Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 12 môn toán

kỳ thi chọn đội tuyển thức dự thi học sinh giỏi quốc gia Sở gd&đt quảng bình đề thức năm học 2008-2009 Môn: toán (vòng 2) Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) SBD: Bài (2,5 điểm) : Tìm tất đa thức P(x) bậc n với hệ số số tự nhiên không lớn cho P(7) = 84380 Bài (2,5 điểm) : Xác định tất hàm số f : R mãn đồng thời điều kiện: R g: R R thoả i) 2f(x) g(x) = f(y) y , x, y R;; ii) f(x)g(x) x + , x R Bài (2,5 điểm) : Mỗi số tự nhiên liên tiếp từ đến n (n 7) đợc tô hai màu xanh đỏ Tìm số tự nhiên n nhỏ để với cách tô màu tồn số có màu lập thành cấp số cộng Bài (2,5 điểm) : Cho hình lục giác lồi ABCDEF Chứng minh đờng chéo AD, BE, CF chia lục giác thành hai phần có diện tích đờng chéo cắt điểm Hết Họ tên, chữ ký giám thị 1: Họ tên, chữ ký giám thị 2: Sở gd&đt quảng bình đề thức kỳ thi chọn đội tuyển thức dự thi học sinh giỏi quốc gia năm học 2008-2009 Môn: toán (vòng 2) đáp án, hớng dẫn chấm yêu cầu chung * Đáp án (gồm có 03 trang) trình bày lời giải cho Trong làm học sinh yêu cầu phải lập luận lô gic chặt chẽ, đầy đủ, chi tiết rõ ràng * Trong bài, học sinh giải sai bớc giải trớc cho điểm bớc giải sau có liên quan * Điểm thành phần nói chung phân chia đến 0,25 điểm Đối với điểm thành phần 0,5 điểm tuỳ tổ giám khảo thống để chiết thành 0,25 điểm * Học sinh không vẽ hình vẽ hình sai nghiêm trọng Bài cho điểm Bài * Học sinh có lời giải khác đáp án (nếu đúng) cho điểm tối đa tuỳ theo mức điểm * Điểm toàn tổng (không làm tròn số) điểm tất Bài Nội dung Gọi: P(x) = anxn + an - 1xn - + + a1x + a0 ; với N , an 0, a i , i = 0, n Khi đó: P(7) = an7n + an 17n - + + a17 + a0 = 84380 Do a i ; i = 0, n nên n = vì: + Nếu n P(7) an7n 1.7n 76 = 117649 vô lý! + Nếu n P(7) 6(74 + 73 + 72 + 71 + 70) = 16806 vô lý! Lại a i ; i = 0, nên a0 số d phép chia 84380 cho Suy ra: a0 = Do đó: an7n - + an 17n - + + a27 + a1 = 12054 Lập luận tơng tự, ta có a1 số d phép chia 12054 cho a1 = Lại có: an7n - + an 17n - + + a37 + a2 = 1722 Tơng tự: a2 số d phép chia 1722 cho a2 = Suy ra: an7n - + an 17n - + + a47 + a3 = 246 a3 = và: an7n - + an 17n - + + a57 + a4 = 245 a4 = Suy a4 = an7n - + an 17n - + + a67 + a5 = 35 a5 = Thử lại: P(7) = 5.75 + 1.73 + = 84380 (thoả mãn) Vậy, đa thức cần tìm là: P(x) = 5x5 + x3 + Điểm 2,5 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 2 Thay y = x vào điều kiện i) có: 2f(x) g(x) = f(x) x Suy ra: f(x) = g(x) x ; x R Do đó, từ i) có: 2[g(x) - x] g(x) = [g(y) - y] g(y) ; x, y R Suy ra: g(x) = 2x 2y + g(y) ; x, y R Cho y = 0, đặt g(0) = b R Khi đó: g(x) = 2x + b f(x) = g(x) x = x + b Thay biểu thức f(x) g(x) vào điều kiện ii) ta có: (x + b)(2x + b) x + ; x R 2x2 + (3b 1)x + b2- ; x R = (3b 1)2 8(b2 1) b2 6b + (b 3)2 b = Vậy: f(x) = x + g(x) = 2x + Thử lại điều kiện i) ii) thoả mãn Kết luận: f(x) = x + g(x) = 2x + ; x R +Với n = 7, ta cách tô màu không thoả mãn yêu cầu toán: tô màu xanh số 1, 2, tô màu đỏ số 3, 4, 6, +Tơng tự, với n = 8, ta cách tô màu không thoả mãn yêu cầu toán: tô màu xanh số 1, 2, 5, tô màu đỏ số 3, 4, 7, Bây ta chứng minh, n = với cách tô màu tồn số màu lập thành cấp số cộng Sử dụng phơng pháp phản chứng Giả sử tồn cách tô màu cho số màu lập thành cấp số cộng; không tính tổng quát ta giả sử tô số màu xanh, kí hiệu 5x Ta xét màu số số 6, có hai trờng hợp xảy ra: + Trờng hợp 1: Số số có màu 1a): Số số tô màu đỏ (kí hiệu 4đ, 6đ): Khi đó, số 2x số 8x (vì 2đ, 8đ có ữ 2, 4, ữ 4, 6, 8) Suy ta có ữ 2, 5, mâu thuẫn giả thiết phản chứng 1b): Số số tô màu xanh: Khi tồn ữ 4, 5, mâu thuẫn giả thiết phản chứng + Trờng hợp 2: Số số đợc tô khác màu 2a): Số tô màu đỏ, số tô màu xanh Lập luận tơng tự nh trên, ta có: số tô màu xanh 7đ, 4đ 1x, 5x 9đ, 7đ 8x, 5x 2đ, 4đ số phải tô màu xanh Suy có ữ 1, 3, mâu thuẫn giả thiết phản chứng 2b): Số tô màu xanh, số tô màu đỏ Khi đó: số tô màu xanh 3đ, 6đ 9x, 5x 1đ, 3đ 2x, 5x 8đ, 6đ 7x Suy có ữ 5, 7, mâu thuẫn giả thiết phản chứng Suy điều phải chứng minh Rõ ràng n > số từ đến đợc tô màu theo cách thoả mãn yêu cầu toán 2,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 2,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 Vậy, n = số cần tìm Giả sử đờng chéo AD, BE, CF chia lục giác ABCDEF thành hai phần có diện tích nhng không cắt điểm Gọi M = BE I CF ; L = AD I CF ; K = BE I AD Không tính tổng quát, ta xét trờng hợp đờng chéo BE cắt cạnh tam giác LCD (hình vẽ) 0,25 2,5 0,25 B A C L Từ M D F SABCD = SADEF suy ra: 0,25 K E SKDCB + SKAB = SEFAK + SKAB SKDCB = SEFAK Mà: SKDCB + SKED = SEFAK + SABK SKED = SABK Tơng tự, ta có: SCLD = SALF , SFME = SBMC Do đó: AK.BK = DK.EK (1) ; CL.DL = AL.FL (2) ; FM.EM = BM.CM (3) (Vì với cặp tam giác có cặp góc vị trí đối đỉnh nhau) Nhân đẳng thức (1) , (2) , (3) vế theo vế hoán đổi vị trí, ta có: AK.BK.CL.DL.EM.FM = AL.BM.CM.DK.EK.FL (4) Nhng điểm L nằm A K nên AK > AL; tơng tự: BK > BM , CL > CM , DL > DK , EM > EK , FM > BL So sánh nhân tử tơng ứng hai vế (4), suy đẳng thức (4) xảy Kết luận, ba đờng chéo AD, BE, CF lục giác cho qua điểm (đ p c m) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25