Tiêu chuẩn ổn định mũ toàn cục của mạng nơron tế bào có xung và trễ biến thiên

Trong bài báo này, chúng tôi nghiên cứu mô hình mạng nơron tế bào có xung và trễ biến thiên, là mở rộng của mô hình trong. Dựa trên việc xây dựng hàm Lyapunov và sử dụng một số kĩ thuật giải tích như: Tính chất của hàm liên tục trên một đoạn, tính chất của inf và sup,… chúngtôi sẽ xây dựng tiêu chuẩn ổn định mũ toàn cục mới cho điểm cân bằng của mạng nói trên. Ngoài ra, chúng tôi cũng lấy ví dụ minh họa cho kết quả đạt được.

ISSN: 1859-2171 TNU Journal of Science and Technology 195(02): 95 - 102 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH MŨ TOÀN CỤC CỦA MẠNG NƠRON TẾ BÀO CÓ XUNG VÀ TRỄ BIẾN THIÊN Đặng Thị Thu Hiền*, Nguyễn Thị Nhàn, Nguyễn Thị Hiền Trường Đại học Hoa Lư, Ninh Bình TĨM TẮT Trong báo này, chúng tơi nghiên cứu mơ hình mạng nơron tế bào có xung trễ biến thiên, mở rộng mơ hình [1], [2] Dựa việc xây dựng hàm Lyapunov sử dụng số kĩ thuật giải tích như: tính chất hàm liên tục đoạn, tính chất inf sup ,… xây dựng tiêu chuẩn ổn định mũ toàn cục cho điểm cân mạng nói Ngồi ra, chúng tơi lấy ví dụ minh họa cho kết đạt Từ khóa: Ổn định mũ toàn cục, Mạng nơron tế bào , Xung, Trễ, Hàm Lyapunov Ngày nhận bài: 22/01/2019; Ngày hoàn thiện: 19/02/2019; Ngày duyệt đăng: 28/02/2019 GLOBAL EXPONENTIAL STABILITY CRITERIA FOR IMPULSIVE CELLULAR NEURAL NETWORKS WITH TIME – VARYING DELAYS Dang Thi Thu Hien*, Nguyen Thi Nhan, Nguyen Thi Hien Hoa Lu University, Ninh Binh ABSTRACT In this paper, we study the model of impulsive cellular neural networks with time – varying delays, which is an extension of the model in [1], [2] Based on the construction of the Lyapunov function and the use of some analytical techniques such as the properties of continuous functions on a segment, the properties of inf, sup, , and we will build new global exponential stability criteria for the equilibrium point of the networks mentioned above In addition, we also take example to illustrate the results achieved Keywords: Global expontial stability, cellular neural networks, impulsive, delay, lyapunov function Received: 22/01/2019 ; Revised: 19/02/2019 ; Approved: 28/02/2019 * Corresponding author: Tel: 0947133778; Email: dtthien@hluv.edu.vn http://jst.tnu.edu.vn; Email: jst@tnu.edu.vn 95 Đặng Thị Thu Hiền Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CƠNG NGHỆ ĐHTN GIỚI THIỆU Trong năm gần mạng nơron tế bào có xung trễ biến thiên thu hút quan tâm nghiên cứu sâu rộng mạnh mẽ khắp nhà khoa học giới ứng dụng liên quan đến xử lí tín hiệu hình ảnh, liên kết nhớ, phân loại mẫu Đã có nhiều kết cơng bố ổn định mũ toàn cục cho điểm cân mạng Kết [4], [7] cho thấy phụ thuộc độ trễ  vào thời điểm xung, cụ thể yều cầu   tk  tk 1 , k  đặt ra, kết có giá trị chậm trễ nhỏ nên khơng có ý nghĩa số ứng dụng thực tế Kết [2], [3] đòi hỏi Dv(t )  , nghĩa mạng ban đầu (không 195(02): 95 - 102 Kết [1] Bo wu, Yang Liu, Jianquan Lu đạt mà không cần điều kiện D v(t )  , tức mạng ban đầu khơng có tác động xung khơng ổn định, điều cho thấy xung đóng vai trò quan trọng việc làm cho điểm cân mạng ổn định mũ toàn cục Trong báo này, chúng tơi mở rộng mơ hình [1], [2], cụ thể nghiên cứu mơ hình (1.1) Chúng xây dựng tiêu chuẩn ổn định mũ toàn cục cho điểm cân mạng (1.1) Kết chúng tơi có lợi so với số kết công bố, cụ thể: độ trễ  bị chặn tùy ý điều kiện D v(t )  không cần đặt xung) cần ổn định (1) i  1, 2, , n, n  số nơron mạng,  j (t) truyền trễ dọc theo sợi trục nơron thứ j thỏa mãn   j (t)  ,  t  t1  t  , lim t k   , t thời điểm ban đầu, t1 , t , , thời điểm xung, k  PC   :  ,0     n , (t) liên tục trừ hữu hạn điểm t mà tồn  (t ), (t ) (t )  (t) , BC   PC :  bị chặn  , 0 , với  BC ta xác định    sup (s) , s  ,0 Điểm x*  (x1*, x *2, , x *n) T  n gọi điểm cân hệ (1.1) n n  * *   c x  a f (x )  bijg j (x *j )  Ii    i i ij j j ,i  1, 2, , n (2)  j1 j1 *  0  Pi (x i ) Kí hiệu x(t)  x(t, t , ) nghiệm hệ (1) thỏa mãn điều kiện ban đầu x t0   , tức x t0 (s)  x(t  s)  (s),s   ,0 Giả sử nghiệm (1) liên tục khắp nơi trừ thời điểm xung t k mà nghiệm liên tục trái tồn giới hạn phải 96 http://jst.tnu.edu.vn; Email: jst@tnu.edu.vn Đặng Thị Thu Hiền Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CƠNG NGHỆ ĐHTN 195(02): 95 - 102 Ta nghiên cứu mô hình (1) với giả sử sau A1 ) Tồn số Li  0, Ni  0,i  1, 2, , n thỏa mãn fi (x1 )  fi (x )  Li | x1  x |, gi (x1 )  gi (x )  Ni x1  x , x1, x  ,i  1, 2, , n , Pi  xi (t k )   ik  x i (t k )  x*i  ,1  d k  ik   d k , A ) Các hàm Pi liên tục  d k  , i  1, 2, , n, k  1, 2, , A ) Tồn điểm cân thỏa mãn (2) MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA Định nghĩa Hàm V :   n   ( i) V liên tục tập (t k 1 , t k ]  gọi thuộc lớp V0 n , k  1, 2, , V(t,0)  0, t  t , (ii) V(t, x) Lipschitz địa phương theo x, (iii) Với k  1, 2, tồn giới hạn lim (t,y) (t k ,x) V(t, y)  V(t k , x) Định nghĩa Cho hàm V  V0 Với (t, x)  [t k 1 , t k )  n , k  1, 2, , đạo hàm bên phải V  V0 hệ (1) xác định bởi: D V  t, x(t)   lim h 0 V  t  h, x(t  h)   V  t, x(t)  h Định nghĩa Điểm cân x  (x , x*2 , , x*n )T hệ (1) gọi ổn định mũ toàn * * cục   0, M  cho: x(t, t , )  x*  M   x* e   (t  t ) , t  t Đặt yi (t)  xi (t)  x*i ,i  1, 2, , n hệ (1) trở thành: n n  ' * *   y (t)   c y (t)  a f y (t)  x  f (x )  bij g j  y j (t   j (t))  x *j   g j (x *j )   i   i i ij  j  j j j j   j1 j1 yi (t k )  Pi  yi (t k )  x *i  , i  1, 2, , n, k  1, 2,  Bất đẳng thức Yuong: Cho a, b  p, q  thỏa mãn 1 a p bq   Khi đó: ab   p q p q KẾT QUẢ CHÍNH Trong mục này, chúng tơi xây dựng tiêu chuẩn ổn định mũ tồn cục cho điểm cân mạng nơron tế bào có xung trễ biến thiên (1) Định lí Giả sử p  1, 1 , 2 , , n  điều kiện A1  A3 thỏa mãn Đặt: n  n   j k1   pci  Li   (p  1)  L j a ij 1i  n j1  i j1   p p 1  N j bij p p 1 n     j , k  max N   1in  i     j1 i  Giả sử: k1    0,   : http://jst.tnu.edu.vn; Email: jst@tnu.edu.vn 97 Đặng Thị Thu Hiền Đtg (i) k1  Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ ĐHTN 195(02): 95 - 102 k 2e    , k  1, 2, , với  d 1, d k cho A , d pk 1 (ii) p ln d k 1  (  )(t k  t k 1 ), k  1, 2, Khi đó, điểm cân hệ (1) ổn định mũ toàn cục Chứng minh Đặt max  max{1 , 2 , , n }, min  min{1 ,  , ,  n }  n p p Ta xác định hàm Lyapunov v(t)  V  t, y(t)    i yi (t) xét y(t)    yi (t)  i 1  i 1  n Với t  t t  t k , k  1, 2, ta có: D v(t)  n D v(t)   i p yi (t) p 1 i 1 p n   p y (t) i 1 i i p 1 sgn(yi (t)) y 'i (t) Do đó: n  sgn  yi (t)   ci yi (t)   a ij f j  y j (t)  x *j   f j (x *j )  j1    n   bij g j  y j (t   j (t))  x *j   g j (x *j )  j1    n n n   p p 1 p 1   i p  ci yi (t)   L j a ij yi (t) y j (t)   N j bij yi (t) y j  t   j (t)   i 1 j1 j1   Áp dụng bất đẳng thức Yuong với p  1, q   y j (t)  a ij yi (t)  y  t   (t)  b j j ij p ta có: p 1 p 1 yi (t)  p 1   y j (t)  p p 1 p yi (t) a ij p   y j  t   j (t)  p n  n   j  (p  1)  L j a ij Do D v(t)    pci  Li  i 1  j1  i j1  n  p p p 1 p p p 1 , p 1 p  yi (t) bij p  N j bij   p p 1 p p 1  p   i yi (t)   n  n   p j    Ni   i yi  t  i (t)   i 1  j1  i     p   d k 1  Suy ra, D v(t)   k1 v(t)  k sup v(s) Đặt   sup  t s  t Từ giả thiết A1 ) 98 d p k 1  k 1     k1     k1 , k      k1  k 2e        k 2e k 2e http://jst.tnu.edu.vn; Email: jst@tnu.edu.vn Đặng Thị Thu Hiền Đtg Theo A ) ta có     x* Suy ra: Tạp chí KHOA HỌC & CƠNG NGHỆ ĐHTN d p  p k 1 195(02): 95 - 102  e(  )(t1  t0 )  Do đó, M  1: e(  )(t1 t0 )  M  e p (3) p    x* e(t1 t0 )  M   x* e (t1 t )   Tiếp theo ta chứng minh: v(t)   max M   x * p  e (t  t0 ) , t  (t , t1 ] p Để làm điều này, ta cần chứng minh: v(t)   max M   x* e (t1  t ) , t  (t , t1 ] (4)  Vì v(t) liên tục trái t1 nên để chứng minh (4) ta cần chứng minh: p v(t)   max M   x* e (t1 t0 ) , t  (t , t1 ) (5)  Giả sử (5) khơng Khi tồn t  (t , t1 ) cho p p   v(t)  max M   x* e (t1 t0 )   max   x*  p  v(t  s), s [  , 0] (6)  Đặt t =inf t : v(t)   max M   x* e (t1  t0 ) , t  (t , t)  p   v(t)   max M   x* e  (t1  t0 )  Dễ thấy, t  (t , t)  v(t)  v(t), t  [t   , t]   Đặt:  (7)  p t  sup t : v(t)   max   x* , t [t , t)  t  [t , t) :  (8) Với s [  , 0],  t  [t, t] t  s [t  , t]  [t  , t] Do từ (3), (7), (8) ta có: p p   v(t  s)  max M   x* e (t1  t0 )  max e   x*  e v(t)  e v(t) Suy D v(t)  k1v(t)  k e v(t)  (k k 2e )v(t)  (  )v(t),  t [t, t] Do hàm u(t)  v(t)e (  )t nghịch biến [t, t] Do đó: p p v(t)  v(t)e(  )(t  t )  max   x* e(  )(t  t )   max   x* e(t1  t0 )      max M   x * p  e (t1  t0 )  v(t) (vô lý)  (5) p Tiếp theo ta chứng minh: v(t)   max M   x* e (t  t ) , t  (t k 1 , t k ], k   p Giả sử: Ta chứng minh: v(t)   max M   x* e (t  t0 ) , t  (t k 1 , t k ], k=1,2, ,m  p v(t)   max M   x* e (t t0 ) , t  (t m , t m1 ]  (9) (10) Vì v(t) liên tục trái t m 1 nên để chứng (10) ta cần chứng minh : p v(t)   max M   x* e (t t0 ) , t  (t m , t m1 )  http://jst.tnu.edu.vn; Email: jst@tnu.edu.vn (11) 99 Đặng Thị Thu Hiền Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CƠNG NGHỆ ĐHTN 195(02): 95 - 102  p  Giả sử (11) không Ta xác định t=inf t  (t m , t m1 ) : v(t)   max M   x * e  (t  t )  v(t m )   i yi (t m )  Pi  yi (t m )  x *i    i  im x i (t m )  x *i  n Ta có: n p i 1 p p i 1 n   i d mp x i (t m )  x*i  d pm v(t m )  d pm  max M   x * e  (t m  t0 )  p p  i 1   d pme (t m1 t m )  max M   x* e (t  t0 )  max M   x* e (t  t ) p p   Từ t  t m Từ tính liên tục v(t) tính chất inf ta có: (12) Đặt:   p t*  sup t | v(t)  d pm e (t m1 t m ) max M   x* e (t t0 ) , t  (t m , t)  p Dễ thấy t *  (t m , t) thỏa mãn v(t * )  d pm  max M   x* e (t m1  t m )e (t  t0 )  * Với t [t , t], s  [  ,0] ta có t  s  (t m  , t m ] t  s  (t m , t) t  s  t Từ (6), (9), (12) ta có: p p   v(t  s)  max M   x* e (t s t0 )   max M   x* e (t  t ) e (t t )e p   max M   x* e (t  t ) e (t m1  t m ) e    sup v(s)  t s  t v(t * )e d pm  v(t * )e e   *  D v(t)   k  k  p  v(t)  (  )v(t), t  [t , t] d pm d  m  * Từ hàm u(t)  v(t)e (  )t nghịch biến [t , t] Điều dẫn đến: p v(t)  v(t * )e(  )(t t )  d pmmax M   x* e (t m1 t m )e (t t )e(  )(t t )  * *  p  e (  )(t m1  t m ) Mmax   x* e (t m1  t m ) e (t t ) e(  )(t t ) e(  )(t  t * )  p p  max M   x* e(t m1  t m ) e (t  t0 ) e(t t )  max M   x* e (t  t )  v(t) (vô lý) *   Vậy ta chứng minh được: (13) p Hiển nhiên (13) t  t Do đó: v(t)   max M   x* e (t t ) , t  t  Vì v(t)     (t  t )   p y(t)  x(t, t , )  x *  y(t)  M  max    x * e p , t  t     p p Do đó, điểm cân hệ (1) ổn định mũ toàn cục 100 http://jst.tnu.edu.vn; Email: jst@tnu.edu.vn Đặng Thị Thu Hiền Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ ĐHTN 195(02): 95 - 102 Trong Định lí 1, cho i  1, i  1, 2, , n ta có hệ sau: Hệ 2: Giả sử p  điều kiện A1  A3 thỏa mãn Đặt: n   k1   pci  nLi  (p  1)  L j a ij 1i  n j1   p p 1  N j bij p p 1  nN i  , k  max 1i  n  Giả sử : k1    0,   : (i) k1  k 2e    , k  1, 2, với  d 1 d k cho A , d pk 1 (ii) p ln d k 1  (  )(t k  t k 1 ), k  1, 2, Khi đó, điểm cân hệ (1.1) ổn định mũ tồn cục VÍ DỤ Sau chúng tơi lấy ví dụ minh họa cho kết đạt Ví dụ Xét mạng nơron tế bào có xung trễ sau: x 'i (t)  ci x i (t)   a ijf j  x j (t)    bijg j  x j (t   j (t))   Ii , t  t k , t  t , fi (x i )  2 j1 j1  xi   xi 1  , gi (xi )   x i   x i 1  (i  1, 2), t  0, t k  t k 1  0.08, A  0.1 0.2 0.1 , B   1 0.1   0.3 0.2 , c  c  3, I  3.4181818, I  0.3545456, 2 0.2 1.8181818  x1 (t k )  x1 (t k  0)    1 (t)  2 (t)  sin (t)    1,  , k  1, 2, 1.0606064  x (t k )  x (t k  0)   Dễ thấy f i , g i thỏa mãn điều kiện A1 với Li  1, Ni  2, i  1, Ta tính k1  1.9, k  4, , 1k  , 2k  , k  1, 2, Chọn dk  0.8, k  0,1, 2, ,   4.7,   0.01, p  2, ta thấy điều kiện A , A3 Hệ thỏa mãn Vậy điểm cân x*  (0.6060606,0.1515152)T mạng ổn định mũ toàn cục Ví dụ Xét mạng nơron tế bào có xung trễ sau: x 'i (t)  ci x i (t)   a ijf j  x j (t)    bijg j  x j (t   j (t))   Ii , t  t k , t  t , gi  fi ,fi (x i )  2 j1 j1 x i   x i   (i  1, 2), A   0.6   1  , B  1 1.5 0.1  1.5 ,  c1  c2  4, I  1.31379308, I2  1.05517244, t  0, t k  t k 1  0.11, http://jst.tnu.edu.vn; Email: jst@tnu.edu.vn 101 Đặng Thị Thu Hiền Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CƠNG NGHỆ ĐHTN 195(02): 95 - 102 1.81034481  2x1 (t k )  x1 (t k  0)   1  1 (t)  2 (t)  cos t    ,  , k  1, 2,  0.43103445  3x (t k ) 10 10  x (t  0)  k  Dễ thấy f i , g i thỏa mãn điều kiện A1 với Li  Ni  1,i  1, Ta tính k1  1.2045, k  , 1k  , 2k  , k  1, 2, Chọn dk  0.9, k  0,1, 2, ,   1.3,   0.1, p  1.5 dễ thấy giả sử A , A3 điều kiện Hệ thỏa mãn Vậy điểm cân x*  (0.60344827, 0.08620689)T mạng ổn định mũ toàn cục KẾT LUẬN Nếu gi  fi ,1  i  n mơ hình (1.1) mơ hình [1], [2] Như kết chúng tơi vừa góp phần xây dựng thêm tiêu chuẩn ổn định mũ toàn cục cho điểm cân mơ hình [1], [2] vừa góp phần mở rộng kết mơ hình tổng quát Với kết chúng tôi, điều kiện ràng buộc tham số mạng độc lập với độ trễ  ; nữa, kết cho thấy xung đóng vai trò quan trọng việc làm cho điểm cân mạng ổn định mũ toàn cục mạng bạn đầu khơng xung khơng ổn định, điều đặc biệt có ý nghĩa ứng dụng kỹ thuật công nghệ 102 TÀI LIỆU THAM KHẢO Bo wu, Yang Liu, Jianquan Lu (2012), “New results on global expontial stability for impulsive cellular neural networks with any bouned time – varying delays”, Mathematical and Computer Modelling, 55, pp.837 – 843 Ivanka M Stamova, Rajcho Ilarionov (2010), “On global exponential stability for impulsive cellular neural networks”, Computers and Mathematics with Application, 59, pp 3508–3515 Shair Ahmad, IvankaM.Stamova (2008), “Global exponential stability for impulsive cellular neural networks with time – varying delays”, Nonlinear Analysis, 69, pp.786 – 795 Xinzhi Liu and Qing Wang (2008), “Impulsive stabilization of high – order hopfield –type neural networks with time – varying delays”, iee transactions on neural networks, 19 (1), pp 71-79 Shui – Ming Cai, Feng –Dan Xu, Zeng – Rong Liu, Wei – Xing Zheng (2009), “Exponential stability analysis for impulsive neural networks with time – varying delays”, The third international symposium on optimization and systems biology, 20 -22, pp 81 – 88 Huan Zhang, Wenbing Zhang, Zhi Li (2018), “Stability of delayed neural networks with impulsive strength – dependent average impulsive intervals”, Journal of nonlinear sciences and applications, 11, pp 602 – 612 Qing wang, Xinzhi Liu (2008), “Impulsive stabilization of cellular neural networks with time delay via lyapunov functionals”, J.Nonlinear Sci App, 1, pp.72 – 86 http://jst.tnu.edu.vn; Email: jst@tnu.edu.vn ... p q KẾT QUẢ CHÍNH Trong mục này, chúng tơi xây dựng tiêu chuẩn ổn định mũ toàn cục cho điểm cân mạng nơron tế bào có xung trễ biến thiên (1) Định lí Giả sử p  1, 1 , 2 , , n  điều kiện A1... xây dựng tiêu chuẩn ổn định mũ toàn cục cho điểm cân mạng (1.1) Kết chúng tơi có lợi so với số kết công bố, cụ thể: độ trễ  bị chặn tùy ý điều kiện D v(t )  không cần đặt xung) cần ổn định (1)... (0.60344827, 0.08620689)T mạng ổn định mũ toàn cục KẾT LUẬN Nếu gi  fi ,1  i  n mơ hình (1.1) mơ hình [1], [2] Như kết chúng tơi vừa góp phần xây dựng thêm tiêu chuẩn ổn định mũ toàn cục cho điểm cân