Luyện Kiểm tra hình học đề 1 Bài 1: Cho hình chóp đều S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a; cạnh bên SA tạo với đáy một góc 30 0 . a) Tính diện tích xung quanh của hình chóp . b) Tính thể tích khối chóp S.ABC? Giải :a) Gọi H là hình chiếu của S lên mp(ABC) Vì S.ABC là hình chóp đều => H là trực tâm tam giác ABC SH mp(ABC) + AH = 2 3 đường cao = 2 3 a 3 2 = a 3 3 Hình chiếu của SA lên mp (ABC) là HA => góc tạo bởi cạnh bên SA và đáy là góc tạo bởi SA và HA là góc SAH =30 0 => SH = AH.tan SAH = a 3 3 . 1 3 = a 3 HM= a 3 6 => SM= 2 2 SH HM = a 7 6 ; a) Diện tích xung quanh : S xq = 3.S SBC =3. 1 2 SM.BC= 3 2 . a 7 6 .a= 2 a 7 4 b) Thể tích hình chóp : + Diện tích đáy S đáy = 2 a 3 4 + Thể tích hình chóp : V h/chóp = 1 3 SH.S đáy = 1 3 . a 3 . 2 a 3 4 = 3 a 3 36 Bài 2: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có ABC là tam giác vuông tại B , AB=a; AC= a 3 , mặt phẳng (AB’C’) tạo với đáy một góc 45 0 . a) Chứng minh : BC AB’ b) Tính thể tích của lăng trụ trên ? c) Gọi I là trung điểm AC’ . Chứng minh : I cách đều 6 điểm A,B,C,A’,B’,C’ Giải: : a) BC AB’ Ta có : BC AB , BC BB' => BC mp(ABB'A') Mà AB' (ABB'A') . Do đó BC AB' b) Thể tích lăng trụ : +BC= 2 2 AC AB =a 2 C B A S 30 0 a H M + Diện tích đáy : S đáy = 1 2 a.a 2 = 2 a 2 2 Ta có B’C’ A’C’ ; B’C’ AA’ => B’C’ AB’ + Góc tạo bởi (AB’C’) và đáy (A’B’C’) là góc tạo bởi AB’ và A’B’ hay AB A =45 0 => AA’ = A’B’ = a Thể tích khối lăng trụ : V= h. S đáy = a 2 a 2 2 = 3 a 2 2 c) Chứng minh : I cách đều 6 điểm A,B,C,A’,B’,C’ + Ta có ACC'A' là hình chữ nhật => IA=IC=IA'=IC' (1) + tam giác AB'C' vuông tại B' , có IB' là trung tuyến => IB'=IA=IC' (2) Theo chứng minh trên : BC (ABB'A') => BC A'B Tam giác A'BC vuông tại B , có IB là trung tuyến => IB=IA'=IC (3) Từ (1) , (2) , (3) suy ra : IA=IB=IC=IA'=B'=IC' Hay I cách đều 6 đỉnh của lăng trụ Luyện Kiểm tra hình học đề 2 Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có SB(ABCD), đáy ABCD là hình thoi cạnh a; BAC = 60 0 và SA=a 5 . a) Chứng minh AC SD b) Tính thể tích khối chóp S.ABCD ? Giải : a) Chứng minh AC SD Ta có : AC BD ( t/c hình thoi AC SB ( vì SB (ABCD) => AC SD ( đpcm) b)thể tích khối chóp S.ABCD Vì BAC =60 0 và ABCD là hình thoi Suy ra ABC là tam giác đều ; cạnh AC =a BD = 2 đường cao tam giác ABD => BD = a 3 + Diện tích đáy S đáy = 1 2 BD.AC = 2 a 3 2 SB= 2 2 SA AB = 2 2 5a a =2a C B A C’ B’ A’ 2a a 45 0 a 3 I A B D C 6 0 0 A B D S C a 5 60 0 + Thể tích hình chóp: V S.ABCD = 1 3 SB.S đáy = 1 3 .2a. 2 a 3 2 = 3 a 3 3 Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, SA mp (ABC),BC=2a, AB=a;SA =3a a) Tính thể tích hình chóp S.ABC b) Tính khoảng cách từ A đến mp (SBC) c) Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của A lên các cạnh SB,SC và I là trung điểm của BC . Chứng minh rằng I cách đều 5 điểm A,B,C,M,N Giải : a)thể tích hình chóp S.ABC + AC= 2 2 BC AB =a 3 + Diện tích đáy S đáy = 1 2 AB.AC = 1 2 .a.a 3 = 2 a 3 2 + Thể tích hình chóp : V h/chóp = 1 3 SA.S đáy = 1 3 3a. 2 a 3 2 = 3 a 3 2 b) khoảng cách từ A đến mp (SBC) Cách 1: Trong tam giác ABC kẻ đường cao AK Trong tam giác SAK , kẻ đường cao AH . Ta sẽ chứng minh AH (SBC) BC AK , BC SA => BC SAK) , AH (SAK) => BC AH Theo cách dựng SK AH Suy ra (SBC) AH hay d(A;(SBC)) =AH + AK = AB.AC BC = a.a 3 2a = a 3 2 ; SK = 2 2 SA AK = 2 2 3a 9a 4 = a 39 2 AH= SA.AK SK = a 3 3a. 2 a 39 2 = 3a 13 Cách 2: V S.ABC =V A.SBC = 1 3 d(A;(SBC)).S SBC => d(A;(SBC))= S.ABC SBC 3V S + SB= 2 2 SA AB =a 10 ; SC= 2 2 SA AC =2a 3 , BC=2a cos SBC = 2 2 2 SB BC SC 2.SB.BC = 2 2 2 10a 4a 12a 2.a 10.2a = 1 2 10 ; Sin SBC = 2 1 cos SBC = 39 2 10 ; A B C S a K 3 a H 2 a M N I * S SBC = 1 2 SB.BC.sin SBC = 1 2 a 10 .2a. 39 2 10 = 2 a 39 2 d(A;(SBC))= S.ABC SBC 3V S = 3 2 a 3 3. 2 a 39 2 = 3a 13 c) Chứng minh rằng I cách đều 5 điểm A,B,C,M,N + ABC vuông tại A , có AI là trung tuyến => IA=IB=IC (1) AC AB , AC SA => AC SB Mặt khác AM SB Suy ra : (ACM) SB , CM (ACM) => SB CM Tam giác BMC vuông tại M có IM là trung tuyến => IM =IB=IC (2) AB AC , AB SA => AB SC Mặt khác AN SC Suy ra : (ABN) SC , BN (ABN) => SC BN Tam giác BNC vuông tại N có IN là trung tuyến => IN =IB=IC (3) Từ (1) , (2) , (3) suy ra : IA=IB=IC=IM=IN Hay I cách đều 5 điểm A,B,C,M,N . AB =a 10 ; SC= 2 2 SA AC =2a 3 , BC=2a cos SBC = 2 2 2 SB BC SC 2.SB.BC = 2 2 2 10a 4a 12a 2.a 10.2a = 1 2 10 ; Sin SBC = 2 1 cos SBC = 39 2 10 ; A B C S a K 3 a