Mặt phẳng với mật độ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Phan Thị Thái Hòa MẶT PHẲNG VỚI MẬT ÐỘ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2009 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Phan Thị Thái Hòa MẶT PHẲNG VỚI MẬT ÐỘ Chuyên ngành : Hình học Tôpô Mã số : 60 46 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC : PGS.TS LÊ ANH VŨ Thành phố Hồ Chí Minh – 2009 LỜI CẢM ƠN Trong luận văn này, xin gửi lời cảm ơn chân thành đến quý thầy cô khoa Anh, khoa Triết khoa Toán- Tin trường Đại Học Sư Phạm TP Hồ Chí Minh tham gia giảng dạy cung cấp cho tri thức, phương pháp tiếp cận khoa học làm việc hiệu Đặc biệt, cảm nhận tình cảm thầy trò sâu sắc lòng nhiệt thành công việc PGS.TS Lê Anh Vũ- người trực tiếp hướng dẫn khoa học, thầy cho gương sáng học tập làm việc.Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy Tôi xin gửi lời cảm ơn cán phòng Khoa Học Công Nghệ & Sau Đại Học, phòng Kế hoạch – Tài Trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh; Ban giám hiệu trường THPT Trấn Biên- Biên Hoà- Đồng Nai, toàn thể quý đồng nghiệp, bạn bè, gia đình động viên, giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho hoàn thành luận văn Thưa thầy, có nhiều cố gắng song thân nhiều hạn chế trình độ, kinh nghiệm, thời gian nghiên cứu nên chắn viết không tránh khỏi thiếu sót Do kính mong thầy đóng góp cho kiến thức quý báu để hoàn thiện tốt Một lần chân thành cảm ơn xin trân trọng kính chào Tp Hồ Chí Minh, tháng 05 năm 2009 Tác giả Phan Thị Thái Hoà MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cảm ơn Mục lục Danh mục ký hiệu Danh mục hình MỞ ÐẦU Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Đa tạp với mật độ 1.2 Một số kết hình học Chương 2: ÐƯỜNG CONG TRONG MẶT PHẲNG VỚI MẬT ÐỘ 2.1 Độ cong đường cong mặt phẳng với mật độ 2.2 Mặt phẳng với mật độ r p x 2.3 Mặt phẳng với mật độ e x e 15  y2 , gọi  - phẳng 21 2.4 Định lý bốn đỉnh 29 2.5 Bài toán đẳng chu đường thẳng thực với hàm mật độ 42 Chương 3: ĐƯỜNG CONG VỚI ÐỘCONG HẰNG 3.1 Đường cong có độ cong với mật độ e x y 52 3.2 Hình vẽ minh họa đường có độ cong 59 KẾT LUẬN 63 TÀI LIỆU THAM KHẢO 64 BẢNG TRA CỨU THUẬT NGỮ 66 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU Ký hiệu Ý nghĩa Gm : Không gian Gauss m- chiều Rn : Không gian Euclid n- chiều φ : Hàm mật độ (t) : Đường cong  A : Diện tích theo mật độ V(M) : Thể tích đa tạp ds : Vi phân độ dài đường cong theo mật độ G : Độ cong Gauss Gφ : Độ cong Gauss theo mật độ φ k : Độ cong đường t kφ : φ-độ cong đường cong dP : Chu vi Riemann dPφ : Chu vi Riemann theo mật độ eφ dV : Thể tích Riemann dVφ : Thể tích Riemann theo mật độ eφ r(x) : r ( x)  x12   x n2 , x   n R : Biên miền R  : Miền đẳng chu Vol(  ) : Thể tích  với mật độ f ( x)  e P(  ,U) : Chu vi   : Siêu mặt chứa gốc tọa độ  (v ) : Biến phân thứ DANH MỤC CÁC HÌNH Hình 2.1 p : Mặt phẳng với mật độ r , p  19 Hình 2.2 : Mặt phẳng với mật độ e 21 Hình 2.3 : Lưới đường trắc địa Hình 2.4 : Đồ thị đường trắc địa  phẳng 24 Hình 2.5 : Đồ thị đường trắc địa  phẳng qua gốc mang x  phẳng 23 hướng dương hội tụ đường thẳng song song với Ox 24 Hình 2.6 : Đồ thị đường  .27 Hình 2.7 : Đồ thị hàm h( p) .29 Hình 2.8 : Đường tròn có hai đỉnh mặt phẳng Gauss 31 Hình 2.9 : Tồn mật độ cầu để đường tròn chứa gốc tọa độ có 2n đỉnh 39 Hình 2.10 : Miền đẳng chu với mật độ e x 46 Hình 2.11 : Miền đẳng chu với mật độ f(x) VD 2.5.10 nửa đường thẳng khoảng bị chặn 48 Hình 2.12 : Không tồn miền đẳng chu với mật độ f(x) VD 2.5.12 49 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Như biết hình học Affine, hình học Euclid, hình học xạ ảnh, hình học vi phân xây dựng sở xác định nhóm phép biến đổi thích hợp không gian xác định nghiên cứu bất biến qua nhóm phép biến đổi Trong hình học này, phận hình học vi phân cổ điển dành để nghiên cứu tính chất địa phương đường mặt phẳng Euclid thông thường Trong mặt phẳng mật độ xem điểm Vấn đề đặt là, mật độ điểm không tính chất hình học độ cong, toán đẳng chu, … thay đổi nào? Đây vấn đề thú vị có nhiều ý nghĩa nội Toán học lẫn thực tiễn Đa tạp với mật độ đa tạp Riemann Mn với hàm mật độ dương e dùng làm trọng số việc đánh giá thể tích, diện tích siêu mặt, độ dài đường…Đa tạp với mật độ xuất nhiều nơi Vật lý Toán học đa tạp Riemann thương không gian Gauss Không  n n gian Gauss G , không gian Euclid với mật độ xác suất Gauss (2 ) e  r2 không gian quan trọng nhà xác suất thống kê Đa tạp với mật độ xứng đáng tập trung nghiên cứu xa kết liên quan đến chuyển động Brown, đặc biệt mặt phẳng xác xuất r Gauss, mặt phẳng R2 với mật độ e 2 dùng để nghiên cứu phương thức đặt giá thị trường chứng khoán nhiều ý nghĩa thực tiễn sâu sắc khác Trong vài năm gần hướng nghiên cứu toán đẳng chu đa tạp với mật độ quan tâm nhiều nhà toán học giới Các kết toán đẳng chu không gian với mật độ Gauss có ứng dụng xác suất thống kê Năm 1975 C Borell, chứng minh cách độc lập nửa không gian nghiệm toán đẳng chu không gian Gauss Năm 1982 A Ehrhard đưa chứng minh cách sử dụng phép đối xứng hoá Steiner mở rộng cho không gian Gauss Năm 2008 C Rosales với cộng chứng minh số kết tính tồn nghiệm miền đẳng chu không gian với độ đo toàn phần vô hạn đưa giả thuyết sau: Trong R n 1 với mật độ cầu, log-lồi hình cầu tâm gốc toạ độ miền đẳng chu Bài toán tồn miền đẳng chu không gian với mật độ vấn đề thời nhiều vấn đề mở Không phải không gian với mật độ miền đẳng chu tồn Có không gian chứng minh không tồn miền đẳng chu Xuất phát từ kiện biên miền đẳng chu có độ cong Một toán liên quan đến độ cong đường cong phẳng định lý bốn đỉnh- định lý toàn cục tiếng hình học vi phân Định lý bốn đỉnh khẳng định rằng: “Mọi đường cong đơn đóng mặt phẳng Euclid có bốn đỉnh” Định lý tưởng chừng đơn giản lại có mệnh đề đảo vừa chứng minh gần Với lý nêu mà luận văn mang tên “Mặt phẳng với mật độ” Mục đích nghiên cứu Từ báo, tạp chí khoa học GS-P.GS nước Frank Morgan, Colin Carroll, Ivan Corwin, M.D Carmo Đoàn Thế Hiếu(Đại Học Sư Phạm Huế) dùng để nghiên cứu độ cong đường, với mật độ khác độ cong thay đổi nào? Từ đề cập, giới thiệu đa tạp với mật độ toán liên quan đến chúng Một định lý có lịch sử lâu đời hình học vi phân “Định lý bốn đỉnh” toán tồn miền đẳng chu không gian với mật độ 3 Đối tượng nội dung nghiên cứu Luận văn nghiên cứu vấn đề sau: - Độ cong đường cong mặt phẳng với mật độ - Định lý bốn đỉnh - Bài toán đẳng chu đường thẳng thực với hàm mật độ p x - Mặt phẳng với mật độ r ; e ; e x2  y - Độ cong đường cong với mật độ e x y Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Mặt phẳng với mật độ liên quan đến kinh tế, đặc biệt mặt phẳng xác suất Gauss dùng để nghiên cứu thị trường chứng khoán Trong vài năm gần hướng nghiên cứu toán đẳng chu đa tạp với mật độ quan tâm nhiều, kết toán đẳng chu không gian với mật độ Gauss có ứng dụng xác suất thống kê Cấu trúc luận văn Nội dung luận văn bao gồm phần mở đầu, chương nội dung phần kết luận Cụ thể: Phần mở đầu: Nêu xuất xứ vấn đề đặt toán nghiên cứu Chương 1: Giới thiệu khái niệm kết sử dụng, xây dựng cho chương sau như: Đa tạp với mật độ, mặt phẳng Gauss, không gian Gauss, đa tạp với mật độ tỏa tròn n-chiều, độ cong, mục tiêu Frenet… Chương 2: Những định lý, toán liên quan đến độ cong mặt phẳng p x với mật độ khác như: r , e , e x y , ex y Chương 3: Liệt kê đường cong có độ cong với mật độ e x  y hình vẽ minh họa cho đường cong Phần kết luận: Đưa nhận xét vấn đề mở tiếp tục nghiên cứu tiếp sau đề tài 4 Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương này, trình bày khái niệm đa tạp với mật độ, mặt phẳng Gauss, không gian Gauss, đa tạp với mật độ tỏa tròn n-chiều, độ cong, mục tiêu Frenet…và ứng dụng Toán học, Vật lý Kinh tế Hơn nữa, đưa kết độ cong theo mật độ, mặt phẳng với mật độ khác định lý để làm tảng, xây dựng cho chương sau 1.1 Đa tạp với mật độ Định nghĩa 1.1.1(Xem[2],[11, tr.853],[15, tr.3]) Đa tạp với mật độ đa tạp Riemann Mn với hàm mật độ dương e dùng làm trọng số việc đánh giá thể tích, chu vi, diện tích siêu mặt, độ dài đường Giả sử dV dP phần tử thể tích chu vi Riemann Khi đó, phần tử thể tích chu vi theo mật độ e cho công thức: dV  e  dV dP  e  dP (1.1.1) Ví dụ 1.1.2(Xem[15, tr.3]) a Xét đường cong nửa mặt phẳng đóng Euclid (biên Ox) mặt tròn xoay sinh đường cong quay quanh Ox Khi đó, diện tích mặt tương ứng với độ dài đường cong nửa mặt phẳng với mật độ 2y b Trong Vật lý, đối tượng có mật độ nội khác điểm Do đó, để xác định khối lượng ta phải tính tích phân theo mật độ 5 Định nghĩa 1.1.3(Xem[16, tr 6]) Không gian Rn với mật độ e  (r ) , r khoảng cách từ gốc toạ độ đến điểm, gọi đa tạp với mật độ tỏa tròn n-chiều Định lý 1.1.4 (Mục tiêu Frenet) Cho c : I  R đường cong tham số hoá độ dài cung s thuộc I t ( s)  c ( s) Ta chọn vectơ đơn vị n thỏa mãn: nt {t, n} định hướng dương(det(t,n)>0) Thì {t, n}: gọi trường mục tiêu Frenet Định lý 1.1.5(Xem[3]) Trong mặt phẳng R2 đường cong tham số độ dài cung c : I  R , c (t )  ( x (t ), y (t )) {t, n} trường mục tiêu Frenet tính theo công thức: t  n  x 2  y 2 x 2  y 2 ( x , y  ) (  y  , x  ) (1.1.2) Định lý 1.1.6 (Độ cong)(Xem[19, tr.25]) Cho  : I  R mặt phẳng cong với  (t )  ( x (t ), y (t )) Khi độ cong  t tính theo công thức: k (t )  xy   xy  ( x  y  ) (1.1.3) Hệ 1.1.7(Xem[19, tr.25]) Cho hàm k : I  R khả vi Lúc tồn đường tham số c : I  R với tham số độ dài cung nhận k làm hàm độ cong đại số Hai hàm khác phép dời thuận Định nghĩa 1.1.8(Xem[15, tr.4]) a Không gian Gauss Gm không gian Rm với mật độ Gauss (2 ) m e r 2 , r khoảng cách từ gốc tọa độ đến điểm b Mặt phẳng Gauss mặt phẳng G2 Định nghĩa 1.1.9(Đỉnh đường cong)(Xem[19, tr.36]) a Đỉnh đường cong điểm mà độ cong theo mật độ đạt cực trị địa phương b Đỉnh đường cong phẳng quy  : [ a, b]  R điểm t  [ a, b] cho k (t )  , k(t) độ cong đường cong  t 1.2 Một số kết hình học Định lý 1.2.1(Xem[15, tr 5])  (r ) , r ( x, y )  x  y , Trên mặt phẳng R2 với mật độ e đường cong  : [ a, b]  R ,  (t )  ( x (t ), y (t )) ; a, b  R có độ cong theo mật độ k  x y   x y  ( x  y  )  x y  y x d r x   y  dr d Đặc biệt, k   x y   x y   ( x y  y x )  có vectơ vận tốc đơn vị r dr Định lý 1.2.2(Định lý bốn đỉnh)( Xem [2], [13], [14, [17], [18]) Mọi đường cong đơn đóng mặt phẳng Euclid có bốn đỉnh Định nghĩa 1.2.3(Miền đẳng chu) Cho M đa tạp 2-chiều, không biên, số thực dương t < V(M), V(M) thể tích M Miền đẳng chu  miền cho biên  siêu mặt có chứa diện tích nhỏ miền  tích V ()  t Định lý 1.2.4(Xem[8, tr 5]) p Cho mặt phẳng  với hàm mật độ r ,   p  , lúc không tồn miền đẳng chu Định lý 1.2.5(Xem[8, tr 7]) p Trong mặt phẳng  với hàm mật độ r , p  p  2 tồn miền đẳng chu Định lý 1.2.6(Xem[8, tr 3]) Trong mặt phẳng П với mật độ e  không G  G    , miền đẳng chu không compact theo phần (1.2.1) Định lý 1.2.7(Xem [8, tr 13]) Trong mặt phẳng Gauss có đường trắc địa đóng, đường tròn Định lý 1.2.8(Xem [6]) Trong R n 1 với mật độ cầu, log-lồi hình cầu tâm gốc toạ độ miền đẳng chu 8 Chương ĐƯỜNG CONG TRONG MẶT PHẲNG VỚI MẬT ĐỘ Trong chương này, đưa số công thức độ cong t  độ cong theo mật độ e , dựa vào tính độ cong đường quen thuộc như: Cycloid, Hyperbol, parabol, đường trắc địa Một toán liên quan đến độ cong đường cong phẳng định lý bốn đỉnh Định lý tưởng chừng đơn giản lại có mệnh đề đảo vừa chứng minh gần đây, để biết thêm đa tạp với mật độ kết liên quan, độc giả tham khảo[11],[13],[14,[17],[18],[19] Trong mục 2.2, 2.3 cho thấy p x mặt phẳng với mật độ cụ thể: r , e , e x2  y Bài toán tồn miền đẳng chu không gian với mật độ quan tâm, không gian với mật độ miền đẳng chu tồn Có không gian chứng minh không tồn miền đẳng chu, tiêu chuẩn mật độ để miền đẳng chu tồn vấn đề mở Để có thông tin vấn đề độc giả tìm hiểu công trình gần F.Morgan cộng ([6], [9], [15], [16], [19]…) Sau tổng hợp lại kết đưa ví dụ toán đẳng chu đường thẳng thực 2.1 Độ cong đường cong mặt phẳng với mật độ(Xem[2],[15]) Định nghĩa 2.1.1(Xem[15, tr 3]) Trên đa tạp Riemann 2-chiều với mật độ e  , độ cong theo mật độ hay   độ cong k  đường cong theo pháp vectơ đơn vị n cho công thức: k  k  d dn (2.1.1) Ví dụ 2.1.2 a Trong mặt phẳng Gauss G , đường tròn có bán kính r với vectơ pháp tuyến hướng vào có độ cong theo mật độ số số 1 r2 r b Trong mặt phẳng Gauss G , độ cong theo mật độ đường thẳng số số khoảng cách từ gốc toạ độ đến đường thẳng Tuy nhiên, mặt phẳng R2 với mật độ e r độ cong đường thẳng không số Định nghĩa 2.1.3(Xem [15, tr 4]) Đường trắc địa đường cong đẳng chu có độ cong theo mật độ k  Ví dụ 2.1.4 r Trong mặt phẳng R2 với mật độ e 2 , đường thẳng qua gốc tọa độ đường trắc địa Hơn nữa, đường trắc địa mặt phẳng Mệnh đề 2.1.5(Xem[15, tr.4]) Cho đường cong r ( ) đa tạp Riemann 2-chiều với mật độ e  ( r ) Khi độ cong theo mật độ k  cho công thức: k  r  r   rr  (r  r  ) d r dr  r  r 2 d r  r  r  (r  r ) dn   r r  r 2 r (r  r  ) r (2.1.2) 10 Định lý 2.1.6(Xem[15, tr 5])  (r ) , r ( x, y )  x  y , Trên mặt phẳng R2 với mật độ e đường cong  : [ a, b]  R ,  (t )  ( x (t ), y (t )) ; a, b  R có độ cong theo mật độ xy   xy  k  ( x  y  )  x y  y x d r x  y  dr (2.1.3) Đặc biệt,  đường cong với vectơ vận tốc đơn vị d k   x y   x y   ( x y  y x ) dr r (2.1.4) CHỨNG MINH: k  k  Ta có d xy   x y      ; n  2 dn ( x  y  ) (2.1.5) Ta tính  φ ; n    ( Vì d  d d dr d dr ; )( ; ) dx dy dr dx dr dy ( n Suy  ; n  x d y d ; ), r dr r dr x  y  ( y ; x ) d xy d xy  xy d   r x  y  dr r x  y  dr r x  y  dr  xy  Thay (2.1.6) vào (2.1.5) ta (2.1.4)(đpcm) (2.1.6)  Đặc biệt,  đường cong với vectơ vận tốc đơn vị d k   x y   x y   ( x y  y x ) r dr (2.1.7) 11 Dựa vào công thức (2.1.3) tính độ cong đường quen thuộc x theo mật độ e Trường hợp lấy mật độ e xy   xy  k  công thức: ( x  y  )  x độ cong tính theo y (2.1.8) x  y  Ví dụ 2.1.7 Lá Descartes 3at 3at ;  (t )  ( ) với a >0 1 t3 1 t3 Ta có  (t )  ( 3a (1  2t ) 3at (  t ) ; ) (1  t ) (1  t )  (t )  (  18at (  t ) 6a (1  6t ) ; ) (1  t ) (1  t ) Áp dụng công thức (2.1.8) ta có: k  Hay  54a t (2  t ) 18a (1  2t )(1  6t )  (1  t ) (1  t ) (1  2t ) t (2  t ) 3a ( )  (1  t ) (1  t ) k   (1  t )[t (2  t )  (1  2t )(1  6t )] 3a [(1  2t )  t (2  t ) ] 2 3   3at (2  t ) (1  t ) (1  2t ) t (2  t ) 3a  (1  t ) (1  t ) t (2  t ) (1  2t )  (2t  t ) Ví dụ 2.1.8 Đường Cycloid  (t )  (a (t  sin t ); a (1  cos t )), a số dương tuỳ ý Ta có  (t )  (  a cos t ; a sin t )  (t )  ( a sin t ; a cos t ) Áp dụng công thức (2.1.8) ta có: k  Hay k  a sin t  a cos t ( a sin t  a cos t )  sin t a  a sin t a sin t  a cos t 12 Ví dụ 2.1.9 Đường Hyperbol  (t )  ( a cosh t ; b sinh t ), a số dương tuỳ ý Ta có  (t )  ( a sinh t ; b cosh t ),  (t )  ( a cosh t ; b sinh t ) Áp dụng công thức (2.1.8) ta có: k  k  Hay ab cosh t  ab sinh t b cosh t  (a sinh t  b cosh t ) ab  (a sinh t  b cosh t ) a sinh t  b cosh t b cosh t a sinh t  b cosh t Ví dụ 2.1.10 Đường Parabol  (t )  (t ; at ), a số dương tuỳ ý Ta có  (t )  (1,2 at ) ,  (t )  (0,2 a ) Áp dụng công thức (2.1.8) ta có: k   2a (1  4a t ) k  2a ( Hay t  4a t 2   2at  4a t (1  4a t ) 2 ) Định lý 2.1.11(Xem[2, tr.13], [15, tr 3]) Trong không gian Euclid Rn, độ cong k đường cong thỏa mãn công thức biến phân thứ dL    kvds dt Biến phân thứ  ( v )  dL  dt (2.1.9) độ dài đường cong trơn đa tạp Riemann 2-chiều với mật độ e  theo vectơ ban đầu v thỏa mãn đẳng thức:  (v )  dL dt    k vds (2.1.10) 13 k  Nếu k  số dL  dA  Trong A ký hiệu diện tích theo mật độ biên pháp vectơ ds vi phân độ dài đường cong theo mật độ CHỨNG MINH: Ta có ds  e ds dL dt  d d d d ( L )  (  e  ds )   ( e )ds   e (ds) dt dt dt dt   e dA Do dt    vds Nếu k số Suy d d vds   e  kvds  (  (k  )e vds)   k vds dn dn dL dt  k  (   vds )  k  k  dA dt dL  dA Định lý 2.1.12(Xem[2, tr.14], [15, tr.4]) Một đường đẳng chu phải có độ cong theo mật độ k  CHỨNG MINH: Do đường cong đường đẳng chu nên Mặt khác, từ (2.1.10) ta có dL dA dA dt dL dA    k vds phải số 14 dL Suy dA k  Vậy dL dA ( vds )   k vds số  Định nghĩa 2.1.13(Xem[2, tr.15]) Trên mặt phẳng R2 với mật độ e  ,   độ cong toàn phần đường cong trơn  : [a, b]  R , a; b  R b Tham số hóa độ dài cung theo s cho công thức  k ds a Định lý 2.1.14(Xem[2, tr.15]) Trên mặt phẳng R2 với mật độ e  ,  hàm điều hòa,   độ cong toàn phần đường cong đơn đóng lồi  : [a, b]  R ; a, b  R lớn 2 CHỨNG MINH: Do D miền đường cong  Áp dụng công thức Green cho hai hàm   1 D ta  D (v  v ) dxdy   ( D b dv d ) ds v dn dn (2.1.11) d  dn  Suy a d a k ds  a (k  dn )ds  a kds  a k ds  2 b Mặt khác, ta có b b Từ suy  k a  2 b b  [...]... tạp Riemann 2-chiều với mật độ e  , độ cong theo mật độ hay   độ cong k  của đường cong theo pháp vectơ đơn vị n được cho bởi công thức: k  k  d dn (2.1.1) 9 Ví dụ 2.1.2 a Trong mặt phẳng Gauss G 2 , một đường tròn có bán kính r với vectơ pháp tuyến hướng vào trong có độ cong theo mật độ là hằng số và hằng số 1 r2 này bằng r b Trong mặt phẳng Gauss G 2 , độ cong theo mật độ của đường thẳng... cách từ gốc toạ độ đến đường thẳng Tuy 3 nhiên, trên mặt phẳng R2 với mật độ e r thì độ cong của đường thẳng không còn là hằng số Định nghĩa 2.1.3(Xem [15, tr 4]) Đường trắc địa là đường cong đẳng chu có độ cong theo mật độ là k  0 Ví dụ 2.1.4 r Trong mặt phẳng R2 với mật độ e 2 2 , các đường thẳng qua gốc tọa độ là các đường trắc địa Hơn nữa, đây là các đường trắc địa duy nhất trên mặt phẳng này Mệnh... 7]) p Trong mặt phẳng  với hàm mật độ r , p  0 hoặc p  2 thì tồn tại miền đẳng chu Định lý 1.2.6(Xem[8, tr 3]) Trong mặt phẳng П với mật độ e  không là hằng và G  G    0 , một miền đẳng chu không compact theo từng phần (1.2.1) Định lý 1.2.7(Xem [8, tr 13]) Trong mặt phẳng Gauss có duy nhất một đường trắc địa đóng, là đường tròn Định lý 1.2.8(Xem [6]) Trong R n 1 với một mật độ cầu, log-lồi... chứng minh gần đây, để biết thêm về đa tạp với mật độ cũng như các kết quả liên quan, độc giả có thể tham khảo[11],[13],[14,[17],[18],[19] Trong mục 2.2, 2.3 sẽ cho thấy p x những mặt phẳng với mật độ cụ thể: r , e , e x2  y 2 Bài toán về sự tồn tại các miền đẳng chu trong không gian với mật độ đang được quan tâm, không phải trong mọi không gian với mật độ các miền đẳng chu đều tồn tại Có những không... log-lồi các hình cầu tâm ở gốc toạ độ là miền đẳng chu duy nhất 8 Chương 2 ĐƯỜNG CONG TRONG MẶT PHẲNG VỚI MẬT ĐỘ Trong chương này, chúng tôi đưa ra một số công thức về độ cong tại t và  độ cong theo mật độ e , dựa vào đó đi tính độ cong của các đường quen thuộc như: Cycloid, Hyperbol, parabol, đường trắc địa Một trong các bài toán liên quan đến độ cong của các đường cong phẳng là định lý bốn đỉnh Định... mật độ đạt cực trị địa phương 2 b Đỉnh của đường cong phẳng chính quy  : [ a, b]  R là một điểm t  [ a, b] sao cho k (t )  0 , trong đó k(t) là độ cong của đường cong  tại t 1.2 Một số kết quả hình học Định lý 1.2.1(Xem[15, tr 5])  (r ) , trong đó r ( x, y )  x 2  y 2 , Trên mặt phẳng R2 với mật độ e 2 đường cong  : [ a, b]  R ,  (t )  ( x (t ), y (t )) ; a, b  R có độ cong theo mật độ. ..  R 2 với tham số độ dài cung nhận k làm hàm độ cong đại số Hai hàm như thế 6 khác nhau một phép dời thuận Định nghĩa 1.1.8(Xem[15, tr.4]) a Không gian Gauss Gm là không gian Rm với mật độ Gauss (2 ) m 2 e r 2 2 , trong đó r là khoảng cách từ gốc tọa độ đến điểm b Mặt phẳng Gauss là mặt phẳng G2 Định nghĩa 1.1.9(Đỉnh của đường cong)(Xem[19, tr.36]) a Đỉnh của đường cong là điểm mà tại đó độ cong... 2-chiều với mật độ e  ( r ) Khi đó độ cong theo mật độ k  được cho bởi công thức: k  r  2 r  2  rr  2 (r 2  r  2 ) 3 d r dr  r 2  r 2 d 2 r  r  r  2 (r  r ) dn   r r 2  r 2 r (r 2  r  2 ) 3 r (2.1.2) 10 Định lý 2.1.6(Xem[15, tr 5])  (r ) , trong đó r ( x, y )  x 2  y 2 , Trên mặt phẳng R2 với mật độ e 2 đường cong  : [ a, b]  R ,  (t )  ( x (t ), y (t )) ; a, b  R có độ. .. gian Rn với mật độ e  (r ) , trong đó r là khoảng cách từ gốc toạ độ đến điểm, được gọi là đa tạp với mật độ tỏa tròn n-chiều Định lý 1.1.4 (Mục tiêu Frenet) 2 Cho c : I  R là một đường cong tham số hoá độ dài cung s thuộc I t ( s)  c ( s) Ta chọn vectơ đơn vị n thỏa mãn: nt {t, n} định hướng dương(det(t,n)>0) Thì {t, n}: gọi là trường mục tiêu Frenet Định lý 1.1.5(Xem[3]) Trong mặt phẳng R2... tại miền đẳng chu, tiêu chuẩn về mật độ để các miền đẳng chu tồn tại vẫn là một vấn đề mở Để có thông tin về vấn đề này độc giả có thể tìm hiểu các công trình gần đây của F.Morgan và các cộng sự ([6], [9], [15], [16], [19]…) Sau đó tổng hợp lại các kết quả và đưa ra các ví dụ về bài toán đẳng chu trên đường thẳng thực 2.1 Độ cong của đường cong trong mặt phẳng với mật độ( Xem[2],[15]) Định nghĩa 2.1.1(Xem[15,