Đang tải... (xem toàn văn)
Tài liệu tự học môn toán lớp 12
Học Thêm Toán BÀI TẬP về diện tích và thể tích đa diên-tròn xoay Thầy Huy – www.facebook.com/hocthemtoan - ĐT: 0968 64 65 97 Trang 1 Bài 1: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, AA’ = b và AA’ tạo với mặt đáy một góc 60 0 . Tính thể tích khối lăng trụ. Giải Gọi H là chân đường cao kẻ từ A của lăng trụ. Khi đó, A’H là hình chiếu của AA’ trên mp(A’B’C’) Xét tam giác AA’H vuông tại H có: Sin A’ = 'AA AH AH = AA’. Sin A’ = AA’. Sin 60 0 = 2 3b Do tam giác A’B’C’ là tam giác đều nên chiều cao của tam giác là: h = 2 3a Diện tích tam giác A’B’C’: S A’B’C’ = 4 a3 h.a 2 1 2 Thể tích ABC.A’B’C’: V = 3 1 .AH. S A’B’C’ = ba 8 3 2 Bài 2: Cho khối chóp tam giác đều S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, các cạnh bên hợp với đáy một góc 60 0 . Tính thể tích của khối chóp đó. Giải: Kẻ SH (ABC) Gọi I là giao điểm của AH và BC Do S.ABC là hình chóp đều nên H là trọng tâm của tam giác ABC. AI = 2 3a AH = 3 2 AI = 3 2 a 3 3 2 3a Do AH là hình chiếu của SA trên mp(ABC) nên SAH = 60 0 . Xét tam giác SAH vuông tại H ta có: tan 60 0 = 0 60tan.AHSH AH SH = a Diện tích tam giác ABC: S ABC = BC.AI 2 1 = 2 a 4 3 a 2 3a 2 1 Thể tích khối chóp: V = 3 1 SH. S ABC = 3 1 32 a 12 3 a 4 3 a A A’ C B B’ C’ H 60 0 A B C S I H Học Thêm Toán BÀI TẬP về diện tích và thể tích đa diên-tròn xoay Thầy Huy – www.facebook.com/hocthemtoan - ĐT: 0968 64 65 97 Trang 2 Bài 3: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với SC cắt SB, SC, SD tại B’, C’, D’. Biết rằng AB = a, 3 2 SB 'SB a) Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp S.AB’C’D’ và S.ABCD b) Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’. Giải a) Gọi SH là đường cao của hình chóp S.ABCD Gọi H’ là giao điểm của SH và mp (P). Do S.ABCD là hình chóp đều nên H là giao điểm của AC và BD. )SAC(BD ACBD SHBD BD SC. Do mp (P) SC BD // mp (P) Do 'D'B//BD 'D'B)SBD()P( )SBD(BD )P//(BD 3 2 SB 'SB SH 'SH SD 'SD , H’D’ = H’B’ va B’D’ AC’ Qua H kẻ đường thẳng song song với AC’ cắt SC tại E. Khi đó: EC’ = EC, 3 2 SE 'SC SE 'EC 3 1 SE 'SCSE SC’ = 2EC’ = CC’ Ta có: 9 4 3 2 3 2 V V ABD.S 'D'AB.S , 9 2 2 1 3 2 3 2 V V BCD.S 'D'C'B.S Ta có: V S.ABD = V S.BCD = 2 V ABCD.S V S.AB’C’D’ = V S.AB’D’ + V S.B’C’D’ = ABCD.S ABCD.S V 3 1 2 V 9 2 9 4 b) Theo cm trên: AC’ vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến của tam giác SAC nên SA = AC tam giác SAC đều SH = a 2 6 2a 2 3 AC 2 3 V S.ABCD = 3 1 33 a 6 6 a 2 6 V S.AB’C’D’ = 3 a 18 6 Bài 4: Cho hai điểm A, B cố định. Một đường thẳng d di động luôn đi qua A và cách B một đoạn không đổi a = 2 AB . Chứng minh rằng d luôn nằm trên một mặt nón. S A B C D D’ C’ B’ H’ H E Học Thêm Toán BÀI TẬP về diện tích và thể tích đa diên-tròn xoay Thầy Huy – www.facebook.com/hocthemtoan - ĐT: 0968 64 65 97 Trang 3 Giải Xét tùy ý đường thẳng d đi qua điểm A. Theo gt: A cố định d đi qua điểm A cố định thuộc đường thẳng AB cố định (1) Trong mp (d, AB) kẻ BH d tại H Gọi = HAB Xét tam giác vuông ABCH ta có: Sin = 2 1 AB a AB BH = 30 0 . Vậy không đổi (2) Từ (1) và (2) suy ra d luôn nằm trên một mặt nón đỉnh A, nhận AB làm trục và có góc ở đỉnh 2 = 60 0 . Bài 5: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Tính diện tích xung quanh và thể tích của khối nón có đỉnh là tâm O của hình vuông ABCD và đáy là hình tròn nội tiếp hình vuông A’B’C’D’. Giải Khối nón có chiều cao a và có bán kính đáy r = 2 a Độ dài đường sinh: l = 2 5a 2 a a 2 2 Diện tích xung quanh của khối nón: S xq = rl 4 5a 2 5a 2 a 2 Thể tích khối nón: V = hr 3 1 2 = 12 a a 2 a r 3 1 3 2 2 Bài 6: Cho đường tròn (C) trong mp (P). Từ một điểm M trên (C) kẻ đường thẳng d vuông góc với mp (P). Chứng minh đường thẳng d nằm trên một mặt trụ. Giải Gọi là đường thẳng vuông góc với mp (P) tại O Gọi r là bán kính của (C). Do //d )P( )P(d Khoảng cách giữa d và là: d(d, ) = OM = r: không đổi Vậy d nằm trên mặt trụ trụ bán kính r A B H d A B C D A’ B’ C’ D’ O O’ O M P d Học Thêm Toán BÀI TẬP về diện tích và thể tích đa diên-tròn xoay Thầy Huy – www.facebook.com/hocthemtoan - ĐT: 0968 64 65 97 Trang 4 Bài 7: Cho khối trụ có bán kính đáy bằng r và có thiết diện qua trục là một hình vuông. a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ. b) Tính thể tích của khối lăng trụ tứ giác đều nội tiếp trong hình trụ đã cho (hình lăng trụ này có đáy là hình vuông nội tiếp trong đường tròn đáy của hình trụ) c) Gọi V là thể tích khối lăng trụ đều nội tiếp trong khối trụ và V’ là thể tích khối trụ. Tính tỉ số của V và V’. Giải a) Vì thiết diện qua trục của hình trụ là hình vuông nên đường sinh l bằng đường cao h l = h = 2r. Diện tích xung quanh của hình trụ: S xq = 2 r l = 4 r 2 . Diện tích toàn phần của hình trụ: S tp = S xq + 2B = 6 r 2 . b) Gọi ABCD.A’B’C’D’ là trụ tứ giác đều nội tiếp trong hình trụ đã cho. Ta có: ABCD nội tiếp trong đường tròn đáy nên: AB = r 2 Thể tích khối lăng trụ tứ giác đều: V = AA’.S ABCD = 4r 3 . c) Thể tích khối trụ: V’ = B.h = 2 r 3 Vậy: 2 'V V Bài 8: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Xác định tâm và bán kính mặt cầu đi qua 8 đỉnh của hình lập phương đã cho. Giải Gọi O là trung điểm của đường chéo AC’. Ta có: O cách đều các đỉnh của hình lập phương Vậy mặt cầu đi qua 8 đỉnh hình lập phương có tâm O, Bán kính r = 2 'AC AC’ = a 3 r = 2 3a Bài 9: Cho tứ diện D.ABC có DA (ABC) và DA = 5a, tam giác ABC vuông tại B và AB = 3a, BC = 4a. Xác định tâm và bán kính mặt cầu đi qua bốn đỉnh của tứ diện. Giải Gọi O là trung điểm DC Do DA (ABC) nên DA AB, DA AC DAC vuông tại A OA = OC = OD = CD/2 (1) Ta có: BC BA, BC DA BC (ABD) BC BD OB = CD/ 2 (2) A B C D O A’ B’ C’ D’ O’ A B C D A’ B’ C’ D’ O A B C D O Học Thêm Toán BÀI TẬP về diện tích và thể tích đa diên-tròn xoay Thầy Huy – www.facebook.com/hocthemtoan - ĐT: 0968 64 65 97 Trang 5 Từ (1 và (2) suy ra: A, B, C, D thuộc mặt cầu tâm O, bán kính r = CD/2. Bài 10: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng b. Xác định tâm và bán kính mặt cầu đi qua các đỉnh hình chóp. Giải Gọi H là trọng tâm tam giác ABC. Do SABC là hình chóp đều nên tâm O của mặt cầu nằm trên SH. Gọi I là trung điểm của SA. Trong mp(SAH) dựng IO vuông góc với SA cắt SH tại O Khi đó: O là tâm mặt cầu đi qua các đỉnh hình chóp. Xét hai tam giác đồng dạng SIO và SHA ta có: SH2 SA SH SI SA SO SO = r SH2 SA 2 Mà SH 2 = SA 2 AH 2 = b 2 2 2.3 3a2 nên SH = 22 22 ab3 3 1 3 ab3 Vậy: r = 22 22 ab3 3 2 b SH2 SA = 22 2 ab32 b3 Bài 11: Cho mặt cầu S(O,r) và một điểm a biết OA = 2r. Qua A kẻ một tiếp tuyến với mặt cầu tại B và kẻ một cát tuyến cắt mặt cầu tại C và D. Cho biết CD = r 3 a) Tính AB b) Tính khoảng cách từ O đến CD. Giải a) Ta có: AB là tiếp tuyến của mặt cầu tại B nên AB OB AB = 3rrr4OBOA 2222 b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên CD. Ta có: OC = OD = r Nên tam giác OCD cân tại O Do H là trung điểm của CD nên HC = 2 3r 2 CD Vậy khoảng cách từ O đến CD là độ dài OH với OH = 2 r 2 3r rHCOC 2 222 A O C D B H S A B H C Học Thêm Toán BÀI TẬP về diện tích và thể tích đa diên-tròn xoay Thầy Huy – www.facebook.com/hocthemtoan - ĐT: 0968 64 65 97 Trang 6 Bài 12: Cho tứ diện ABCD có DA = 5a và DA vuông góc với mp(ABC). Tam giác ABC vuông tại B và AB = 3a, BC = 4a. a) Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đi qua các đỉnh của tứ diện. b) Tính diện tích mặt cầu và thể tích của khối cầu tương ứng. Giải a) Gọi O là trung điểm DC Do DA (ABC) nên DA AB, DA AC DAC vuông tại A OA = OC = OD = CD/2 (1) Ta có: BC BA, BC DA BC (ABD) BC BD OB = CD/ 2 (2) Từ (1 và (2) suy ra: A, B, C, D thuộc mặt cầu tâm O, bán kính r = CD/2. r = 22222 BCABAD 2 1 ACAD 2 1 CD 2 1 = 2 2a5 b) Diện tích mặt cầu: S = 4 r 2 = 50 a 2 Thể tích của khối cầu tương ứng: V = 3 4 r 3 = 3 2a125 3 Bài 13: Cho khối lăng trụ tứ giác đều ABCD.A 1 B 1 C 1 D 1 có khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và A 1 D bằng 2 và độ dài đường chéo của mặt bên bằng 5. a) Hạ 1 1 ( )AK A D K A D . Chứng minh AK = 2 b) Tính thể tích khối lăng trụ ABCD.A 1 B 1 C 1 D 1 . A x B x x 2 D C x K h 5 A 1 B 1 D 1 C 1 Giải: a) Chứng minh AK = 2: AB (ADD 1 A 1 ) AB AK và Gt: AK A 1 D AK là đoạn vuông góc chung của AB và A 1 D Vậy AK = 1 , 2d AB A D AK b) Tính thể tích V của khối lăng trụ ABCD.A 1 B 1 C 1 D 1 : Đặt h = AA 1 là chiều cao của khối lăng trụ; x là cạnh đáy hình vuông. Gt AK = 2; A 1 D = 5 1 AAD vuông tại A có AK là đường cao nên: AK.A 1 D = AD.AH 10 .x h và AD 2 + 2 2 2 2 1 1 AA 25A D x h Giải hệ: 2 2 2 25 ( ) 45 3 5 10 10 10 x h x h x h xh xh xh A B C D O Học Thêm Toán BÀI TẬP về diện tích và thể tích đa diên-tròn xoay Thầy Huy – www.facebook.com/hocthemtoan - ĐT: 0968 64 65 97 Trang 7 2 2 2 5; 5 20 5 5; 2 5 10 5 x h V x h x h V x h Bài 14: Cho khối lăng trụ đứng ABCD.A 1 B 1 C 1 D 1 có đáy là hình bình hành và 0 45BAD Các đường chéo AC 1 và DB 1 lần lượt tạo với đáy những góc 45 0 và 60 0 . Hãy tính thể tích của khối lăng trụ nếu biết chiều cao của nó bằng 2. D 1 A 1 C 1 B 1 2 D A C B Giải: Gt: (AC 1 , (ABCD)) = 45 0 = (AC 1 ,AC) = 1 C AC (DB 1 , (ABCD)) = 60 0 = (DB 1 , DB) = 1 B DB 0 1 1 1 , 1 .cot 2.cot 45 2ACC C v AC CC C AC 0 1 1 1 2 3 , 1 .cot 2.cot60 3 DBB B v BD BB B DB Đặt AD = BC = x ; AB = DC = y 2 2 2 ó : 2. . . osADC c AC AD DC AD DC c ADC 2 2 0 2 2 0 4 2 cos135 2 cos45x y xy x y xy (1) 2 2 2 ó : 2. . . osBCD c BD BC CD BC CD c BCD 2 2 0 4 2 cos45 3 x y xy (2) Từ (1) và (2) 2 2 2 2 16 8 2( ) 3 3 x y x y thay vào (2) có: 4 8 2 4 2 . 3 3 2 3 2 xy xy 0 1 2 4 2 2 2. 2. . .sin .sin 45 . 2 2 2 3 3 2 ABCD BCD xy S S BC CD C xy Vậy V = S ABCD . CC 1 = 2 4 .2 3 3 (đvdt) Bài 15: Cho khối lăng trụ ABC.A 1 B 1 C 1 có đáy ABC là tam giác vuông cân với cạnh huyền AB = 2 . Cho biết mặt phẳng (AA 1 B) vuông góc với mặt phẳng (ABC), AA 1 = 3 , góc 1 A AB nhọn, góc giữa mặt phẳng (A 1 AC) và mặt phẳng (ABC) bằng 60 0 . Hãy tính thể tích của khối lăng trụ. Giải: Gt: 1 ( ) ( )A AB ABC . Từ A 1 dựng A 1 H vuông góc AB tại H thì 1 1 ( )A H ABC A H là chiều cao lăng trụ. Đặt A 1 H = h Dựng HK AC tại K (HK // BC) . AKH cũng vuông cân tại K 2 . 2 3 h AH HK Học Thêm Toán BÀI TẬP về diện tích và thể tích đa diên-tròn xoay Thầy Huy – www.facebook.com/hocthemtoan - ĐT: 0968 64 65 97 Trang 8 A 1 B 1 C 1 3 h 2 A H B K C 2 2 2 1 1 1 , 1A HA H v A H HA A A 2 2 2 2 3 3 5 9 3 5 h h h h 2 2 1 1 1 3 3 . . . . 2 2 5 2 5 ABC CA V S A H CACB h CA 2 2 2 2 ó: 2 2ACB c AC CB AB AC 2 1AC . Vậy V = 3 2 5 (đvdt) Bài 16: (Dự bị B2-2006) Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có A’.ABC là hình chóp tam giác đều, cạnh đáy AB = a, cạnh bên AA’ = b. Gọi là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (A’BC). Tính tan và tính thể tích khối chóp A’.BB’C’C. Giải: * Tính tan : + Gọi H là tâm tam giác đều ABC. Do A’.ABC là hình chóp tam giác đều nên hình chiếu vuông góc của A’ trên (ABC) trùng với H. + Gọi M là giao điểm của AH với BC thì AM BC. Mặt khác: A’B = A’C = A’A = b 'A M BC Vậy góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (A’BC) là: AMA' A’HM vuông tại H (vì A’H (ABC)) ' tan tan AMA' A H MH C’ A’ B’ b A C a H M B ABC đều có cạnh a nên AM = a 3 2 2 3 1 3 ; 3 3 3 6 a a AH AM MH AM ; A’H = 2 2 2 2 2 2 3 ' 3 3 a b a A A AH b Vậy 2 2 2 2 3 3 2 3 tan : 3 6 b a a b a a * Tính thẻ tích V của khối chóp A’.BB’C’C: Học Thêm Toán BÀI TẬP về diện tích và thể tích đa diên-tròn xoay Thầy Huy – www.facebook.com/hocthemtoan - ĐT: 0968 64 65 97 Trang 9 2 2 ' ' '. '. 1 2 2 1 3 3 . ' . ' . ' . . 3 3 3 2 2 3 A B C ABC A ABC ABC ABC ABC a b a V V V S A H S A H S A H a V 2 2 2 3 6 a b a (đvtt) Bài 17: Cho khối chóp tam giác đều S.ABC có chiều cao bằng h và góc AS 2B . Hãy tính thể tích khối chóp. S A C H M B Giải: Tính V S.ABC : + Gọi H là hình chiếu của S trên (ABC). Vì: SA = SB = SC HA = HB = HC H là tâm của tam giác đều ABC. + Gọi M là giao điểm của CH và AB thì M là trung điểm của AB và SM AB. + Đặt AB = 2x AM = BM = x (x > 0) + gt: 0 0 AS 2 ASM BSM (0 90 )B + ASM, 1 cot AS cotM v SM AM M x MH = 1 1 3 1 3 3 . .2 . 3 3 2 3 2 3 x CM AB x + 2 2 2 2 2 2 2 SHM, 1 cot 3 x H v SH MH SM h x 2 2 3 3cot 1 h x 3 2 . 2 1 1 1 1 2 3 3 3 . . . .2 . . 3 3 2 6 2 3 3cot 1 S ABC ABC x h V S SH AB CM h h x x h (đvtt) Bài 18: Khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh C và SA ( )ABC , SC = a. Hãy tìm góc giữa hai mặt phẳng (SCB) và (ABC) để thể tích khối chóp lớn nhất. Giải: Tìm góc giữa hai mặt phẳng (SCB) và (ABC) để thể tích S.ABC lớn nhất: S a A B C + gt: ( )&SA ABC AC CB SC CB + Gọi 0 0 ( ),( ) (0 90 )SCB ABC SCA + .sin sin , 1 . os os SA SC SCA a SAC A v AC SC c SCA ac + 2 2 2 . 1 1 1 1 . . . os .a sin 3 3 2 6 S ABC ABC V S SA AC SA a c 3 2 . 1 os .sin 6 S ABC V a c + Xét hàm số: 2 0 0 ( ) os .sin , 0 90f c Học Thêm Toán BÀI TẬP về diện tích và thể tích đa diên-tròn xoay Thầy Huy – www.facebook.com/hocthemtoan - ĐT: 0968 64 65 97 Trang 10 2 3 2 3 3 '( ) 2cos .sin os 2cos (1 os ) os 3cos 2cos cos 3 os 2 3 os 2f c c c c c Vì: 0 0 0 90 os 0 os 3 os 2 0c c c Do đó: 0 0 2 2 '( ) 0 3 os 2 0 os ; os ; 0 90 3 3 f c c c Lập bảng biến thiên hàm số f( ) trên khoảng 0 0 0 ; 90 : 0 0 90 0 f’( ) + 0 - f( ) f max 0 0 Ta có f( ) lớn nhất 2 os 3 c . Vậy thể tích S.ABC lớn nhất f( ) lớn nhất 2 os 3 c . Bài 19: Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD mà khoảng cách từ đỉnh A đến mp(SBC) bằng 2a. Với giá trị nào của góc giữa mặt bên và mặt đáy của khối chóp thì thể tích của khối chóp nhỏ nhất ? Giải: Tìm góc giữa mặt bên và mặt đáy để thể tích S.ABCD nhỏ nhất: S K B C N M O A D + Gọi O là tâm hình vuông ABCD thì SO vuông góc với (ABCD) và SO là chiều cao của khối chóp S.ABCD. + Gọi MN là đường trung bình của hình vuông ABCD với MCD và NAB. + CD (SMN), trong (SMN) vẽ NK SM, khi đó NK CD NK (SCD). Vậy NK = d ,( )N SCD + Vì AB//CD AB//(SCD) d ,( )A SCD = NK = 2a. Ta có: SM CD và MN CD ( ),( )SMN SCD ABCD 2 , 1 sin sin sin NK a a NKM K v MN OM NMK + , 1 tan os a SOM O v SO OM c + 2 3 2 . 2 2 1 1 1 4 4 . . . . 3 3 3 sin os 3sin os S ABCD ABCD a a a V S SO MN SO c c Vậy .S ABCD V nhỏ nhất 2 ( ) sin osf c lớn nhất, với 0 0 0 90 2 3 2 3 3 '( ) 2cos .sin sin 2sin (1 sin ) sin 2sin 3sinf . 2 2 0 4 2 cos45 3 x y xy (2 ) Từ (1 ) và (2 ) 2 2 2 2 16 8 2( ) 3 3 x y x y thay vào (2 ) có: 4 8 2 4 2 . 3 3 2 3 2 xy xy 0 1 2. biết chi u cao của nó bằng 2. D 1 A 1 C 1 B 1 2 D A C B Giải: Gt: (AC 1 , (ABCD )) = 45 0 = (AC 1 ,AC) = 1 C AC (DB 1 , (ABCD )) = 60 0 = (DB 1 , DB) = 1
