Tiêu chuẩn ổn định tần số

Tiêu chuẩn ổn định tần sốBởi: Khoa CNTT ĐHSP KT Hưng Yên Nguyên lý góc quay Xét hệ thống bậc n có phương trình đặc tính hệ số hằng: Đa thức As được viết dưới dạng: với p1, p2,.... Thay s

Tiêu chuẩn ổn định tần số

Bởi:

Khoa CNTT ĐHSP KT Hưng Yên

Nguyên lý góc quay

Xét hệ thống bậc n có phương trình đặc tính hệ số hằng:

Đa thức A(s) được viết dưới dạng:

với p1, p2, pnlà cực của hệ thống, là nghiệm của phương trình đặc tính

Thay s = jω vào ta có:

Giả sử phương trình có m nghiệm phải (có phần thực dương), còn (n - m) nghiệm trái (có phần thực âm)

Góc quay của vectơ đa thức đặc tính tần số A(jω)

Khi tần số ω thay đổi từ

đến

thì sự thay đổi góc quay của vectơ đa thức đặc tính tần số A(jω) sẽ là:

Ký hiệu Δ chỉ sự thay đổi góc quay Nếu qui định chiều quay dương là chiều ngược chiều kim đồng hồ thì ta có biểu thức sau đối với nghiệm trái và phải:

Hệ có m nghiệm phải và (n - m) nghiệm trái:

Nguyên lý góc quay

Hệ thống bậc n có m nghiệm phải và (n - m) nghiệm trái có vectơ đa thức đặc tính tần

số A(jω) sẽ quay một góc là (n-2m)/2 vòng kín theo chiều ngược chiều kim đồng hồ khi tần số ? biến thiên từ

đến

Véctơ đa thức đặc tính tần số A(jω) sẽ quay một góc bằng hiệu số nghiệm trái (n - m) và nghiệm phải (m) nhân với π khi ω biến thiên từ

Tiêu chuẩn ổn định tần số Mikhailov

Tiêu chuẩn ổn định dựa vào nguyên lý góc quay được A V Mikhailov phát biểu vào năm 1938: Điều kiện cần và đủ để hệ tuyến tính ổn định là biểu đồ vectơ đa thức đặc tính A(jω) xuất phát từ nửa trục thực dương tại ? bằng không, phải quay n góc phần tư theo chiều ngược chiều kim đồng hồ khi ω biến thiên từ 0 đến

, với n là bậc của phương trình đặc tính của hệ thống

Ví dụ : xét hệ bậc ba n = 3

Cho ω biến thiên từ 0 đến vô cùng bằng phương pháp trên xây dựng toàn bộ biểu đồ véctơ đa thức đặc tính A(jω)

- Đa thức đặc tính (mẫu số hàm truyền đạt của hệ cần xét ổn định ở trạng thái hở hoặc trạng thái kín) được phân tích thành hai thành phần:

Tiêu chuẩn ổn định Nyquist

Cho hệ thống tự động có sơ đồ khối

Cho biết đặc tính tần số của hệ hở G(s), bài toán đặt ra là xét tính ổn định của hệ thống kín Gk(s)

Tiêu chuẩn Nyquist

Hệ thống kín Gk(s) ổn định nếu đường cong Nyquist của hệ hở G(s) bao điểm (–1, j0) 1/

2 vòng theo chiều dương (ngược chiều kim đồng hồ) khi ω thay đổi từ 0 đến

, trong đó l là số cực của hệ hở G(s) nằm bên phải mặt phẳng phức

Ví dụ : Cho hệ thống hồi tiếp âm đơn vị, trong đó hệ hở G(s) có đường cong Nyquist

như hình vẽ Biết rằng G(s) ổn định Xét tính ổn định của hệ thống kín

Vì G(s) ổn định nên G(s) không có cực nằm bên phải mặt phẳng phức Do đó theo tiêu chuẩn Nyquist hệ kín ổn định nếu đường cong Nyquist G(jω) của hệ hở không bao điểm (–1, j0) Vì vậy:

Trường hợp 1: G(jω) không bao điểm (-1, j0) ? hệ kín ổn định

Trường hợp 2: G(jω) qua điểm (-1, j0) hệ kín ở biên giới ổn định;

Trường hợp 3: G(jω) bao điểm (-1, j0) ? hệ kín không ổn định

Chú ý: Đối với các hệ thống có khâu tích phân lý tưởng, để xác định đường cong Nyquist

có bao điểm (–1, j0) hay không, ta vẽ thêm cung -γ/2 bán kính vô cùng lớn (γ là số khâu tích phân lý tưởng trong hàm truyền hệ hở)

Tiêu chuẩn ổn định Bode

Cho hệ thống tự động có sơ đồ khối như hình Cho biết đặc tính tần số của hệ hở G(s), bài toán đặt ra là xét tính ổn định của hệ thống kín Gk(s)

Tiêu chuẩn Bode

Hệ thống kín Gk(s) ổn định nếu hệ thống hở G(s) có độ dự trữ biên và độ dự trữ pha dương

Ví dụ : Cho hệ thống hở có biểu đồ Bode như hình vẽ Hỏi hệ kín có ổn định không?

Giải Trên biểu đồ Bode ta xác định được:

Do GM < 0 và FM < 0 nên hệ thống kín không ổn định