VẼ THÊM HÌNH PHỤ LÀ TAM GIÁC ĐỀU (Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 7;8);Có nhiều bài toán nếu khéo léo vẽ thêm hình phụ một cách phù hợp thì sẽ cho ta một lời giải ngắn gọn. Trong chuyên đề này tôi trình bày cách hướng dẫn học sinh vẽ thêm hình phụ là tam giác đều để giải toán;
Trang 1VẼ THấM HèNH PHỤ LÀ TAM GIÁC ĐỀU
Cao Quốc Cờng ( GV THCS Vĩnh Tờng- Vĩnh Phúc)
Vẽ thêm hình phụ là tam giác đều giúp ta giải các bài toán về tính số đo góc một cách ngắn gọn Trong bài viết này tôi muốn trao đổi với các bạn phơng pháp vẽ thêm hình phụ
là tam giác đều để giải các bài toán về tính số đo góc.
Bài 1: Cho tam giaực ABC caõn ủổnh A coự goực A = 40 0 Treõn nửỷa maởt phaỳng bụứ BC khoõng chửựa ủieồm A, veừ tia Bx sao cho CBxã = 10 0
Treõn tia Bx laỏy ủieồm D sao cho BD = BA Tớnh soỏ ủo goực ãBDC .
* Hửụựng giaỷi quyeỏt:
Tam giaực ABC caõn tại A coự goực ụỷ ủổnh baống 400 => soỏ ủo goực ụỷ ủaựy baống 700
Maứ 700 – 100 = 600 chớnh laứ soỏ ủo moói goực cuỷa tam giaực ủeàu Giuựp ta nghú tụựi veừ hỡnh phuù tam giaực ủeàu
* Lụứi giaỷi:
Caựch 1: ∆ABC caõn taùi A coự àA= 40 0=> B Cà = = à 70 0
Treõn nửỷa maởt phaỳng coự bụứ laứ ủửụứng thaỳng AB,
chửựa ủieồm C Veừ tam giaực ủeàu ABE
Khi ủoự: CBE CBA ABEã = ã − ã = 70 0 − 60 0 = 10 0;
AB = AC = BD = BE = AE
Tam giaực ACE caõn taùi A (vỡ AC = AE) Do ủoự:
ã (180 0 20 ) : 2 80 0 0
AEC= − = => ãBEC= ãAEC AEB− ã = 80 0 − 60 0 = 20 0
∆CBE vaứ ∆CBD coự: CD chung; CBE CBDã = ã = 10 0; BE = BD
Vaọy ∆CBE = ∆CBD (c.g.c) => ãBDC BEC= ã = 20 0
Caựch 2:
Treõn nửỷa maởt phaỳng coự bụứ laứ ủửụứng thaỳng AC,
chửựa ủieồm B Veừ tam giaực ủeàu ACM
(Bạn đọc tự giải)
E
x D
10 0
40 0
C B
A
M
x D
10 0
40 0
C B
A
Trang 2Cách 3 : ∆ABC cân tại A có µA= 40 0=> B Cµ = = µ 70 0
Trên nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng BC,
chứa điểm A Vẽ tam giác đều BCE
Khi đó: EBA ABC EBC· = · − · = 70 0 − 60 0 = 10 0
∆EAB và ∆CDB có:
AB = DB
EBA CBD· = · = 10 0 => ∆EAB = ∆CDB (c.g.c)
EB = BC
=> EAB BDC· = ·
∆EAB và ∆EAC có: EA chung; EB = EC; AB = AC
=> ∆EAB = ∆EAC (c.c.c) => EAB EAC· = ·
* Nhận xét:
- Ở cách 1 và cách 2, vẽ thêm tam giác đều có cạnh bằng một trong hai cạnh bên
của tam giác cân ABC, tạo ra CBE CBD· = · = 10 0(cách 1) hoặc ·BCM =CBD· = 10 0(cách 2) Từ đó dễ dàng liên hệ góc ·BDC cần tính với các góc có thể tính được số đo:
· ;·
- Ở cách thứ 3, ta vẽ tam giác đều dựa trên cạnh BC, tạo ra ·EBA CBD= · = 10 0 và các cạnh BE = BC = CE Từ đó dễ dàng liên hệ góc ·BDC cần tính với các góc có thể tính được số đo: EAB EAC· ;· thông qua việc chứng minh các tam giác bằng nhau
Bµi 2: Điểm M nằm bên trong tam giác đều ABC sao cho MA : MB : MC = 3 : 4 : 5 Tính ·AMB .
* Hướng giải quyết:
Vẽ hình chính xác, đúng số liệu bài toán ta dự đoán ·AMB = 1500 Giả thiết bài toán cho MA : MB : MC = 3 : 4 : 5, giúp ta nghĩ tới vận dụng kiến thức về định lí Pitago đảo để có tam giác vuông Mà 1500 = 900 + 600 Từ đó gợi ý cho ta vẽ thêm yếu tố phụ là tam giác đều để tạo ra góc 600
* Lời giải:
Cách 1 : Đặt MA = 3a, MB = 4a, MC = 5a
Trên nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng MB,
không chứa điểm C Vẽ tam giác đều MBK
Khi đó: ·ABK =MBK ABM· − · = 60 0 − ·ABM
=> ·ABK CBM= ·
∆ABK và ∆CBM có:
AB = CB (∆ABC đều)
BK = BM (∆MBK đều)
4a 5a
3a
K
M
C B
A
E
x D
10 0
40 0
C B
A
Trang 3=> KA = MC = 5a
∆AMK coự: KA2 = (5a)2; KM2 + MA2 = (4a)2 + (3a)2 = (5a)2 => KA2 = KM2 + MA2
Theo ủũnh lớ Pitago ủaỷo, ta coự ∆AMK vuoõng taùi M
Vaọy ãAMB AMK BMK= ã + ã = 90 0 + 60 0 = 150 0
Caựch 2: ẹaởt MA = 3a, MB = 4a, MC = 5a
Treõn nửỷa maởt phaỳng coự bụứ laứ ủửụứng thaỳng MA,
khoõng chửựa ủieồm C Veừ tam giaực ủeàu MAE
Khi ủoự: BAE MAE BAMã = ã − ã = 60 0 −BAMã
=> BAE CAMã = ã
∆ABE vaứ ∆CAM coự:
AB = CA (∆ABC ủeàu)
BAE CAMã = ã => ∆EAB = ∆MAC (c.g.c)
AE = AM (∆MAE ủeàu)
=> EB = MC = 5a
∆BME coự: BE2 = (5a)2; ME2 + MB2 = (3a)2 + (4a)2 = (5a)2 => BE2 = ME2 + MB2
Theo ủũnh lớ Pitago ủaỷo, ta coự ∆BME vuoõng taùi M
Vaọy ãAMB BME AME= ã + ã = 90 0 + 60 0 = 150 0
* Nhaọn xeựt: Vieọc taùo tam giaực ủeàu coự caực caùnh baống nhau vaứ caực goực ủeàu laứ 600, ta chửựng minh ủửụùc ∆ABK = ∆CBM ( caựch 1); ∆EAB = ∆MAC (cách2), tửứ ủoự taùo ra
∆AMK coự: BK = MC = 5a, MK = MB = 4a, MA = 3a ( caựch 1) hoaởc ∆BME coự: BE =
MC = 5a, ME = MA = 3a, MB = 4a ( caựch 2) deó daứng vaọn duùng ủũnh lớ Pitago ủaỷo ủeồ chửựng minh tam giaực vuoõng
Bài tập áp dụng:
các bạn hãy vẽ thêm hình phụ là các tam giác đều để làm các bài toán sau:
Bài 1: Cho ∆ABC caõn taùi A coự goực ụỷ ủaựy baống 800 Treõn caùnh AB laỏy ủieồm D sao cho AD = BC Tớnh soỏ ủo goực ACD ?
Bài 2: Cho ∆ABC vuoõng caõn ụỷ A vaứ ủieồm E naốm trong tam giaực sao cho
Bài 3: Cho ∆ABC caõn taùi A, coự goực ụỷ ủaựy baống 500 Laỏy K naốm trong tam giaực sao cho
KBC= KCB= Tớnh soỏ ủo caực goực cuỷa ∆ABH
E
5a 4a
3a
M
C B
A