Tiêu chuẩn ổn định đại số Tiêu chuẩn ổn định đại số Bởi: Khoa CNTT ĐHSP KT Hưng Yên Tiêu chuẩn ổn định đại số Điều kiện cần Điều kiện cần để hệ thống ổn định tất hệ số phương trình đặc trưng phải khác dấu Ví dụ: Hệ thống có phương trình đặc trưng: Tiêu chuẩn ổn định Routh Cho hệ thống có phương trình đặc trưng Muốn xét tính ổn định hệ thống theo tiêu chuẩn Routh, trước tiên ta thành lập bảng Routh theo qui tắc: - Bảng Routh có n+1 hàng - Hàng bảng Routh gồm hệ số có số chẵn - Hàng bảng Routh gồm hệ số có số lẻ - Phần tử hàng i cột j bảng Routh (i = 3) tính theo công thức: 1/8 Tiêu chuẩn ổn định đại số Phát biểu tiêu chuẩn Routh Điều kiện cần đủ để tất nghiệm phương trình đặc trưng nằm bên trái mặt phẳng phức tất phần tử nằm cột bảng Routh dương Số lần đổi dấu phần tử cột bảng Routh số nghiệm nằm bên phải mặt phẳng phức Ví dụ : Hãy xét tính ổn định hệ thống có phương trình đặc trưng là: Giải Bảng Routh Vì tất phần tử cột bảng Routh dương nên tất nghiệm phương trình đặc tính nằm bên trái mặt phẳng phức, hệ thống ổn định Ví dụ : Hãy xét tính ổn định hệ thống tự động có sơ đồ khối sau 2/8 Tiêu chuẩn ổn định đại số Hình 4.3: Sơ đồ khối hệ thống tự động ví dụ 4.2 Giải Phương trình đặc trưng hệ thống Vì phần tử cột bảng Routh đổi dấu hai lần nên phương trình đặc tính có hai nghiệm nằm bên phải mặt phẳng phức, hệ thống không ổn định Ví dụ : Cho hệ thống có sơ đồ khối sau 3/8 Tiêu chuẩn ổn định đại số Hình 4.4: Sơ đồ khối hệ thống tự động ví dụ 4.3 Xác định điều kiện K để hệ thống ổn định Giải Phương trình đặc tính Điều kiện để hệ thống ổn định Các trường hợp đặc biệt - Trường hợp 1: có hệ số cột hàng 0, hệ số lại hàng khác ta thay hệ số cột số e dương, nhỏ tùy ý, sau trình tính toán tiếp tục Ví dụ : Xét tính ổn định hệ thống có phương trình đặc trưng: Giải Bảng Routh 4/8 Tiêu chuẩn ổn định đại số Vì hệ số cột bảng Routh đổi dấu hai lần nên phương trình đặc tính hệ thống có hai nghiệm nằm bên phải mặt phẳng phức, hệ thống không ổn định - Trường hợp 2: tất hệ số hàng - Thành lập đa thức phụ từ hệ số hàng trước hàng có tất hệ số 0, gọi đa thức Ap(s) - Thay hàng có tất hệ số hàng khác có hệ số hệ số Sau trình tính toán tiếp tục Chú ý: Nghiệm đa thức phụ Ap(s) nghiệm phương trình đặc trưng Ví dụ 4.5 Xét tính ổn định hệ thống có phương trình đặc trưng: Xác định số nghiệm phương trình đặc tính nằm bên trái, bên phải hay trục ảo mặt phẳng phức Giải 5/8 Tiêu chuẩn ổn định đại số Đa thức phụ Nghiệm đa thức phụ (cũng nghiệm phương trình đặc trưng) Kết luận - Các hệ số cột bảng Routh không đổi dấu nên phương trình đặc trưng nghiệm nằm bên phải mặt phẳng phức - Phương trình đặc tính có hai nghiệm nằm trục ảo - Số nghiệm nằm bên trái mặt phẳng phức – = => Hệ thống biên giới ổn định Tiêu chuẩn ổn định Hurwitz Cho hệ thống có phương trình đặc trưng Muốn xét tính ổn định hệ thống theo tiêu chuẩn Hurwitz, trước tiên ta thành lập ma trận Hurwitz theo qui tắc: 6/8 Tiêu chuẩn ổn định đại số - Ma trận Hurwitz ma trận vuông cấp n×n - Đường chéo ma trận Hurwitz hệ số từ a1 đến an - Hàng lẻ ma trận Hurwitz gồm hệ số có số lẻ theo thứ tự tăng dần bên phải đường chéo giảm dần bên trái đường chéo - Hàng chẵn ma trận Hurwitz gồm hệ số có số chẵn theo thứ tự tăng dần bên phải đường chéo giảm dần bên trái đường chéo Phát biểu tiêu chuẩn Hurwitz Điều kiện cần đủ để hệ thống ổn định tất định thức chứa đường chéo ma trận Hurwitz dương, Ví dụ 4.6 Cho hệ thống tự động có phương trình đặc trưng Hỏi hệ thống có ổn định không? Giải Ma trận Hurwitz Các định thức 7/8 Tiêu chuẩn ổn định đại số Vì tất định thức chứa đường chéo ma trận Hurwitz dương nên hệ thống ổn định 8/8 ... trưng Hỏi hệ thống có ổn định không? Giải Ma trận Hurwitz Các định thức 7/8 Tiêu chuẩn ổn định đại số Vì tất định thức chứa đường chéo ma trận Hurwitz dương nên hệ thống ổn định 8/8 ... giới ổn định Tiêu chuẩn ổn định Hurwitz Cho hệ thống có phương trình đặc trưng Muốn xét tính ổn định hệ thống theo tiêu chuẩn Hurwitz, trước tiên ta thành lập ma trận Hurwitz theo qui tắc: 6/8 Tiêu. .. hệ thống không ổn định Ví dụ : Cho hệ thống có sơ đồ khối sau 3/8 Tiêu chuẩn ổn định đại số Hình 4.4: Sơ đồ khối hệ thống tự động ví dụ 4.3 Xác định điều kiện K để hệ thống ổn định Giải Phương