Tóm tắt ngắn gọn chương trình hình học lớp 12 Dễ hiểuGọn nhẹHiệu quả Đây là một phương pháp học hình dành cho học sinh thpt đang chuẩn bị thi Dùng cho học sinh học cấp tốc hoặc là học sinh muốn thi với điểm số có thể đạt điểm tối đa là 910
HÌNH HỌC 12 CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ VỀ HÌNH HỌC ĐỂ GIẢI TỐN HÌNH HỌC 12 I TỈ SỐ GĨC NHỌN TRONG TAM GIÁC VNG AB AC (ĐỐI chia HUYỀN) cos α = (KỀ chia HUYỀN) BC BC A AB AC α α tan = (ĐỐI chia KỀ) cot = (KỀ chia ĐỐI) AC AB sin α = II HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VNG BC2 = AB2 + AC2 (Định lí Pitago)=>AB2 = BC2 - AC2 AB2 = BH.BC AC2 = CH.BC AH2 = BH.CH AB.AC = BC.AH B α H 1 = + 2 AH AB AC2 III ĐỊNH LÍ CƠSIN a2 = b2 + c2 – 2bccosA c2 = a2 + b2 – 2abcosC a b c = = = 2R sin A sin B sin C IV ĐỊNH LÍ SIN V ĐỊNH LÍ TALET a) b2 = a2 + c2 – 2accosB A MN // BC AM AN MN = = ; AB AC BC b) N M AM AN = MB NC B C VI DIỆN TÍCH TRONG HÌNH PHẲNG Tam giác thường: a) S = ah b) S = p(p − a)(p − b)(p − c) (Công thức Hê-rông) c) S = pr (r: bk đ.tròn nội tiếp tam giác) Tam giác cạnh a: a a) Đường cao: h = ; a2 b) S = c) Đường cao đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực Tam giác vuông: a) S = ab (a, b cạnh góc vng) b) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác trung điểm cạnh huyền Tam giác vng cân (nửa hình vng): a) S = a (2 cạnh góc vuông nhau) b) Cạnh huyền a Nửa tam giác đều: a) Là tam giác vuông có góc 30o 60o a2 a b) BC = 2AB c) AC = d) S = B Tam giác cân: a) S = ah (h: đường cao; a: cạnh đáy) A 60 o 30 o C b) Đường cao hạ từ đỉnh đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực Hình chữ nhật: S = ab (a, b kích thước) Hình thoi: S= d1.d2 (d1, d2 đường chéo) THPT QT www.thaydo.net C Hình vng: a) S = a2 b) Đường chéo a 10 Hình bình hành: S = ah (h: đường cao; a: cạnh đáy) 11 Đường tròn: a) C = π R (R: bán kính đường tròn) b) S = π R2 (R: bán kính đường tròn) VII CÁC ĐƯỜNG TRONG TAM GIÁC Đường trung tuyến: G: trọng tâm tam giác a) Giao điểm đường trung tuyến tam giác gọi trọng tâm b) * BG = BN; * BG = 2GN; * GN = BN 3 A N M G B C P Đường cao: Giao điểm của đường cao tam giác gọi trực tâm Đường trung trực: Giao điểm đường trung trực tam giác tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác Đường phân giác: Giao điểm đường phân giác tam giác tâm đường tròn nội tiếp tam giác VIII HÌNH HỌC KHƠNG GIAN Hình tứ diện đều: Có mặt tam giác Chân đường cao trùng với tâm đáy (hay trùng với trọng tâm tam giác đáy) Các cạnh bên tạo với mặt đáy góc Hình chóp đều: Có đáy đa giác Có mặt bên tam giác cân Chân đường cao trùng với tâm đa giác đáy Các cạnh bên tạo với mặt đáy góc Đường thẳng d vng góc với mp( α ): d ⊥ a; d ⊥ b a) Đt d vng góc với đt cắt nằm mp( α ) Tức là: a b a,b �α (α) ⊥ (β) b) (α) �(β) = a d ⊥ (α ) d ⊥ (α ) d a ⊥ d �(β) c) Đt d vng góc với mp( α ) d vng góc với đt nằm mp( α ) Góc ϕ đt d mp( α ): d cắt ( α ) O A d AH ⊥ (α) ˆ =ϕ góc d ( α ) ϕ hay AOH H �(α) Góc mp( α ) mp( β ): (α) �(β) = AB Nếu FM ⊥ AB;EM ⊥ AB EM �(α),FM �(β) ˆ =ϕ góc ( α ) ( β ) ϕ hay EMF N ếu A ϕ d' H α β F E B ϕ M α A Khoảng cách từ điểm A đến mp( α ): Nếu AH ⊥ ( α ) d(A, ( α )) = AH (với H ( α )) IX KHỐI ĐA DIỆN: Thể tích khối lăng trụ: V = Bh (B: diện tích đáy; h: chiều cao) Thể tích khối chóp: THPT QT V= Bh (diện tích đáy đa giác) www.thaydo.net O Tỉ số thể tích khối chóp: Diện tích xq hình nón tròn xoay: Thể tích khối nón tròn xoay: Diện tích xq hình trụ tròn xoay: Thể tích khối trụ tròn xoay: Diện tích mặt cầu: Thể tích khối nón tròn xoay: THPT QT VS.A B C SA SB SC = VS.ABC SA SB SC Sxq = πRl (R: bk đường tròn; l: đường sinh) V = Bh (diện tích đáy đường tròn) Sxq = πRl (R: bk đường tròn; l: đường sinh) V = Bh = πR h ( h: chiều cao khối trụ) S = πR (R: bk mặt cầu ) V = πR (R: bán kính mặt cầu) www.thaydo.net PHẦN II: HÌNH HỌC TRONG KHƠNG GIAN I CƠNG THỨC VECTƠ: ℵ Trong khơng gian với hệ trục Oxyz cho a = ( a1 ; a ; a3 ) b = ( b1; b ; b3 ) x A +x B +x C x G = y A +y B +yC y G = z A +z B +zC zG = k ∈ R Ta có: 1) a ± b = ( a1 ± b1; a ± b2 ; a ± b3 ) 3) a.b = a1b1 + a b2 + a b3 4) a = a12 + a 22 + a 32 2) ka = ( ka 1; ka ; ka ) 4) G trọng tâm tứ diện ABCD ⇔ GA + GB + GC + GD = 5) Tích có hướng hai vectơ a b [a, b] = ab ba a a a 1a ; b b 3 b1b a , b = a b Sin a , b 6) ; [ ] ( ) a1 = b1 7) a = b ⇔ a = b a = b 8) a phương b ⇔ a , b = 9) a ⊥ a , b hay b ⊥ a , b a , b , c đồng phẳng ⇔ a , b c = 10) 11) a ⊥b ⇔ a1b1 + a b + a b3 = [ ] [ ] [ ] ↑ Ứng dụng vectơ: [ AB, AC [ ] ] • S ∆ABC = • VHộpABCD.A B C D = AB, AD AA / • VTứdiệnABCD = / / / [ / [ ] ] x A + x B + xC + X D x G = y + y B + yC + y D ⇔ y G = A z A + z B + zC + z D z G = 5) Điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k Ta có: x A −kx B x M = 1−k y A −ky B y M = 1−k z A −kz B z M = 1−k , k ≠1 6) I trung điểm đoạn AB thì: xA + xB x I = y + yB A y I = z A + z2 z I = III MẶT PHẲNG: 1) Giả sử mp ( α ) có cặp VTCP : AB, AC AD a = ( a1 ; a ; a ) b = ( b1; b ; b3 ) II TOẠ ĐỘ ĐIỂM: Trog không gian Oxyz cho A( x A ; y A ; z A ) Nên có VTPT là: 1) AB = ( x B − x A ; y B − y A ; zB − z A ) 2) a a a 3a1 a1a ; ; n = a , b = b2 b3 b3 b1 b1b 2) Phương trình tổng quát mp ( α ) có B( x B ; y B ; z B ) − x A ) + ( y B − y A ) + ( zB − z A ) 3) G trọng tâm ∆ABC , ta có: AB = ( xB [ ] 2 THPT QT dạng: Ax + By + Cz + D = Với A + B + C ≠ ; n = ( A; B; C ) VTPT mp ( α ) 3) Phương trình mặt phẳng toạ độ: www.thaydo.net ♦ (Oxy) : z = ; (Ozy) : x = ♦ (Oxz) : y = 4) Chùm mặt phẳng:Cho hai mặt phẳng cắt nhau: ( α ) : A1 x + B1 y + C 1z + D1 = ( α ) : A2 x + B y + C z + D = P.tr chùm mp xác định ( α ) ( α ) là: λ ( A1x + B1y + C1z + D1) + µ ( A2x + B2y + C2z + D2 ) = với λ2 + µ ≠ 5) Các vấn đề viết phương trình mặt phẳng: Vấn Đề 1: Viết phương trình mặt phẳng P.Pháp: • Tìm VTPT n = ( A; B; C ) điểm qua M ( x0 ; y ; z ) • dạng: A( x − x ) + B( y − y ) + C ( z − z ) = Vấn Đề 2: Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm A, B, C P.Pháp: • Tính AB, AC [ • Mp (ABC) có VTPT n = AB, AC qua A • Kết luận Vấn Đề 3: Viết phương trình mp ( α ) qua điểm A vng góc BC P.Pháp: Mp ( α ) ⊥ BC Nên có VTPT BC qua A Chú ý: • Trục Ox chứa i = ( 1;0;0) • Trục Oy chứa j = ( 0;1;0) • Trục Oz chứa k = ( 0;0;1) Vấn Đề 4: Viết phương tình mp ( β ) mặt phẳng trung trực AB P.Pháp: ] • Mp ( β) ⊥ AB Nên có VTPT AB qua I trung điểm AB • Kết luận Vấn Đề 5: Viết phương tình mp ( β ) qua điểm M ( x ; y ; z ) song song với mặt phẳng ( α ) : Ax + By + Cz + D = P.pháp: • ( β ) //( α ) Nên phương trình ( β ) có dạng: Ax + By + Cz + D / = • M ∈ ( β) ⇒ D • Kết luận Vấn Đề 6: Viết phương trình mp (P) qua hai điểm A, B vuông góc với mp (Q) P.Pháp: • Mp (P) có cặp VTCP là: AB VTPT (Q) n Q / [ ] • Mp (P) có VTPT n = AB, n Q qua A • Kết luận Vấn Đề 7: Viết phương trình mp ( α ) qua điểm hình chiếu điểm M ( x ; y ; z ) trục toạ độ P.Pháp:* Gọi M1, M2, M3 hình chiếu điểm M Ox, Oy, Oz Thì M1(x0;0;0) , M2(0;y0;0) , M3(0;0;x0) * Phương trình mp ( α ) là: y x z + + =1 x0 y z0 Vấn Đề 8: Viết phương trình mp ( α ) qua điểm M0 vng góc với hai mặt phẳng (P) (Q) P.Pháp: • (P) có VTPT n P • (Q) có VTPT n Q • Mp ( α ) có VTPT [ n P , n Q ] qua Mo • Kết luận • ϑ Vấn Đề 9: Viết phương trình mặt phẳng tiếp diện mặt cầu (S) tiếp điểm A P.Pháp: • Xác định tâm I mặt cầu (S) • Mặt phẳng ( α ) : Mp tiếp diện có VTPT : IA • Viết phương trình tổng quát THPT QT www.thaydo.net IV ĐƯỜNG THẲNG: ϑ Phương trình đường thẳng: 1) Phương trình tổng quát đường thẳng: A1 x + B1 y + C 1z + D1 = A2 x + B y + C z + D = với A1 : B1 : C1 ≠ A2 : B2 : C2 2) Phương trình tham số đường thẳng qua điểm M ( x ; y ; z ) có VTCP a ( a1; a ; a ) là: x = x + a1t ( t ∈ R) y = y + a 2t z = z + a t 3) Phương trình tắc đường thẳng qua điểm M0 có VTCP: a ( a1; a ; a ) x − x y − y z − z0 = = Với a1 a2 a3 a12 + a 22 + a 32 ≠ Σ Qui ước: Nếu = x – x0 = ϑ Vấn Đề 1: Tìm VTCP đường thẳng tổng quát A1 x + B1 y + C 1z + D1 = ∆: A2 x + B y + C z + D = Viết phương trình tổng quát phương trình tham số Hoặc tắc Ta tìm: - VTCP u = ( a1; a ; a ) vấn đề 11 - Cho ẩn Hoặc giá trị Giải hệ tìm x, y => z - Có điểm thuộc đường thẳng - Kết luận ϑ Vấn Đề 3: Viết ptr đường thẳng ∆ qua điểm M ( x ; y ; z ) vng góc với mặt phẳng ( α ) : Ax + By + Cz + D = P.Pháp: Mp ( α ) có VTPT n = ( A; B; C ) Đường thẳng ∆ qua điểm M0 có VTCP n • Viết phương trình tắc => Ptr tổng qt ϑ Vấn Đề 4: Viết phương trình hình chiếu d mp ( α ) P.Pháp: • Gọi d/ hình chiếu d trê mp ( α ) • Gọi ( β ) mặt phẳng chứa d ( β ) ⊥( α ) • Nên ( β ) có cặp VTCP • VTCP d u d n α VTPT mặt phẳng ( α ) • • • P.Pháp: B1C1 C1 A1 A1 B1 ; ; B C C A A B 2 2 2 ϑ Vấn Đề 2: Viết phương trình đường thẳng ∆ : P.Pháp: • Cần biết VTCP a = ( a1; a ; a ) điểm M ( x ; y ; z ) ∈ ∆ • Viết phương trình tham số theo cơng thức (2) • Viết phương trình tắc theo cơng thức (3) • Viết phương trình tổng qt từ phương trình tắc , ta có phương trình tổng qt: ∆ có VTCP : a = x − x0 y − y0 = a a2 x − x = z − z0 a1 a3 • Rút gọn dạng (1) Σ Chú ý: THPT QT • Mp ( β ) có VTPT n β = [ u d , n α ] Mp ( β ) qua điểm M0 ∈ d Viết phương trình tổng quát Mp ( β) ( α ) : ( β) : Phương trình đường thẳng d/: ϑ Vấn Đề 5: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M ( x ; y ; z ) vng góc với hai đường ∆ ∆ P.Pháp: • ∆ có VTCP u1 • ∆ có VTCP u • d vng góc với ∆ ∆ Nên d có VTCP u d = [ u1 ,u ] ϑ Vấn Đề 6: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A cắt hai đường ∆ ∆ P.Pháp: • Thay toạ độ A vào phương trình ∆ ∆ ⇒ A ∉ ∆ 1, A ∉ ∆ www.thaydo.net • Gọi (P) mặt phẳng qua điểm A chứa ∆1 • Gọi (Q) mặt phẳng qua điểm A chứa ∆2 ( P ) : • P.tr đường thẳng d: ( Q ) : ϑ Vấn Đề 7: Viết phương trình đường thẳng d ⊂ ( P ) cắt hai đường ∆ ∆ P.Pháp: • Gọi A = ∆ ∩ ( P ) • Gọi B = ∆ ∩ ( P ) • Đường thẳng đường thẳng AB ϑ Vấn Đề 8: Viết phương trình đường thẳng d // d1 cắt hai đường ∆ ∆ P.Pháp • Gọi (P) mặt phẳng chứa ∆ (P) // d1 • Gọi (Q) mặt phẳng chứa ∆ (Q) // d1 • d = ( P) ∩ (Q) ( P ) : • Phương trình đường thẳng d ( Q ) : ϑ Vấn Đề 9: Viết phương trình đường vng góc chung hai đường thẳng chéo ∆ ∆ P.Pháp: • Gọi u1 u VTCP ∆ • Gọi ( β ) mặt phẳng chứa ∆ có VTCP n P ( VTPT (P) ) • Đường thẳng d = ( α ) ∩ ( β ) ϑ Vấn Đề 11: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M0 vng góc với đường thẳng ∆ cắt đường thẳng ∆ P.Pháp: • Gọi ( α ) mặt phẳng qua M0 vng góc ∆ • Gọi ( β) mặt phẳng qua điểm M0 chứa ∆ • Đường thẳng d = ( α ) ∩ ( β ) ϑ Vấn Đề 12: Viết phương trình đường thẳng d qua giao điểm đường thẳng ∆ mặt phẳng ( α ) d ⊂ ( α ) , d⊥∆ P.Pháp: Gọi { A} = ∆ ∩ ( α ) Gọi ( β) mặt phẳng qua A vng góc với ∆ Nên ( β ) có VTPT VTCP ∆ Đường thẳng d = ( α ) ∩ ( β ) V MẶT CẦU: Phương trình mặt cầu (S) có tâm I (a;b;c) bán kính R là: (x-a)2 + (y-b)2 + (z-c)2 = R2 Mặt cầu (S) có phươngtrình : x2 + y2 + z2 2ax - 2by -2cz + d = với đk a2 + b2 + c2 –d > ∆2 • Gọi v = [ u1 ,u ] (S) có : Tâm I(a ; b ; c) • Gọi (P) mặt phẳng chứa ∆ có Bán kính R = a + b + c − d VTCP v Nên có VTPT n P = [ u1 , v ] ⇒ ϑ Vấn Đề 1: Viết phương trình mặt cầu phương trình mặt phẳng (P) P.Pháp: Cần: • Gọi (Q) mặt phẳng chứa ∆ có • Xác định tâm I(a ; b ; c) mặt cầu • Bán kính R VTCP v Nên có VTPT n Q = [ u , v ] • Viết phương trình mặt cầu ⇒ phương trình mặt phẳng (Q) (x-a) + (y-b)2 + (z-c)2 = R2 • Phương trình đường vng góc chung ϑ Vấn Đề 2: Viết phương trình mặt cầu ( P ) : đường kính AB ∆ ∆ : P.Pháp: ( Q ) : • Gọi I trung điểm AB Tính toạ ϑ Vấn Đề 10: Viết phương trình đường độ I => I tâm mặt cầu thẳng d vng góc (P) cắt hai đường thẳng ∆ ∆ • Bán kính R = AB P.Pháp: ( α ) • Gọi mặt phẳng chứa • Viết phương trình mặt cầu ∆ có VTCP n P ( VTPT (P) ) THPT QT www.thaydo.net