Chuan kien thuc Hinh hoc 12 (Day them)

Bài 11: Cho hình chop S .ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt đáy ABCD , gócgiữa SC và đáy ABCD là 450 .Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.. Bài 13: Cho khối lăng trụ A

h

a b c

a a a

B h

A THỂ TÍCH KHỐI ĐA DI Ệ N I/ Các công thức thể tích của khối đa diện:

Cho khối tứ diện SABC và A’,

B’, C’ là các điểm tùy ý lần lượt

C B

A

S

Chú ý:

2

a

3/ Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và các cạnh bên đều bằng

nhau ( hoặc có đáy là đa giác đều, hình chiếu của đỉnh trùng với tâm của đáy).

4/ Lăng trụ đều là lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều.

BÀI TẬP

Bài 1: Cho hình chop S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B, đường thẳng SA vuông góc với mp ( ABC), biết AB = a, BC = a 3 và SA = 3a

a) Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a

b) Gọi I là trung điểm của cạnh SC, tính độ dài đoạn BI theo a

Bài 2: Cho hình chóp tam giác đều S ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a Gọi I là trung điểm củaBC

a) Chứng minh SA vuông góc với BC

b) Tính thể tích khối chóp S ABI theo a

Bài 3: Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác vuông tại B, cạnh bên SA vuông góc với đáy BiếtSA=AB=BC= a Tính thể tích khối chóp S.ABC

Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy, cạnhbên SA bằng a 3

a) Tính thể tích của khối chóp S ABCD

b) Chứng minh trung điểm của cạnh SC là điểm cách đều các đỉnh của hình chóp S ABCD

Bài 5: Cho hình chóp S ABC có SA, AB, BC vuông góc với nhau từng đôi một Biết SA = a,

AB =BC=a 3 Tính thể tích của khối chóp S ABC

Bài 6: Cho khối chóp S.ABC có hai mặt ABC và SBC là hai tam giác đều nằm trong hai mp vuông gócnhau Biết BC =1, tính thể tích của khối chóp S.ABC

Bài 7: Cho khối chóp S ABC có đáy ABC là tam gíac vuông cân tại A và hình chiếu vuông góc của S lên( ABC) trùng với trọng tâm G của tam giác ABC Biết SA hợp với đáy góc α =600 Tính thể tích củakhối chóp S.ABC

Bài 8: Cho khối chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình thoi , ABC va SAC là hai tam giác đều cạnh a,

SB =SD Tính thể tích của khối chóp S ABCD

Bài 9: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, cho SA vuông góc với mặt đáy (ABCD).Biết SA =2a, AB = a, BC =3a

Tính thể tích của khối chóp S ABC

Bài 10: Cho khối chóp S ABCD , có đáy ABCD là hình thang vuông ở A và B , Cho SA vuông góc vớimặt đáy (ABCD) , SA = AD = 2a và AB =BC = a

Tính thể tích của khối chóp S ABCD

Bài 11: Cho hình chop S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt đáy (ABCD) , gócgiữa SC và đáy (ABCD) là 450 Tính thể tích của khối chóp S.ABCD

Bài 12: Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông ở A, AB =a, AC =2a Đỉnh S cách đều A,B,C,mặt bên (SAB) hợp với mặt đáy (ABC) góc 600 Tính thể tích khối chóp S.ABC

HD : bài 12:

Bài 13: Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh bằng a, cạnh bên bằng a 3 và hìnhchiếu ( vuông góc ) của A’ lên (ABC) trùng với trung điểm của BC Tính thể tích khối lăng trụ ,từ đó suy

ra thể tích của khối chóp A’ ABC

HD:

Bài 14: Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh bằng a, cạnh bên hợp vớiđáy góc 600 , A’ cách đều A,B,C Chứng minh BB’C’C là hình chữ nhật và tính thể tích của khối lăng trụABC.A’B’C’

HD:

Bài 15: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là một tam giác vuông tại A, AC = b, ·ACB=600.Đường chéo BC’ của mặt bên BB’C’C tạo với mặt phẳng ( AA’C’C) một góc 300

a) Chứng minh tam giác ABC' vuông tại A

b) Tính độ dài đoạn AC’

c) Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ từ đó suy ra thể tích của khối chóp C’.ABC

HD:

Bài 16: Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có thể tích bằng V Gọi M , N lần lượt là trung điểm của hai cạnhAA’ và BB’ Mặt phẳng (C’MN) chia khối lăng trụ đã cho thành hai phần

a)Tính thể tích của khối chóp C’.ABC theo V

b) Tính thể tích của khối chóp C’ ABB’A’ theo V

c) Tính thể tích khối chóp C’ MNB’A’ theo V

d) Tính tỉ lệ thể tích của hai khối chóp C’ MNB’A’ và ABC.MNC’

17 Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác ABC vuông tại B Biết BB’ = AB = h và góc của B’C với mặt đáy bằng α

a) CMR: g(BCA) = g(B’CB) và tính thể tích của khối lăng trụ

b) Tính diện tích thiết diện tạo nên do mp(ACB’) cắt hình lăng trụ

18 Một hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, cạnh bên BB’ = a, chân đường vuông góc hạ từ B’ xuống đáy ABC trùng với trung điểm I của cạnh AC

a) Tính góc giữa cạnh bên với đáy và tính thể tích của lăng trụ

21 Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, điểm A’ cách đều ba điểm A, B,

C, cạnh bên AA’ tạo với mặt đáy một góc 600

a) Tính thể tích của khối lăng trụ đó

b) CMR: mặt bên BCC’B’ là một hình chữ nhật

c) Tính tổng diện tích các mặt bên của lăng trụ(Gọi là diện tích xung quanh)

22 Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ Gọi M là trung điểm của AA’ Mặt phẳng đi qua M, B’, C chia khối lăng trụ thành hai phần Tính tỉ số thể tích của hai phần đó

23 Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a

a) Tính thể tích khối tứ diện A’.BB’C

b) Mặt phẳng đi qua A’B’ và trọng tâm tam giác ABC, cắt AC và BC lần lượt tại E và F Tính thể tích khối chóp C.A’B’FE

24 Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Tính tỉ số thể tích của khối tứ diện ACB’D’ và thể tích khối hộp

25 Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, gọi O là giao điểm của AC và BD Tính tỉ số thể tích của khối chóp O.A’B’C’D’ và khối hộp đã cho

26 Đáy của khối chóp là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a Mặt bên qua cạnh huyền vuông góc với đáy, mỗi mặt bên tạo với đáy một góc 450

a) CMR chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh huyền

b) Tính góc do mặt bên tạo với đáy

29 Cho tứ diện S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại B, AC = a, SA⊥(ABC), góc giữa cạnh bên SB vàđáy bằng 600

31 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA⊥(ABC), góc giữa mặt bên (SBC) và đáy bằng 600

a) Tính thể tích khối chóp

b) Xác định điểm I cách đều các đỉnh của hình chóp và tính IA

32 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, gọi I là trung điểm của AB, SI⊥

(ABCD), góc giữa mặt bên (SCD) và đáy bằng 600 Tính thể tích khối chóp

33 Cho hình chóp tam giác O.ABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OA = a,

OB = b, OC = c Tính đường cao OH của hình chóp

34 Cho tam giác ABC vuông cân ở A và AB = a Trên đường thẳng qua C và vuông góc với (ABC) lấy điểm D sao cho CD = a Mặt phẳng qua C vuông góc với BD, cắt BD tại F và cắt AD tại E Tính thể tích khối tứ diện CDEF

35 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy AB = a Các cạnh bên SA, SB, SC tạo với đáy một góc 60o Gọi D là giao điểm của SA với mặt phẳng qua BC và vuông góc với SA

a) Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp S.DBC và S.ABC

b) Tính thể tích của khối chóp S.DBC

36 Cho hình chóp tam giác S.ABC có AB = 5a, BC = 6a, CA = 7a Các mặt bên SAB, SBC, SCA tạo vớiđáy một góc 60o Tính thể tích của khối chóp

37 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên tạo với đáy một góc 60o Gọi

M là trung điểm SC Mặt phẳng đi qua AM và song song với BD, cắt SB tại E và cắt SD tại F Tính thể tích khối chóp S.AEMF

xoay sinh ra bởi đường thẳng d khi quay

quanh đường thẳng ∆ gọi là mặt nón

Hình nón tròn xoay là hình sinh ra bởi một

tam giác vuông khi quay quanh một cạnh

góc vuông

* Diện tích xung quanh: Sxq = πrl

l: độ dài đường sinh r: bán kính đường tròn đáy.

3) Khối nón:

Hình nón cùng với phần trong của nó

được gọi là khối nón

r: bán kính đường tròn đáy

II) MẶT TRỤ, HÌNH TRỤ, KHỐI TRỤ:

1) Mặt trụ:

Cho hai đường thẳng ∆ và d song song

nhau và cách nhau một khoảng bằng r

Mặt tròn xoay sinh bởi đường thẳng d

khi quay quanh ∆ gọi là mặt trụ

* d: đường sinh

* ∆: trục

2) Hình trụ:

Hình trụ tròn xoay là hình sinh ra bởi một

hình chữ nhật khi quay quanh một cạnh

* Diện tích xung quanh: Sxq = 2πrl

l: độ dài đường sinh r: bán kính đường tròn đáy.

3) Khối trụ:

Hình trụ cùng với phần trong của nó

được gọi là khối trụ

* Thể tích khối nón: V= r2 h

h: độ dài đường cao r: bán kính đường tròn đáy

 Chú ý: đối với khối trụ h = l.

III) MẶT CẦU, HÌNH CẦU, KHỐI CẦU:

1) Mặt cầu:

Cho điểm O cố định và số thực r

Tập hợp các điểm M trong không gian

cách điểm O một khoảng bằng r được

gọi là mặt cầu tâm O bán kính r

Kí hiệu: S(O,r) = {MOM=r}

Chú ý: * OA > r ⇔A nằm ngoài (S)

* OA < r ⇔A nằm trong (S)

* OA = r ⇔A nằm trên (S)

2) Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu:

Cho mặt cầu S(O,r) và mặt phẳng (P) Gọi H là hình chiếu của O trên mp(P) và d= OH là khoảng cách từ O đến mp(P)

* d > r ⇔ (P) không cắt (S) hay (P) ∩(S) = φ

* d = r ⇔ (P) tiếp xúc (S) tại H

Khi đó: (S): tiếp diện, (H): tiếp điểm

* d < r ⇔ (P) cắt (S) theo đường tròn (C) có tâm H, bán kính r2 −d2

 Chú ý: nếu d = 0 hay O ≡ H thì (P) cắt (S) theo đường tròn C(O, r)

3) Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu:

Cho mặt cầu S(O,r) và đường thẳng ∆ Gọi H là hình chiếu của O trên ∆ và d= OH là khoảng cách

từ O đến ∆

* d > r ⇔ ∆ không cắt (S) hay ∆∩(S) = φ

* d = r ⇔ ∆ tiếp xúc (S) tại H

Khi đó: ∆: tiếp tuyến, (H): tiếp điểm

* d < r ⇔ (P) cắt (S) tại hai điểm phân biệt A, B

4) Diện tích xung quanh hình cầu, thể tích khối cầu:

* Diện tích xung quanh hình cầu: Sxq = 4πr2

* Thể tích khối cầu: V =

3

4 πr3

BÀI TẬP

1) Cho hình nón tròn xoay có đường cao h = 20 cm, bán kính đáy r = 25 cm

a) Tính diện tích xung quanh của hình nón đã cho

b) Tính thể tích của khối nón

c) Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện

là 12 cm Tính diện tích thiết diện đó

2) Một hình trụ có bán kính đáy r = 5cm và có khoảng cách giữa hai đáy bằng 7cm

a) Tính diện tích xung quanh của hình trụ và thể tích của khối trụ

b) Cắt khối trụ bởi mặt phẳng song song vói trục và cách trục 3cm Tính diện tích của thiết diện được tạo nên

3) Cắt hình nón bằng một mặt phẳng qua trục của nó ta được một thiết diện là một tam giác đều cạnh 2a.Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình nón đó

4) Một hình trụ có bán kính đáy r và chiều cao h = r 3

a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ

a) Tính diện tích xung quanh, diện tích đáy và thể tích khối nón

b) Cho dây cung BC của đường tròn đáy hình nón sao cho mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng chứa đáy hình nón một góc 600 Tính diện tích tam giác SBC

6) Mặt phẳng đi qua trục của hình trụ, cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông cạnh 2R

a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ

b) Tính thể tích của khối trụ

c) Tính thể tích khối lăng trụ tứ giác đều nội tiếp hình trụ

7) Một khối nón có góc ở đỉnh bằng 1200 và có bán kính đáy bằng r Tính diện tích của thiết diện đi qua hai đường sinh vuông góc với nhau

8) Một khối lăng trụ đứng có chiều cao h và có đáy là một tam giác đều cạnh a Tính thể tích của khối trụ ngoại tiếp khối lăng trụ này.

9) Một khối tứ diện đều có cạnh bằng a nội tiếp trong một khối nón Tính thể tích của khối nón đó

10) Một khối trụ gọi là nội tiếp trong một khối cầu nếu hai đường tròn đáy của khối trụ nằm trên mặt của khối cầu

a) Tính diện tích xung quanh và thể tích của khối trụ nội tiếp trong một khối cầu bán kính R nếu biết đường cao của khối trụ là h

b) Tính giá trị lớn nhất của thể tích khối trụ nội tiếp trong khối cầu bán kính R cho trước

11) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a

a) Tính diện tích xung quanh và thể tích của của khối trụ có đường tròn của hai đáy ngoại tiếp các hình vuông ABCD và A’B’C’D’

b) Tính diện tích xung quanh và thể tích của khối nón có đỉnh là tâm O của hình vuông ABCD và đáy là đường tròn nội tếp hình vuông A’B’C’D’

12) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Xác định tâm và bán kính mặt cầu đi qua 8

đỉnh của hình lập phương đã cho

13) Cho tứ diện D.ABC có DA ⊥ (ABC) và DA = 5a, tam giác ABC vuông tại B và AB = 3a, BC = 4a

Xác định tâm và bán kính mặt cầu đi qua bốn đỉnh của tứ diện

14) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng b

Xác định tâm và bán kính mặt cầu đi qua các đỉnh hình chóp

15) Cho tứ diện D.ABC có DA ⊥ (ABC) và DA = 4a, tam giác ABC vuông tại B và AB = 6a,

BC = 8a Xác định tâm và bán kính mặt cầu đi qua bốn đỉnh A, B, C, D của tứ diện

16) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD) và SA = 2a,

Xác định tâm và bán kính mặt cầu đi qua 5 đỉnh S, A, B, C, D

17) Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng b Xác định tâm và

bán kính mặt cầu đi qua 5 đỉnh S, A, B, C, D

18) Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a

a) Xác định tâm và bán kính mặt cầu đi qua các đỉnh của lăng trụ

b) Tính diện tích mặt cầu và thể tích của khối cầu tương ứng

19) Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD) Dựng mp(P) qua A và

vuông góc với SC Mặt phẳng (P) cắt SB, SC, SD tại B’, C’, D’

a) CMR: 7 điểm A, B, C, D, A’, B’ C’, D’ luôn nằm trên một mặt cầu

b) Tính diện tích mặt cầu và thể tích của khối cầu được tạo thành

20) Cho hình chóp tam giác đều SABC có cạnh đáy bằng a, mặt bên hợp với đáy một góc bằng 600

a) Xác định tâm và bán kính mặt cầu đi qua các đỉnh của lăng trụ

b) Tính diện tích mặt cầu và thể tích của khối cầu tương ứng

21) Cho hình chóp SABC có SA = SB = SC = a và có chiều cao h

a) Xác định tâm và bán kính mặt cầu đi qua các đỉnh của lăng trụ

b) Tính diện tích mặt cầu đó

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

I : HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN.

A KIẾN THỨC CẦN NHỚ.

1.Hệ tọa độ trong không gian

Hệ gồm ba trục Ox, Oy, Oz đội một vuông góc được gọi là hệ trục tọa độ vuông góc

trong không gian

Nếu ta lấy ba vectơ đơn vị →i ,→j ,→k lần lượt trên Ox, Oy, Oz thì:

0 ,1

2 2 2

j i

2.Tọa độ của điểm và của vectơ

=

⇔

= x y z u x i y j z k

u ( ; ; ) Cho A(x1; y1; z1), B(x2; y2; z2) ⇒ AB=(x2 −x1;y2 −y1;z2 −z1)

3.Vectơ bằng nhau Tọa độ của vectơ tổng, hiệu

Cho ( ; ; ), ( ; ; )

2 2 2 1

2 1

2 1

z z

y y

x x v

u

2 1 2 1 2

x v

mx v

2 1 2 1 2

1 2

1 2

.:)

0)(

//

z

z y

y x

x kz z

ky y

kx x u k v R k u

5.Chia đọan thẳng theo tỉ số cho trước

.M chia đọan AB theo tỉ số k

k

ky y y

k

kx x x MB k MA

B A M

B A M

B A M

11

11

;2

B A B A B

A x y y z z x

6.Tích vô hướng của hai vectơ

Cho hai vectơ ( ; ; ), ( ; ; )

2 2 2 1

2 1

)(

)(x B x A y B y A z B z A

,

cos(

2 2

2 2

2 2

2 1

2 1

2 1

2 1 2 1 2

++

+

++

=

z y x z y x

z z y y x x v

u

v u v

u

2 1 2 1 2

1 1 2 2

1 1 2 2

1 1

;

;]

,

y x

y x x z

x z z y

z y v

- Ngược lại, phương trình: x2 + y2 + z2 + 2ax + 2by + 2cz + d =0 là phương trình của mặt

cầu nếu có điều kiện : a2 + b2 + c2 > d Khi đó I( -a ; -b; -c) là tâm của mặt cầu và bán

2u v w b x u v w c u v w x x

2/ Cho →u có điểm đầu là (1 ; -1 ; 3) và điểm cuối là (-2 ; 3 ; 5)

Trong các vectơ sau đây vectơ nào cùng phương với →u

3/ Cho ba điểm A(2 ; 5 ; 3), B(3 ; 7 ; 4), C(x ; y ; 6) Tìm x, y để A, B, C thẳng hàng

4/ Cho hai điểm A(-1 ; 6 ; 6), B(3 ; -6 ; -2) Tìm M thuộc mp(Oxy) sao cho MA + MB nhỏ nhất

5/ Chứng minh bốn điểm A(1 ; -1 ; 1), B(1 ; 3 ; 1), C(4 ; 3 ; 1), D(4 ; -1 ; 1) là các đỉnh của hình chữ nhật Tính độ dài các đường chéo, xác định tâm của hình chữ nhật đó.Tính cosin của góc giữa hai vectơ

;2

;1(),

3

;1

;4(),

2

;3

;0()→u = →v = − − →w= −

=

−+

+

=+

9/ Tìm trên Oy điểm cách đều hai điểm A(3 ; 1 ; 0) và B(-2 ; 4 ; 1)

10)/ Tìm trên mặt phẳng Oxz cách đều ba điểm A(1 ; 1 ; 1), B(-1 ; 1 ; 0), C(3 ; 1 ; -1)

11/ Cho hai điểm A(2 ; -1 ; 7), B(4 ; 5 ; -2) Đường thẳng AB cắt mp(Oyz) tại điểm M Điểm M chia đọan

AB theo tỉ số nào? Tìm tọa độ điểm M

12/ Xét sự đồng phẳng của ba vectơ →u,→v,w→ trong mỗi trường hợp sau

b) Cho →a =(1;log35;m), →b =(3;log53;4) Tìm m để →a ⊥→b.

c) Cho →a =(2;−1;0) Tìm →b cùng phương với →a, biết rằng →a.→b =10.

15/ Trong không gian tọa độ Oxyz cho bốn điểm A(1 ; 1 ; 0), B0 ; 2 ; 1), C(1 ; 0 ; 2),

D(1 ; 1 ; 1)

a) Chứng minh bốn điểm không đồng phẳng Tính thể tích tứ diện ABCD

b) Tìm tọa độ trọng tâm của tam giác ABC, trọng tâm tứ diện ABCD

c) Tính diện tích các mẳt của tứ diện