KHỐI ĐA DIỆN − THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN A. ÔN TẬP KIẾN THỨC I . LÝ THUYẾT 1. Vẽ các hình chóp thoả mãn yêu cầu sau a) Hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, SA vuông góc với đáy b) Hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều, SA vuông góc với đáy c) Hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, SA vuông góc với đáy d) Hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, SA vuông góc với đáy e) Hình chóp S.ABCD có đáy là thang vuông tại A,D và đáy lớn AB, SA vuông góc với đáy f) Hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ g) Hình lăng trụ ABC.A’B’C’ biết hình chiếu vuông góc của A lên mp(A’B’C’) trùng với trung điểm của cạnh B’C’ và đáy của lăng trụ là tam giác đều 2. Phương pháp chứng minh đường thẳng vuông góc với mp C1 : Dùng định lý: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng khi nó vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng C2 : Dùng hệ quả: Cho hai đường thẳng // nếu đường thẳng này vuông góc với mặt phẳng thì đường thẳng kia cũng vuông góc với mặt phẳng C3 : Dùng hệ quả: Cho hai mặt phẳng vuông góc theo giao tuyến b, nếu đường thẳng a nằm trong mẵt phẳng này vuông góc với giao tuyến b thì đường thẳng a cũng vuông góc với mặt phẳng kia C4 : Dùng hệ quả: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của hai mặt phẳng này cũng vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó Lưu ý hs yếu các kiến thức thường gặp: - Tam giác ABC cân ở đỉnh A thì đường trung tuyến kẻ từ A cũng là đường cao - Tam giác đều thì mọi đường trung tuyến đều là đường cao - Hình thoi, hình vuông có 2 đường chéo vuông góc với nhau Trang số 1 c a b P , cắt nhau , , P b a // , Q P b a ( ) ( ) ( ) ( ), P Q b a P a Q a b ∩ = ⇒ ⊥ ⊂ ⊥ P ( β ) ( α ) ∆ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),( ) ( ) P P P α β α β ∩ = ∆ ⇒ ∆ ⊥ ⊥ ⊥ 3. Phương pháp chứng minh mặt phẳng vuông góc mặt phẳng . C1 : Chứng minh góc giữa chúng là một vuông. C2 : Dùng hệ quả:Cho hai mặt phẳng vuông góc với nhau nếu có một đường thẳng nằm trong mặt phẳng này vuông góc với mặt phẳng kia. 4. Cách xác định góc 1. Góc của hai đường thẳng 2. Góc của hai mặt phẳng 3. Góc của đường thẳng và mặt phẳng > Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó trên mặt phẳng > Dùng công thức: OA Ad d ),( ),sin( α α = ∧ Trang số 2 Chọn điểm O tuỳ ý. Dựng qua O : a’ // a; b’ // b . Góc (a,b) = góc (a’,b’) = Thường chọn điểm O a hoặc O b b' a' B A O b a α = Chọn điểm O thuộc giao tuyến của và . Dựng qua O : và Góc = Góc = Chú ý: * * Nếu thi chọn góc β α B O A ϕ ∆ B O A ϕ a α Chọn điểm A thuộc đường thẳng a. Dựng qua tại B. Dựng giao điểm O của a và nếu chưa có. ( OB là hình chiếu của a trên mặt phẳng ()) Khi đó: Góc = Góc = . ϕ y x β α ∆ O , , Khi đó: góc góc β α a ( ) ( ) ( ) ( ) a a β α β α ⊂ ⇒ ⊥ ⊥ HÌNH VẼ MỘT SỐ HÌNH CHÓP ĐẶT BIỆT 1. Hình choùp tam giaùc ñeàu > Hình chóp tam giác đều: ∗ Đáy là tam giác đều ∗ Các mặt bên là những tam giác cân > Đặc biệt: Hình tứ diện đều có: ∗ Đáy là tam giác đều ∗ Các mặt bên là những tam giác đều > Cách vẽ: ∗ Vẽ đáy ABC ∗ Vẽ trung tuyến AI ∗ Dựng trọng tâm H ∗ Vẽ SH ⊥ (ABC) • Ta có: ∗ SH là chiều cao của hình chóp ∗ Góc giữa cạnh bên và mặt đáy là: · SAH α = . ∗ Góc mặt bên và mặt đáy là: · SIH β = 2.Hình chóp tứ giác đều > Hình chóp tứ giác đều: ∗ Đáy là hình vuông ∗ Các mặt bên là những tam giác cân > Cách vẽ: ∗ Vẽ đáy ABCD ∗ Dựng giao điểm H của hai đường chéo AC & BD ∗ Vẽ SH ⊥ (ABCD) • Ta có: ∗ SH là chiều cao của hình chóp ∗ Góc giữa cạnh bên và mặt đáy là: · SAH α = . ∗ Góc mặt bên và mặt đáy là: · SIH β = 3. Hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy . *** Chú ý: a/ Đường chéo của hình vuông cạnh a là d = a 2 , Đường chéo của hình lập phương cạnh a là d = a 3 , Trang số 3 h β α I C A H S B β α I H D A B C S β α A C B S SA (ABC) Góc giữa cạnh bên SB và mặt đáy là: Góc giữa cạnh bên SC và mặt đáy là: ϕ β α D A B C S SA (ABCD) Góc giữa cạnh bên SB và mặt đáy là: Góc giữa cạnh bên SC và mặt đáy là: Góc giữa cạnh bên SD và mặt đáy là: Đường chéo của hình hộp chữ nhật có 3 kích thước a, b, c là d = 2 2 2 a b c + + , b/ Đường cao của tam giác đều cạnh a là h = 3 2 a c/ Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và các cạnh bên đều bằng nhau ( hoặc có đáy là đa giác đều, hình chiếu của đỉnh trùng với tâm của đáy). d/ Lăng trụ đều là lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều. II. BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi. Các tam giác SAC và tam giác SBD cân tại S. Gọi O là tâm hình thoi a) CM SO ⊥ (ABCD) b) CM (SAC) ⊥ (SBD) Bài 2 Hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vng cân tại B. SA ⊥ đáy a) CM: (SAB) ⊥ (SBC) b) Gọi M là trung điểm AC. CM (SAC) ⊥ (SBM) Bài 3 Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm O trên mp(ABC). Chứng minh rằng: a) BC ⊥ (OAH). b) H là trực tâm của tam giác ABC. c) 2 2 2 2 1 1 1 1 OH OA OB OC = + + . Bài 4 Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a, cạnh SA vng góc với mặt đáy, biết góc · 0 BAC 120= . Tính diện tích tam giác ABC và độ dài cạnh SA. Bài 5 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vng tại A, AC = a, · 0 ACB 60= . Đường chéo BC’ của mặt bên BB’C’C tạo với mp(AA’C’C) một góc 30 0 . a) Tính độ dài AC’ b) Tính góc giữa hai mp (ABC’) và (ABC) III. TRỤC CỦA TAM GIÁC 1. Tập hợp các điểm cách đều ba đỉnh của tam giác ABC là đường thẳng vng góc với mp(ABC) và đi qua tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Đường thẳng đó được gọi là trục của tam giác ABC B. HÌNH ĐA DIỆN − KHỐI ĐA DIỆN 1. Hình đa diện Hình đa diện ( đa diện) là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác thoả mãn hai tính chất a) Hai đa giác phân biệt chỉ có thể hoặc khơng có điểm chung, họ8c chỉ có một đỉnh chung, hoặc chỉ có một cạnh chung b) Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai đa giác 2. Khối đa diện Khối đa diện là phần khơng gian được giới hạn bởi một hình đa diện, kể cả hình đa diện đó. 3. Khối đa diện lồi Là khối đa diện (H) được gọi là khối đa diện lồi nếu đoạn thẳng nối hai điểm bất kì thuộc (H) ln thuộc (H). 4. Khối đa diện đều Là khối đa diện lồi có tính chất sau : a) Mỗi mặt của nó là một đa giác đều p cạnh b) Mỗi đỉnh của nó là đỉnh chung của đúng q mặt Tên gọi là khối đa diện đều loại {p ; q} Trang số 4 5. Thể tích của khối đa diện a) KHỐI LẬP PHƯƠNG CẠNH a b) KHỐI HỘP CHỮ NHẬT (có ba kích thước là a,b,c) c) KHỐI LĂNG TRỤ d) KHỐI CHÓP Chú ý : Trong các bài toán ta thường sử dụng kết quả :Cho khối chóp S.ABC,trên các đoạn thẳng SA,SB,SC lần lượt lấy ba điểm A’,B’,C’ khác S.Khi đó : S.A 'B'C ' S.ABC V SA' SB' SC' . . V SA SB SC = . Trang số 5 V = a 3 . V = a.b.c V = B.h (B : diệt tích đáy; h : chiều cao) V = B.h (B : diệt tích đáy; h : chiều cao) 6. CÁC CÔNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH CỦA MỘT SỐ ĐA GIÁC THƯỜNG GẶP 1. DIỆN TÍCH TAM GIÁC a) ( ) ( ) ( ) S p p a p b p c= − − − (a,b,c độ dài ba cạnh, a b c p 2 + + = : nửa chu vi ) b) S = p.r (r : bán kính đường tròn nội tiếp tam giác) c) S = abc 4R (R : bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác) d) S = 1 2 absinC = 1 2 acsinB = 1 2 bcsinA e) S = 1 2 ah a = 1 2 bh b = 1 2 ch c 2. DIỆN TÍCH HÌNH VUÔNG (cạnh a) S = a 2 3. DIỆN TÍCH HÌNH THOI S = 1 2 ab (a, b : độ dài hai đường chéo) 4. DIỆN TÍCH HÌNH CHỮ NHẬT S = a.b (a,b là hai kích thước) 5. DIỆN TÍCH HÌNH THANG S = ( ) 1 a b h 2 + (a : độ dài đáy lớn ; b : độ dài đáy nhỏ ; h chiều cao) Bài 1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SB = a 3 . Hãy tính thể tích của khối chóp S.ABCD Bài 2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là ình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD), cạnh SC tạo với đáy một góc 30 0 . Tính thể tích của khối chóp S.ABCD Bài 3 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, SA ⊥ (ABC), AC = 2a, SB tạo với đáy một góc 45 0 . Tính thể tích của khối chóp Bài 4 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc với đáy. Gọi M là trung điểm của cạnh BC, góc giữa SM và mp(ABC) là 60 0 . Tính thể tích của khối chóp Bài 5 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, cạnh góc vuông bằng a. Mặt bên (SBC) là tam giác đều vuông góc với đáy. Tính thể tích của khối chóp Bài 6 Cho hình thang ABCD vuông tại A và D, AD = AB = a, CD = 2a. SD ⊥ (ABCD), SB tạo với đáy một góc 45 0 . Tính thể tích của khối chóp Bài 7 Cho lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy là tứ giác đều cạnh a biết rằng BD' a 6= . Tính thể tích của lăng trụ. Bài 8 Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của A’ lên mp(ABC) trùng với trọng tâm G của ∆ABC, cạnh bên AA’ tạo với đáy ABC một góc 60 0 . Tính thể tích của khối lăng trụ Bài 9 Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại A với AC = a , ¼ ACB = 60 o biết BC' hợp với (AA'C'C) một góc 30 0 .Tính AC' và thể tích lăng trụ. Trang số 6 [...]... giây D 17 150 Một hình chữ nhật có chiều dài 12 cm, chiều rộng 8 cm Hỏi một hình vuông có cùng chu vi với hình chữ nhật đó thì có diện tích là bao nhiêu? A 40 cm2 B 160 cm2 C 96 cm2 D 100 cm2 Cõu 142 Số gồm có năm vạn tám nghìn hai chục và sáu đơn vị đợc viết là: A 58 260 B 58 206 C 508 026 D 58 026 2 2 2 Cõu 143 1 km 265m = m S thớch hp in vo ụ trng l: A 1000265 B 10265 C 100265 D 126 5 Cõu 144 Để... C 1 6 D 6 6 Trung bỡnh cng ca 4 s l 14, bit trung bỡnh cng ca 3 s trong 4 s l 15 Tỡm s cũn li A 15 B 13 C 11 D 12 Cõu 150 Trung bỡnh s o chiu cao ca 3 bn nam v 4 bn n l 140cm Chiu cao ca ban nam th t l 124 cm Hi trung bỡnh s o chiu cao ca 4 bn nam v 4 bn n ú l bao nhiờu? A 128 cm B 140cm C 124 cm D 138cm Cõu 151 S ln nht trong cỏc s 876459; 867459; 867549; 876549 l: A 876549 B 867459 C 867549 D 876459... s B 12 s C 24 s D 10 s A 33 B 36 C 163 D 243 Cõu 156 Bit: A = 345 678 - a ; B = 345 768 - a Hóy so sỏnh A v B: A A > B B Khụng th so sỏnh c C B > A D A = B Cõu 153 Cõu 157 Hỡnh trờn cú s on thng l: A 16 on B 13 on C 15 on Cõu 158 Số còn thiếu trong dãy : 1 , 4 , 10 , 22 , là: A 46 B 36 C 44 Cõu 159 Bn gi bng mt phn my ca mt ngy? A 1 ngy 12 B 1 ngy 4 C 1 ngy 6 D 18 on D 32 D 1 ngy 3 Chu vi một hình. .. thớch hp vit vo ch chm l: A 16 B 7 C 11 D 8 Cõu 173 1 Cõu 174 Hiu ca 5 v 4 l: 19 4 B 4 5 C 4 4 1 5 11 4 2 Cõu 176 Trong cỏc phõn s ; ; ; phõn s gn bng nht l: 2 6 2 5 3 11 5 1 A B C 12 6 2 A Cõu 177 S A 9060 Cõu 178 S A 126 5 D 21 4 D 4 5 thớch hp vit vo ch chm ca 9 tn 6 yn = l: B 9006 C 960 D 96 2 2 thớch hp vit vo ch chm ca 1km 265m = .m2 l: B 1000265 C 10265 D 100265 ... hỡnh tam giỏc v t giỏc l: A 6 tam giỏc, 5 t giỏc C 7 tam giỏc, 7 t giỏc Cõu 165 A A 7 tam giỏc, 5 t giỏc 7 tam giỏc, 6 t giỏc C 3 4 1 Kết quả của phép tính 1 - 4 là: 5 4 Cõu 166 B D B 2 4 D 4 4 D 2 3 12 Rỳt gn phõn s 18 , ta c phõn s no sau õy: 3 6 B 4 6 C 4 9 Cõu 167 S bộ nht trong cỏc s 145372; 145732; 145723; 145327 l: A 145723 B 145327 C 145372 D 145732 Cõu 168 Hỡnh di õy cú bao nhiờu hỡnh tam . THUYẾT 1. Vẽ các hình chóp thoả mãn yêu cầu sau a) Hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, SA vuông góc với đáy b) Hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều, SA vuông góc với đáy c) Hình chóp S.ABC. OB là hình chiếu của a trên mặt phẳng ()) Khi đó: Góc = Góc = . ϕ y x β α ∆ O , , Khi đó: góc góc β α a ( ) ( ) ( ) ( ) a a β α β α ⊂ ⇒ ⊥ ⊥ HÌNH VẼ MỘT SỐ HÌNH CHÓP ĐẶT BIỆT 1. Hình. chiều cao của hình chóp ∗ Góc giữa cạnh bên và mặt đáy là: · SAH α = . ∗ Góc mặt bên và mặt đáy là: · SIH β = 2 .Hình chóp tứ giác đều > Hình chóp tứ giác đều: ∗ Đáy là hình vuông