Xây dựng tiêu chuẩn ổn định mũ toàn cục cho điểm cân bằng của mạng nơron tế bào có xung và trễ biến thiên

Bài viết nghiên cứu tiêu chuẩn ổn định mũ toàn cục cho điểm cân bằng của mạng nơron tế bào có xung và trễ biến thiên. Dựa trên việc xây dựng hàm Lyapunov, sử dụng bất đẳng thức Young và một số kĩ thuật của giải tích như: Tính chất của hàm số liên tục trên một đoạn, tính chất của inf và sup, bài viết sẽ xây dựng tiêu chuẩn ổn định mũ toàn cục mới cho điểm cân bằng của mạng nói trên.

HNUE JOURNAL OF SCIENCE Natural Sciences 2019, Volume 64, Issue 3, pp 26-35 This paper is available online at http://stdb.hnue.edu.vn DOI: 10.18173/2354-1059.2019-0003 XÂY DỰNG TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH MŨ TOÀN CỤC CHO ĐIỂM CÂN BẰNG CỦA MẠNG NƠRON TẾ BÀO CÓ XUNG VÀ TRỄ BIẾN THIÊN Đặng Thị Thu Hiền Đinh Bích Hảo Khoa Tự nhiên, Trường Đại học Hoa Lư Tóm tắt: Bài báo nghiên cứu tiêu chuẩn ổn định mũ toàn cục cho điểm cân mạng nơron tế bào có xung trễ biến thiên Dựa việc xây dựng hàm Lyapunov, sử dụng bất đẳng thức Young số kĩ thuật giải tích như: tính chất hàm số liên tục đoạn, tính chất inf sup, chúng tơi xây dựng tiêu chuẩn ổn định mũ toàn cục cho điểm cân mạng nói Ngồi ra, chúng tơi lấy ví dụ minh họa cho kết đạt Từ khóa: Ổn định mũ tồn cục, mạng nơron tế bào, xung, trễ, hàm Lyapunov Mở đầu Trong năm gần mạng nơron tế bào có xung trễ biến thiên thu hút quan tâm nghiên cứu sâu rộng mạnh mẽ nhà khoa học giới ứng dụng liên quan đến xử lí tín hiệu hình ảnh, nhận dạng mẫu hình, liên kết nhớ, Đã có nhiều kết cơng bố ổn định mũ toàn cục cho điểm cân mạng có dạng sau: n n  '  x i (t)  ci x i (t)   a ij f j (x j (t))   b ijf j  x j (t   j (t))   I i , t  t k , t  t (1.1) ,  j1 j1  x i (t k )  x i (t k )  x i (t k )  Pi  x i (t k )  , k  1, 2, ,  Kết [1, 2] cho thấy phụ thuộc độ trễ  vào thời điểm xung, cụ thể yều cầu   tk  tk 1 , k  đặt ra, kết có giá trị chậm trễ nhỏ nên khơng có ý nghĩa số ứng dụng thực tế Kết [3, 4] đòi hỏi k  k2 , mạng ban đầu khơng có tác động xung cần ổn định Kết [5] Bo wu, Yang Liu, Jianquan Lu đạt mà không đặt yêu cầu k  k2 , với kết mạng ban đầu khơng có tác động xung khơng ổn định, điều cho thấy xung đóng vai trò quan trọng việc làm cho điểm cân mạng ổn định mũ toàn cục Trong báo này, chúng tơi mở rộng mơ hình (1.1) sang mơ hình (1.2) Chúng tơi xây dựng tiêu chuẩn ổn định mũ toàn cục cho điểm cân mạng (1.2) Kết vừa góp phần xây dựng thêm tiêu chuẩn ổn định mũ toàn cục cho điểm cân mạng (1.1) vừa góp phần mở rộng kết mơ hình tổng quát Ngày nhận bài: 5/3/2019 Ngày sửa bài: 19/3/2019 Ngày nhận đăng: 26 /3/2019 Tác giả liên hệ: Đặng Thị Thu Hiền Địa e-mail: dtthien@hluv.edu.vn 26 Xây dựng tiêu chuẩn ổn định mũ toàn cục cho điểm cân mạng nơron tế bào có xung trễ biến thiên n n  '  x i (t)  ci x i (t)   a ij f j (x j (t))   b ijg j  x j (t   j (t))   I i , t  t k , t  t (1.2) ,  j1 j1  x i (t k )  x i (t k )  x i (t k )  Pi  x i (t k )  , k  1, 2, ,  i  1, 2, , n, n  số nơron mạng;  j (t) truyền trễ dọc theo sợi trục nơron thứ j thỏa mãn   j (t)  ;  t  t1  t  , lim t k   với t thời điểm ban k   đầu, t1 , t , , thời điểm xung; PC   :  ,0    n , (t) liên tục hầu khắp nơi trừ   hữu hạn điểm t mà tồn (t ), (t ) (t )  (t) ; BC   PC :  bị chặn   , 0 , với  BC ta xác định    sup (s) s  ,0 Kí hiệu x(t)  x(t, t , ) nghiệm hệ (1.2) thỏa mãn điều kiện ban đầu x t   , tức x t0 (s)  x(t  s)  (s),s   ,0 Giả sử nghiệm (1.2) liên tục khắp nơi trừ thời điểm xung t k mà nghiệm liên tục trái tồn giới hạn phải Điểm x*  (x1*, x *2, , x *n) T  n gọi điểm cân hệ (1.2) n n  * *   c x  a f (x )  bijg j (x *j )  Ii    i i ij j j ,i  1, 2, , n  j1 j1 *  0  Pi (x i ) (1.3) Ta nghiên cứu mơ hình (1.2) với giả sử sau: A1 ) Tồn số Li  0, Ni  0,i  1, 2, , n thỏa mãn fi (x1 )  fi (x )  Li | x1  x |, gi (x1 )  gi (x )  Ni x1  x , x1, x  ,i  1, 2, , n A ) Pi  xi (t k )   ik  x i (t k )  x*i  ,1  d k  ik   d k ,  d k  , i  1, 2, , n, k  1, 2, , A ) Tồn điểm cân thỏa mãn (1.3) Nội dung nghiên cứu 2.1 Một số định nghĩa Định nghĩa 2.1 Hàm V :   n   gọi thuộc lớp V0 (i) V liên tục tập (t k 1 , t k ]  n , k  1, 2, , V(t,0)  0, t  t , (ii) V(t, x) Lipschitz địa phương theo x, (iii) Với k  1, 2, tồn giới hạn lim V(t, y)  V(t k , x) (t,y) (t k ,x) Định nghĩa 2.2 Cho hàm V  V0 Với (t, x)  [t k 1 , t k )  n , k  1, 2, , đạo hàm bên phải V  V0 hệ (1.2) xác định bởi: 27 Đặng Thị Thu Hiền Đinh Bích Hảo D V  t, x(t)   lim V  t  h, x(t  h)   V  t, x(t)  h 0 h Định nghĩa 2.3 Điểm cân x*  (x1* , x*2 , , x*n )T hệ (1.2) gọi ổn định mũ toàn cục   0, M  cho: x(t, t , )  x*  M   x* e (t t ) , t  t  Đặt yi (t)  xi (t)  x*i ,i  1, 2, , n hệ (1.2) trở thành: n n  ' * *   y (t)   c y (t)  a f y (t)  x  f (x )  bij g j  y j (t   j (t))  x *j   g j (x *j )     i   i i ij  j j j j j   j1 j1 * yi (t k )  Pi  yi (t k )  x i  , i  1, 2, , n, k  1, 2,  Bổ đề 2.1 (Bất đẳng thức Young ) Cho a, b  p, q  : 1 a p bq   Khi đó: ab   p q p q 2.2 Kết Trong mục này, chúng tơi xây dựng tiêu chuẩn ổn định mũ toàn cục cho điểm cân mạng nơron tế bào có xung trễ biến thiên (1.2) Định lí 2.1 Giả sử p  1, 1 , 2 , , n  điều kiện A1  A3 thỏa mãn Đặt: n n n    p j p j  k1   pci  Li  a ji  (p  1)  L j  N j , k  max  Ni  b ji  1i  n 1i  n i i  j1 j1    j1 Giả sử: k1    0,   : (i) k1  k 2e    , k  1, 2, , với  d  1, d k cho A , d k 1 (ii) ln d k 1  (  )(t k  t k 1 ), k  1, 2, Khi đó, điểm cân hệ (1.2) ổn định mũ toàn cục Chứng minh Đặt max  max{1 , 2 , , n }, min  min{1 ,  , ,  n } Ta xác định hàm  n p p Lyapunov v(t)  V  t, y(t)    i yi (t) xét y(t)    yi (t)  i 1  i 1  n p Với t  t t  t k , k  1, 2, ta có: D v(t)  n D v(t)   i p yi (t) i 1 p 1 n   p y (t) i 1 i i p 1 sgn(yi (t)) y 'i (t) Do đó: n  sgn  yi (t)  ci yi (t)   a ij f j  y j (t)  x *j   f j (x *j )  j1    n   bij g j  y j (t   j (t))  x*j   g j (x*j )  j1   28  Xây dựng tiêu chuẩn ổn định mũ toàn cục cho điểm cân mạng nơron tế bào có xung trễ biến thiên n n n   p p 1 p 1   i p  ci yi (t)   L j a ij yi (t) y j (t)   N j bij yi (t) y j  t   j (t)   (2.1) i 1 j1 j1   + Trường hợp p  Áp dụng bất đẳng thức Young với p  1, q  a ij y j (t)   y (t)   p 1 i  b y  t   (t)   y (t)   p 1 ij  Do D v(t)   j p a ij y j (t) j p p  p 1 p yi (t) , p bij y j  t   j (t)  p i p ta có: p 1 p p  p 1 p yi (t) p n n   p j p pc  L a  (p  1) L j  N j  i yi (t)     i  i  ji i i 1  j1 j1  n n  n p j  p    Ni  b ji  i yi  t  i (t)     k1 v(t)  k sup v(s) i  t s  t i 1  j1   + Trường hợp p  Khi đó: k1  ci  Li 1i  n  n a j1 ji n j j   Ni  b ji   , k  max 1i  n i  i   j1 Từ (2.1) ta có: n  n n  n  j  j  D v(t)   ci  Li  a ji  y (t)  N  i  b ji  i yi  t  i (t)    i i  i  i  i 1  j1 i 1  j1    k1 v(t)  k sup v(s) t s  t  D v(t)   k1 v(t)  k sup v(s) Vậy ta chứng minh được: t s  t       k1  , k   Từ giả thiết A1 ) d k 1 k 2e  d k 1  Tiếp theo, ta đặt   sup  k 1      k1  k1  k 2e       k 2e Từ A ) ta có:  Suy ra:   x* p  d k 1  e(  )(t1  t0 )  Do đó, M  1: e( )(t1 t0 )  M  e p p      x* e(t1  t0 )  M   x* e (t1 t ) Tiếp theo ta chứng minh: v(t)   max M   x * p  (2.2) e (t t0 ) , t  (t , t1 ] Ta quy chứng minh: 29 Đặng Thị Thu Hiền Đinh Bích Hảo p v(t)   max M   x* e (t1  t0 ) , t  (t , t1 ] (2.3)  Vì v(t) liên tục trái t1 nên để chứng minh (2.3) ta cần chứng minh p v(t)   max M   x* e (t1  t0 ) , t  (t , t1 ) (2.4)  Giả sử (2.4) không Khi tồn t  (t , t1 ) cho p p   v(t)  max M   x* e (t1 t0 )  max   x*   v(t  s), s [  ,0] (2.5)  p Đặt t = inf t : v(t)  max M   x* e  (t1  t ) , t  (t , t)  p   v(t)   max M   x * e  (t1  t0 )  Dễ thấy, t  (t , t)    v(t)  v(t), t [t  , t]  Đặt: t  sup t : v(t)   max (2.6) p   v(t)   max   x*    x , t [t , t)  t  [t , t) :     v(t)  v(t), t  [t, t]  * p (2.7) Với s [  , 0],  t  [t, t] t  s [t  , t]  [t  , t] Do từ (2.2), (2.6), (2.7) ta có: p p   v(t  s)  max M   x* e (t1  t0 )  max e   x*  e v(t)  e v(t) Suy D v(t)  k1v(t)  k e v(t)  (k k 2e )v(t)  (  )v(t),  t [t, t] Do hàm u(t)  v(t)e (  )t nghịch biến [t, t] Do đó: p p   v(t)  v(t)e(  )(t t )  max   x* e(  )(t t )   max   x* e(t1 t0 )   max M   x * p  e  (t1  t )  v(t) (vô lý)  (2.4) p Tiếp theo ta chứng minh: v(t)   max M   x* e (t  t0 ) , t  (t k 1 , t k ], k   v(t)   max M   x Giả sử: * p  e (t  t0 ) , t  (t k 1 , t k ], k=1,2, ,m (2.8) p Ta chứng minh: v(t)   max M   x* e (t  t ) , t  (t m , t m1 ] (2.9)  Vì v(t) liên tục trái t m 1 nên để chứng (2.9) ta cần chứng minh : p v(t)   max M   x* e (t t0 ) , t  (t m , t m1 )  (2.10)  Giả sử (2.10) không Ta xác định: t=inf t  (t m , t m1 ) : v(t)   max M   x * p ln d k 1  (  )(t k  t k 1 ), k  1, 2, Theo giả thiết:   d k 1   d kp 1  d k 1 , p  1, k   m Ta có: v(t )  30 n  i 1 i yi (t m )  Pi  yi (t m )  x * i  p n   i  im x i (t m )  x *i  i 1 p p   e (t  t0 ) Xây dựng tiêu chuẩn ổn định mũ toàn cục cho điểm cân mạng nơron tế bào có xung trễ biến thiên n   i d mp x i (t m )  x*i  d pm v(t m )  d m v(t m )  d m max M   x * e  (t m  t0 )  p p  i 1   d me (t m1 t m )  max M   x* e (t  t0 )   max M   x* e (t t ) p p   Từ t  t m Từ tính liên tục v(t) tính chất inf ta có:   v(t)   M   x* p e (t  t )  max   * p  (t  t ) v(t)   max M   x e , t  (t m , t)    * Đặt: t  sup t | v(t)  d m e  (t m1  t m ) (2.11)  p max M   x* e (t t0 ) , t  (t m , t)  p Dễ thấy t *  (t m , t) thỏa mãn v(t * )  d m max M   x* e (t m1  t m )e (t  t0 )  Với t [t , t], s  [  ,0] ta có t  s  (t  , t m ] t  s  (t m , t] * Do từ (2.5), (2.8), (2.11) ta có: p p   v(t  s)  max M   x* e (t st0 )   max M   x* e (t t )e (t t )e    max M   x  sup v(s)  t s  t * p  e v(t* )e e  dm  (t  t )  (t m1  t m )  e  v(t * )e e  *  D v(t)   k1  k  v(t)  (  )v(t), t [t , t] dm d  m  Từ hàm u(t)  v(t)e (  )t nghịch biến [t , t] Điều dẫn đến: * p v(t)  v(t * )e(  )(t t )  d mmax M   x* e (t m1 t m )e (t t0 )e(  )(t t * * )  p  e (  )(t m1  t m ) Mmax   x* e (t m1 t m ) e (t t0 ) e(  )(t t ) e(  )(t t * )  p p  max M   x* e(t m1  t m ) e (t t0 )e(t t )  max M   x* e (t t0 )  v(t) (vô lý) *   Vậy ta chứng minh được: v(t)   max M   x * p  e (t t ) , t  (t k 1 , t k ], k  (2.12) p Hiển nhiên, (2.12) t  t Do đó: v(t)   max M   x* e (t  t0 ) , t  t  Vì v(t)   p   (t  t )   y(t)  x(t, t , )  x  y(t)  M  max    x * e p , t  t     p * p Do đó, điểm cân hệ (1.1) ổn định mũ tồn cục Trong Định lí 2.1, cho p  1, i  1, i  1, 2, , n ta có hệ sau: 31 Đặng Thị Thu Hiền Đinh Bích Hảo Hệ 2.1 Giả sử điều kiện A1  A3 thỏa mãn  Đặt: k1  ci  Li 1i  n  n   a , k  max N  i  b ji  ji  1i  n j1   j1    n Giả sử k1    0,   cho: k 2e    , k  1, 2, , với  d 1, d k cho A , (i) k1  d k 1 (ii) ln d k 1  (  )(t k  t k 1 ), k  1, 2, Khi đó, điểm cân hệ (1.2) ổn định mũ toàn cục Định lí 2.2 Giả sử điều kiện A1  A3 thỏa mãn Đặt: n n     k1   2ci   Li a ji  L j a ij  N j bij , k  max  N i  b ji  1i  n 1i  n j1    j1    Giả sử: k1    0,   : (i) k1  k 2e    , k  1, 2, , với  d  1, d k cho A , d k 1 (ii) ln d k 1  (  )(t k  t k 1 ), k  1, 2, Khi đó, điểm cân hệ (1.2) ổn định mũ toàn cục Chứng minh  n 2 Ta xác định hàm Lyapunov v(t)  V  t, y(t)    yi (t) xét y(t)    yi (t)  i 1  i 1  n Với t  t t  t k , k  1, 2, ta có: D v(t)  n  y (t) sgn(y (t)) y (t) Do đó: ' i 1 i i i n  D v(t)   yi (t) sgn  yi (t)   ci yi (t)   a ij f j  y j (t)  x *j   f j (x *j )  i 1 j1    n    bij g j  y j (t   j (t))  x*j   g j (x*j )  j1  n   n n n      ci yi (t)   L j a ij yi (t) y j (t)   N j bij yi (t) y j  t   j (t)   i 1 j1 j1   Ta có: yi (t) y j (t)  32 yi (t) 2  y j (t) 2 , yi (t) y j (t   j (t))  yi (t) 2  y j (t   j (t)) 2 Xây dựng tiêu chuẩn ổn định mũ toàn cục cho điểm cân mạng nơron tế bào có xung trễ biến thiên n  n   D v(t)   2c  Do   i  Li a ji  L j a ij  N j bij  yi (t)  i 1  j1    n  n  2    Ni  b ji  yi  t  i (t)     k1 v(t)  k sup v(s) t s  t i 1  j1   v(t m )   yi (t m )  Pi  yi (t m )  x *i     im x i (t m )  x *i  n Ta có: i 1 n 2 i 1 n   d 2m x i (t m )  x*i  d 2m v(t m )  d m v(t m ) i 1 Do định lí chứng minh tương tự Định lí 2.1 2.3 Ví dụ Ví dụ 2.1 Xét mạng nơron tế bào có xung trễ sau: x 'i (t)  ci x i (t)   a ijf j  x j (t)    bijg j  x j (t   j (t))   I i , t  t k , t  t , 2 j1 j1  xi   xi 1  , gi (x i )   x i 1  x i 1  (i  1, 2), t  0, t k  t k 1  0.1, 0.2 , c  c  3, I  2.7424242, I  0.60606072 A  0.4 0.1 , B   1 2 0.2  0.2  0.3 0.2 fi (x i )  1.8181818  x1 (t k )  x (t  0)  k   1 (t)  2 (t)  sin (t)    1,  , k  1, 2, 1.0606064  x (t k )  x (t k  0)   Dãy {tk }k 1 lập thành cấp số cộng, tk  0.1k , k  Do tk  , k   Dễ thấy fi , g i thỏa mãn điều kiện A1 với Li  1, Ni  2, i  1, Ta tính n  k1  ci  Li  a ji 1i  n j1  n    , 2k  , k  1, 2,  2.4, k  max N   i  b ji   2.6, , 1k  1i  n   j1  Chọn d k  0.8, k  0,1, 2, ,   1.4,   0.1 ta thấy điều kiện A , A3 Hệ 2.1 thỏa mãn Vậy điểm cân x*  (0.6060606,0.1515152) T mạng ổn định mũ tồn cục Ví dụ 2.2 Xét mạng nơron tế bào có xung trễ sau: x 'i (t)  ci x i (t)   a ijf j  x j (t)    bijg j  x j (t   j (t))   I i , t  t k , t  t , fi (x i )  2 j1 j1  xi   xi 1  , gi (x i )  sin x i (i  1, 2), t  0, t k  t k 1  0.15, 33 Đặng Thị Thu Hiền Đinh Bích Hảo A  1  0.6 1  , B   1 0.8 0.3 1.5 , c  c  4, I  2.777046158, I  0.613983916 2  1.8262806  x1 (t k )   x1 (t k  0)   1 (t)  2 (t)  sin (t)    ,  , k  1, 2,3, 2  x (t  0)  0.0668151  x (t k ) k  Dãy {tk }k 1 lập thành cấp số cộng, tk  0.15k , k  Do tk  , k   Dễ thấy fi , g i thỏa mãn điều kiện A1 với Li  1, Ni  1, i  1, Ta tính được: n n    k1   2ci   Li a ji  L j a ij  N j bij   1.9, k  max  Ni  b ji 1i  n 1i  n j1    j1      2.5,  1k  , 2k  , k  1, 2, Chọn d k  0.5, k  0,1, 2, ,   3.6,   0.1 ta thấy điều kiện A , A3 Định lý 2.2 thỏa mãn Vậy điểm cân x*  (0.9131403,0.0222717) T mạng ổn định mũ toàn cục Nhận xét 2.1 Nếu g j  f j , 1  j  n mơ hình (1.2) trở thành mơ hình (1.1) Hệ 2.1 kết [5] Nhận xét 2.2 Trong Ví dụ 2.1, Ví dụ 2.2 nhằm minh họa cho kết đạt được, ta thấy   tk  tk 1 , k  k1  k2 Do kết cải thiện so với số kết đạt được, chẳng hạn [1-4] Kết luận Nếu gi  fi ,1  i  n mơ hình (1.2) mơ hình (1.1) Như kết chúng tơi góp phần xây dựng thêm tiêu chuẩn ổn định mũ toàn cục cho điểm cân mơ hình (1.1) Ngồi ra, kết mở rộng mơ hình tổng qt Kết đạt mạng ban đầu khơng có tác động xung khơng ổn định, điều đặc biệt có ý nghĩa ứng dụng kỹ thuật công nghệ; nữa, độ trễ  bị chặn tùy ý Đó lợi kết so với số kết công bố TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Qing wang, Xinzhi Liu, 2008 Impulsive stabilization of cellular neural networks with time delay via lyapunov functionals J Nonlinear Sci App, 1, pp 72-86 [2] Xinzhi Liu and Qing Wang, 2008 Impulsive stabilization of high - order hopfield - type neural networks with time - varying delays Iee Transactions on Neural Networks, 19, 1, pp 71-79 [3] Ivanka M Stamova, Rajcho Ilarionov, 2010 On global exponential stability for impulsive cellular neural networks Computers and Mathematics with Application, 59, pp 3508-3515 34 Xây dựng tiêu chuẩn ổn định mũ toàn cục cho điểm cân mạng nơron tế bào có xung trễ biến thiên [4] Shair Ahmad, IvankaM.Stamova, 2008 Global exponential stability for impulsive cellular neural networks with time - varying delays Nonlinear Analysis, 69, pp 786-795 [5] Bo wu, Yang Liu, Jianquan Lu, 2012 New results on global expontial stability for impulsive cellular neural networks with any bouned time - varying delays Mathematical and Computer Modelling, 55, pp 837- 843 ABSTRACT The building global exponential stability criteria for the equilibrium point of impulsive cellular neural networks with time – varying delays Dang Thi Thu Hien and Dinh Bich Hao Faculty of Natural Science, Hoa Lu University, Ninh Binh In this paper, the global exponential stability criteria for the equilibrium point of impulsive cellular neural networks with time - varying delays is studied Based on the construction of the Lyapunov function, using Young inequality and some analytical techniques such as the properties of continuous functions on a segment, the properties of inf, sup, we will build new global exponential stability criteria for the equilibrium point of the networks mentioned above In addition, we take some examples that illustrate our results Keywords: Global exponential stability, cellular neural networks, impulsive, delay, Lyapunov function 35 ... Cho a, b  p, q  : 1 a p bq   Khi đó: ab   p q p q 2.2 Kết Trong mục này, chúng tơi xây dựng tiêu chuẩn ổn định mũ tồn cục cho điểm cân mạng nơron tế bào có xung trễ biến thiên (1.2) Định. . .Xây dựng tiêu chuẩn ổn định mũ toàn cục cho điểm cân mạng nơron tế bào có xung trễ biến thiên n n  '  x i (t)  ci x i (t)   a ij f j (x... j (t   j (t))  x*j   g j (x*j )  j1   28  Xây dựng tiêu chuẩn ổn định mũ toàn cục cho điểm cân mạng nơron tế bào có xung trễ biến thiên n n n   p p 1 p 1   i p  ci yi (t) 