Hình đa diện ( đa diện) l à hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác thoả m ãn hai tính ch ất a) Hai đa giác phân biệt chỉ có thể hoặc không có điểm chung, họ8c chỉ có một đỉnh ch[r]
(1)KH
ỐI ĐA DIỆN
TH
Ể TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
A ÔN T
ẬP KIẾN THỨC
I LÝ THUYẾT
1 V
ẽ h
ình chóp tho
ả m
ãn u c
ầu sau
a) Hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành, SA vng góc với đáy b) Hình chóp S.ABC có đáy tam giác đều, SA vng góc với đáy
c) Hình chóp S.ABC có đáy tam giác vng A, SA vng góc với đáy d) Hình chóp S.ABC có đáy tam giác vng B, SA vng góc với đáy
e) Hình chóp S.ABCD có đáy thang vuông A,D đáy lớn AB, SA vng góc với đáy f) Hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’
g) Hình lăng trụ ABC.A’B’C’ biết hình chiếu vng góc A lên mp(A’B’C’) trùng với trung điểm cạnh B’C’ đáy lăng trụ tam giác
2 Phương pháp chứng minh đường thẳng vuông góc với mp
C1 : Dùng định lý: Đường thẳng vng góc với mặt phẳng vng góc với hai đường thẳng cắt nằm mặt phẳng
C2 : Dùng hệ quả: Cho hai đường thẳng // đường thẳng vng góc với mặt phẳng đường thẳng vng góc với mặt phẳng
C3 : Dùng hệ quả: Cho hai mặt phẳng vng góc theo giao tuyến b, đường thẳng a nằm mẵt phẳng vng góc với giao tuyến b đường thẳng a vng góc với mặt phẳng
C4 : Dùng hệ quả: Nếu hai mặt phẳng cắt vuông góc với mặt phẳng thứ ba giao tuyến hai mặt phẳng vng góc với mặt phẳng thứ ba
Lưu ý hs yếu kiến thức thường gặp:-
Tam giác ABC cân ởđỉnh A đường trung tuyến kẻ từ A đường cao-
Tam giác mọiđường trung tuyếnđều đường cao-
Hình thoi, hình vng có đường chéo vng góc với ca
b
P
b, c cắt , b c, ( )P , a b a, c a ( )P
P
b a
a// b, b( )P a( )P
Q
P
b
a ( ) ( )
( ) ( ),
P Q b
a P
a Q a b
P
() ()
( ) ( )
( ) ( ) ( ),( )P ( )P P
(2)3 Phương pháp chứng minh mặt phẳng vng góc mặt phẳng
C1 : Chứng minh góc chúng vuông
C2 : Dùng hệ quả:Cho hai mặt phẳng vng góc với có đường thẳng nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng
4
Cách xác định góc
Góc hai đường thẳng
Góc hai mặt phẳng
Góc đường thẳng mặt phẳng
Góc đường thẳng mặt phẳng góc đường thẳng hình chiếu mặt phẳng
Dùng công thức:
OA A d
d, ) ( , )
sin(
Chọn điểm O tuỳ ý
Dựng qua O : a’ // a; b’ // b Góc (a,b) = góc (a’,b’) =AOB Thường chọn điểm O a O
b b' a' B A O b a
= ( ; )a b
Chọn điểm O thuộc giao tuyến
Dựng qua O : OA ( )
OA
OB ( )
OB
Góc ( , ) = Góc (OA OB, ) = AOB
Chú ý: * 0 90o
* Nếu 90o thi chọn góc ( ; ) 180 o
B O A
B O A a Chọn điểm A thuộc đường thẳng a
Dựng qua AB ( ) B
Dựng giao điểm O a và chưa có ( OB hình chiếu a mặt phẳng ()) Khi đó: Góc( ;( ))a = Góc(OA OB, ) =
y x O
( ) ( ) , Ox ( ), Ox , Oy ( ), Oy Khi đó:
góc (( );( )) góc (Ox Oy; )xOy : 0 90o ( ) ( ) 90o
(3)HÌNH VẼ MỘT SỐ HÌNH CHĨP ĐẶT BIỆT
1 Hình chóp tam giác
Hình chóp tam giác đều: Đáy tam giác
Các mặt bên tam giác cân Đặc biệt: Hình tứ diện đều có: Đáy tam giác
Các mặt bên tam giác
Cách vẽ:
Vẽ đáy ABC Vẽ trung tuyến AI Dựng trọng tâm H Vẽ SH (ABC) Ta có:
SH chiều cao hình chóp
Góc cạnh bên mặt đáy là: SAH Góc mặt bên mặt đáy là: SIH
2.Hình chóp tứ giác
Hìnhchóp tứ giác đều: Đáy hình vng
Các mặt bên tam giác cân Cách vẽ:
Vẽ đáy ABCD
Dựng giao điểm H hai đường chéo AC & BD Vẽ SH (ABCD)
Ta có:
SH chiều cao hình chóp
Góc cạnh bên mặt đáy là: SAH Góc mặt bên mặt đáy là: SIH
3 Hình chóp có cạnh bên vng góc với đáy
h
I
C A
H S
B
H I
D A
B C
S
A C
B S
SA (ABC) Góc cạnh bên SB mặt đáy là: SBA Góc cạnh bên SC mặt đáy là: SCA
D A
B C
S
(4)b/ Đường cao tam giác cạnh a h =
3
2
a
c/ Hình chóp hình chóp có đáy đa giác cạnh bên ( có đáy đa giác đều, hình chiếu đỉnh trùng với tâm đáy) d/ Lăng trụ lăng trụ đứng có đáy đa giác
II BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi Các tam giác SAC tam giác SBD cân S Gọi O tâm hình thoi a) CM SO (ABCD)
b) CM (SAC) (SBD)
Bài 2 Hình chóp S.ABC có đáy tam giác ABC vuông cân B SA đáy a) CM: (SAB) (SBC)
b) Gọi M trung điểm AC CM (SAC) (SBM)
Bài 3 Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc với Gọi H hình chiếu vng góc
điểm O mp(ABC) Chứng minh rằng: a) BC (OAH)
b) H trực tâm tam giác ABC c)
2 2
1 1
OH OA OB OC
Bài 4 Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC tam giác cạnh a, cạnh SA vng góc với mặt đáy, biết góc
BAC 120
Tính diện tích tam giác ABC độ dài cạnh SABài 5 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông A, AC = a,
ACB
60
Đườngchéo BC’ mặt bên BB’C’C tạo với mp(AA’C’C) góc 300 a) Tính độ dài AC’
b) Tính góc hai mp (ABC’) (ABC)
III TRỤC CỦA TAM GIÁC
1 Tập hợp điểm cách ba đỉnh tam giác ABC đường thẳng vng góc với mp(ABC) qua tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Đường thẳng gọi trục tam giác ABC
B HÌNH
ĐA DIỆN
KH
ỐI ĐA DIỆN
1 Hình đa diệnHình đa diện ( đa diện) hình tạo số hữu hạn đa giác thoả mãn hai tính chất a) Hai đa giác phân biệt khơng có điểm chung, họ8c có đỉnh chung, có cạnh chung
b) Mỗi cạnh đa giác cạnh chung hai đa giác 2 Khối đa diện
Khối đa diện phần khơng gian giới hạn hình đa diện, kể hình đa diện 3 Khối đa diện lồi
Là khối đa diện (H) gọi khối đa diện lồi đoạn thẳng nối hai điểm thuộc (H) ln thuộc (H)
4 Khối đa diện
Là khối đa diện lồi có tính chất sau :
(5)5 Thể tích khối đa diện
a) KH
ỐI LẬP PHƯƠNG CẠNH a
b) KH
ỐI HỘP CHỮ NHẬT
(có ba kích thước a,b,c)c) KH
ỐI LĂNG TRỤ
d) KH
ỐI CHÓP
Chú ý :
V = a
3.
V = a.b.c
V = B.h
(B : diệt tích đáy; h : chiều cao)V =
1
(6)6 CÁC CƠNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH CỦA MỘT SỐ ĐA GIÁC THƯỜNG GẶP 1 DIỆN TÍCH TAM GIÁC
a)
S
p p a
p
b p c
(a,b,c độ dài ba cạnh,p
a
b
c
2
: nửa chu vi )b) S = p.r (r : bán kính đường trịn nội tiếp tam giác)
c) S =
abc
4R
(R : bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác)d) S =
1
2
absinC =1
2
acsinB =1
2
bcsinAe) S =
1
2
aha =1
2
bhb =1
2
chc2 DIỆN TÍCH HÌNH VNG (cạnh a) S = a2
3 DIỆN TÍCH HÌNH THOI S =
1
2
ab (a, b : độ dài hai đường chéo)4 DIỆN TÍCH HÌNH CHỮ NHẬT S = a.b (a,b hai kích thước) 5 DIỆN TÍCH HÌNH THANG
S =
1
a
b h
2
(a : độ dài đáy lớn ; b : độ dài đáy nhỏ ; h chiều cao)Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a SA vng góc với mặt phẳng (ABCD) SB =
a 3
Hãy tính thể tích khối chóp S.ABCDBài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD ình vng cạnh a, SA (ABCD), cạnh SC tạo với đáy góc 300 Tính thể tích khối chóp S.ABCD
Bài Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B, SA (ABC), AC = 2a, SB tạo với đáy góc 450 Tính thể tích khối chóp
Bài Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, SA vng góc với đáy Gọi M trung điểm cạnh BC, góc SM mp(ABC) 600 Tính thể tích khối chóp
Bài Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng cân A, cạnh góc vng a Mặt bên (SBC) tam giác vng góc với đáy Tính thể tích khối chóp
Bài Cho hình thang ABCD vng tại A D, AD = AB = a, CD = 2a SD (ABCD), SB tạo với đáy góc 450 Tính thể tích khối chóp
Bài Cho lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy tứ giác cạnh a biết
BD' a 6
Tính thể tích lăng trụBài Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác cạnh a, hình chiếu vng góc A’ lên mp(ABC) trùng với trọng tâm G ABC, cạnh bên AA’ tạo với đáy ABC góc 600 Tính thể tích khối lăng trụ