VẼ THÊM HÌNH PHỤ LÀ TAM GIÁC ĐỀU (Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 7;8);Có nhiều bài toán nếu khéo léo vẽ thêm hình phụ một cách phù hợp thì sẽ cho ta một lời giải ngắn gọn. Trong chuyên đề này tôi trình bày cách hướng dẫn học sinh vẽ thêm hình phụ là tam giác đều để giải toán;
VẼ THÊM HÌNH PHỤ LÀ TAM GIÁC ĐỀU Cao Qc Cêng ( GV THCS VÜnh Têng- VÜnh Phóc) VÏ thªm h×nh phơ lµ tam gi¸c ®Ịu gióp ta gi¶i c¸c bµi to¸n vỊ tÝnh sè ®o gãc mét c¸ch ng¾n gän Trong bµi viÕt nµy t«i mn trao ®ỉi víi c¸c b¹n ph¬ng ph¸p vÏ thªm h×nh phơ lµ tam gi¸c ®Ịu ®Ĩ gi¶i c¸c bµi to¸n vỊ tÝnh sè ®o gãc Bµi 1: Cho tam giác ABC cân đỉnh A có góc A = 40 Trên nửa mặt phẳng bờ BC · = 100 không chứa điểm A, vẽ tia Bx cho CBx · Trên tia Bx lấy điểm D cho BD = BA Tính số đo góc BDC * Hướng giải quyết: Tam giác ABC cân t¹i A có góc đỉnh 400 => số đo góc đáy 700 Mà 700 – 100 = 600 số đo góc tam giác Giúp ta nghó tới vẽ hình phụ tam giác A * Lời giải: 00 Cách 1: ∆ABC cân A có µA = 400 => Bµ = Cµ = 700 Trên nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng AB, chứa điểm C Vẽ tam giác ABE · · Khi đó: CBE = CBA − ·ABE = 700 − 600 = 100 ; B · · · CAE = BAE − BAC = 600 − 400 = 200 AB = AC = BD = BE = AE Tam giác ACE cân A (vì AC = AE) Do đó: ·AEC = (1800 − 200 ) : = 800 => BEC · = ·AEC − ·AEB = 800 − 600 = 200 · · ∆CBE ∆CBD có: CD chung; CBE = CBD = 100 ; BE = BD · · Vậy ∆CBE = ∆CBD (c.g.c) => BDC = BEC = 200 Cách 2: Trên nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng AC, chứa điểm B Vẽ tam giác ACM (B¹n ®äc tù gi¶i) E C 100 D x A 400 M B 100 C D x Cách 3: ∆ABC cân A có µA = 400 => Bµ = Cµ = 700 A Trên nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng BC, 40 chứa điểm A Vẽ tam giác BCE · · Khi đó: EBA = ·ABC − EBC = 700 − 600 = 100 E ∆EAB ∆CDB có: AB = DB · · => ∆EAB = ∆CDB (c.g.c) EBA = CBD = 100 C B 10 EB = BC D · · x => EAB = BDC ∆EAB ∆EAC có: EA chung; EB = EC; AB = AC · · => ∆EAB = ∆EAC (c.c.c) => EAB = EAC · · · · Mà BAC = 400 => EAB = EAC = 200 Vậy BDC = 200 * Nhận xét: - Ở cách cách 2, vẽ thêm tam giác có cạnh hai cạnh bên · · · · tam giác cân ABC, tạo CBE = CBD = 100 (cách 1) BCM = CBD = 100 (cách 2) · Từ dễ dàng liên hệ góc BDC cần tính với góc tính số đo: ·BEC ; CMB · thông qua việc chứng minh tam giác · · - Ở cách thứ 3, ta vẽ tam giác dựa cạnh BC, tạo EBA = CBD = 100 · cạnh BE = BC = CE Từ dễ dàng liên hệ góc BDC cần tính với góc tính · · số đo: EAB; EAC thông qua việc chứng minh tam giác Bµi 2: Điểm M nằm bên tam giác ABC cho MA : MB : MC = : : Tính ·AMB * Hướng giải quyết: Vẽ hình xác, số liệu toán ta dự đoán ·AMB = 1500 Giả thiết toán cho MA : MB : MC = : : 5, giúp ta nghó tới vận dụng kiến thức đònh lí Pitago đảo để có tam giác vuông Mà 150 = 900 + 600 Từ gợi ý cho ta vẽ thêm yếu tố phụ tam giác để tạo góc 600 * Lời giải: A Cách 1: Đặt MA = 3a, MB = 4a, MC = 5a Trên nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng MB, 3a K không chứa điểm C Vẽ tam giác MBK M · · · · Khi đó: ABK = MBK − ABM = 60 − ABM 4a 5a · · Và CBM = ABC − ·ABM = 600 − ·ABM · C B => ·ABK = CBM ∆ABK ∆CBM có: AB = CB (∆ABC đều) ·ABK = CBM · => ∆ABK = ∆CBM (c.g.c) BK = BM (∆MBK đều) 0 => KA = MC = 5a ∆AMK có: KA2 = (5a)2; KM2 + MA2 = (4a)2 + (3a)2 = (5a)2 => KA2 = KM2 + MA2 Theo đònh lí Pitago đảo, ta có ∆AMK vuông M · Vậy ·AMB = ·AMK + BMK = 900 + 600 = 1500 A Cách 2: Đặt MA = 3a, MB = 4a, MC = 5a E Trên nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng MA, 3a không chứa điểm C Vẽ tam giác MAE M · · · · Khi đó: BAE = MAE − BAM = 600 − BAM 5a · · · · Và CAM = BAC − BAM = 600 − BAM 4a · · => BAE = CAM C B ∆ABE ∆CAM có: AB = CA (∆ABC đều) · · => ∆EAB = ∆MAC (c.g.c) BAE = CAM AE = AM (∆MAE đều) => EB = MC = 5a ∆BME có: BE2 = (5a)2; ME2 + MB2 = (3a)2 + (4a)2 = (5a)2 => BE2 = ME2 + MB2 Theo đònh lí Pitago đảo, ta có ∆BME vuông M · Vậy ·AMB = BME + ·AME = 900 + 600 = 1500 * Nhận xét: Việc tạo tam giác có cạnh góc 600, ta chứng minh ∆ABK = ∆CBM ( cách 1); ∆EAB = ∆MAC (c¸ch2), từ tạo ∆AMK có: BK = MC = 5a, MK = MB = 4a, MA = 3a ( cách 1) ∆BME có: BE = MC = 5a, ME = MA = 3a, MB = 4a ( cách 2) dễ dàng vận dụng đònh lí Pitago đảo để chứng minh tam giác vuông Bµi tËp ¸p dơng: c¸c b¹n h·y vÏ thªm h×nh phơ lµ c¸c tam gi¸c ®Ịu ®Ĩ lµm c¸c bµi to¸n sau: Bµi 1: Cho ∆ABC cân A có góc đáy 80 Trên cạnh AB lấy điểm D cho AD = BC Tính số đo góc ACD ? Bµi 2: Cho ∆ABC vuông cân A điểm E nằm tam giác cho · · EAC = ECA = 150 Tính số đo ·AEB ? Bµi 3: Cho ∆ABC cân A, có góc đáy 50 Lấy K nằm tam giác cho · · KBC = 100 ; KCB = 300 Tính số đo góc ∆ABH ... giúp ta nghó tới vận dụng kiến thức đònh lí Pitago đảo để có tam giác vuông Mà 150 = 900 + 600 Từ gợi ý cho ta vẽ thêm yếu tố phụ tam giác để tạo góc 600 * Lời giải: A Cách 1: Đặt MA = 3a, MB =... · · số đo: EAB; EAC thông qua việc chứng minh tam giác Bµi 2: Điểm M nằm bên tam giác ABC cho MA : MB : MC = : : Tính ·AMB * Hướng giải quyết: Vẽ hình xác, số liệu toán ta dự đoán ·AMB = 1500... BAC = 400 => EAB = EAC = 200 Vậy BDC = 200 * Nhận xét: - Ở cách cách 2, vẽ thêm tam giác có cạnh hai cạnh bên · · · · tam giác cân ABC, tạo CBE = CBD = 100 (cách 1) BCM = CBD = 100 (cách 2) · Từ