2x m Tìm các điểm trên trục hoành mà từ đó vẽ được hai tiếp tuyến với đường cong Cm mà chóng vu«ng gãc v¬Ý nhau.. dx víi n lµ sè tù nhiªn..[r]
(1)Së GD-§T Thanh Hãa Trường THPT Thống Nhất §Ò Thi häc sinh giái Líp 12 M«n: To¸n Thêi gian: 180 Phót Giáo viên đề : Bµi : (4®iÓm ) TrÞnh V¨n Hïng mx x Cho ®êng cong ( Cm) : y ( m lµ tham sè vµ |m | 2) 2x m Tìm các điểm trên trục hoành mà từ đó vẽ hai tiếp tuyến với đường cong (Cm ) mà chóng vu«ng gãc v¬Ý (Gi¶i tÝch - To¸n n©ng cao 12 T¸c gi¶ Phan Huy Kh¶i ) b) Cho In = e nx e x dx víi n lµ sè tù nhiªn T×m lim In n ( To¸n n©ng cao líp 12 Phan Huy Kh¶i ) Bµi 2: (4 §iÓm ) a) Giải và biện luận phương trình sau theo tham số a x - a x =1 ( Toán bồi dưỡng học sinh : nhóm tác giả Hàn Liên Hải , Phan Huy Khải ) b) Giải bất phương trình 12x 2x - 2 x 9x 16 ( Toán bồi dưỡng học sinh : nhóm tác giả Hàn Liên Hải , Phan Huy Khải ) Bµi ( 4®iÓm ) a)Giải Phương trình :2sin(3x+ ) = sin 2x cos2 2x b) Tam gi¸c ABC cã c¸c gãc thâa m·n : 2sinA+ 3sinB+4sinC = 5cos C Chứng minh : tam giác ABC là tam giác ( B¸o To¸n häc tuæi trÎ 5/2004) Bµi 4(4®iÓm) : +cos Lop12.net A B +3cos 2 (2) x n nx n 1 x 1 ( x 1)2 a)Cho n là số nguyên dương , hãy tìm giới hạn A = lim ( Toán bồi dưỡng học sinh : nhóm tác giả Hàn Liên Hải , Phan Huy Khải ) log x log(23 y ) b) Giải hệ phương trình y3 (3x ) log log (Đại số sơ cấp tác giả Trần Phương) Bµi ( 4®iÓm) : a) Cho hình chóp SABCD đáy ABCD là hình thang có cạnh AD =2 BC Gọi M,N là hai trung điểm SA , SB tương ứng Mặt phẳng (DMN ) cắt SC P Tính tỉ số điểm P chia ®o¹n th¼ng CS ( Toán bồi dưỡng học sinh : nhóm tác giả Hàn Liên Hải , Phan Huy Khải ) b) Cho a,b,c lµ c¸c sè thùc lín h¬n 2 2 Chøng minh r»ng : logab c + logab c + log ca b 3 ( Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức ,tác giả Trần Phương) HÕt Lop12.net (3) §¸p ¸n C©u Gäi M(x0;0 ) lµ ®iÓm cÇn t×m §êng th¼ng ( )qua M cã hÖ sè gãc k cã phương trình y= k( x-x0) Để( ) là tiếp tuyến đường cong thì phương trình sau có nghiệm kép (0,5®) x mx k(x x ) 2x m ( 1- 2k) x2+(m+2kx0-mk)x +1+mkx0=0 cã nghiÖm kÐp 2k [k (2 x m) m] 4(1 2k )(1 mkx ) k (2) (I ) k (2 x m) 4k (2 mx ) m (3) Bài toán trở thành tìm điều kiện để (I) có hai nghiện phân biệt k 1, k2 vµ k1.k2 = -1 (0,5®) thay (2) vµo (3) ta cã : (2x0-m) +m2 + 12 (4) Vì (4) đúng nên hệ (I) (3) §iÒu kiÖn cÇn t×m lµ : 2x m m m2 x0 1 2 (2x m) (2x m) m ( 2x0 +m)2 = 4-m2 ( v× m 2) (5) NÕu m > th× (5) v« nghiÖm NÕu m < th× (5) cã hai nhghiÖm cÇn t×m víi x0 = VËy cã hai ®iÓm M(x0;0) cÇn t×m víi x0 = b) Ta cã x ( 0;1) th× : m± e nx e ( n 1) x > In > In+1 e x e x e nx MÆt kh¸c v× > x (0;1) e x Lop12.net In >0 n m2 m± m2 (0,5®) (4) Vậy {In} là dãy đơn điệu giảm và bị chặn , nên tồn lim I n (0,5®) n Ta cã In + In+1 = e e (n x ) dx e x nx e 1 - In-1 1 n = e ( n 1) x dx = e ( n 1) 1 n 1 1 n In = (*) (0,5®) Râ rµng : lim I n = lim I n 1 n n e 1 n lim =0 nªn tõ (*) suy lim I n = n n 1 n lim I n = (0,5®) n Bµi 2: a) Giải và biện luận phương trình theo tham số a: x - a x =1 ax0 x 1 1 a x xa 2 x a a x xa a x f ( x ) ( a 1) a 4a 4x (2) (0,5®) (3) (4) Ta xét các trường hợp sau: +) Nếu a < đó a > a nªn hÖ (2) (3) (4) v« nghiÖm tøc lµ (1) v« nghiÖm +) NÕu a=0 th× hÖ (2), (3), (4) cã nghiÖm nhÊt x=0 a xa (5) +) NÕu a >0 th× ta cã f ( x ) x 4(a 1) x a 4a (4) XÐt tam thøc f(x) cã f( a )= -2a < vµ f(a) = a2 > Vậy theo định lí đảo (4) có hai nghiệm x1,x2 thoã mãn x1< a < x2 < a KÕt luËn Lop12.net (1®) (5) +) NÕu a < th× (1) v« nghiÖm +) NÕu a 0 th× (1) cã nghiÖm nhÊt x= a 2a b) Giải bất phương trình 12x 2x - 2 x (1) 9x 16 Nh©n biÓu thøc liªn hîp vÕ tr¸i ta cã ( Víi x [-2;2] ) 2(6 x 4) 6x 2x 2 x x 16 (3x 2)[ 9x 16 2( 2x 2 x ] (3x 2)(9x 8x 32 16 2x (0,5®) (0,5®) (0,5®) (3x 2)( x 2x )(8 x 2x Do 8+x+2 x x 4 x nªn (2) (3x-2) (x-2 2x ) Tập nghiệm bất phương trình T = [ -2; Bµi ( 4®iÓm ) a)Giải Phương trình :2sin(3x+ )( ; 2] 3 (1®) ) = sin 2x cos2 2x sin( x )0 (2) 4 sin (3x ) sin 2x cos 2x (3) (0,5®) Gi¶i (2): ) ] = 1+ 8sin2x(1-sin22x) 2+ 2sin6x = 1+ 8sin 2x-8sin32x 2+ 2(3sin2x-4sin32x) = 1+8sin2x-8sin32x x k 12 sin2x = (k,lZ ) 5 x 12 (2) 2[1-cos(6x + Lop12.net (0,5®) (6) + k¶ vµo (2) ta cã : 12 k VT(2) = sin( 3k ) (1) k=2n ,n Z x= + 2n¶ lµ nghiÖm cña (1) 12 5 vµo (2) ta cã : +) Thay x= 12 3 1 3 ) (1) l=2m-1;m Z VT(2) = sin( 12 5 (2m 1) lµ hä nghiÖm cña (1) x= 12 5 (2m 1) ; (n,mZ) VËy (1) cã hai hä nghiÖm : x= + 2n¶ vµ x= 12 12 +)Thay x= b) Ta cã sinA +sin B = sin (1®) AB AB C cos cos dÊu ( = ) x¶y vµ chØ 2 C (sin A + sinB ) cos chØ A = B 2 A Tương tự : (sin B + sinC ) cos 2 B (sin C + sinA ) cos 2 (1) (2) (3) Tõ (1), (2), (3), suy : 2sinA + 3sin B + sin C 5cos Đẳng thức xảy và tam giác ABC (1®) A B C +3cos +cos 2 (1®) Bµi : x n nx n 1 a)Cho n là số nguyên dương , hãy tìm giới hạn A = lim x 1 ( x 1)2 ta cã xk -1 = (x-1)(1+x+x2+ ……….+xk-1) (0,5®) (x 1)(1x x x n) (x 1) (x 1) (x 1) A lim lim x1 x1 (x 1)2 x 1 n1 n1 (x 1)[1(x 1) (1x xn2)] n(n 1) A lim 123 .(n 1) x1 x 1 Lop12.net (0,5®) (7) VËy : A = n (n 1) (0,5®) log x log(23 y ) b) Giải hệ phương trình y3 (3x ) log log log2x 3 2(1 log(23 y )) ( x 3) x ( y 3) y log log log log y 3 (3x ) 2(1 log2 ) log2 XÐt hµm sè : f(t) = log(2 t 3) log2t víi t(0; + ) đồng biến trên (0; + ) (1) (0,5®) (1) viết dạng f(x) = f(y) xy (2) (I) x log ( x 3) 2(1 log ) (3) (II) x (3) x 22(1log3 ) x 4.2log3x x 4.2log3 log x 2 x 4.( x )log3 x 4.x log3 x1log3 3.x log3 (4) 4 XÐt hµm sè q(x) = x1log3 3.x log3 trªn (0;+ ) nghÞch biÕn trªn (0;+ ) (0,5®) Nªn (4) cã nghiÖm th× lµ nghiÖm nhÊt , g(1) =4 VËy x=1 lµ nghiÖm nhÊt cña (4) x y Khi đó hệ (II) trở thành x y 1 x 1 Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm x=y=1 Bµi5 : Lop12.net (0,5®) (8) a) §Æt DA = a ; DC = b ; DS = c; Tõ gi¶ thiÕt ta ®îc CB = a v× P trªn CS nên đặt: CP = x.CS M, N, P, D trªn cïng mÆt ph¼ng nªn DM, DN, DP đồng phẳng ta có: DN = DM +DP (1) V× M lµ trung ®iÓm cña SA nªn: DM = V× N lµ trung ®iÓm cña SB nªn: DN = DS DA c a = 2 DS DB = (2) a 2= a + b + c 2 cb (3) Ta cã: DP = DC + CP = b + xCS = b + x(c - b) DP = (1-x)b + xc (4) Tõ (1), (2), (3) vµ (4) ta cã: a b c + + = c + a + (1 x )b + xc 2 2 a b c + + = a + (1-x) b + ( + x) c 2 2 Lop12.net (0,5®) (9) 24 b(1 x ) x 2 x VËy P trªn SC cho CP = a2 log b) Ta cã bc 1 CS hay P chia ®o¹n th¼ng CS theo tØ sè k=3 2 ln a ln a ln a ln( b c ) ln bc ln b ln c (0,5®) log a c a Tương tự : log c a b VT(1) 2( b2 ln b ln a ln c ln c ln a ln b ln a ln b ln c + + ) ln b + ln c ln a + ln c ln a + ln b Bổ đề Với x,y,z>0 thì ThËt vËy (*) ( (0,5®) y z x + + (*) ≥ z + y x + z x+y y z x +1) + ( +1)+( +1) ≥ +3 x+z z+y x+y [ (y+z) +(z+x) +(x+y) ] ( 1 + + )9 z + y x + z x+y áp dụng bổ đề ta có : VT(1) (**) Theo C«si th× (**) tho· m·n (0,5®) (§PCM) HÕt Lop12.net (0,5®) (10) Lop12.net (11)