MẶT PHẲNG VỚI MẬT ÐỘ

Đa tạp với mật độ là đa tạp Riemann Mn cùng với một hàm mật độ dương e dùng làm trọng số trong việc đánh giá thể tích, diện tích của siêu mặt, độ dài của đường…Đa tạp với mật độ xuất hi

Phan Thị Thái Hòa

Phan Thị Thái Hòa

LỜI CẢM ƠN

Trong luận văn này, đầu tiên tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến quý thầy cô trong khoa Anh, khoa Triết và khoa Toán- Tin trường Đại Học Sư Phạm TP Hồ Chí Minh đã tham gia giảng dạy cung cấp cho tôi những tri thức, phương pháp tiếp cận khoa học và làm việc hiệu quả

Đặc biệt, tôi cảm nhận được tình cảm thầy trò sâu sắc và lòng nhiệt thành trong công việc của PGS.TS Lê Anh Vũ- người trực tiếp hướng dẫn khoa học, hơn thế nữa chính thầy đã cho tôi một tấm gương sáng về học tập

và làm việc.Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy

Tôi xin gửi lời cảm ơn các cán bộ của phòng Khoa Học Công Nghệ & Sau Đại Học, phòng Kế hoạch – Tài chính Trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh; Ban giám hiệu trường THPT Trấn Biên- Biên Hoà- Đồng Nai, cùng toàn thể quý đồng nghiệp, bạn bè, gia đình đã động viên, giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành luận văn này

Thưa các thầy, mặc dù đã có nhiều cố gắng song bản thân tôi còn nhiều hạn chế về trình độ, kinh nghiệm, thời gian nghiên cứu nên chắc chắn bài viết này không tránh khỏi sự thiếu sót Do đó tôi kính mong các thầy đóng góp cho tôi những kiến thức quý báu để hoàn thiện mình tốt hơn

Một lần nữa tôi chân thành cảm ơn và xin trân trọng kính chào

Tp Hồ Chí Minh, tháng 05 năm 2009

Tác giả

Phan Thị Thái Hoà

MỤC LỤC

Trang phụ bìa

Lời cảm ơn

Mục lục

Danh mục các ký hiệu

Danh mục các hình

MỞ ÐẦU 1

Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Đa tạp với mật độ 4

1.2 Một số kết quả hình học 6

Chương 2: ÐƯỜNG CONG TRONG MẶT PHẲNG VỚI MẬT ÐỘ 2.1 Độ cong của đường cong trong mặt phẳng với mật độ 8

2.2 Mặt phẳng với mật độ rp và ex 15

2.3 Mặt phẳng với mật độ ex2y2 , gọi là  - phẳng 21

2.4 Định lý bốn đỉnh 29

2.5 Bài toán đẳng chu trên đường thẳng thực với hàm mật độ 42

Chương 3: ĐƯỜNG CONG VỚI ÐỘCONG HẰNG 3.1 Đường cong có độ cong hằng với mật độ exy 52

3.2 Hình vẽ minh họa đường có độ cong hằng 59

KẾT LUẬN 63

TÀI LIỆU THAM KHẢO 64

BẢNG TRA CỨU THUẬT NGỮ 66

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU

Ký hiệu Ý nghĩa

Gm : Không gian Gauss m- chiều

Rn : Không gian Euclid n- chiều

Gφ : Độ cong Gauss theo mật độ φ

k : Độ cong của đường tại t

kφ : φ-độ cong của đường cong

Vol() : Thể tích của  với mật độ f(x) e

P(,U) : Chu vi của 

 : Siêu mặt chứa gốc tọa độ

)

(

1 v

 : Biến phân thứ nhất

DANH MỤC CÁC HÌNH

Hình 2.1 : Mặt phẳng với mật độ r p, p 0 19

Hình 2.2 : Mặt phẳng với mật độ ex 21

Hình 2.3 : Lưới của những đường trắc địa trong  phẳng 23

Hình 2.4 : Đồ thị của một đường trắc địa trong phẳng 24

Hình 2.5 : Đồ thị của một đường trắc địa trong phẳng qua gốc mang hướng dương hội tụ về một đường thẳng song song với Ox 24

Hình 2.6 : Đồ thị của đường  27

Hình 2.7 : Đồ thị của hàmh ( p) 29

Hình 2.8 : Đường tròn có hai đỉnh trong mặt phẳng Gauss 31

Hình 2.9 : Tồn tại mật độ cầu để một đường tròn chứa gốc tọa độ có đúng 2n đỉnh 39

Hình 2.10 : Miền đẳng chu với mật độ ex 46

Hình 2.11 : Miền đẳng chu với mật độ f(x) của VD 2.5.10 là nửa đường thẳng hoặc các khoảng bị chặn 48

Hình 2.12 : Không tồn tại miền đẳng chu với mật độ f(x) của

VD 2.5.12 49

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Như chúng ta đã biết hình học Affine, hình học Euclid, hình học xạ ảnh, hình học vi phân được xây dựng trên cơ sở xác định một nhóm các phép biến đổi thích hợp trên một không gian xác định và nghiên cứu các bất biến qua nhóm các phép biến đổi đó Trong các hình học này, một bộ phận của hình học vi phân cổ điển được dành để nghiên cứu các tính chất địa phương của các đường trong mặt phẳng Euclid thông thường Trong mặt phẳng này mật

độ được xem là đều tại mọi điểm Vấn đề đặt ra là, nếu mật độ tại các điểm không còn đều nữa thì các tính chất hình học như độ cong, bài toán đẳng chu,

… sẽ thay đổi như thế nào? Đây là một vấn đề thú vị và có nhiều ý nghĩa cả trong nội tại Toán học lẫn trong thực tiễn

Đa tạp với mật độ là đa tạp Riemann Mn cùng với một hàm mật độ dương e dùng làm trọng số trong việc đánh giá thể tích, diện tích của siêu mặt, độ dài của đường…Đa tạp với mật độ xuất hiện nhiều nơi trong Vật lý và Toán học như các đa tạp Riemann thương hoặc các không gian Gauss Không gian Gauss Gn, không gian Euclid với mật độ xác suất Gauss 2 2

2

) 2 (

r n

e



một không gian quan trọng đối với các nhà xác suất và thống kê

Đa tạp với mật độ xứng đáng được tập trung nghiên cứu xa hơn bởi các kết quả liên quan đến chuyển động Brown, đặc biệt mặt phẳng xác xuất Gauss, mặt phẳng R 2 với mật độ er2 2 được dùng để nghiên cứu phương thức đặt giá trong thị trường chứng khoán và nhiều ý nghĩa thực tiễn sâu sắc khác Trong vài năm gần đây hướng nghiên cứu bài toán đẳng chu trên các đa tạp với mật độ được sự quan tâm của nhiều nhà toán học trên thế giới Các kết quả về bài toán đẳng chu trong không gian với mật độ Gauss có ứng dụng

trong xác suất và thống kê Năm 1975 C Borell, đã chứng minh một cách độc lập rằng nửa không gian là nghiệm của bài toán đẳng chu trong không gian Gauss Năm 1982 A Ehrhard đưa ra một chứng minh mới bằng cách sử dụng phép đối xứng hoá Steiner mở rộng cho không gian Gauss Năm 2008 C Rosales cùng với các cộng sự đã chứng minh một số kết quả về tính tồn tại nghiệm của các miền đẳng chu trong các không gian với độ đo toàn phần vô hạn và đã đưa ra giả thuyết sau: Trong R n1với mật độ cầu, log-lồi các hình cầu tâm ở gốc toạ độ là các miền đẳng chu duy nhất Bài toán về sự tồn tại các miền đẳng chu trong các không gian với mật độ đang là một vấn đề thời sự và còn nhiều vấn đề mở Không phải trong mọi không gian với mật độ các miền đẳng chu đều tồn tại Có những không gian đã được chứng minh là không tồn tại miền đẳng chu

Xuất phát từ sự kiện các biên của các miền đẳng chu luôn có độ cong hằng Một trong các bài toán liên quan đến độ cong của các đường cong phẳng là định lý bốn đỉnh- một định lý toàn cục rất nổi tiếng của hình học vi phân Định lý bốn đỉnh khẳng định rằng: “Mọi đường cong đơn đóng trên mặt phẳng Euclid đều có ít nhất bốn đỉnh” Định lý tưởng chừng như đơn giản này lại có mệnh đề đảo vừa mới chỉ được chứng minh gần đây Với những lý do

nêu trên mà luận văn được mang tên “Mặt phẳng với mật độ”

2 Mục đích nghiên cứu

Từ các bài báo, tạp chí khoa học của các GS-P.GS trong và ngoài nước như Frank Morgan, Colin Carroll, Ivan Corwin, M.D Carmo và Đoàn Thế Hiếu(Đại Học Sư Phạm Huế) dùng để nghiên cứu độ cong của đường, với những mật độ khác nhau độ cong sẽ thay đổi như thế nào? Từ đó chúng tôi đề cập, giới thiệu đa tạp với mật độ và những bài toán liên quan đến chúng Một định lý có lịch sử lâu đời của hình học vi phân là “Định lý bốn đỉnh” và bài toán về sự tồn tại các miền đẳng chu trong không gian với mật độ

3 Đối tượng và nội dung nghiên cứu

Luận văn nghiên cứu các vấn đề sau:

- Độ cong của đường cong trong mặt phẳng với mật độ

- Định lý bốn đỉnh

- Bài toán đẳng chu trên đường thẳng thực với hàm mật độ

- Mặt phẳng với mật độ rp; ex; ex2y2.

- Độ cong của đường cong hằng với mật độ exy

4 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

Mặt phẳng với mật độ liên quan đến kinh tế, đặc biệt mặt phẳng xác suất Gauss dùng để nghiên cứu thị trường chứng khoán Trong vài năm gần đây hướng nghiên cứu bài toán đẳng chu trên các đa tạp với mật độ được quan tâm nhiều, các kết quả về bài toán đẳng chu trong không gian với mật độ

Gauss có ứng dụng trong xác suất và thống kê

5 Cấu trúc luận văn

Nội dung của luận văn bao gồm phần mở đầu, 3 chương nội dung và phần kết luận Cụ thể:

Phần mở đầu: Nêu xuất xứ của vấn đề và đặt bài toán nghiên cứu

Chương 1: Giới thiệu các khái niệm cơ bản và các kết quả được sử dụng, xây

dựng cho các chương sau như: Đa tạp với mật độ, mặt phẳng Gauss, không

gian Gauss, đa tạp với mật độ tỏa tròn n-chiều, độ cong, mục tiêu Frenet…

Chương 2: Những định lý, bài toán liên quan đến độ cong trong mặt phẳng

với mật độ khác nhau như:rp, ex, exy, ex2y2

Chương 3: Liệt kê đường cong có độ cong hằng với mật độ e xy và hình vẽ minh họa cho các đường cong này

Phần kết luận: Đưa ra những nhận xét và những vấn đề mở tiếp tục nghiên

cứu tiếp sau đề tài

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Chương này, chúng tôi trình bày khái niệm đa tạp với mật độ, mặt phẳng

Gauss, không gian Gauss, đa tạp với mật độ tỏa tròn n-chiều, độ cong, mục

tiêu Frenet…và các ứng dụng của nó trong Toán học, Vật lý và Kinh tế Hơn nữa, đưa ra các kết quả về độ cong theo mật độ, mặt phẳng với các mật độ khác nhau và những định lý để làm nền tảng, xây dựng cho chương sau

1.1 Đa tạp với mật độ

Định nghĩa 1.1.1(Xem[2],[11, tr.853],[15, tr.3])

Đa tạp với mật độ là đa tạp Riemann Mn cùng với một hàm mật độ dương eđược dùng làm trọng số trong việc đánh giá thể tích, chu vi, diện tích của siêu mặt, độ dài của đường

Giả sử dV và dP là các phần tử thể tích và chu vi Riemann Khi đó, phần

tử thể tích và chu vi theo mật độ e được cho bởi công thức:

dP e dP

dV e dV

của mặt tương ứng với độ dài của đường cong trên nửa mặt phẳng với mật độ 2y

b Trong Vật lý, một đối tượng có thể có mật độ nội tại khác nhau tại các

điểm Do đó, để xác định khối lượng của nó ta phải tính tích phân theo mật độ

Định nghĩa 1.1.3(Xem[16, tr 6])

Không gian R n với mật độ e(r) , trong đó r là khoảng cách từ gốc toạ

độ đến điểm, được gọi là đa tạp với mật độ tỏa tròn n-chiều

),(1

2 2

2 2

x y y

x n

y x y x

Cho  :I R2 là một mặt phẳng cong với (t) (x(t), y(t))

Khi đó độ cong của  tại t được tính theo công thức:

3 2

()(

y x

y x y x t

Cho hàm k:I R2 khả vi Lúc đó tồn tại đường tham số c:I  R2

với tham số độ dài cung nhận k làm hàm độ cong đại số Hai hàm như thế

định hướng dương(det(t,n)>0)

n  t

{t, n}

khác nhau một phép dời thuận

Định nghĩa 1.1.8(Xem[15, tr.4])

a Không gian Gauss G m là không gian R m với mật độ Gauss

2 2

Định nghĩa 1.1.9(Đỉnh của đường cong)(Xem[19, tr.36])

a Đỉnh của đường cong là điểm mà tại đó độ cong theo mật độ đạt cực trị địa phương

b Đỉnh của đường cong phẳng chính quy  :[a,b] R2là một điểm ]

x y y x y

x

y x y x

Cho M là một đa tạp 2-chiều, không biên, số thực dương t < V(M),

trong đó V(M) là thể tích của M Miền đẳng chu  là miền sao cho biên 

của nó là một siêu mặt có chứa diện tích nhỏ nhất trong các miền  có thể

tích V()t

Định lý 1.2.4(Xem[8, tr 5])

Cho mặt phẳng  với hàm mật độ r p,2  p  0

, lúc đó không tồn tại miền đẳng chu

Trong R n 1 với một mật độ cầu, log-lồi các hình cầu tâm ở gốc toạ độ

là miền đẳng chu duy nhất

Chương 2 ĐƯỜNG CONG TRONG MẶT PHẲNG VỚI MẬT ĐỘ

Trong chương này, chúng tôi đưa ra một số công thức về độ cong tại t và

độ cong theo mật độ e, dựa vào đó đi tính độ cong của các đường quen thuộc như: Cycloid, Hyperbol, parabol, đường trắc địa Một trong các bài toán

liên quan đến độ cong của các đường cong phẳng là định lý bốn đỉnh Định lý

tưởng chừng đơn giản này lại có mệnh đề đảo vừa mới chứng minh gần đây,

để biết thêm về đa tạp với mật độ cũng như các kết quả liên quan, độc giả có thể tham khảo[11],[13],[14,[17],[18],[19] Trong mục 2.2, 2.3 sẽ cho thấy những mặt phẳng với mật độ cụ thể: rp, ex, ex2y2 Bài toán về sự tồn tại các miền đẳng chu trong không gian với mật độ đang được quan tâm, không phải trong mọi không gian với mật độ các miền đẳng chu đều tồn tại Có những không gian đã được chứng minh là không tồn tại miền đẳng chu, tiêu chuẩn

về mật độ để các miền đẳng chu tồn tại vẫn là một vấn đề mở Để có thông tin

về vấn đề này độc giả có thể tìm hiểu các công trình gần đây của F.Morgan và các cộng sự ([6], [9], [15], [16], [19]…) Sau đó tổng hợp lại các kết quả và

đưa ra các ví dụ về bài toán đẳng chu trên đường thẳng thực

2.1 Độ cong của đường cong trong mặt phẳng với mật độ(Xem[2],[15])

Ví dụ 2.1.2

a Trong mặt phẳng Gauss 2

G , một đường tròn có bán kính r với vectơ

pháp tuyến hướng vào trong có độ cong theo mật độ là hằng số và hằng số này bằng

r

r2

1 

b Trong mặt phẳng Gauss 2

G , độ cong theo mật độ của đường thẳng là

hằng số và hằng số này bằng khoảng cách từ gốc toạ độ đến đường thẳng Tuy

nhiên, trên mặt phẳng R 2 với mật độ e r3 thì độ cong của đường thẳng không còn là hằng số

Trong mặt phẳng R 2 với mật độ er2 2, các đường thẳng qua gốc tọa độ

là các đường trắc địa Hơn nữa, đây là các đường trắc địa duy nhất trên mặt phẳng này

)(

2

r r

r dr d r

r

r r r k

2

2

)(

)(

r r r

r r r r

r r

r r dn

d r

x y y x y

x

y x y x

y x y x dn

d k

d dx

dr dr

d dy

d dx

y dr

d r

x  



y x

y y x dr

d y x r

y x dr

d y x r

y



2 2 2

2 2

Thay (2.1.6) vào (2.1.5) ta được (2.1.4)(đpcm) 

Đặc biệt, nếu  là đường cong với vectơ vận tốc đơn vị thì

dr

d x y y x r y x y x

      1(    ) (2.1.7)

Dựa vào công thức (2.1.3) chúng ta đi tính độ cong của các đường quen thuộc theo mật độ ex Trường hợp nếu lấy mật độ ex thì độ cong được tính theo

)

y y

x

y x y x k

3()

2

at t

at t

)2(3

;)1(

)21(3()

3

2 3

3

t

t at t

t a t

)61(6

;)1(

)2(18()

3 3

3

3 2

t

t a t

t at t

)2()

1(

)21(3

)1(

)2(3

))1(

)2()

1(

)21((3

)1(

)61)(

21(18)

1(

)2(54

4 3

2 3 2 4 3

2 3

2 3 3

3 4 3

2 3 2 4 3

2 3

5 3

3 3

2 5

3

2 3 3 2

t

t t t

t a

t

t at

t

t t t

t a

t

t t

a t

t t a k

)2(]

)2()21[(

3

)]

61)(

21()2()[

1(

2 4 3

3

3 2 3 2 2 3

3 3

2 3 3 3

t t t

t t t

t t a

t t

t t t k

t a

t a t

a t a

t a

t a

k

2 2 2 2

2

3 2 2 2 2

2 2 2 2

cossin

sin)

cossin

(

cossin

Ví dụ 2.1.9 Đường Hyperbol

(t)(acosht;bsinht), trong đó a là hằng số dương tuỳ ý

Ta có (t)(asinht;bcosht), (t)(acosht;bsinht)

Áp dụng công thức (2.1.8) ta có:

t b

t a

t b t

b t a

t ab

t ab

k

2 2 2 2 3

2 2 2 2

2 2

coshsinh

cosh)

coshsinh

(

sinhcosh

t a

t b t

b t a

ab k

2 2 2 2 3

2 2 2

cosh)

coshsinh

2)

41(

2

t a

at t

a

a k

14

1(2

3 2 2 2

a

t a

của độ dài một đường cong trơn trên

đa tạp Riemann 2-chiều với mật độ e theo vectơ ban đầu v thỏa mãn đẳng 

d dt

dt

d e ds e dt

k dt

Suy ra     





vds k vds

dA

dL

)(

dv dxdy

)(

:)]

,[(

),(

:

p

p x y r

y x f y x

R R

R R

f



:)]

,[(

),(

: 2

Nhận xét 2.2.2

 Khi p0 thì r p 1là mật độ đều (mật độ Euclid)

 rp là hằng trên mỗi đường tròn tâm O, nghĩa là hai điểm cách đều tâm

Do tính đối xứng, một đường tròn tâm là gốc tọa độ có độ cong tổng quát

là hằng số Khi đường tròn càng lớn nghĩa là r càng tăng thì diện tích

r r

CHỨNG MINH:

Trong mặt phẳng  bán kính đường tròn có tâm gốc tọa độ là 2r p 1

* Nếu 2 p1 thì khi r dần ra vô cực thì chu vi của đường tròn dần

về 0 Diện tích bên ngoài của đường tròn bằng

  r  drd  

r p

2 0

1

(2.2.1)

Do đó bất kì   0cho trước, có thể xây dựng hai đường tròn đồng tâm với bán kính đủ lớn sao cho tổng chu vi của hai đường tròn nhỏ hơn  Gọi là A0 là diện tích giữa hai đường tròn

Nếu A0 < A thì diện tích bên ngoài của đường tròn thứ hai là vô cực vì vậy tăng bán kính của đường tròn này, giảm chu vi và tăng diện tích đến A

Nếu A0 > A, thì tăng bán kính của đường tròn thứ nhất, tăng cả chu vi và diện tích để đạt đến A

* Nếu p = -1 xây dựng tọa độ Euclid bằng ánh xạ log(z)

với dw  z 1dz ,

và mật độ diện tích z  e w e x, (2.2.2)

(x = Re(w) ) Ảnh của  dưới ánh xạ này là một dải có độ cao 2 với đỉnh và

đáy không xác định Tâm dần về âm vô cực, bán kính r của đường tròn là

đường thẳng đứng (x  log(r )) Cho   0, xét đường tròn có chu vi nhỏ hơn

 Đường tròn này có thể dời trái hoặc dời phải để đạt tới một diện tích nào

Mật độ diện tích trong tọa độ Euclid được cho bởi   p 1

p p

w

mật độ diện tích tại tâm dần ra vô cực khi r dần ra vô cực

Cho  0 bất kì, trong tọa độ Euclid tạo ra một đường tròn có chu vi

2 p với hai tia hình quạt không xác định

Vì mật độ diện tích dần tới 0 khi w nên những miền biên dần về

chu vi nhỏ nhất và tồn tại miền đẳng chu bởi chuẩn compact(Xem[4,tr.6-10])

Đường cong hằng có miền đẳng chu là biên của nó, do đó đường cong này lồi Miền đẳng chu chỉ có một thành phần, vì nếu có hai thành phần thì nó bị đóng và bị co rút về gốc tọa độ Nói cách khác miền đẳng chu phải chứa gốc tọa độ, khi đó đường biên của nó là đồ thị r(), 0;L trong tọa độ cực, với

o

R c r r dr d A

0

) (

0

1 



p p o

L

o

r p o

d r

c

d r

p

p c

d dr r

c

0

1 2 2

0

) (

0 1 2 0

) (

0

1 1

) (

2

1

.

c Xem đường tròn (C) có bán kính ravg với ravg là giá trị

0

2

2 ( ) )

(   , suy ra chu vi của (C) nhỏ hơn chu vi của R

Diện tích của (C) là  



p avg

C c r d A

0

1 2

1

2 )

c x

C g r d g r d A

A

)) ( ( )

Hay diện tích của đường tròn (C) lớn hơn diện tích của miền R

Vậy với chu vi nhỏ nhất thì miền đẳng chu là đường tròn có tâm là gốc tọa độ

Định lý sau là hệ quả trực tiếp của định lý 2.6 trong tài liệu[6] (Xem[6,

tr.6])

Định lý 2.2.6(Xem[8, tr.7])

Cho mặt phẳng với hàm độ r p, p0 Thì tồn tại miền đẳng chu

Như vậy, trong mặt phẳng Euclid có f là hàm mật độ cầu không tăng

thoả mãn f (x) khi x  (do p0), thì tồn tại miền đẳng chu trên

một thể tích V cho trước

Hệ quả 2.2.7(Xem[8, tr.7])

Trong mặt phẳng  với hàm mật độ r p, p 0 cho trước diện tích A

Thì xác định được một miền đẳng chu R là một đường cong đóng dĩa lồi, chứa

gốc tọa độ(như hình 2.1) Miền đẳng chu hoặc là một đường tròn bao quanh

gốc tọa độ khi p0, hoặc là tia đơn vị khi p 

Hình 2.1 : Mặt phẳng với mật độ r p,p 0

Định lý 2.2.8 (Xem[8, tr.8])

Trong mặt phẳngR với hàm mật độ 2 e x Nếu  là đường cong giới hạn

một miền và có klà hằng Thì  hoặc là đóng hoặc có độ dài theo mật độ

không xác định

CHỨNG MINH

Giả sử ngược lại, tức tồn tại một đường cong không đóng và có độ dài

theo mật độ xác định bao miền D Vì  có độ dài theo mật độ xác định nên

0

 phải chứa một điểm P mà tại đó x lớn nhất Tại điểm P vectơ tiếp xúc



Vì vậy tại mọi điểm        1   1 0

k n k dn

d k

Mọi miền đẳng chu R phải có biên trơn với độ cong theo k là hằng 

Theo định lí (2.2.8)  phải đóng Tức R là một miền compact theo từng

thành phần, điểu này mâu thuẫn với định lí (1.2.1) (đpcm) 

Hệ quả 2.2.10 (Xem[8, tr.9])

Trong mặt phẳngR với mật độ 2 e xthì cận dưới nhỏ nhất của chu vi bao quanh diện tích A cũng chính là A

CHỨNG MINH

Dựng một hình chữ nhật mở trên R như H.2.2, đối xứng qua trục Ox

Chu vi và diện tích của miền R là P  ea(2b1)

bởi tích phân của e p Vì vậy biên không thể là đường thẳng đứng, chu vi lớn hơn diện tích A

,[(

),(

: 2

y x

e y x f y x

R R

l giao với trục Oy tại điểm p Chọn hướng dương đi từ p đếnp Lúc đó mang hướng dương, hội tụ về một đường thẳng song song với trục Ox

CHỨNG MINH

Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử rằng điểm p nằm ở góc phần

tư thứ nhất(Hình 2.5), do các góc phần tư là đối xứng Gọi  tham số hóa của

độ dài cung Giả sử   0  x(0), y(0) p và x ( 0 )  0

Xét hai trường hợp:

1) y(0)0

Giả sử y(t)0 với t > 0, là đường thẳng đứng hay đường nằm ngang

tại đểm t 0 > 0 nào đó Cần chứng minh x  t( )0 và y  t( )0 với t > 0

 Nếu  là đường nằm ngang tại điểm t 0 >0 thì vectơ tiếp xúc n là đường

thẳng đứng, theo phương trình đường trắc địa: n(k)0  k( )phải nằm ngang

Mà k là bội của n, vì vậy k thẳng đứng Do (k)nằm ngang nên k phải

giản ước thành phần thẳng đứng của  Trong góc phần tư thứ nhất ta có

)2,2

( x y





  , trong đó thành phần y dương, vì vậy để giản ước thì k phải

hướng thẳng đứng xuống dưới Do đó y  t( )0 với t > 0

 Nếu  là đường thẳng đứng tại điểm t0 > 0 thì vectơ tiếp xúc n nằm ngang

vì vậy (k) phải thẳng đứng Do k giản ước thành phần x của

)2,2



t sau khi xét trường hợp thứ (2)

2) y(0)0 : Cần chia hai trường hợp nhỏ

a) y(0)0 Trường hợp này quay lại trường hợp (1)

),()2,2(

f e n

b a y x



trong đó a  b0, 0và e 0, f  0  k  n ea fb

Vì ea fb 0 độ cong cùng hướng với n và có thành phần thẳng đứng không

dương Do đó đường trắc địa cong theo hướng đã chỉ ra

Mặt khác e  0 và a < 0, - ea > 0  k ea fb  fb Khi t tăng thì f giảm đến – 1 và b tăng Xét tập fmax  f (0) và bmin b(0)thì  fb  fmaxbmin

Khi đó đường cong thực sự trở thành đường nằm ngang

Để hoàn tất chứng minh chúng ta quay lại trường hợp (1) là 0

)

0

( 



y , y(t0)0với t 0 > 0, do tính đối xứng nên ta áp dụng trường hợp (2)

suy ra  là đường nằm ngang và có độ cong quay về trục dương Ox Áp dụng trường hợp (1) thì  song song hoặc cắt trục Ox 

Hình 2.3 : Lưới của những đường trắc địa trong  phẳng

Hình 2.4: Đồ thị của một đường trắc địa trong phẳng

Hình 2.5 : Đồ thị của một đường trắc địa trong phẳng qua gốc mang hướng

dương hội tụ về một đường thẳng song song với Ox

Định lý 2.3.4 (Xem[8, tr.12])

Cho  là đường trắc địa trong mặt phẳng 

 Nếu  không trùng với trục Oy thì  hội tụ về đường thẳng song song với trục Ox ít nhất theo một hướng



l

p p’

 Nếu  cắt trục Ox thì  hội tụ về đường thẳng song song với trục Ox theo hai hướng

CHỨNG MINH

 Nếu  là trục Ox thì định lý này hiển nhiên đúng.Vì vậy giả sử rằng trường hợp này không xảy ra Lúc này, luôn tìm được một điểm nằm trên  mà không nằm trên hai trục tọa độ Áp dụng định lí 2.3.3 tại một điểm trên  , suy ra

 hội tụ về đường thẳng song song với trục Ox ít nhất theo một hướng

 Nếu  cắt trục Ox thì có thể tìm được thêm một điểm nằm trên trục Ox

Áp dụng định lí 2.3.3 cho các đểm đó thì ta có  hội tụ về đường thẳng song

Không tồn tại miền đẳng chu trong mặt phẳng 

Định lý 2.3.8 (Tồn tại duy nhất đường trắc địa trong mặt phẳng Gauss) (Xem[8, tr.13]

Trong mặt phẳng Gauss có duy nhất một đường trắc địa đóng, là đường tròn

CHỨNG MINH

Ta cần chứng minh: Trong mặt phẳng Gauss không có đường trắc địa đơn đóng, ngoại trừ đường tròn

Giả sử đường tròn đơn vị (r=1) có chu vi 2 là đường trắc địa, f là một hàm

siêu điều hoà không hằng, mở trên D  R2 Tập con S  tịnh tiến tới một tập D

con compact cố định S0  D 

S

f S

g )( và g không có cực đại tại S0,h(x)là

một hàm trung bình của f trên S0 x

1

2 2

)(

r r

re s f

dr e ds

1 2

2

2)

(

;1

ds

df s

Khi r =1 ta được đường trắc địa với độ dài 2 và những điểm liên hợp dọc theo đường trắc địa này được tách ra bởi một khoảng

Ở đó  là hằng số, xét hai trường hợp của 

)(

Nếu  > 1 thì ta được đường tròn đóng ( khi  =1 thì r  1)

Nếu 0 <  <1, đặt ()sao cho 0()1()

Và  ()2 1    (  )2  2

 e thì ta được đường trắc địa với 2 1 2 .



  r e r nằm trên đường vành khuyên () r () và tiếp xúc với hai biên của đường tròn  di chuyển từ miền trong của tiếp tuyến ra miền ngoài của tiếp tuyến

Hình 2.6 : Đồ thị của đường 

Khi đó, ta có

2 1

2

) (

) (

re p

)()cos(

khoảng ( 2, 2) sao cho

r

dr p

dp p

cos

)(

1()

1 2

1 2 2

2

2 2

)1(

1)

1(

)(cos1)(

2

r

e r r

p p

p p

P

p

)(cos)(cos)cos(

))(

cos(

)(cos

2 2

2 1

(cos)(cos)cos(

)cos(

2 2



 = h()

/2

-/2

t R

Khi đó ( sin ;cos )

R

t R

k  sinĐỉnh của đường cong là nghiệm của phương trình k  0, phương trình này có đúng hai nghiệm

2

3

; 2

đỉnh nếu a =b =0