BD HSG HINH HOC: VE THEM HINH PHU

Bồi dỡng học sinh giỏi toán 8 luyện tập kĩ năng giải hình 8 : Vẽ thêm hình phụ Bài 1 : Cho tam giác vuông ABC , đờng cao AH . Lấy D tùy ý trong đoạn BC . Gọi M , N thứ tự là hình chiếu của D trên AB , AC . 1. Chứng minh góc MHN = 90 0 . 2. Khi D di chuyển trên đoạn BC thì trung điểm của đoạn MN chạy trên đờng nào ? Gợi ý : Câu 1 - Dễ c/m tứ giác ANDM là h.c. n - Vẽ thêm các đoạn AD , MN . HK , K là giao của AD với MN. - AHD vuông KH = KD = KA - MHN có KH = KN = KM nên vuông tại H . từ đó có đpcm - Mở rộng câu 1 : Cho tam giác vuông ABC , đờng cao AH . Lấy D tùy ý trong đoạn BC .Đờng thẳng qua D song song với AB cắt AC tại N và cắt đờng thẳng HM tại E . HN cắt DM tại I . Chứng minh EI MN - Câu 2 : H chạy trên đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh AB và AC Bài 2 : Một hình thang cân có đờng cao bằng nửa tổng hai đáy. Hãy tính góc tạo bởi hai đ- ờng chéo . Gợi ý : H E D B H E D B A C C A O O Hình 1 Hình 2 - ở hình 1 : Đẩy đáy nhỏ về phía đáy lớn ( tạo đoạn thẳng tổng ) - ở hình 2 : Đẩy đáy lớn về phía đáy nhỏ . Bài 3 : Tứ giác ABCD có = 180 0 , CB = CD . 1 H N M H A B C D Bồi dỡng học sinh giỏi toán 8 Chứng minh AC là phân giác của Gợi ý : D E D B A E A B C C Hình 1 Hình 2 - Hình 1 : Lấy DE = AB CBA = CDE ACE cân tại C . - Hình 2 : Lấy BE = AD CBE = CDA ACE cân tại C . Bài 4 : Cho ABC cân tại A . Trên cạnh AB , AC thứ tự lấy các điểm D , E sao cho BD = AE . Gọi I là trung điểm của DE . Tia AI cắt BC tại K . Chứng minh tứ giác ADKE là hình bình hành . Gợi ý : Qua E kẻ EF // BC , F AB AEF cân tại A , nên AE = AF = BD . Gọi M là trung điểm của DF thì IM là đờng trung bình của DEF IM // BC Lại có AF + FM = BD + DM = AB / 2 vậy M cũng là trung điểm của AB và IM // BK nên IM là đờng trung bình của ABK , vậy IA = IK Từ đó tứ giác ADKE là h.b.h Bài 5 : Cho điểm E thuộc cạnh AC của tam giác đều ABC. Đờng thẳng vuông góc với AB kẻ từ E cắt đờng thẳng vuông góc với BC kẻ từ C tại D. Gọi K là trung điểm của AE, Tính góc KBD . Gợi ý : Gọi I là điểm đối xứng với D qua điểm K thì tứ giác AIED là h.b.h AI // DE và AI = DE AI AB . Mặt khác dễ ch/m EDC cân tại D nên DE = DC = IA vì vậy suy đợc AIB = CDB ( cgv cgv ) BI = BD . 2 M F I D K B C A E I K F D B C A E Bồi dỡng học sinh giỏi toán 8 DBI cân tại B có BK là trung tuyến nên cũng là đờng cao . Vậy góc KBD = 90 0 Bài 6 : Cho tam giác ABC đều , vẽ một đờng thẳng song song với BC và cắt các cạnh AB , AC thứ tự ở D và E . Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng DC , G là trọng tâm của ADE , H là điểm đối xứng của B qua I . 1) Chứng minh DGB = EGH 2) Tính các góc của BGI Gợi ý : 1.C/m DGB = EGH : Ta có DG = EG ; góc GDB = góc GEH = 120 0 , BD = CH = EH 2.Từ câu 1 suy ra GB = GH hay BGH cân tại G có GI là trung tuyến nên cũng là đờng cao nên BGI vuông tại I . Lại từ câu 1 thì góc DGB = góc EGH nên góc BGH = góc DGE = 120 0 . từ đó góc BGI = 60 0 và góc GBI = 30 0 Bài 7 : Cho tam giác vuông ABC , AB < AC , đờng cao AH . Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA . Đờng vuông góc với BC kẻ từ D cắt AC ở E . 1. Gọi M là trung điểm của BE , tính góc AHM 2. Chứng minh AB = AE Gợi ý : 1.Từ đề bài suy ra MD = MA = ME = MB , từ đó đờng thẳng HM là đờng trung trực của đoạn thẳng AD , từ đó HM là phân giác của góc vuông AHD , vậy góc AHM = 45 0 2.Vì BMD cân tại M nên góc MBD = MDB = MAH ( kết hợp với câu 1) . Xét hai tam giác AMK và BHK có góc B 1 = góc A 1 ( cmt) ; K 1 = K 2 ( đ đ) nên góc AMB = góc AHB vậy góc AMB = 90 0 , ABE vuông cân , vậy AB = AE đpcm Cách 2 : Gọi F là hình chiếu của E trên AH ta có EF = HD = AH V AEF = V BAH . Bài 8 : Cho hình thang vuông ABCD có AB // CD ; góc A = góc D = 90 0 ; CD = 2.AB = 2.AD . Qua điểm E thuộc cạnh AB kẻ đờng vuông góc với DE , cắt BC tại F . Chứng minh tam giác DEF vuông cân . Gợi ý : 3 H I G D B C A E M E DH B C A Bồi dỡng học sinh giỏi toán 8 Tứ giác ABCK là h.b.h OI // BF nên IO là đờng trung bình của DBF I là trung điểm của DF. Từ đó DEF vuông cân . Bài 9 : Cho ABC , trên các cạnh AC , AB thứ tự lấy các điểm E , F . Gọi H là giao điểm của BE và CF , Tia AH cắt BC ở D . Gọi trung điểm của các cạnh AB , BC , AC thứ tự là M , S , Q ; Trung điểm của các đoạn thẳng HA , HB , HC thứ tự là R , N , P. 1. Chứng minh MP , NQ , RS đồng quy 2. Các điểm E và F cần có thêm điều kiện gì để MP = NQ = RS ? Gợi ý : 1.Vẽ đờng phụ tạo h.b.h MNPQ và gọi O là giao hai đờng chéo của nó nên O là trung điểm của MP Vẽ đờng phụ tạo h.b.h MRPS nên đờng chéo RS của h.b.h này đi qua trung điểm của MP . Từ đó có đpcm 2.Để MP = NQ thì h.b.h MNPQ phải là h.c.n AH BC . Để MP = RS thì h.b.h MRPS phải là h.c.n BH AC H phải là trực tâm của ABC . Bài tập luyện tập Bài 1 : Cho ABC có góc B = 45 0 , góc C = 120 0 . trên tia BC lấy điểm D sao cho CD = 2.CB . Tính góc ADB . Bài 2 : Cho ABC cân tại B và góc ABC = 80 0 . Lấy điểm I trong tam giác sao cho góc IAC = 10 0 và góc ICA = 30 0 . Tính góc AIB ? Bài 3 : Cho ABC cân tại A và có góc A = 20 0 . từ B và C kẻ các đờng thẳng BD và CE cắt các cạnh đối diện tại D , E sao cho góc CBD = 60 0 và góc BCE = 50 0 . Tính góc BDE ? Bài 4 : Cho ABC , trong tam giác lấy điểm P sao cho góc PBA = góc PCA . Gọi D , E thứ tự là hình chiếu của P trên AB , AC. Gọi M , H , N thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng PB , BC , PC . Chứng minh HDE cân 4 O I F CKD A BE O P N R S Q M H A B C E F D Bồi dỡng học sinh giỏi toán 8 Bài 5 : Độ dài đờng trung bình của một hình thang là 40 cm ; Hai góc kề đáy nhỏ ( góc trong ) của hình thang bằng 130 0 và 140 0 . Hãy tìm độ dài của mỗi đáy hình thang biết rằng độ dài của đoạn thẳng nối trung điểm của hai đáy hình thang bằng 1 cm . Bài 6 : Trên cạnh Oy của góc nhọn xOy lấy hai điểm A , B sao cho A nằm giữa O và B .Trên cạnh Oy của góc này cũng lấy hai điểm C , D sao cho C nằm giữa O và D ; Cho biết AB = CD ; gọi M , N thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng AC , BD ; vẽ tia phân giác Oz của góc xOy . Chứng minh MN // Oz Bài 1: Cho hình vuông ABCD , lấy điểm M tùy ý trên đờng chéo BD . Gọi P , Q thứ tự là hình chiếu của M trên AB , AD ; BQ cắt PD tại O . 1. Chứng minh PC BQ và CQ PD 2. Chứng minh CM PQ 3. Tìm vị trí của M trên đờng chéo BD để CPQ có diện tích lớn nhất 5 . . từ B và C kẻ các đờng thẳng BD và CE cắt các cạnh đối diện tại D , E sao cho góc CBD = 60 0 và góc BCE = 50 0 . Tính góc BDE ? Bài 4 : Cho ABC , trong. BI = BD . 2 M F I D K B C A E I K F D B C A E Bồi dỡng học sinh giỏi toán 8 DBI cân tại B có BK là trung tuyến nên cũng là đờng cao . Vậy góc KBD = 90