SKKN Hướng dẫn học sinh có kỷ năng vẽ thêm hình phụ là đường trung bình của tam giácSKKN Hướng dẫn học sinh có kỷ năng vẽ thêm hình phụ là đường trung bình của tam giácSKKN Hướng dẫn học sinh có kỷ năng vẽ thêm hình phụ là đường trung bình của tam giácSKKN Hướng dẫn học sinh có kỷ năng vẽ thêm hình phụ là đường trung bình của tam giácSKKN Hướng dẫn học sinh có kỷ năng vẽ thêm hình phụ là đường trung bình của tam giácSKKN Hướng dẫn học sinh có kỷ năng vẽ thêm hình phụ là đường trung bình của tam giácSKKN Hướng dẫn học sinh có kỷ năng vẽ thêm hình phụ là đường trung bình của tam giácSKKN Hướng dẫn học sinh có kỷ năng vẽ thêm hình phụ là đường trung bình của tam giácSKKN Hướng dẫn học sinh có kỷ năng vẽ thêm hình phụ là đường trung bình của tam giácSKKN Hướng dẫn học sinh có kỷ năng vẽ thêm hình phụ là đường trung bình của tam giác
PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Ở trường phổ thơng, dạy Tốn dạy hoạt động Tốn học Đối với học sinh xem việc giải tốn hình thức chủ yếu hoạt động Tốn học Bộ mơn hình học mơn khoa học khó, việc giải Tốn hình học ln nặng nề, áp lực học sinh Đã có nhiều phương pháp, nhiều sách nhiều tác giả giúp học sinh có chìa khóa mở đường để đến với lời giải toán hay, độc đáo, vẽ thêm hình phụ Là giáo viên giảng dạy nhiều năm, ôn thi học sinh giỏi mơn Tốn 8,9 ôn thi cho học sinh vào lớp 10 THPT; tơi đam mê mơn Hình trăn trở vấn đề vẽ thêm đường phụ để giải tốn hình học, để rèn luyện cho học sinh có kỷ Vì chọn đề tài nghiên cứu "Hướng dẫn học sinh có kỷ vẽ thêm hình phụ đường trung bình tam giác" II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Với lý nghiên cứu đề tài nhằm mục đích tìm câu trả lời cho thân người học nên vẽ thêm yếu tố phụ đường trung bình tam giác Từ giúp người học có kỷ vẽ đường phụ tốt để đưa việc giải Tốn hình học trở nên nhẹ nhàng hấp dẫn phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo trình bày lập luận chặt chẽ, lôgic III PHẠM VI NGHIÊN CỨU Mơn hình học lớp IV ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU Học sinh lớp đối tượng khá, giỏi năm học 2010-2011; năm học 2011 2012 PHẦN II: NỘI DUNG I CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI 1.Cở sở lý luận Đặc điểm lứa tuổi THCS muốn tự khám phá, tìm hiểu q trình nhận thức Các em có khả điều chỉnh hoạt động học tập, sẵn sàng tham gia hoạt động học tập khác cần phải có hướng dẫn, điều hành cách khoa học nghệ thuật thầy giáo Hình thành tính tích cực, tự giác, chủ động đồng thời phát triển lực tự học học sinh q trình lâu dài, kiên nhẫn phải có phương pháp Tính tích cực, tự giác, chủ động lực tự học học sinh thể số mặt sau: - Biết tìm phương pháp nghiên cứu giải vấn đề, khắc phục tư tưởng rập khn, máy móc - Có kĩ phát kiến thức liên quan với nhau, nhìn nhận vấn đề nhiều khía cạnh - Có óc hồi nghi, đặt câu hỏi sao? Do đâu? Như nào? Cơ sở thực tiễn Mỗi tốn hình học ln mang lại say mê, hứng thú cho người học biết tìm hướng chứng minh, ngược lại gây nhiều trở ngại cho học sinh hướng suy nghĩ chưa Vẽ thêm hình phụ đường trung bình tam giác giúp học sinh bước đầu có tự tin, suy đốn khả tư hình học chặt chẽ Có tốn khơng thể giải cách vẽ thêm đường phụ đường trung bình tam giác Học sinh bị động cần vẽ thêm yếu tố phụ khơng tự tin nghĩ việc vẽ yếu tố hay sai, hợp lý hay khơng hợp lý II GIẢI PHÁP THỰC HIỆN Với thực tế yêu cầu đặt đưa hai dạng tập để giúp học sinh có sở có kỷ vẽ hình phụ đường trung bình tam giác Dạng 1: Dạng tập cho đường phụ trực tiếp A Bài tốn 1: Cho hình vẽ Chứng minh: IA = IM E I Đây toán N sách giáo khoa Ta có: B MB MC � � MN � đường trung bình NE NB � tam giác EBC Suy MN // EC hay MN // EI Mặt khác: EA EN � �� IA IM (định lý 1) EI / / MN � M C Với tốn khơng có khó tốn tảng để HS nhìn yếu tố phụ sau , để rèn luyện cách vẽ hình phụ đường trung bình nên đảo ngược tốn toán Bài toán 2: Cho tam giác ABC: AM đường trung tuyến, I trung điểm AM CI giao với AM E ( E �AB ) chứng minh rằng: AE AB A E I N B C M Nếu khơng có tốn 1, nhìn tốn khó, dùng tốn làm sở việc xuất đường phụ toán dễ dàng Đường phụ cần vẽ đường thẳng qua điểm M song song với EC cắt AB N Giải tóm tắt: ME / / DC � �� ED EB(1) MB MC � Suy ME đường trung bình tam giác BDC � EM / / DI Mặt khác IA = IM (gt); Suy AD=DE (2) Từ suy AD AB Nhận xét: Như hướng dẫn học sinh giải BT1 giáo viên cần hướng cho học sinh vào tình có vấn đề, ta thay đổi giả thiết toán thành kết luận toán ngược lại điều hay sai, nhằm giúp học sinh ghi nhớ kiến thức hình thành suy đoán yếu tố phụ cần vẽ Để rèn luyện kỹ vẽ đường phụ tập ta thay đổi tam giác ABC thành tam giác cân vài yếu tố khác ta toán Bài toán 3: Cho tam giác ABC cân A, đường cao AH đường phân giác BD Tính góc tam giác ABC biết BD=2AH A D 1 E H B C Ở tốn 3: Điểm H trung điểm BC, tương tự tốn Ta có hình phụ đường trung bình tam giác BCD lời giải tóm tắt Kẻ HK // BD ( K �AC ) Suy HK đường trung bình tam giác BCD nên 2.HK = BD mà 2.AH = BD (gt) AH = HK nên tam giác AHK cân H � � KHC � (góc tam giác) AKH C � B � (vì DBC � ) Mà 2KHC Ta có C� B� (gt) � 3B � � 3B � AKH HAK � BAC Nên � � B �C � 1800 , suy B � 1800 Mặt khác, ta có BAC � 1080 Do B� 360 C�; BAC Ở toán thay tam giác thường tam giác vng ta có: Bài tốn 4:Tam giác ABC vng A có AB = 5cm; BC = 13cm Vẽ đường trung tuyến AM Gọi I trung điểm AM, tia BI cắt AC D Tính độ dài BI Nhìn tốn học sinh thấy hình phụ cần vẽ thêm đoạn thẳng MN đường trung bình tam giác BCD A D E I B M C Giải tóm tắt: Vẽ đường thẳng qua điểm M song song với BD cắt DC N suy MN đường trung bình tam giác BCD nên 2.MN = BD (1) Mặt khác ID // MN (do BD // MN); IA = IM nên DA = DN, suy ID đường trung bình tam giác AMN suy 2.ID = MN (2) từ (1) (2) suy ID BD � BI BD 4 Ta có: AD AC ( theo tốn 2) ta tính AC = 12cm (định lý Pitago) Biết AD; biết AB tính BD Tính BD ta suy BI 41 cm Bên cạnh sử dụng tập để giải tập ta hướng dẫn cho học sinh tự tìm cách vẽ đường trung bình tam giác theo hướng sau: Kẻ MK AB K; MK cắt BD E ta có AK =KB (vì MK // AC MB = MC) Do KE // AD suy EB = ED (1) Mặt khác IE = ID ADI MEI (g c g) (2) Từ (1) (2) suy BI BD Từ toán ta thấy cách rèn luyện cho học sinh kỹ vẽ hình phụ thơng qua tốn ta hướng học sinh vẽ theo hiểu biết, sáng tạo từ hình thành thói quen, kỹ có khả nhìn đường phụ nhanh Dạng 2: Dạng tập chưa cho biết đường phụ trực tiếp Có thể nhìn hình phụ thơng qua vài yếu tố khác Đối với dạng tương đối khó để học sinh tìm cách vẽ cần phải hướng học sinh tìm mối liên hệ kiến thức đường trung tuyến, tính chất đường trung tuyến tam giác, đường trung bình hình thang, từ vng góc đến song song,… Bài toán 5: Cho tam giác ABC; G trọng tâm tam giác qua G vẽ đường thẳng d cho điểm B, C nằm phía đường thẳng d, AA 1; BB1; CC1 đường vng góc hạ từ A,B,C xuống đường thẳng d Chứng minh AA1 = BB1 + CC1 Việc nhìn hình phụ để vẽ tốn tương đối khó, giúp học sinh phát cách vẽ hình phụ tốn dễ dàng nên cho học sinh giải toán sau Bài toán 6: Cho tam giác ABC qua trung điểm O đường trung tuyến AM, kẻ đường thẳng d cho B C nằm phía đường thẳng d AA1; BB1; CC1 đường vuông góc hạ từ A,B,C xuống đường thẳng d Chứng minh BB' + CC' = 2AA' A C' M1 B' A' B M C Lời giải tóm tắt: Từ M kẻ đoạn thẳng MM1 vng góc với đường thẳng d ta có MM1 đường trung bình hình thang BB'C'C nên BB' +CC'=2MM1 (1) Mặt khác AA1O MM 1O (cạnh huyền - góc nhọn) Suy AA1 = MM1 (2) Từ (1) (2) suy BB' +CC' = 2AA1 Bài toán công cụ thiếu việc phát hình phụ tốn Dựa vào tốn ta thấy điểm cần xác định điểm M trung điểm đoạn thẳng BC, điểm E trung điểm đoạn thẳng AG, từ EE kẻ song song với AA1 EE1 đường trung bình tam giác GAA tốn trở nên đơn giản A E B' B G M1 C' d A1 E1 M C Giải tóm tắt: Từ M kẻ đoạn thẳng MM1 vng góc với đường thẳng d ta có MM1 đường trung bình hình thang BB'C'C nên BB'+CC'=2MM1 (1) Lấy E trung điểm AG kẻ đoạn thẳng EE vng góc với đường thẳng (d) E1 ta có EE1 đường trung bình tam giác GAA1 suy 2EE1 = AA1(2) Mặt khác MM1 = EE1 (vì tam giác EE1G MM1G ) (3) Từ (1),(2),(3) suy điều phải chứng minh: Để rèn luyện kỹ nhìn hình phụ đường trung bình dạng tốn cần phải cung cấp cho học sinh toán phụ để từ giúp học sinh tìm yếu tố liên quan đến hình phụ cần vẽ Bài tập tự luyện Bài 1: (đề thi khảo sát chất lượng cuối năm toán năm học 2015-2016) Cho tam giác ABC vuông A (AB < AC) cách đường cao AH a Chứng minh tam giác ABH đồng dạng với tam giác CBA b Chứng minh AH2 = BH CH c Gọi M trung điểm BC, N trung điểm AB Qua B vẽ tia Bx song song với đường thẳng AH, tia Bx cắt đường thẳng MN E Đường thẳng EC cắt AH O Chứng minh O trung điểm AH: Gợi ý câu c: Kéo dài CA cắt Bx điểm F ta dễ dàng chứng minh E trung điểm BF mặt khác theo (định lý Thalès) ta có suy điều phải chứng minh OA OH OC ( ) Từ EF EB CE x F A E O N B H M C Bài 2: Cho tam giác ABC vuông A, đường cao HA Gọi I trung điểm AH Đường vng góc với BC C cắt đường thẳng BI D Chứng minh DA = DC Gợi ý: Gọi M trung điểm AC, N giao điểm MI AB Tam giác AHC có MI đường trung bình nên MI song song với HC, tức MN song song BC Áp dụng (định lý Thalès) ta chứng minh IB IN BN // ID IM DM (định lý Thalès đảo), ta lại có BN vng góc với AC nên DM vng góc với AC Vậy DM đường trung trực AC, suy DA = DC D A N B I M H C Bài 3: Cho đường thẳng xx'và yy' cắt O Trên tia Ox' lấy điểm A,B,C cho OA = AB = BC, tia Oy lấy điểm H, tia Oy ' lấy điểm M N cho OH = OM = MN Chứng minh đường thẳng HA, NB, MC đồng quy Gợi ý: Trước hết cần xác định điểm A trọng tâm tam giác HMC HA cắt MN trung điểm I sau chứng minh điểm B,I,N thẳng hàng ( BI BN song song với AM) N x y' M O A H B C y x' PHẦN III: KẾT LUẬN Hướng giải chưa phải độc đáo mang lại cho học sinh tự tin kỹ vẽ thêm yếu tố phụ đường trung bình tam giác Sau áp dụng đề tài vào thực tế dạy học (ôn thi học sinh giỏi học sinh thi vào THPT đối tượng giỏi) mang lại niềm say mê, hứng thú tụ tin, khả phán đoán,suy luận chặt chẽ cho người học Điều thể thơng qua kết học tập mơn tốn học sinh đảm nhận; cụ thể năm học 2010 - 2011 đội tuyển HSG huyện mơn tốn đậu hai em có em dự thi cấp tỉnh đạt giải KK, em thi giải toán qua mạng đạt điểm tuyệt đối 300/300 Kết thi vào THPT điểm 8,9 nhiều có em đạt 9,75đ năm mơn tốn trường tơi xếp thứ toàn huyện Đến năm 2011 - 2012 đội tuyển HSG huyện đạt 2em có em đậu vào lớp chuyên toán trường THPT Năng Khiếu Đề tài kinh nghiệm thân đúc rút trình giảng dạy chắn hạn chế, mong góp ý đồng nghiệp TÀI LIỆU THAM KHẢO 10 ... học sinh hướng suy nghĩ chưa Vẽ thêm hình phụ đường trung bình tam giác giúp học sinh bước đầu có tự tin, suy đoán khả tư hình học chặt chẽ Có tốn khơng thể giải cách vẽ thêm đường phụ đường trung. .. để giúp học sinh có sở có kỷ vẽ hình phụ đường trung bình tam giác Dạng 1: Dạng tập cho đường phụ trực tiếp A Bài tốn 1: Cho hình vẽ Chứng minh: IA = IM E I Đây toán N sách giáo khoa Ta có: B MB... tốn học sinh thấy hình phụ cần vẽ thêm đoạn thẳng MN đường trung bình tam giác BCD A D E I B M C Giải tóm tắt: Vẽ đường thẳng qua điểm M song song với BD cắt DC N suy MN đường trung bình tam giác