Dạng 1: Thể tích hình hộp chữ nhật : V = a.b.c ( a, b,c ba kích thước ) Đường chéo hình hộp chữ nhật : B’ C’ A’ D’ A’C = AC’ =BD’=B’D = a2 b2 c2 c Diện tích toàn phần : Stp = 2.(a.b+bc+ac) B C a Thể tích hình lập phương : V = a A D b Đường chéo hình lập phương : = a Diện tích toàn phần : Stp = 6.a Ví dụ 1: a) Cho hình lập phương cạnh a Tính V ; Stp ? b) Cho hình lập phương có đường chéo 2a Tính V ; Stp ? c) Cho hình lập phương có diện tích toàn phần 36 m2 Tính cạnh; V ? Giải : a) Thể tích hình lập phương V=a3 ; + Diện tích toàn phần : Stp = 6a2 b) Gọi x cạnh hình lập phương 2a => Đường chéo x = 2a x = 3 2a 8a + Thể tích hình lập phương V =x3 = = 3 3 2a 4a 8a + Diện tích toàn phần : Stp = 6x2 =6 =6 = 3 c) Gọi x cạnh hình lập phương + diện tích toàn phần Stp =6x2= 36 m2 x = Và thể tích hình lập phương V= x2 =6 m3 Ví dụ 2: a) Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ Biết AB=a; AD=a AA’ =2a Tính thể tích đường chéo hình hộp chữ nhật ? b) Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ Biết AB=a; AC=a đường chéo A’C=3a Tính thể tích hình hộp chữ nhật ? B’ C’ Giải : a) Thể tích hình hộp chữ nhật : A’ D’ V=a.b.c=a.a 2a=2a3 c + Đường chéo : AC’= a b c 2 2 = a (a 3) (2a) =a b) AB=a ; AC= a => AD= 2 AC AB =2a A’C= 3a => AA’= AC AB AD =2a A a B b C D Thể tích hình hộp chữ nhật : V=a.b.c=a.2a.2a=4a3 Bài tập : 1.Cho hình lập phương có đường chéo 4a Tính V ; Stp ? Giải : Gọi x cạnh hình lập phương 4a => Đường chéo x = 4a x = 3 4a 64a + Thể tích hình lập phương V =x3 = = 3 3 4a 16a 32a + Diện tích toàn phần : Stp = 6x2 =6 = =6 3 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ biết AB= a; AD= 2a ; A’C= 3a Tính thể tích hình hộp chữ nhật Giải : AB=a ; AD= 2a ; A’C= 3a => AA’= AC AB2 AD =2a Thể tích hình hộp chữ nhật : V=a.b.c=a.2a.2a=4a3 Dạng 2: Thể tích h/ chóp tam giác , Sxq = tổng mặt bên ; Stp= Sxq +Sđáy Vh/chóp= đường cao S đáy Hình chóp tam giác : Ví dụ3: Cho hình chóp S.ABC có SA(ABC) , đáy ABC tam giác cạnh a; SA= a Tính Vhc , Sxq; Stp ? a2 Giải : + Diện tích đáy Sđáy = AB.AC.sin600 = S + Thể tích hình chóp : Vh/chóp= h.Sđáy a 3 1 a a = SA.Sđáy = a = 3 4 A + Sxq = SSAB + SSAC + SSBC a a2 Tam giác SAB vuông A => SSAB = SA.AB= 2 a Tam giác SAC vuông A => SSAC = SA.AC= 2 Gọi M trung điểm BC , tam giác ABC => BC AM Ta có : BC AM , BC SA => BC SM a C M B a 3a a 15 ; SM = SA AM = 3a = 2 1 a 15 a 15 SSBC= SM.BC= a= 2 2 a a a 15 a2 15 Suy : Sxq = + + = a2 + 2 4 2 a 15 a 5a a2 15 Và Stp = Sxq + S đáy = a2 + + = + 4 4 Ví dụ4: Cho hình chóp S.ABC có SA(ABC) , đáy ABC vuông cân B AC=2a; SA= a Tính Vhc , Sxq; Stp ? S 2a Giải : BC=AB= =a 2 a + Diện tích đáy Sđáy = BA.BC = a2 2a 1 a3 + Thể tích hình chóp : Vh/chóp = SA.Sđáy = a a2= C A 3 a + Sxq = SSAB + SSAC + SSBC B a2 Tam giác SAB vuông A => SSAB = SA.AB= 2 1 Tam giác SAC vuông A => SSAC = SA.AC= a 2a=a2 2 Ta có : BC AB , BC SA => BC SB AM= SB = SA AB = 3a 2a =a 1 a2 a2 a2 SSBC= SB.BC= a a= Suy : Sxq = +a2 + 2 2 2 S a a Và Stp = Sxq + S đáy = +a2 + +a 2 Ví dụ5: Cho hình chóp S.ABC có SA(ABC) , a đáy ABC tam giác vuông cân A AB=a; SA= a Tính Vhc , Sxq; Stp ? a A a2 Giải :+ Diện tích đáy Sđáy = AB.AC = a 2 M + Thể tích hình chóp : B 1 a2 a3 Vh/chóp = h.Sđáy = SA.Sđáy= a = 3 C + Sxq = SSAB + SSAC + SSBC a2 Tam giác SAB vuông A => SSAB = SA.AB= 2 a2 Tam giác SAC vuông A => SSAC = SA.AC= 2 Gọi M trung điểm BC , tam giác ABC cân A => BC AM Ta có : BC AM , BC SA => BC SM a 2a a 22 BC = a ; AM= BC= ; SM = SA AM = 5a = 2 2 1 a 22 a 11 SSBC= SM.BC= a = 2 2 2 a a a 11 a2 11 Suy : Sxq = + + = a2 + 2 2 2 a 11 a Và Stp = Sxq + S đáy = a2 + + 2 Ví dụ 6: Cho hai tam giác ABC cân A SBC cân S nằm hai mặt phẳng vuông góc với ( mp(SBC) mp(ABC)) Gọi H trung điểm BC Biết BC =a; AB= a ; SC=2a S a) Chứng minh SH (ABC) b) Tính thể tích hình chóp ? 2a Giải : a) Gọi H trung điểm BC ; SBC cân S => SH BC (SBC) (ABC) a C B H + (SBC) (ABC) BC => SH (ABC) SH (SBC);SH BC a a a a 15 b) CH= ; SH= SC CH = 4a = a BH= ; ABC cân A => AH BC ; A a a 11 1 a 11 a 11 = ; SABC = AH.BC= a= 2 2 1 a 15 a 11 a 165 Thể tích Vh/chóp = h.Sđáy = SH.Sđáy= = 3 24 Ví dụ7: Cho hình chóp tam giác SABC có cạnh bên b, cạnh đáy a Tính thể tích hình chóp,diện tích xung quanh, diện tích toàn phần ? Giải : Gọi H hình chiếu S lên mp(ABC) AH= AB2 BH = 3a S Vì S.ABC hình chóp => H trực tâm tam giác ABC SH mp(ABC) b 2 a a + AH = đường cao = = 3 +SA = b => SH = SA AH = b2 + Diện tích đáy Sđáy = a a2 C A H 1 + Thể tích hình chóp : Vh/chóp= SH.Sđáy = 3 a2 a2 b M a B Gọi M trung điểm AB ; SAB cân nên SM AB ; SM= SA AM = b2 a2 a2 ; Sxq =3.SSAB = .SM.AB= a b2 2 a2 a2 Diện tích toàn phần : Stp = Sxq + Sđáy = a b2 + 4 Ví dụ8: Cho hình chóp tam giác SABC có cạnh đáy a, góc tạo cạnh bên mặt đáy 600 Tính thể tích , diện tích toàn phần hình chóp Giải : Gọi H hình chiếu S lên mp(ABC) S Vì S.ABC hình chóp => H trực tâm tam giác ABC SH mp(ABC) 2 a a + AH = đường cao = = 3 600 a + Diện tích đáy Sđáy = C A H Hình chiếu SA lên mp (ABC) HA a M => góc tạo cạnh bên SA đáy =600 góc tạo SA HA góc SAH = a =a => SH = AH.tan SAH 1 a2 a3 + Thể tích hình chóp : Vh/chóp= SH.Sđáy = a = 3 12 Gọi M trung điểm AB ; SAB cân nên SM AB ; SA= B AH a 2a 4a2 a2 a 13 = : = ; SM= SA AM = = ; 3 cosSAH a 13 a 39 SM.AB= a = 2 a 39 a2 Diện tích toàn phần : Stp = Sxq + Sđáy = + 4 Ví dụ9: Cho tứ diện ABCD có cạnh a Tính thể tích, diện tích toàn phần? Giải : Gọi H hình chiếu D lên mp(ABC) D Vì ABCD tứ diện => H trực tâm tam giác ABC DH mp(ABC) a 2 a a + AH = đường cao = = 3 a C A + Diện tích đáy Sđáy = H Sxq =3.SSAB = + DA = a => DH = 3a2 a = ; DA AH = a + Thể tích hình chóp : VABCD= a B 1 a a2 a3 DH.Sđáy = = 3 12 a2 =a Hình chóp tứ giác: Ví dụ10: Cho hình chóp S.ABCD có SA(ABCD) , đáy ABCD hình vuông cạnh a; SA= a Tính Vhc , Sxq; Stp ? S Giải : + Đáy hình vuông Sđáy = a Và đường cao SA= a + Thể tích hình chóp: a 3 1 a VS.ABCD = SA.Sđáy= a a2 = A 3 + Sxq = SSAB + SSAD + SSBC + SSCD a2 B C SAB vuông A => SSAB = SA.AB= 2 a2 Tương tự : SSAD = SA.AD= 2 ABCD hình vuông => BC AB + Stp =4.S đáy =4 Ta có : BC AB , BC SA => BC SB ; SB= 1 SSBC= SB.BC= 2a.a=a2 ; tương tự SSCD = a2 2 SA AB =2a D a2 a2 2 + +a +a =a +2a2 2 Diện tích toàn phần : Stp = Sxq + Sđáy =a2 +2a2 +a2 Ví dụ 11: Cho hình chóp S.ABCD có SA(ABCD) , đáy ABCD hình thoi Suy : Sxq = =600; SA= a Tính Vhc , Sxq; Stp ? cạnh a góc ABC =600 ABCD hình thoi Giải :Vì ABC A Suy ABC tam giác ; cạnh AC =a B 600 BD= đường cao tam giác ABD => BD = a C + Diện tích đáy Sđáy = BD.AC = a2 a D A D B 1 a a SA.Sđáy= a = 2 3 + Thể tích hình chóp: VS.ABCD = S M C Sxq = SSAB + SSAD + SSBC + SSCD a2 a2 SAB vuông A => SSAB = SA.AB= ; SSAD = SA.AD= 2 2 a Gọi M trung điểm BC , ABC => BC AM ; AM= a 15 Ta có : BC AM , BC SA => BC SM ; SM= SA AM = 2 1 a 15 a 15 a 15 SSBC= SM.BC= a= ; tương tự SSCD = 2 4 2 2 a a a 15 a 15 a 15 Suy : Sxq = + + + =a2 + 2 4 2 a 15 a Diện tích toàn phần : Stp = Sxq + Sđáy =a2 + + 2 Ví dụ12: Cho hình chóp S.ABCD có SA(ABCD) , đáy ABCD hình chữ nhật AB=a, AD=2a; SA= a Tính Vhc , Sxq; Stp ? Giải : + Đáy hình chữ nhật Sđáy = a.2a=2a2 Và đường cao SA= a + Thể tích hình chóp: 1 2a3 VS.ABCD = SA.Sđáy= a 2a2 = 3 + Sxq = SSAB + SSAD + SSBC + SSCD a2 SAB vuông A => SSAB = SA.AB= 2 1 Tương tự : SSAD = SA.AD= a 2a=a 2 ABCD hình chữ nhật => BC AB Ta có : BC AB , BC SA => BC SB ; S a 2a A a SB= SA AB =2a 1 SSBC= SB.BC= 2a.2a=2a2 ; 2 B D C 1 3a tương tự :SD= SA AD =3a ; SSCD = SD.CD= 3a.a= 2 2 2 a 3a 3a 7a Suy : Sxq = +a +2a2 + = + 2 2 2 3a 7a 3a2 11a Diện tích toàn phần : Stp = Sxq + Sđáy = + +2a2 = + 2 2 Ví dụ 13:Trong mp α cho hình bình ABCD có AB=a;AD=2a ABC =600 Gọi H trung điểm AB.Kẻ Hx vuông góc mặt phẳng α, Hx lấy điểm S cho SA= a Tính thể tích hình chóp ? S Giải : + đáy SABCD =AB.BC.sin ABC = a.2a =a a Đường cao SH = SA AH = 3a a a 11 = A + Thể tích hình chóp : D a H 1 a 11 a 33 SH.Sđáy= a = 3 VS.ABCD = 2a B C Ví dụ14: Cho hình chóp tứ giác SABCD có cạnh bên b, cạnh đáy a Tính thể tích hình chóp, diện tích xung quanh, diện tích toàn phần ? Giải: Gọi H hình chiếu S lên mp(ABCD) Vì SA=SB=SC=SD => HA=HB=HC=HD => H tâm hình vuông a a2 ; SH= SA HA = b2 2 + Đáy hình vuông Sđáy = a2 + HA= 1 a2 SH.Sđáy= b2 a 3 Gọi M trung điểm CD ; SCD cân nên SM CD ; S + Thể tích hình chóp: VS.ABCD = SM= SC2 CM = b2 b a2 ; a2 Sxq =4.SSCD = .SM.CD= 2a b2 Diện tích toàn phần : B C M H A a D a2 +a2 Ví dụ15: Cho hình chóp tứ giác SABCD có cạnh đáy a, góc tạo cạnh bên mặt đáy 450 Tính thể tích , diện tích toàn phần hình chóp Giải Gọi H hình chiếu S lên mp(ABCD) S Vì tính chất hình chóp => H tâm hình vuô ng + Hình chiếu cạnh SA lên mp đáy HA + Góc tạo cạnh bên SA đáy (ABCD) Stp = Sxq + Sđáy =2a b2 =450 Là góc tạo SA HA => SAH a a Với HA = ; SH =HA= 2 + Đáy hình vuông Sđáy = a + Thể tích hình chóp: VS.ABCD = B C A 45 1 a 2 a SH.Sđáy= a = 3 H M D SA= SH AH2 =a ; SC =a Gọi M trung điểm CD ; SCD cân nên SM CD ; a2 a = a Sxq =4.SSCD = .SM.CD= .a=a2 2 Diện tích toàn phần : Stp = Sxq + Sđáy =a2 +a2 Ví dụ16: Cho hình chóp tứ giác SABCD có cạnh đáy a, góc tạo mặt bên mặt đáy 600 Tính thể tích, diện tích toàn phần hình chóp Giải :Gọi H hình chiếu S lên mp(ABCD) Vì tính chất hình chóp => H tâm hình vuô ng Gọi M trung điểm CD SM= SC2 CM = a2 + Tam giác SCD cân => SM CD + Tam giác HCD cân => HM CD + Góc tạo mặt bên (SCD) đáy (ABCD) =600 góc tạo SM HM => SMH Với HM = S a a ; SH =HM.tan600 = 2 + Đáy hình vuông Sđáy = a2 + Thể tích hình chóp: 1 a a3 VS.ABCD = SH.Sđáy= a = 3 B A H 3a2 a2 SM= SH HM = =a 4 Sxq =4.SSCD = .SM.CD= 2.a.a=2a2 Diện tích toàn phần : Stp = Sxq + Sđáy =2a2+a2 =3a2 C 600 –––––––––––––––––––––––––––– M D ... BC SM a 2a a 22 BC = a ; AM= BC= ; SM = SA AM = 5a = 2 2 1 a 22 a 11 SSBC= SM.BC= a = 2 2 2 a a a 11 a2 11 Suy : Sxq = + + = a2 + 2 2 2 a 11 a Và Stp = Sxq + S đáy = a2 + + 2 Ví dụ 6:... SB ; S a 2a A a SB= SA AB =2a 1 SSBC= SB.BC= 2a.2a=2a2 ; 2 B D C 1 3a tương tự :SD= SA AD =3a ; SSCD = SD.CD= 3a.a= 2 2 2 a 3a 3a 7a Suy : Sxq = +a +2a2 + = + 2 2 2 3a 7a 3a2 11 a Diện tích... BC SA => BC SB ; SB= 1 SSBC= SB.BC= 2a.a=a2 ; tương tự SSCD = a2 2 SA AB =2a D a2 a2 2 + +a +a =a +2a2 2 Diện tích toàn phần : Stp = Sxq + Sđáy =a2 +2a2 +a2 Ví dụ 11 : Cho hình chóp S.ABCD