mật độ cầu, log-lồi các hình cầu tâm ở gốc toạ độ là miền đẳng chu duy nhất 8 Chương 2 ĐƯỜNG CONG TRONG MẶT PHẲNG VỚI MẬT ĐỘ Trong chương này, chúng tôi đưa ra một số công thức về độ cong tại t và độ cong theo mật độ e , dựa vào đó đi tính độ cong của... các đường cong phẳng là định lý bốn đỉnh Định lý tưởng chừng đơn giản này lại có mệnh đề đảo vừa mới chứng minh gần đây, để biết thêm về đa tạp với mật độ cũng như các kết quả liên quan, độc giả có thể tham khảo[11],[13],[14,[17],[18],[19] Trong mục 2.2, 2.3 sẽ cho thấy p x những mặt phẳng với mật độ cụ thể: r , e , e x2 y 2 Bài toán về sự tồn tại các miền đẳng chu trong không gian với mật độ đang... Nhận xét 2.2.2 Khi p 0 thì r p 1 là mật độ đều (mật độ Euclid) p r là hằng trên mỗi đường tròn tâm O, nghĩa là hai điểm cách đều tâm O đều có cùng mật độ x e là hằng trên mỗi đường thẳng đứng (cùng phương với Oy) nghĩa là hai điểm có cùng hoành độ thì sẽ cùng mật độ Định lý 2.2.3 (Xem[8, tr.5]) Mỗi đường tròn có tâm là gốc tọa độ trong mặt phẳng với mật độ r 1 là đường trắc địa CHỨNG MINH: ... cứu vấn đề sau: - Độ cong đường cong mặt phẳng với mật độ - Định lý bốn đỉnh - Bài toán đẳng chu đường thẳng thực với hàm mật độ p x - Mặt phẳng với mật độ r ; e ; e x2 y - Độ cong đường cong... thẳng đứng, chu vi lớn diện tích A Density=ex y (-a,b) x (-a,-b) Hình 2.2: Mặt phẳng với mật độ e x 2.3 Mặt phẳng với mật độ e y2 , gọi x - phẳng Định nghĩa 2.3.1 x Mật độ e y2 định nghĩa... phòng Kế hoạch – Tài Trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh; Ban giám hiệu trường THPT Trấn Biên- Biên Ho - Đồng Nai, toàn thể quý đồng nghiệp, bạn bè, gia đình động viên, giúp đỡ, tạo điều kiện thuận