Đại số SU(2) biến dạng p, q (LV00993)

1 LI CM N Tụi xin by t lũng bit n chõn thnh v sõu sc ti PGS- TS Nguyn Th H Loan v s quan tõm ch bo, tn tỡnh hng dn ca cụ sut quỏ trỡnh hc tp, chớnh s quan tõm v tn tỡnh ch bo ca cụ ó to ng lc v cho tụi cú thờm nim tin, s c gng thc hin lun ny Tụi xin trõn trng cm n Phũng Sau i hc v Ban Ch nhim khoa, cỏc thy giỏo, cụ giỏo khoa Vt Lớ- Trng i hc s phm H Ni ó quan tõm, to iu kin v tn tỡnh ging dy, ch bo tụi sut quỏ trỡnh hc v hon thnh lun ny Tụi xin gi li cm n chõn thnh ti gia ỡnh, bn bố v ng nghip ó luụn sỏt cỏnh bờn tụi sut thi gian hc v nghiờn cu hon thnh lun Tỏc gi PHM HI MC LI CAM OAN Tụi xin cam oan rng s liu v kt qu nghiờn cu lun ny l trung thc v khụng trựng lp vi cỏc ti khỏc Tụi cng xin cam oan rng cỏc thụng tin trớch dn v s giỳp lun ó c ch rừ ngun gc Tỏc gi PHM HI MC MC LC Trang Li cm n Li cam oan Mc lc M U NI DUNG Chng I S LNG T SU(2) 1.1 i s SU(2) 1.2 i s SU(2)q bin dng mt tham s 13 1.3 i s SU(2)pq bin dng hai tham s 15 Chng HèNH THC LUN BRST 2.1 Hỡnh thc lun BRST 2.2 Hỡnh thc lun BRST vi nhúm SU (2) p bin dng mt tham s 2.3 Hỡnh thc lun BRST vi nhúm SU (2) pq bin dng mt tham s 20 20 26 27 KT LUN 29 TI LIU THAM KHO 30 PH LC 32 M U Lý chn ti Lớ thuyt i xng úng vai trũ c bn vt lớ lớ thuyt Ngụn ng toỏn hc ca i xng l lớ thuyt nhúm Sau s phỏt trin ca mu quark v lớ thuyt Gauge khụng abelian ca tng tỏc mnh v tng tỏc in yu, s hiu bit nhng nhúm Lie ó tr thnh cn thit cho vic nghiờn cu lớ thuyt ht c bn Nhúm Lie ngy cng tr thnh cụng c ch yu ca vt lớ lớ thuyt hin i nh gii tớch phc, phng trỡnh vi phõn riờng, lớ thuyt nhúm vụ hn i s ca nhúm Lie xut hin ó lõu song gn õy ũi hi ng dng ca nú nghiờn cu vt lớ m V I Drinfeld ó lng t húa i s ca nhúm Lie lm ny sinh cu trỳc i s bin dng hay cũn gi l i s lng t Gn õy nhúm lng t v i s ca chỳng ó thu hỳt c s quan tõm ca nhiu nh vt lớ lớ thuyt v vt lớ toỏn bi vỡ nhng quan im ng dng ca chỳng cỏc mu vt lớ v mi liờn quan vi li gii cỏc phng trỡnh vi phõn phi tuyn Chỳng liờn quan n nhng a dng nh nghiờn cu nghim ca phng trỡnh Yang-Baxter lng t, lớ thuyt trng Conformal hu t, lớ thuyt trng hai chiu vi nhng thng kờ phõn b i s lng t cú th c xem nh s bin dng ph thuc vo mt hoc nhiu tham s ca i s Lie thụng thng i s lng t n gin nht SU (2)q ph thuc mt thụng s ln u tiờn c a bi Sklyanin, Kulish, Reshetikhin nghiờn cu phng trỡnh Yang-Baxter lng t, phng trỡnh ny úng vai trũ quan trng nhng h kh tớch lng t Lớ thuyt biu din ca i s lng t vi mt thụng s bin dng a n s phỏt trin ca i s dao ng bin dng q i s dao ng bin dng c xem xột vi quan im nghiờn cu nhng quỏ trỡnh lng t húa mi Nhng dao ng q ny cú th a n mt loi mi ca lớ thuyt trng ú cú s vi phm nh ca nguyờn lớ loi tr Pauli v s sai lch t nhng thng kờ Bose cú th c tho lun Nhng h qu ca cu trỳc i s bin dng q cỏc mu c th nh l mu Jeynes-Cumming quang hc lng t cng ó c nghiờn cu T quan im ỏp dng cỏc mu vt lớ c th, i s bin dng nhiu thụng s c quan tõm nghiờn cu Trong lớ thuyt i xng Gauge thụng thng cỏc tỏc gi BRST ó phỏt hin mt loi i xng mi l i xng gia cỏc trng ma v cỏc trng thc c bit cỏc tỏc gi xõy dng c toỏn t Q t cỏc vi t ca nhúm i xng Gauge v cỏc toỏn t ca cỏc trng ma tha iu kin nilpotent c th l Q = v toỏn t y c mang tờn l ti BRST hoc toỏn t BRST Cú th nghiờn cu lớ thuyt trng dõy lng t da trờn hỡnh thc lun BRST Hỡnh thc lun ny c bit hiu qu xõy dng lớ thuyt tng tỏc ca cỏc dõy lng t Ti BRST cú dng khỏc cỏc nhúm i xng khỏc ti "i S SU(2) Bin Dng p, q" nghiờn cu i s bin dng hai tham s SU (2) pq bng cỏch a khỏi nim hỡnh thc lun dao ng iu hũa bin dng hai tham s p, q m l s m rng ca hỡnh thc lun dao ng iu hũa bin dng mt tham s q ca i s lng t SU (2)q Nghiờn cu ti BRST i s bin dng lng t ca i s SU (2) Mc ớch nghiờn cu Nghiờn cu i s lng t SU (2) bin dng mt tham s v hai tham s Nhim v nghiờn cu Nghiờn cu bin dng hai tham s ca i s SU (2) i tng v phm vi nghiờn cu Nghiờn cu i s SU (2) , i s SU (2) bin dng mt tham s, i s SU (2) bin dng hai tham s Phng phỏp nghiờn cu Dựng cỏc phng phỏp nghiờn cu ca vt lớ lớ thuyt c th phng phỏp ca nhúm lng t v cỏc dao ng lng t NI DUNG CHNG I I S LNG T SU(2) Trong chng ny tụi s nghiờn cu s bin dng hai tham s ca i s SU (2) bng cỏch xõy dng dao ng iu hũa bin dng ph thuc hai tham s Trong trng hp gii hn p = q nú tr v i s bin dng mt tham s SU (2)q Trong trng hp c bit p, q đ thỡ i s bin dng ph thuc hai tham s SU (2) pq tr v i s SU (2) thụng thng 1.1 i s SU(2) Gi s cú cỏc toỏn t boson (i = 1, 2) tha cỏc h thc giao hoỏn ộ , a +j ự = d ij ỷ ộở , a j ựỷ = (1.1) a vo nh ngha toỏn t s ht N i = ai+ ộở Ni , N j ựỷ = (1.2) Cỏc vộct riờng trc chun ca toỏn t s ht l (a1+ )n1 (a2+ ) n2 | n1 , n2 ủ = | 0ủ n1 !n2 ! (1.3) ổa a2+ s i ỗ ữ ố a2 ứ (1.4) Xột toỏn t Ji = ( + a1 Trong ú s i l nhng ma trn Pauli ) ổ 1ử ổ0 - iử ổ1 s1 = ỗ , s2 = ỗ , s3 = ỗ ữ ữ ữ 0ứ ố1 ứ ối ố - 1ứ Ta c: J1 = + a1 ( ổ 1ử ổ a1 a2+ ỗ ữỗ ữ ố1 ứố a2 ứ ( ) ) + a1 a2 + a2+ a1 ổ - i ổ a1 J = a1+ a2+ ỗ ỗ ữ ữứố a2 ứ ối + = a1 a2 - a2+ a1 2i ổ a1 ổ1 J = a1+ a2+ ỗ ữỗ ữ ố - 1ứố a2 ứ = ( ) ( ( = (1.5) ) ) ( + a1 a1 - a2+ a2 ) H thc giao hoỏn gia cỏc J i : [ J1, J ] = J1J - J J1 ( )( ) ( )( ) )( ) ( )( ) 1ộ + a1 a2 + a2+ a1 a1+ a2 - a2+ a1 - a1+ a2 - a2+ a1 a1+ a2 + a2+ a1 ự ỷ 4i = ( N - N1 ) 2i = iJ = [ J , J3 ] = J J3 - J3 J ( 1ộ + a1 a2 - a2+ a1 a1+ a1 - a2+ a2 - a1+ a1 - a2+ a2 a1+ a2 - a2+ a1 ự ỷ 4i i = a1+ a2 + a2+ a1 = iJ1 = ( ) [ J , J1 ] = J J1 - J1 J ( )( ) ( )( ) = ộ a1+ a1 - a2+ a2 a1+ a2 + a2+ a1 - a1+ a2 + a2+ a1 a1+ a1 - a2+ a2 ự ỷ 4ở = a1+ a2 - a2+ a1 = iJ ( ) T nhng biu thc trờn ta thu c h thc giao hoỏn ca cỏc J i : ộở J i , J j ựỷ = ie ijk J k (1.6) õy chớnh l i s Lie SU (2) Vy cú th biu din i s SU (2) qua cỏc toỏn t boson Biu thc (1.3) chớnh l vộct khụng gian Hilbert ca biu din Tuy nhiờn õy l t khụng gian biu din (1.3) tỡm cỏc khụng gian bt kh quy Xột toỏn t Casimir C = J12 + J 22 + J 32 (1.7) ( N1 + N ) (1.8) t J= Ta cú C = J ( J + 1) (1.9) i vi biu din bt kh quy ca toỏn t Casimir cú giỏ tr xỏc nh nờn t dng (1.9) ca C ta thy cú th c trng cho biu din SU (2) bi cỏc giỏ tr riờng ca toỏn t J m ta kớ hiu l j Theo nh ngha ca N i thỡ t (1.8) ta cú 10 j= ( n1 + n2 ) (1.10) Ta thy j l mt s nguyờn hoc bỏn nguyờn, khụng õm xỏc nh cỏc vộc t riờng ca khụng gian ca khụng gian Hilbert (1.3), biu din bt kh quy ca i s SU (2) ta nhn xột rng biu din ny phi c xỏc nh bi hai giỏ tr riờng ( khụng gian chung c xỏc nh bi hai s n1 , n2 ) Ta nhn xột rng toỏn t J giao hoỏn vi J tc l nú cú giỏ tr riờng xỏc nh Ta kớ hiu tr riờng ny l m v t nh ngha ca J (1.5) ta cú: m= ( n1 - n2 ) (1.11) Vy biu din bt kh quy ca SU (2) khụng gian cỏc vộc t c s (1.3) cú th c trng bi j v m liờn h vi n1 , n2 nh sau: n1 = j + m n2 = j - m (1.12) T ú khụng gian ca cỏc vộc t c s ca biu din bt kh quy l (a1+ ) j + m (a2+ ) j -m | j , mủ = | 0ủ ( j + m)!( j - m)! (1.13) T (1.10) v (1.11) ta thy rng vi mt j xỏc nh thỡ m ly 2j+1 giỏ tr m = j , j - 1, , - j + 1, - j Vy khụng gian biu din bt kh quy cú 2j+1 chiu Ta cú a1+ | j , mủ = a1+ (a1+ ) j + m (a2+ ) j -m | 0ủ ( j + m)!( j - m)! (1.14) 45 ( ) = ộ C12 + iC1C2 - iC2C1 + C2 EF + 2ở (C ) - iC1C2 + iC2C1 + C2 FE ự ỷ = iC1C2 H S hng 3: ( SH 3) = {( C1 - iC2 ) E , C3H } = ộở( C1C3 - iC2C3 ) EH + ( C3C1 - iC3C2 ) HE ựỷ = ộở( C1C3 - iC2C3 ) EH - ( C1C3 - iC2C3 ) HE ựỷ = -C1C3 E + iC2C3 E S hng 4: ( SH ) = {( C1 - iC2 ) E , -iC1C2b3} = ( -iC1C1C2b3 - C2C1C2b3 ) E + ( -iC1C2b3C1 - C1C2b3C2 ) E = ( -iC1C1C2b3 + C1C2C2b3 ) E + ( -iC1C1C2b3 + C1C2C2b3 ) E =0 S hng 5: ( SH ) = {( C1 - iC2 ) E , iC1C3b2 } = ( iC1C1C3b2 + C2C1C3b2 + iC1C3b2C1 + C1C3b2C2 ) E = ( C2C1C3b2 + C1C3b2C2 ) E = C1C3C2b2 E + C1C3 (1 - C2b2 ) E = C1C3 E S hng 6: ( SH ) = {( C1 - iC2 ) E , -iC2C3b1} = ( C1 - iC2 ) [ E , -iC2C3b1 ] + {C1 - iC2 , -iC2C3b1} E 46 = {C1, -iC2C3b1} E - {C2 , C2C3b1} E = -iC1C2C3b1E - iC2C3b1C1E = -iC2C3 (1 - b1C1 ) E - iC2C3b1C1E = -iC2C3 E S hng 8: ( SH ) = {( C1 + iC2 ) F , C3 H } 1 = ( C1 + iC2 ) [ F , C3 H ] + {C1 + iC2 , C3 H } F 2 = ( C1 + iC2 ) ([ F , C3 ] H + C3 [ F , H ]) + {C1 + iC2 , C3} HF - C3 [C1 + iC2 , H ] F = ( C1 + iC2 ) C3 F = C1C3 F + iC2C3 F S hng 9: ( SH ) = {( C1 + iC2 ) F , -iC1C2b3} = ( C1 + iC2 ) [ F , -iC1C2b3 ] + {C1 + iC2 , -iC1C2b3} F = {C1 , -iC1C2b3} F + {iC2 , -C1C2b3} F =0 S hng 10: ( SH 10 ) = {( C1 + iC2 ) F , iC1C3b2 } = ( C1 + iC2 ) [ F , iC1C3b2 ] + {C1 + iC2 , iC1C3b2 } F = {C1, iC1C3b2 } F + {iC2 , iC1C3b2 } F = -C2C1C3b2 F - C1C3b2C2 F = -C1C3C2b2 F - C1C3 (1 - C2b2 ) F = -C1C3 F 47 S hng 11 ( SH 11) = {( C1 + iC2 ) F , -iC2C3b1} = ( C1 + iC2 ) [ F , -iC2C3b1 ] + {C1 + iC2 , -iC2C3b1} F = {C1, -iC2C3b1} F + {C2 , C2C3b1} F = -iC1C2C3b1F - iC2C3b1C1F = -iC2C3C1b1F - iC2C3 (1 - C1b1 ) F = -iC2C3 F S hng 13 ( SH 13) = {C3 H , -iC1C2b3} = C3 [ H , -iC1C2b3 ] + {C3 , -iC1C2b3} H = -iC3C1C2b3 H - iC1C2b3C3 H = -iC1C2C3b3 H - iC1C2 (1 - C3b3 ) H = -iC1C2 H S hng 14 ( SH 14 ) = {C3H , iC1C3b2} = C3 [ H , iC1C3b2 ] + {C3 , iC1C3b2 } H =0 S hng 15 ( SH 15 ) = {C3 H , -iC2C3b1} = C3 [ H , -iC2C3b1 ] + {C3 , -iC2C3b1} H =0 S hng 17 ( SH 17 ) = 2{C1C2b3 , C1C3b2} = 2C1C2b3C1C3b2 + 2C1C3b2C1C2b3 = 2C2b3C1C1C3b2 + 2C3b2C1C1C2b3 = 48 S hng 18 ( SH 18 ) = -2{C1C2b3 , C2C3b1} = -2C1C2b3C2C3b1 - 2C2C3b1C1C2b3 =0 S hng 20 ( SH 20 ) = 2{C1C3b2 , C2C3b1} = 2C1C3b2C2C3b1 + 2C2C3b1C1C3b2 =0 Nh vy: {Q, Q} = iC1C2 H - C1C3 E + iC2C3E + C1C3E - iC2C3 E + C1C3 F + iC2C3 F - C1C3 F - iC2C3 F - iC1C2 H =0 Ta tớnh li tớnh cht nilpotent ca ti BRST vi nhúm SU(2)q bin dng mt tham s Ta cú Q = {Q, Q} vy nu {Q, Q} = tc l Q = ỡ EC + FC + H C + q + q -1 q H + q - H ( b+C-C0 - b-C+C0 ) [ ] ùù {Q, Q} = ù+b C C + q - q -1 [ H ] ( b C C + b C C - 2b b C C C ) , + - - + + - + - q ùợ + - ỡ ỹỹ EC + FC + [ H ] C + ớb0C+C- + q + q -1 q H + q - H ( b+C-C0 - b-C+C0 ) ýù ợ ỵù ý -1 + q-q [ H ]q ( b+C-C0 + b-C+C0 - 2b+b-C+C-C0 )ùù ỵ ( ( )( ) ) ( ( )( ) ) { = { EC- , EC- } + 2{ EC- + FC+ } + EC- , [ H ]q C0 ( ){ ( +2{EC- , b0C+C- } + q + q -1 EC- , q H + q - H } ) (b C C + - } - b-C+C0 ) 49 ( + q - q -1 ) {EC ,[ H ] (b C C - + q { - } + b-C+C0 - 2b+b-C+C-C0 ) } + { FC+ , FC+ } + FC+ , [ H ]q C0 + 2{ FC+ , b0C+C- } ( ){ ( ) (b C C - b C C )} + ( q - q ) { FC , [ H ] ( b C C + b C C - 2b b C C C )} + q + q -1 FC+ , q H + q - H -1 + + q { + - - - - + + + - } { + [ H ]q C0 , [ H ]q C0 + [ H ]q C0 , b0C+C- + - } ( ){[ H ] C , ( q + q ) (b C C - b C C )} + ( q - q ) {[ H ] C , [ H ] ( b C C + b C C - 2b b C C C )} + {b C C , b C C } + ( q + q ){b C C , ( q + q ) (b C C - b C C )} + ( q - q ) {b C C , [ H ] ( b C C + b C C - 2b b C C C )} + ( q + q ) {( q + q ) ( b C C - b C C ) , ( q + q ) ( b C C - b C C )} + ( q - q ) ( q + q ){( q + q ) ( b C C - b C C ) , + q + q -1 -H H -1 q + - + + q + q - - + - 0 -1 - - + -1 + - q -H H -H H -H -1 -1 + - - + + - - + - -H H + - + + + - - + - H -1 + - + + - - + - + - 0 0 - + [ H ]q ( b+C-C0 + b-C+C0 - 2b+b-C+C-C0 )} + ( q - q -1 ) {[ H ] (b C C q + - + b-C+C0 - 2b+b-C+C-C0 ) , [ H ]q ( b+C-C0 + b-C+C0 - 2b+b-C+C-C0 )} Ta tớnh tng s hng ca tng trờn: S hng ( SH 1) = {EC- , EC- } = E [C- , EC- ] + {C- , EC- } E 50 = E [C- , E ] C-C + E [C- , C- ] + [C- , E ] C- E + E {C- , C- } E =0 Tng t ta tớnh c cỏc s hng 7, s hng 12, s hng 16, s hng 19, S hng 21 ( SH 7) = ( SH 12) = ( SH 16) = ( SH 19) = ( SH 21) = S hng ( SH ) = 2{EC- , FC+ } = E {C- , FC+ } - [ E , FC+ ] C= E [C- , F ] C+ + EF {C- , C+ } - [ E , F ] C+C- - F [ E , C+ ] C= -2 [ E , F ] C+CS hng ( SH 3) = 2{EC- , [ H ]q C0} { } = E C- , [ H ]q C0 - ộ E , [ H ]q C0 ự Cở ỷ = E ộC- , [ H ]q ự C0 + E [ H ]q {C- , C0 } ỷ - ộ E , [ H ]q ự C0C- - [ H ]q [ E , C0 ] Cở ỷ = -2 ộ E , [ H ]q ự C0Cở ỷ S hng ( SH ) = 2{EC- , b0C+C- } = E {C- , b0C+C- } =0 S hng ( SH 5) = ( q + q -1 ){EC- , ( q H + q - H ) ( b+C-C0 - b-C+C0 )} 51 ) { ( ) ( b C C - b C C )} - ( q + q ) ộ E , ( q + q ) ( b C C - b C C )ự C ỷ = ( q + q ) E ộC , ( q + q ) ự ( b C C - b C C ) ỷ + ( q + q ) E ( q + q ){C , ( b C C - b C C )} - ( q + q ) ộ E, ( q + q )ự (b C C - b C C ) C ỷ - ( q + q )( q + q ) ộở E , ( b C C - b C C ) ựỷ C = ( q + q ) E ( q + q ){C , ( b C C )} - ( q + q ) E ( q + q ){C , ( b C C )} + ( q + q ) ộ E, ( q + q )ự ( b C C ) C ỷ = ( q + q ) E ( q + q ){C , ( b )}C C - ( q + q ) E ( q + q ) b [C , C C ] - ( q + q ) E ( q + q ){C , ( b )} C C + ( q + q ) E ( q + q ) b [C , C C ] + ( q + q ) ộ E, ( q + q )ự (b C C ) C ỷ = (q + q ) E (q + q )C C + ( q + q ) ộ E, ( q + q )ự ( b C C ) C ỷ ( = q + q -1 E C- , q H + q - H -1 -1 -1 -1 -H H + - -H H - - - + - - - + 0 - + 0 - + - - - + + + - - - 0 - + + 0 - - - 0 - + + 0 - + - - + - -H H + - -H H -1 + - -H H -1 - -H H -1 -1 -H H -1 - -H - - - - + -H H -1 - -H H H -1 + -H H - + -H H -1 - -H H -1 + -H H -1 -1 -H H - + S hng {EC ,[ H ] (b C C + b C C - 2b b C C C )} ) E {C ,[ H ] ( b C C + b C C - 2b b C C C )} ( SH ) = ( q - q -1 ) ( = q - q -1 - q + - - + + - + - - q + - - + + - + - ( ) - q - q -1 ộ E , [ H ]q ( b+C-C0 + b-C+C0 - 2b+b-C+C-C0 ) ự Cở ỷ ( ) = q - q -1 E ộC- , [ H ]q ự ( b+C-C0 + b-C+C0 - 2b+b-C+C-C0 ) ỷ 52 ( ) - ( q - q ) ộ E , [ H ] ự ( b C C + b C C - 2b b C C C ) C ỷ - ( q - q ) [ H ] ộở E , ( b C C + b C C - 2b b C C C ) ựỷ C + q - q -1 E [ H ]q {C- , ( b+C-C0 + b-C+C0 - 2b+b-C+C-C0 )} -1 + q -1 + q ( ) - - - 0 - + + + - + - + + - - 0 - = q - q -1 E [ H ]q {C- , ( b+C-C0 + b-C+C0 - 2b+b-C+C-C0 )} ( ) - q - q -1 ộ E , [ H ]q ự ( b-C+C0 ) Cở ỷ ( ) ( = q - q -1 E [ H ]q {C- , ( b+C-C0 )} + {C- , ( b-C+C0 )} - 2{C- , b+b-C+C-C0 } ( ) ) - q - q -1 ộ E , [ H ]q ự ( b-C+C0 ) Cở ỷ ( = q - q -1 ) ( E[H ] C C q - - E [ H ]q b-C+C0C- + [ H ]q Eb-C+C0C- S hng ( SH ) = 2{ FC+ ,[ H ]q C0} = F {C+ ,[ H ]q C0} - ộở F , [ H ]q C0 ựỷ C+ = F ộC+ , [ H ]q ự C0 + F [ H ]q {C+ , C0 } ỷ - ộ F , [ H ]q ự C0C+ - [ H ]q [ F , C0 ] C+ ỷ = -2 ộ F , [ H ]q ự C0C+ ỷ S hng ( SH ) = 2{FC+ , b0C+C- } = FC+b0C+C- + 2b0C+C- FC+ = Fb0C+C+C- + 2b0C+C+C- F =0 S hng 10 ) 53 ( SH 10 ) = ( q + q -1 ){FC+ , ( q H + q - H ) ( b+C-C0 - b-C+C+ )} ) { ( ) (b C C - b C C )} - ( q + q ) ộ F , ( q + q ) (b C C - b C C )ự C ỷ = ( q + q ) F ộởC , q + q ựỷ ( b C C - b C C ) + ( q + q ) F ( q + q ){C , ( b C C - b C C )} - ( q + q ) ộ F , ( q + q )ự ( b C C - b C C ) C ỷ - ( q + q ) ( q + q ) ộở F , ( b C C - b C C ) ựỷ C = ( q + q ) F ( q + q ) ({C , ( b C C )} - {C , ( b C C )} ) - ( q + q ) ộ F , ( q + q )ự ( b C C ) C ỷ = (q + q ) F (q + q )C C - ( q + q ) ộ F , ( q + q )ự ( b C C ) C ỷ ( = q + q -1 F C+ , q H + q - H -1 -H H -1 -1 -1 -1 -H H -H H -1 -1 -H H + - + - + - -H H - + + - + + - + - + + + + - + + - + + + - + + -1 - - -H H - + + - - + -H H - + -H H -1 + -H H + + S hng 11 {FC ,[ H ] (b C C + b C C - 2b b C C C )} ) F {C+ ,[ H ] (b C C + b C C - 2b b C C C )} ( SH 11) = ( q - q -1 ) ( = q - q -1 + + q - - + + - + - + q ( ) - - + + - + - - q - q -1 ộ F , [ H ]q ( b+C-C0 + b-C+C0 - 2b+b-C+C-C0 ) ự C+ ỷ ( ) = q - q -1 F ộC+ , [ H ]q ự ( b+C-C0 + b-C+C0 - 2b+b-C+C-C0 ) ỷ ( - (q - q - (q - q ) ) ộở F ,[ H ] ựỷ (b C C + b C C - 2b b C C C ) C ) [ H ] ộở F , ( b C C + b C C - 2b b C C C )ựỷ C + q - q -1 F [ H ]q {C+ , ( b+C-C0 + b-C+C0 - 2b+b-C+C-C0 )} ( -1 + q -1 q ) + - - - 0 - = - q - q -1 ộ F , [ H ]q ự ( b+C-C0 ) C+ ỷ + + 0 + - + - + + - - 0 + + 54 ( ) + q - q -1 F [ H ]q ({C+ , b+C-C0 } + {C+ , b-C+C0 } - 2{C+ , b+b-C+C-C0 } ) ( = q - q -1 ) (F [H ] C C + q - F [ H ]q b+C-C0C+ + [ H ]q Fb+C-C0C+ ) S hng 13 ( SH 13) = 2{[ H ]q C0 , b0C+C- } = [ H ]q {C0 , b0C+C- } - ộ[ H ]q , b0C+C- ự C0 ỷ = [ H ]q {C0 , b0 } C+C- - [ H ]q b0 [C0 , C+C- ] = [ H ]q C+C- S hng 14 ( SH 14 ) = ( q + q -1 ){[ H ]q C0 , ( q H + q - H ) ( b+C-C0 - b-C+C0 )} ( { ( ) ) (b C C - b C C )} ) (b C C - b C C )ựỷ C = q + q -1 [ H ]q C0 , q H + q - H ( ) ( - q + q -1 ộ[ H ]q , q H + q - H ( ) + + ( - - - - + + 0 ) = q + q -1 [ H ]q ộC0 , q H + q - H ự ( b+C-C0 - b-C+C0 ) ỷ ( - (q + q - (q + q ) ( ){C , (b C C - b C C )} ) ộở[ H ] , ( q + q )ựỷ ( b C C - b C C ) C )( q + q ) ộở[ H ] , (b C C - b C C )ựỷ C + q + q -1 [ H ]q q H + q - H -1 H -1 + -H H + q ( ) ( = ( q + q )[ H ] ( q -1 q S hng 15 -H q = q + q -1 [ H ]q q H + q - H =0 + H + q-H - - - - - - + + + 0 0 ){C , (b C C - b C C )} ) ({C , ( b C C )} - {C , ( b C C )}) + 0 - + - - + 0 - + 55 ( SH 15 ) = ( q - q -1 ) {[ H ]q C0 ,[ H ]q ( b+C-C0 + b-C+C0 - 2b+b-C+C-C0 )} ( +(q - q = (q - q +(q - q +(q - q +(q - q = q - q -1 ) [ H ] ộởC ,[ H ] (b C C + b C C - 2b b C C C )ựỷ ) {[ H ] ,[ H ] (b C C + b C C - 2b b C C C )}C ) [ H ] ộởC ,[ H ] ựỷ ( b C C + b C C - 2b b C C C ) ) ([ H ] ) ộởC , (b C C + b C C - 2b b C C C )ỷự ) ộở[ H ] ,[ H ] ựỷ (b C C + b C C - 2b b C C C ) C ) [ H ] {[ H ] , (b C C + b C C - 2b b C C C )}C q q -1 q + q + - - -1 q - + - - q - + + + - - + + 0 + - 0 + + - - 0 + - + - + - 0 -1 + q q q -1 + -1 q + q - - - - - + + + - + - + - + + - - 0 0 =0 S hng 17 ( SH 17 ) = ( q + q -1 ){b0C+C- , ( q H + q - H ) ( b+C-C0 - b-C+C0 )} ( ) + ( q + q )( q = ( q + q )( q ( ) = q + q -1 ộb0C+C- , q H + q - H ự ( b+C-C0 - b-C+C0 ) ỷ -1 -1 H H + q-H + q- H ){b C C , (b C C - b C C )} ) ({b C C , (b C C )} - {b C C , (b C C )}) 0 + + - - + + - - 0 - + 0 + - - + Trong s hng ny ta thy: {b0C+C- , ( b+C-C0 )} = b0 {C+C- , ( b+C-C0 )} - [b0 , b+C-C0 ]C+C= b0C+ {C- , ( b+C-C0 )} - b0 [C+ , b+C-C0 ] C- [b0 , b+ ] C-C0C+C- - b+ [b0 , C-C0 ] C+C- = b0C+ {C- , ( b+ )} C-C0 - b0C+b+ [C- , C-C0 ] -b0 [C+ , b+ ] C-C0C- - b0b+ [C+ , C-C0 ] C-b+ [b0 , C- ] C0C+C- - b+C- [b0 , C0 ] C+C= b0C+C-C0 56 {b0C+C- , ( b-C+C0 )} = b0 {C+C- , b-C+C0} - [b0 , b-C+C0 ]C+C= b0C+ [C- , b-C+C0 ] + b0 {C+ , b-C+C0 } C- [b0 , b- ] C+C0C+C- - b- [b0 , C+C0 ] C+C= b0C+ [C- , b- ] C+C0 + b0C+b- [C- , C+C0 ] +b0 {C+ , b- } C+C0C- - b0b- [C+ , C+C0 ] C-b- [b0 , C+ ] C0C+C- - b-C+ [b0 , C0 ] C+C= -2b0C+b-C-C+C0 + b0C+C0C- = -2b0 (1 - b-C+ ) C-C+C0 - b0C+C0C= 2b0C+C-C0 - b0C+C-C0 = b0C+C-C0 Nh vy: {b0C+C- , ( b+C-C0 )} - {b0C+C- , ( b-C+C0 )} = b0C+C-C0 - b0C+C-C0 = Tc l (SH17)=0 S hng 18 {b C C ,[ H ] (b C C + b C C - 2b b C C C )} ) b {C C ,[ H ] ( b C C + b C C - 2b b C C C )} ( SH 18 ) = ( q - q -1 ) = ( q - q -1 + - q + - - + + - + - + - q + - - + + - + - - ( q - q -1 ) ộb0 , [ H ]q ( b+C-C0 + b-C+C0 - 2b+b-C+C-C0 ) ự C+Cở ỷ = ( q - q -1 ) b0 ộC+C- , [ H ]q ự ( b+C-C0 + b-C+C0 - 2b+b-C+C-C0 ) ỷ + ( q - q -1 ) b0 [ H ]q {C+C- , ( b+C-C0 + b-C+C0 - 2b+b-C+C-C0 )} - ( q - q -1 ) ộb0 , [ H ]q ự ( b+C-C0 + b-C+C0 - 2b+b-C+C-C0 ) C+Cở ỷ - ( q - q -1 ) [ H ]q ộởb0 , ( b+C-C0 + b-C+C0 - 2b+b-C+C-C0 ) ựỷ C+C2 = ( q - q -1 ) b0 [ H ]q {C+C- , ( b+C-C0 + b-C+C0 - 2b+b-C+C-C0 )} - ( q - q -1 ) [ H ]q ộởb0 , ( b+C-C0 + b-C+C0 - 2b+b-C+C-C0 ) ựỷ C+C2 57 Trong s hng ny ta thy: {C+C- , ( b+C-C0 + b-C+C0 - 2b+b-C+C-C0 )} = {C+C- , ( b+C-C0 )} + {C+C- , ( b-C+C0 )} - 2{C+C- , ( b+b-C+C-C0 )} = C+ {C- , ( b+C-C0 )} - [C+ , b+C-C0 ] C- + C+ {C- , ( b-C+C0 )} - [C+ , b-C+C0 ] C- - 2C+ {C- , ( b+b-C+C-C0 )} + [C+ , b+b-C+C-C0 ] C= C+ {C- , ( b+ )} C-C0 - C+b+ [C- , C-C0 ] - [C+ , b+ ]C-C0C- - b+ [C+ , C-C0 ] C+ C+ {C- , ( b- )} C+C0 - C+b- [C- , C+C0 ] - [C+ , b- ] C+C0C-b- [C+ , C+C0 ] C- - 2C+ {C- , ( b+ )}b-C+C-C0 + 2C+b+ [C- , b-C+C-C0 ] + [C+ , b+ ] b-C+C-C0C- + 2b+ [C+ , b-C+C-C0 ] C= C+C-C0 - C+C0C- - 2C+b-C+C-C0 + 2b+C+b-C+C-C0C- - 2b+b-C+C-C0C+C- = 2C+C-C0 - (1 - b-C+ ) C+C-C0 = V ta cng cú: ộởb0 , ( b+C-C0 + b-C+C0 - 2b+b-C+C-C0 ) ựỷ C+C= ộởb0 , ( b+C-C0 ) ựỷ C+C- + ộởb0 , ( b-C+C0 ) ựỷ C+C- - ộởb0 , ( b+b-C+C-C0 ) ựỷ C+C= ộởb0 , ( b+ ) ựỷ C-C0C+C- + b+ ộởb0 , ( C-C0 ) ựỷ C+C- + ộởb0 , ( b- ) ựỷ C+C0C+C+ b- ộởb0 , ( C+C0 ) ựỷ C+C- - ộởb0 , ( b+ ) ựỷ b-C+C-C0C+C- b+ ộởb0 , ( b-C+C-C0 ) ựỷ C+C= b+ ộởb0 , ( C-C0 ) ựỷ C+C- + b- ộởb0 , ( C+C0 ) ựỷ C+C- - 2b+ ộởb0 , ( b-C+C-C0 ) ựỷ C+C- b+C-C0b0C+C- + b-C+C0b0C+C- + 2b+b-C+C-C0b0C+C= b+C-C-C0b0C+ + b-C+C+C0b0C- - 2b+b-C+C-C-C0b0C+ =0 S hng 20 58 ( SH 20 ) = ( q - q -1 {( q = H + q-H ) (q + q ) ) (b C C - b C C ) , -1 + - - + [ H ]q ( b+C-C0 + b-C+C0 - 2b+b-C+C-C0 )} ( q - q -1 ) ( q + q )(( q -1 H + q-H ){(b C C + - - b-C+C0 ) , [ H ]q ( b+C-C0 + b-C+C0 - 2b+b-C+C-C0 )} ( ) - ( b+C-C0 - b-C+C0 ) ộ q H + q - H , [ H ]q ( b+C-C0 + b-C+C0 - 2b+b-C+C-C0 )ựỷ ) = ( q - q -1 ) ( q + q )(( q -1 H ) + q - H ộb+C-C0 - b-C+C0 , [ H ]q ự ỷ ( b+C-C0 + b-C+C0 - 2b+b-C+C-C0 ) + ( q H + q - H ) [ H ]q {( b+C-C0 - b-C+C0 ) , ( b+C-C0 + b-C+C0 - 2b+b-C+C-C0 )} ( ) - ( b+C-C0 - b-C+C0 ) ộ q H + q - H , [ H ]q ự ỷ ( b+C-C0 + b-C+C0 - 2b+b-C+C-C0 ) - ( b+C-C0 - b-C+C0 ) [ H ]q ( ) ộ q H + q - H , ( b+C-C0 + b-C+C0 - 2b+b-C+C-C0 ) ự ỷ = ( q - q -1 ) ( q + q )( q -1 H + q-H )[ H ] {( b C C q + - ) - b-C+C0 ) , ( b+C-C0 + b-C+C0 - 2b+b-C+C-C0 )} Trong s hng ny ta xột riờng: {( b+C-C0 - b-C+C0 ) , ( b+C-C0 + b-C+C0 - 2b+b-C+C-C0 )} = {b+C-C0 , ( b+C-C0 )} + {b+C-C0 ,(b-C+C0 )} - 2{b+C-C0 , ( b+b-C+C-C0 )} - {b-C+C0 , ( b+C-C0 )} - {b-C+C0 , ( b-C+C0 )} + 2{b-C+C0 , ( b+b-C+C-C0 )} 59 = b+ {C-C0 , ( b+C-C0 )} - [b+ , b+C-C0 ] C-C0 + b+ {C-C0 , ( b-C+C0 )} - [b+ , b-C+C0 ] C-C0 - 2b+ {C-C0 , ( b+b-C+C-C0 )} + [b+ , b+b-C+C-C0 ] C-C0 -b- {C+C0 , ( b+C-C0 )} + [b- , b+C-C0 ] C+C0 - b- {C+C0 , ( b-C+C0 )} + [b- , b-C+C0 ] C+C0 + 2b- {C+C0 , ( b+b-C+C-C0 )} - [b- , b+b-C+C-C0 ] C+C0 = b+C- {C0 , ( b+C-C0 )} - b+ [C- , b+C-C0 ] C0 - [b+ , b+ ] C-C0C-C0 -b+ [b+ , C-C0 ] C-C0 + b+C- {C0 , ( b-C+C0 )} - b+ [C- , b-C+C0 ] C0 - [b+ , b- ] C-C0C-C0 - b- [b+ , C+C0 ] C-C0 - 2b+C- {C0 , ( b+b-C+C-C0 )} +2b+ [C- , b+b-C+C-C0 ] C0 + [b+ , b+ ] b-C+C-C0C-C0 + 2b+ [b+ , b-C+C-C0 ] C-C0 + [b- , b+ ] C-C0C+C0 + b+ [b- , C-C0 ] C+C0 + [b- , b- ] C+C0C+C0 +b- [b- , C+C0 ] C+C0 + 2b-C+ {C0 , ( b+b-C+C-C0 )} - 2b- [C+ , b+b-C+C-C0 ] C0 - [b- , b+ ] b-C+C-C0C+C0 - b+ [b- , b-C+C-C0 ] C+C0 = -b+ [C- , b+C-C0 ] C0 - b+ [b+ , C-C0 ] C-C0 + 2b+ [C- , b+b-C+C-C0 ] C0 +2b+ [b+ , b-C+C-C0 ] C-C0 + b- [b- , C+C0 ] C+C0 - 2b- [C+ , b+b-C+C-C0 ] C0 =0 nh vy (SH20)=0 Tng hp cỏc s hng trờn ta cú: {Q, Q} = -2 [ E , F ]C+C- - ộở E ,[ H ]q ựỷ C0C- + ( q + q -1 ) E ( q H + q - H ) C-C0 ( ) ( ) + ( q - q ) ( E [ H ] C C - E [ H ] b C C C + [ H ] Eb C C C ) -2 ộ F , [ H ] ự C C + ( q + q ) F ( q + q ) C C ỷ - ( q + q ) ộ F , ( q + q )ự (b C C ) C ỷ + ( q - q ) ( F [ H ] C C - F [ H ] b C C C + [ H ] Fb C C C ) + q + q -1 ộ E , q H + q - H ự ( b-C+C0 ) Cở ỷ -1 q q -1 -1 + - -H H -H H q =0 q - + -1 +2 [ H ]q C+C- - + + - + q + + - q - + - q + - + + [...]... mủ pq = m | j , mủ pq Toỏn t Casimir: [ j - m] pq [ j + m + 1] pq | j, m + 1ủ pq (1.48) 19 ( ) (J J = ( pq ) ( ( pq C pq = pq -1 J3 + - -1 J 3 -1 ) + 1] pq ) + ( p - 1q ) [ J 3 ] pq [ J 3 - 1] pq ) J + J - + [ J 3 ] pq [ J 3 (1.49) Tr riờng ca toỏn t Casimir l: ( C pq = pq -1 ) [ j] j pq [ j + 1] pq (1.50) Toỏn t Casimir ny l s bin dng ca toỏn t Casimir c in trong trng hp gi hn p, q đ 1 nú s tr v h thc... ni ủ pq = ni | ni ủ pq (1.41) Tỏc dng cỏc toỏn t a1 , a1+ , a2 , a2+ lờn nhng trng thỏi riờng | ni ủ pq cú th c chn sao cho: a1+ | nủ pq = [ n + 1] pq | n + 1ủ pq a1 | nủ pq = [ n] pq | n - 1ủ pq a2+ | nủ pq = [ n + 1] pq | n + 1ủ pq ( a2 | nủ pq = pq -1 ) n -1 (1.42) [ n] pq | n - 1ủ pq Nu nh ngha trng thỏi chõn khụng tng ng vi giỏ tr riờng bng 0 ca toỏn t N i thỡ trng thỏi riờng lng t | ni ủ pq c nh... ] pq = q x - p- x q1 - p -1 (1.36) vi p, q l nhng s thc i s ny c xem nh s bin dng ca i s SU (2) c c trng bi hai thụng s bin dng p, q Trong trng hp gii hn p = q thỡ [ x] pq đ [ x ]q v i s (1.34) tr v i s bin dng mt tham s (1.20) Bõy gi tụi s tỡm biu din bt kh quy ca i s SU (2) pq bng phng phỏp Schwinger tng quỏt thc hin c iu ny tụi s xõy dng dao ng iu hũa bin dng p, q hay cũn gi tt l dao ng p, q ... flpq {TnCn , Cl C pbq } = - ồ flpqTnCl C p {bn , Cq } ồ 2 n,l , p ,q 2 n,l , p ,q =- i ồ flpnTl Cl C p 2 n,l , p =- i ồ flpkTk Cl C p 2 k ,l , p =- i ồ fl nkTk Cl Cn 2 n ,l ,k = i ồ fnlkTk Cl Cn 2 n ,l ,k S hng th t - 1 ồ fnmk flpq {CnCmbk , Cl C pbq } = 4 n ,m ,k ,l , p ,q == Ta c: ( ) 1 ồ f nmk flpqCl C p {Cn , bq } Cm - Cn {Cm , bq } bk 4 n,m ,k ,l , p ,q 1 ồ f mpk f knqCnCmC pbq 2 n,m ,k ,l , p ,q. .. , p ,q 23 Q 2 = -i ồ f nlkTk Cl Cn + n ,l , k + = i i f nlk Tk Cl Cn + ồ f nlkTk Cl Cn ồ 2 n ,l ,k 2 n ,l ,k 1 ồ f mpk f knqCnCmC pbq 2 n ,m ,k ,l , p ,q 1 ồ f mpk f knqCnCmC pbq 2 n ,m,k ,l , p ,q T ng nht thc Jacobi: f nmk f kpq + f mpk f knq + f pnk f kmq = 0 Ta cú: ồ f mpk f knqCnCmC p = n ,m ,k ,l , p ,q = 1 ồ ( f mpk f knqCnCmC p 3 n ,m,k ,l , p ,q + f pnk f kmqCmC pCn + f nmk f kpqC pCn Cm )... (2) pq Nhng trng thỏi riờng bt kh quy | j , mủ pq ca i s lng t SU (2) pq cú th thu c t cỏc giỏ tr riờng (1.45) vi n1 = j + m, n2 = j - m | j , mủ pq = (a ) (a ) + j +m 1 + j -m 2 [ j + m] pq ![ j - m] pq ! | 0ủ (1.47) Tỏc dng ca nhng vi t J + , J - , J 3 lờn nhng vộc t c s | j , mủ pq l ( J + | j , mủ pq = pq -1 J - | j , mủ pq = ) j -m -1 [ j + m] pq [ j - m + 1] pq | j, m - 1ủ pq J 3 | j , mủ pq =... (1.26) Gi | nủ q l vộc t trng thỏi trong khụng gian Hilbert, | nủ q l vộc t riờng ca toỏn t N i N i | nủ q = ni | nủ q (1.27) õy | nủ q =| n1 , n2 ủ q Cú th xõy dng | nủ q t cỏc toỏn t a1+ , a2+ nh sau: (a1+ ) n1 (a2+ )n2 | nủ q =| n1, n2 ủ q = | 0ủ [n1 ]q ![n2 ]q ! (1.28) Biu din bt kh quy ca i s lng t SU (2 )q cú th thu c t trng thỏi riờng (1.28) vi n1 = j + m v n2 = j - m | j , mủ q = (a1+ ) j +... | j , mủ q = (1.31) Toỏn t Casimir Cq = J12 + J 22 + [ 2 ]q 2 [ J 3 ] 2q = 2 J + J - + [ J 3 ]q [ J 3 - 1 ]q (1.32) = 2 J - J + + [ J 3 ]q [ J 3 + 1 ]q giỏ tr riờng ca toỏn t ny l Cq = [ j ]q [ j + 1 ]q (1.33) 1.3 i s SU ( 2 )pq bin dng hai tham s i s lng t SU (2) pq c to nờn bi nhng vi t J1 , J 2 , J 3 tuõn theo nhng h thc giao hoỏn: [J + , J - ]( pq ) = [ 2 J 3 ] pq -1 [J , J ] = J [ J , J ] = -J 3 +... m ]q ![ j - m ]q ! | 0ủ (1.29) Nhng vi t ca i s SU (2 )q cú th c biu din trong nhng s hng ca a1 , a2 v liờn hp ca chỳng a1+ , a2+ nh sau: 1 + a1 a2 2 1 + J- = a2 a1 2 1 J 3 = ( N1 - N 2 ) 2 J+ = (1.30) 15 Tỏc dng ca nhng vi t J + , J - , J 3 lờn c s (1.29) J + | j , mủ q = 1 [ j + m + 1 ]q [ j - m ]q | j, m + 1ủ q 2 1 [ j - m + 1 ]q [ j + m ]q | j, m - 1ủ q 2 J 3 | j , mủ q = m | j , mủ q J - | j , mủ q =... SU ( 2 )q bin dng mt tham s Nhúm lng t SU (2 )q ca nhng toỏn t t liờn hp J1 , J 2 , J 3 c mụ t bi nhng h thc: i 2 [ J1, J 3 ] = -iJ 2 [ J1, J 2 ] = [ 2 J 3 ]q [ J 2 , J 3 ] = iJ1 hay (1.20) 13 1 2 [ J3, J ] = J [ J + , J - ] = [ 2 J 3 ]q (1.21) a vo kớ hiu q x - q- x = 1 q - q -1 [ x ]q (1.22) i s ny l s bin dng ca i s SU (2) c c trng bi thụng s bin dng q Trong trng hp gii hn q đ 1 thỡ [ x ]q đ x v ... ]q q -1 [ N ]q + q N2 - [ N ]q q -1 [ N1 ]q + q N1 = [ N1 ]q q -1 [ N ]q + [ N1 ]q q N2 - [ N ]q q -1 [ N1 ]q - [ N ]q q N1 = [ N1 ]q q N2 - [ N ]q q N1 ổ q N1 - q - N1 N q N - q - N2 N1 = ỗ q. .. [ N ]qp q N1 = [ N1 ] pq q -1 [ N ]qp + [ N1 ] pq p N - q -1 [ N ]qp [ N1 ] pq - pq -1 [ N ]qp q N1 = [ N1 ] pq p N2 - pq -1 [ N ]qp q N1 N2 q N1 - p - N1 N2 - q - N2 N1 -1 p = p - pq q q - p... [ N ]q [ N1 + 1 ]q - [ N + 1 ]q [ N1 ]q 2i ộổ q N2 - q - N ổ q N1 +1 - q -( N1 +1) = ờỗ ữữỗ -1 -1 2i ờố q q q q ứố ứ = ( ) ổ q N2 +1 - q -( N +1) ổ q N1 - q - N1 ỗ ữỗ -1 q - q -1 ố ứố q - q ửự