sở gd-đt quảng bình kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 12 (Lập đội tuyển thức dự thi HSG Quốc gia) Năm học : 2003 - 2004 Môn : toán - vòng Đề thức Thời gian làm : 180 phút (không kể thời gian giao đề) Câu (2,5 điểm) : Giải phơng trình : x x 1001 + 8008x = 1001 Câu (2,5 điểm) : Cho a1 = 14 ; a2 = 144 ; ; an = 144 (có n chữ số 4) Tìm tất số nguyên dơng n cho an số phơng ? Câu (2,5 điểm) : Cho dãy số (un) xác định nh sau : n u n = + + + , n N n n n Tìm lim ln(u n ) ? n Câu (2,5 điểm) : Tìm hàm số f : R\ { ; 2003} R thoả mãn : 20032 f ( x) + f ( )=x 2003 x Họ tên : Số BD : sở gd-đt quảng bình Đề thức kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 12 (Lập đội tuyển dự thi HSG Quốc gia) Năm học : 2003 - 2004 Môn : toán (vòng 1) đáp án, hớng dẫn chấm yêu cầu chung * Đáp án trình bày lời giải cho câu Học sinh giải cách khác đáp án nhng cho điểm tối đa tuỳ theo biểu điểm câu Trong làm thí sinh, yêu cầu phải trình bày đầy đủ, lập luận chặt chẽ, lô gíc * Nếu học sinh giải sai bớc trớc cho điểm bớc giải sau có liên quan lời giải câu * Điểm thành phần câu nói chung phân chia đến 0,5 điểm, tuỳ tổ Giám khảo thống để chiết thành 0,25 điểm * Điểm toàn tổng (không làm tròn số) điểm tất câu nội dung lời giải 8008 Đặt : + + 8008x = t , t > (1) Ta có : + 8008x = 4t2 - 4t + 2002x = t2 - t Thay (1) vào phơng trình cho : x2 - x - 2002t = 2002t = x2 - x (2) Ta có hệ phơng trình : 2002x = t2 - t 2002t = x2 - x (x - t)(x + t - + 2002) = (x - t)(x + t + 2001) = (3) Từ (2) : 2003(x + t) = x2 + t2 > Do : x + t + 2001 > Vì vậy, từ (3) suy : x = t Thay x = t vào (2) : 2002x = x2 - x x = x = 2003 Nhận thấy x = không thoả phơng trình cho Kết luận : x = 2003 nghiệm phơng trình cho 0,25 Câu ( 2,5 điểm) : Điều kiện : x điểm 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu ( 2,5 điểm) : Nhận thấy : a1 = 14 số phơng 0,25 a2 = 144 = 122 ; a3 = 1444 = 382 Vậy, với n = n = an số phơng 0,5 * Xét n : Giả sử an = b , với b Z Do n nên an có tận 4444 0,25 Ngoài : 10000 chia hết cho 16 0,25 Mặt khác : Số d chia an cho 16 số d chia 4444 cho 16 12 Do : b phải số chẵn không chia hết cho 0,25 * Hay : b = 2(2c +1) , với c Z b2 = 4(4c2 + 4c + 1) = 16(c2 + c) + 0,5 Chứng tỏ : b chia cho 16 d Mâu thuẫn ! 0,25 Kết luận : Với n = n = an số phơng 0,25 Câu ( 2,5 điểm) : Trớc hết ta chứng minh : x2 (1) x < ln(1 + x) < x ; x > 2 Xét hàm số : f(x) = ln(1 + x) - x + x ; x x2 ' f (x ) = 1+ x = ; x 1+ x 1+ x f ' (x) = x = Do đó, hàm số f(x) luôn đồng biến [ 0; ) Hay : x2 < ln(1 + x) ; x > x > f(x) > f(0) = x Xét hàm số : g(x) = ln(1 + x) - x ; x g ' (x ) 0,25 0,25 0,25 0,25 x = ; x 1+ x 1+ x g ' (x) = x = Do đó, hàm số g(x) luôn nghịch biến [ 0; ) Hay : x > g(x) < g(0) = ln(1 + x) < x ; x > 0,25 0,25 Nh (1) đợc chứng minh Bây giờ, xét toán ban đầu Ta có : n ln(u n ) = ln(1 + ) + ln(1 + ) + + ln(1 + ) n n n 0,25 áp dụng bất đẳng thức (1) với : x= i n2 ; i = 1, 2, , n Khi : i i2 i i < ln(1 + ) < 2 n 2n n n ; i = 1, 2, , n 0,25 Cộng n bất đẳng thức tơng ứng vế theo vế : 1 1 2 ( + + + n ) ( + + + n ) < ln(u ) < (1 + + + n ) n n2 2n n2 n(n + 1) n(n + 1)(2n + 1) n(n + 1) 4ì < ln(u n ) < ì 2n 2n n n n 2n n +1 < ln(u n ) < 2n 2n 0,25 Nhận thấy : n - n - 2n n +1 lim ( ) = lim ( )= n n 2n 2n Do : lim ln(u n ) = n Câu ( 2,5 điểm) : Đặt : 0,25 g (x) = x 2003 g (x) = 2003 x 0,5 2003x 2003 g (x) = g [ g (x)] = x Theo giả thiết, ta có : f [ g1 ( x ) ] + f [ g ( x ) ] = g1 (x) thay x g2(x) ) f [ g ( x ) ] + f [ g ( x ) ] = g 2((x) ( thay x g3(x) ) f [ g ( x ) ] + f [ g1 ( x ) ] = g (x) Do đó, ta có hệ : f [ g ( x ) ] + f [ g ( x ) ] = g (x) f [ g ( x ) ] + f [ g ( x ) ] = g (x) f [ g ( x ) ] + f [ g ( x ) ] = g (x) x 2003x + 20033 f [ g1 ( x ) ] = [ g1 (x) + g (x) g (x)] = 2x(x 2003) Vậy, hàm số cần tìm : x 2003x + 20033 f(x) = ; x , x 2003 2x(x 2003) 0,5 0,5 0,5 0,5