sở gd-đt quảng bình kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 12 (Lập đội tuyển thức dự thi HSG Quốc gia) Năm học : 2004 - 2005 Môn : Toán - vòng đề thức Thời gian làm : 180 phút (không kể thời gian giao đề) Câu ( 2,5 điểm ) : Tìm tất đa thức P(x) thoả mãn điều kiện: x+ y x y P(x)P(y) = P P ; x, y R Câu ( 2,5 điểm ) : Cho k số nguyên dơng tuỳ ý Đặt : M k = cho : { n N / 2k + k n 2k + 3k } Hãy phân tích tập hợp Mk thành hợp hai tập hợp A B (với A B = ) x = x A (Ký hiệu x x A x x B tổng bình phơng tất phần tử thuộc tập hợp A) Câu ( 2,5 điểm ) : Cho dãy số (un) đợc xác định nh sau: a) u = b) u n + = Tìm 1 u 2n ; n N L = lim u n ? n Câu ( 2,5 điểm ) : Giải phơng trình : 2x 6x = 4x + Họ tên : Số báo danh : sở gd-đt quảng bình kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 12 (Lập đội tuyển dự thi HSG Quốc gia) Năm học : 2004 - 2005 Môn : toán - vòng đề thức đáp án, hớng dẫn chấm yêu cầu chung * Đáp án trình bày lời giải cho câu Học sinh giải cách khác đáp án nhng cho điểm tối đa tuỳ theo biểu điểm câu Trong làm thí sinh, yêu cầu phải trình bày đầy đủ, lập luận chặt chẽ, lô gíc * Nếu học sinh giải sai bớc trớc cho điểm bớc giải sau có liên quan lời giải câu * Điểm thành phần câu nói chung phân chia đến 0,5 điểm, tuỳ tổ Giám khảo thống để chiết thành 0,25 điểm * Điểm toàn tổng (không làm tròn số) điểm tất câu nội dung lời giải điểm Câu (2,5 điểm) : a) Nhận thấy : P(x) thoả mãn yêu cầu toán b) Xét P(x) Gọi n bậc đa thức P(x) Thay y = 3x vào điều kiện ra, ta có: P(x)P(3x) = P2(2x) - P2(-x) P(x)P(3x) + P2(-x) = P2(2x) , xR (1) + Trờng hợp P(x) = c , xR (c 0) : Không thoả mãn (1) ! + Xét trờng hợp n : Gọi hệ số số hạng chứa bậc cao x P(x) an (an 0) Từ (1), ta có : an(3nan) + a2n = (2nan)2 3n + = 4n n n (2) + = 4 Nhận thấy, phơng trình (2) có nghiệm n = n n Sử dụng tính chất nghịch biến hàm số : y = y = , suy ra: 4 n n 3 + = Nếu : x > + < 4 4 n n 3 + = Nếu : x < + > 4 4 Vậy, phơng trình (2) có nghiệm x = Do đó, đa thức P(x) có dạng : P(x) = ax + b Mặt khác : Thay x = , y = vào điều kiện ra, ta có : P2(0) = P(0) = b = Nên : P(x) = ax ; aR , a Thử lại, P(x) = ax ; aR , a thoả mãn yêu cầu toán Kết hợp hai trờng hợp a) b) , đa thức P(x) cần tìm là: P(x) = ax , aR Câu (2,5 điểm) : Nhận xét : Số số tự nhiên nằm hai số 2k2 + k 2k2 + 3k (bao gồm hai số đó) 2k + số Tức tập hợp Mk có 2k + phần tử + Khi k = : M k = { ; ; 5} Rõ ràng: 32 + 42 = 52 = 25 + Khi k = : M k = { 10 ; 11 ; 12 ; 13 ; 14} Ta có: 102 + 112 +122 = 132 + 142 = 365 Bây giờ, ta chứng minh : Với k số nguyên dơng tuỳ ý, tập hợp Mk đợc phân tích thành hợp hai tập hợp A, B thoả mãn yêu cầu toán Trong đó: Tập hợp A gồm k + số tự nhiên tập hợp B gồm k số tự nhiên lại Mk (2k + số tự nhiên tập Mk đợc xếp theo thứ tự tăng dần từ 2k2 + k đến 2k2 + 3k) Thật vậy, ta có: (2k + 2k + 1) + (2k + 2k + 2) + + (2k + 3k) (2k + k) (2k + k + 1) (2k + 2k) = = [(2k k + 2k + + i ) (2k + k + i ) i =0 = k (4k ] = + 3k + 2i + 1) (2k + 2k) = k =0 [ ] = (k + 1) (4k + 3k)k + k (2k + 2k) = (2k + 2k) (2k + 2k) = 4k (k + 1) (2k + 2k) = = (đ p c m) Câu (2,5 điểm) : Trớc hết, ta chứng minh: < uk , kN* (1) Khi k = : u1 = : Thoả mãn ! Giả sử (1) với k = n với nN* , n ; tức : < un Ta chứng minh : < un+1 Thật vậy: < u 2n u 2n < u 2n < < u 2n 1 1 u 2n