Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 12 môn toán

sở gd-đt quảng bình đề thức kỳ thi chọn đội tuyển thức dự thi học sinh giỏi quốc gia Năm học : 2005 - 2006 Môn : Toán - vòng Thời gian làm : 180 phút (không kể thời gian giao đề) Câu ( 2,5 điểm ) : Giải phơng trình: x log 22 x + xlog (x + 3) = log x + 2log (x + 3) Câu ( 2,5 điểm ) : Tìm đa thức P(x) với hệ số thực thoả mãn: P(1996) = 2005 P(x) = P(x + 1) 10 + Câu ( 2,5 điểm ) : Cho hàm số đơn điệu f : N N thoả mãn: f [ mf ( n ) ] = n f(m) ; m, n N Chứng minh rằng, với số nguyên tố a f(a) số nguyên tố bình phơng số nguyên tố Câu ( 2,5 điểm ) : Tính tổng k số hạng dãy (x n) cho công thức truy hồi sau: x1 = xn ; xn + = , n 2(2n + 1)x n + Họ tên: Số BD: sở gd-đt quảng bình đề thức kỳ thi chọn đội tuyển thức dự thi học sinh giỏi quốc gia Năm học : 2005 - 2006 Môn : Toán - vòng Thời gian làm : 180 phút (không kể thời gian giao đề) Câu ( 2,5 điểm ) : Tìm tất hàm số f : R R thoả mãn đồng thời điều kiện: i) f(x) e x ; x R ii) f(x + y) f(x)f(y) ; x, y R Câu ( 2,5 điểm ) : Giải hệ phơng trình: 13 13 y + + + x y = + x + x 6 x x + y = 97 36 Câu ( 2,5 điểm ) : Với ; ( , xét dãy số (un) có số hạng tổng quát: u n = cos n cos + sin n sin Tìm lim u n ? ) n n + Câu ( 2,5 điểm ) : Cho tam giác ABC có đờng tròn nội tiếp tiếp xúc với cạnh BC, CA, AB theo thứ tự M, N, P cho AP BM CN Các tiếp tuyến K H đờng tròn (A, AP) vuông góc với BC cắt đờng tròn (B, BM) (C, CN) theo thứ tự D, E Chứng minh rằng: a) MD = ME b) Mỗi điểm F thuộc đờng tròn (M, ME) không thẳng hàng với M, N có tính chất: Đờng tròn qua N, H, F tiếp xúc với MF F Lu ý: Ký hiệu đờng tròn (A, AP) nghĩa đờng tròn tâm A, bán kính AP Họ tên: Số BD: