Đại số virasoro biến dạng r(q) và phổ khối lượng các trường dây (LV01156)

LI CM N Tụi xin by t lũng bit n sõu sc n GS.TSKH Nguyn Th H Loan, ngi ó tn tỡnh giỳp ch bo v cung cp cho tụi nhng kin thc nn tng tụi hon thnh bi lun ny Cụ cng l ngi ó giỳp tụi ngy cng tip cn v cú nim say mờ khoa hc sut thi gian c lm vic cựng Cụ Tụi xin by t lũng bit n ti cỏc thy, cỏc cụ cụng tỏc ti phũng sau i Hc, Khoa Vt Lớ Trng i hc s phm H Ni v cỏc Giỏo s, Tin s ó trc tip ging dy, truyn t cho tụi nhng kin thc quý bỏu v chuyờn mụn cng nh kinh nghim nghiờn cu khoa hc thi gian qua Cui cựng, tụi xin chõn thnh gi li cm n n nhng ngi thõn gia ỡnh, bn bố ó luụn giỳp , ng viờn v to mi iu kin cho tụi sut quỏ trỡnh hc v hon thin lun ny H Ni, thỏng nm 2013 Tỏc gi Nguyn Thỳy H LI CAM OAN Tờn tụi l: Nguyn Thỳy H, hc viờn cao hc khúa 2011 2013 chuyờn ngnh Vt lớ lớ thuyt v Vt lớ toỏn Trng i hc S phm H Ni Tụi xin cam oan ti: i s Virasoro bin dng R(q ) v ph lng cỏc trng dõy , l kt qu nghiờn cu v thu thp ca riờng tụi Cỏc lun c, kt qu thu c ti l trung thc, khụng trựng vi cỏc tỏc gi khỏc Nu cú gỡ khụng trung thc lun tụi xin hon ton chu trỏch nhim trc hi ng khoa hc H Ni, thỏng nm 2013 Tỏc gi Nguyn Thỳy H MC LC M U NI DUNG Chng 1: i s Virasoro 1.1 i s Virasoro khụng cú d thng 1.2 i s Virasoro cú d thng 1.3 Bin dng mt thụng s ca i s Virasoro khụng d thng 1.4 Bin dng mt thụng s ca i s Virasoro cú d thng 10 Chng 2: i s Virasoro bin dng R(q) 11 2.1 Dao ng t bin dng R 17 2.2 Dao ng t bin dng R(q) 17 2.3 i s Virasoro bin dng R(q) 19 Chng 3: Ph lng cỏc trng dõy 28 3.1 Ph lng ca trng dõy Bosson 28 3.1.1 Ph lng ca trng dõy Bosson m 28 3.1.2 Ph lng ca trng dõy Bosson úng 34 3.2 Ph lng ca trng siờu dõy 39 3.2.1 Ph lng ca trng siờu dõy m .39 3.2.2 Ph lng ca trng siờu dõy úng 46 KT LUN 55 TI LIU THAM KHO 56 M U 1.Lý chn ti Vt lý hc c xem l ngnh khoa hc c bn chi phi tt c cỏc ngnh khoa hc t nhiờn khỏc, l mt nhng mụn khoa hc t nhiờn nghiờn cu nhng qui lut n gin nht v tng quỏt nht ca cỏc hin tng t nhiờn, nghiờn cu nhng tớnh cht, cu trỳc ca vt cht v nhng qui lut ca s ng ca vt cht Nhỡn vo lch s vt lý, ta thy rng cỏc nh khoa hc ó nhiu ln bin dng cỏc qui lut vt lý c bn to nờn cỏc lý thuyt mi ỏp ng nhu cu nghiờn cu Lý thuyt dõy c xem l lý thuyt cú nhiu trin vng nghiờn cu cỏc ht c bn v lý thuyt thng nht cỏc dng tng tỏc Cú th nghiờn cu lý thuyt dõy nh i s Virasoro i s ny cú th c xem nh i s Conformal vụ hn chiu i s Virasoro bin dng lng t cú th mụ t nh s bin dng ph thuc vo mt hoc nhiu thụng s ca i s Virasoro thụng thng Khi lng ca trng dõy ph thuc vo cu trỳc i s ca lý thuyt v mt s thụng s, c bit l thụng s Regge Ph lng cng liờn quan n Tachyon T nhng lý trờn tụi chn ti i s Virasoro bin dng R(q) v ph lng cỏc trng dõy Mc ớch nghiờn cu i s Virasoro, i s Virasoro bin dng, i s Virasoro bin dng R(q) v ph lng cỏc trng dõy Nhim v nghiờn cu i s Virasoro bin dng R(q) v ph lng cỏc trng dõy i tng v phm vi nghiờn cu Nghiờn cu tng quỏt v i s Virasoro v cỏc biu din ca chỳng k c biu din vi phõn v biu din dao ng i vi i s Virasoro cú d thng v khụng d thng Nghiờn cu v ph lng cỏc trng dõy Phng phỏp nghiờn cu S dng cỏc phng phỏp nghiờn cu ca vt lý lý thuyt Cu trỳc lun Lun gm chng: Chng 1: i s Virasoro Chng 2: i s Virasoro bin dng R(q) Chng 3: Ph lng cỏc trng dõy NI DUNG Chng I S VIRASORO 1.1 i s Virasoro khụng cú d thng i s Virasoro bao gm nhng vi t Ln , n ẻ z tha nhng h thc giao hoỏn: [ Ln,Lm] =( n-m) Ln+m (1.1.1) Biu din vi phõn n gin nht ca i s ny l Ln =x-n+1 ả ảx (1.1.2) S dng h thc giao hoỏn: ộ ảự ờởx, ảx ỳỷ = -1 (1.1.3) Chỳng ta s chng minh c (1.1.2) tha i s (1.1.1) Thay th cho biu din (1.1.2) cú th s dng biu din tng quỏt hn cho cỏc vi t Ln m chỳng tha i s (1.1.1) dng tng quỏt ca biu thc ú l: ổ ả Ln = ỗ x + c1n + c2 ữ x - n ố ảx ứ (1.1.4) õy c1 , c2 l nhng hng s bt k H thc (1.1.2) tng ng vi c1 = c2 = * Siờu i s Virasoro bao gm nhng vi t giao hoỏn: Ln v Gr tha h thc [ Ln, Lm] =( n-m) Ln+m [ Ln,Gr ] =ổỗ n-rữGn+r ố ứ (1.1.5) {Gr ,Gs} =2Lr+s õy r ẻ z + cho hỡnh qut Neveu-schwarz v r ẻ z cho hỡnh qut Romond Gi q l bin s Grassmann vi: q2 =0 ả2 =0 ảq2 (1.1.6) ỡ ảỹ ớq, ý=1 ợ ảq ỵ Da vo nhng h thc trờn ta cú th thy rng toỏn t: ả ổ ả Ln = ỗ x + n - nq ảq ố ảx -n ữx ứ ỡ ổ ả ả ỹ -r Gr = ớq ỗ x + r ữ + ýx ứ ảq ỵ ợ ố ảx (1.1.7) thc hin siờu i s (1.1.5) *Bõy gi chỳng ta xột biu din dao ng ca i s Vớrasoro Cho dao ng a v liờn hp hộc mớt ca chỳng a + tuõn theo h thc giao hoỏn: ộởaa , +ựỷ=1 (1.1.8) S dng h thc giao hoỏn (1.1.8) chỳng ta chng minh c rng nhng vi t Ln = ( a + ) - n +1 a (1.1.9) thc hin i s Virasoro (1.1.1) Qu vy, ta cú: [ Ln , Lm ] = Ln Lm - Lm Ln = ( a + ) = ( a+ ) -( n + m )+1 - n +1 a - ( a+ ) {( a ) a ( a ) + - m +1 + m - m +1 a ( a+ ) - n +1 a - ( a+ ) a ( a+ ) n a - n +1 } a Ta tớnh cỏc s hng v trỏi v s dng : ộở a, a + ựỷ = ộở a + , a + ựỷ = [ a, a ] = nờn ta cú: ( a+ ) a ( a+ ) m - m +1 a = ( a+ ) = ( a+ ) - m -1 m -1 ( aa + - 1)( a + ) a ( a+ ) - m +1+1 - m +1 a a-a = ( a+ ) m-m a ( a+ ) - m +1+ m a - ma = a ( a + ) a - ma tng t (a ) a(a ) + n + - n +1 a = a ( a + ) a - na T ú suy [ Ln , Lm ] = ( a + ) -( n + m )+1 = ( n - m) ( a+ ) = ( n - m ) Ln+m {a ( a ) a - ma - a ( a ) a + na} + -( n + m )+1 a + (pcm) Thay th cho (1.1.9) chỳng ta cú th dung h thc tng quỏt hn cho Ln m cng tha i s (1.1.1): Ln = ( a + ) -n (a a + c n + c ) + (1.1.10) * thc hin siờu i s Virasoro ngoi dao ng boson a v a+ chỳng ta thờm vo dao ng fecmion b v b+ tha h thc phn giao hoỏn: {b,b } =1 + b2 = (b ) + (1.1.11) =0 S dng h thc (1.1.8) v (1.1.11) d dng chng minh c rng cỏc vi t: Ln = ( a + ) - n +1 Gr = b + ( a ) -n n a - b+b ( a + ) + - r +1 a + b(a ) + -r (1.1.12) thc hin siờu i s Virasoro (1.1.5) *Toỏn t nõng lờn ly tha Cú mt cỏch khỏc thc hin i s Virasoro ú l a vo cỏi gi l toỏn t nõng lờn ly tha a vo c s (a, M) vi giao hoỏn t [ M , a ] = -a (1.1.13) õy M tỏc dng nh toỏn t nõng lờn ly tha v c gi l toỏn t nõng lờn ly tha T (1.1.13) cú th chng minh c rng: ộở M , a n ựỷ = -na n+1 cho n bt k Nhng vi t Virasoro cú dng sau: (1.1.14) Ln = Ma n-1 (1.1.15) Ta chng minh (1.1.14) tha i s Virasoro (1.1.1): Ta cú: [ Ln , Lm ] = ộở Ma n-1 , Ma m-1 ựỷ = M ộở a n-1 , Ma m-1 ựỷ + ộở M , Ma m-1 ựỷ a n-1 = M M ộở a n-1 , a m-1 ựỷ + M ộở a n-1 , M ựỷ a m-1 + + M ộở M , a m-1 ựỷ a n-1 + [ M , M ] a m-1a n-1 = M ( n - 1) a n+ m-1 + M (1 - m ) a n+m-1 = ( n - m ) Ma n+m+1 = ( n - m ) Ln+m (pcm) *Ta s m rng hỡnh thc lun ny cho siờu i s Virasoro bng cỏch + a thờm vo dao ng fermion b, b tha (1.1.11) v: [ M , b] = ộở M , b + ựỷ = (1.1.16) Vi c s (a, b, M) chỳng ta xõy dng siờu vi t n Ln = Ma n-1 + b + ba n Gr = Ma r -1b + a r b + (1.1.17) T nhng h thc (1.1.11), (1.1.14), (1.1.15) s chng minh c rng nhng siờu vi t (1.1.17) tha siờu i s Virasoro (1.1.5) 1.2 i s Virasoro cú d thng Tõm ti A(n) xut hin giao hoỏn t ca cỏc vi t Virasoro [ Ln , Lm ] = ( n - m ) Ln+m + A ( n )d n+m,0 (1.2.1) tỡm dng tng quỏt ca A(n) ta s dng ng nht thc Jacobi viờt cho ba vi t Lk , Ln , Lm : 42 1ử ổ1 m ả ả + ữ A m1 ( x ) b1m1 = ỗ m 2ứ ố2 ả m ả m A m1 ( x ) = Khi lng ca trng A m1 ( x ) l mA ( x ) = m1 ổ Ơ 1 m m m m ỗ ả m ả - - a - k a m ,k - rb- r bm ,r ữ Cm2 ( x )a -12 = ỗỗ ữữ k =1 r= ố ứ (3.2.9) (3.2.10) m Do ộởbm ,r , a-12 ựỷ = nờn phng trỡnh cũn li l: Ơ m ổ1 m ả ả a a Cm2 ( x )a -m12 = m k m , k ỗ2 ữ k =1 ố ứ Ta cú: Ơ Cm2 ( x ) a -mka m ,ka -m12 k =1 = Cm2 ( x ) a -mk ( -kh mm2 d k -1,0 + a -m12a km ) k =1 = -Cm2 ( x )a -m12 (3.2.10) vit li l: ổ1 m2 m ỗ ả m ả - + 1ữ Cm2 ( x )a -1 = ứ ố2 (ả m ả m + 1) Cm2 ( x ) = ị mC2m ( x) (3.2.11) =1 Ta tỡm ph lng ca trng siờu dõy trng hp tng quỏt Phng trỡnh (3.2.4) c vit li: 43 1ử ổ m m L ỗ ữ Y ộở C , Y ựỷ = 2ứ ố ổ Ơ r +s Ơ ( -i ) f n1 nr ,l1 ls x ỗ ả ả m - a m a - rb m b ữ ồ - k m ,k - r m ,r m1 mr ,u1 u s ( ) ỗỗ m ữ r ! s ! k =1 ữ r , s =0 r= ố ứ + + + + a nm11 a nmrr blu11 bluss = (3.2.12) n ẻ Z ,l ẻ Z + + Ơ k =1 a + m - k a m ,k ồ rb b r= Ơ r , s =0 Ơ ( -i ) f mn11 mn rr ,,ul 11 ul ss a m 1+ n1 m r+ nr a + + b lu11 b lu ss r+s + r !s ! r , s =0 ( -i ) r+s r !s! r ,s = = - ( n1 + + nr ) m - r m ,r (- i ) Ơ + + + fmn11 mnrr ,,ul11 ulss a nm11 a nmrr blu11 bluss r+s r !s ! Ơ = - ( l1 + + ls ) r , s =0 + + + + fmn11 mnrr ,,ul11 ulss a nm11 a nmrr blu11 bluss ( -i ) r +s r !s ! + + + + fmn11 mnrr ,,ul11 ulss a nm11 a nmrr blu11 bluss Nh vy (3.2.12) c vit li thnh: ổ1 Ơ ( -i ) m fmn11 mnrr ,,ul11 ulss ( x ) ỗ ả m ả - + n1 + + nr + l1 + + ls ữ ố2 ứ r , s =0 r ! s ! r +s + + + + a nm11 a nmrr blu11 bluss = (ả m ả m - + ( n1 + + nr + l1 + + ls ) )fmn11 mnrr ,,ul11 ulss ( x ) = mf2n1 nr ,l1 ls ( x ) = -1 + ( n1 + + nr + l1 + + ls ) m1 mr ,u1 u s (3.2.13) 44 Min R Phim hm trng siờu dõy R: y ộở C , Y ựỷ = m m Ơ r , s =0 n1 , , nr , m1 , , ms ( -i ) r +s r !s ! + + + + y mn11 nmrr ,,mu11 umss a nm11 a nmrr d mu11 d muss (3.2.14) Vit tng minh cho mt s trng thnh phn ng vi mode kớch thớch bc thp, ta cú: { } Y = Y ( x ) - ix m ( x )a1m - i bu ( x ) d1u1 + + + (3.2.15) Trong ú kớ hiu: y ( x ) l trng Spinor x m ( x ) , bu ( x ) l trng vộc t spinor Lớ lun tng t nh trờn: Phng trỡnh chuyn ng ca dõy Ramond: G0 Y ộở C m , Y m ựỷ = m (3.2.16) m L0 Y ộở C , Y ựỷ = 0, n T (3.2.16) ta cú: G0 Y = ị G02 Y = ị {G0 , G0 } Y = (3.2.17) L0 Y = Do: {G0 , G0 } = L0 Vy ta cú: { } + + ổ1 m Ơ m L0 Y = ỗ ảmả -ồa-kam,k -ồrd-mrdm,r ữ Y( x) -ixm ( x)a1m -ibud1u1 + =0 k=1 r=1 ố2 ứ (3.2.18) 45 Do cỏc trng thnh phn l c lp nờn ta cú: Ơ ổ1 m m m ỗ ả m ả - ồa - ka m ,k - rd - r d m ,r ữ Y ( x ) = k =1 r =1 ố ứ ảmảm Y ( x) = ị mY2 ( x ) = { (3.2.19) } Ơ ổ1 m+ m m m ỗ ả m ả - a - ka m ,k - rd - r d m ,r ữ -ix m ( x )a1 = k =1 r =1 ố2 ứ Ơ ồa -mka m ,kx m ( x )a1m1 + k =1 Ơ = x m ( x ) a -mk ( -kh mm1d k -1,0 + a -m11a km ) (3.2.20) k =1 = -x m ( x )a -m11 Ơ rd r =1 m -r d m ,rx m ( x )a1m + = rd -mr x m ( x )a1m d m ,r + r =1 =0 Vy ta cú: ( ) ổ1 m1+ m ả ả + i x x a =0 ( ) m m ỗ ữ ố2 ứ ( ả m ả m + )xm ( x ) = (3.2.21) ị mx2m ( x ) = { } Ơ ổ1 u1+ m m m ả ả a a rd d i b d =0 ồ - k m ,k - r m ,r ữ u ỗ2 m k =1 r =1 ố ứ 46 Ơ ồa -mka m ,k bu ( x ) d1u1 = + k =1 rd r =1 m -r d m ,r bu ( x ) d1u1 + (3.2.22) = bu ( x ) d -mr ( -h mu1d r -1,0 + d -u11 d rm ) r =1 = - bu ( x ) d -u11 Vy ta cú: ổ1 m ỗ ả m ả + 1ữ bu ( x ) = ố2 ứ ị mb2u ( x ) = (3.2.23) Trng hp tng quỏt L0 Y = Ơ ổ1 Ơ ( -i ) n1 nr ,m1 ms m m m ả ả a a rd d f ( x) = ồ m k m , k r m , r m ỗ2 ữ m r ,u1 u s r ! s ! k =1 r =1 ố ứ r , s =0 r+s + + + + a nm11 a nmrr d mu11 d muss = ổ1 Ơ ( -i ) n1 nr ,l1 ls m1+ u s+ mr+ u1+ m ả ả + n + + n + m + + m f a a d d r sữ m m ,u u n nr m1 ms = ỗ m ố2 ứ r ,s =0 r !s ! r s r +s (ả m ả m + ( n1 + + nr + m1 + + ms ) )fmn11 mnrr ,,um11 ums s ( x ) = ị mf2n1 nr ,m1 ms ( x ) = ( n1 + + nr + m1 + + ms ) m1 m r ,u1 u s 3.2.2 Ph lng ca trng siờu dõy úng Min NS NS (3.2.24) 47 Phim hm trng siờu dõy úng NS_NS cú biu thc khai trin tng quỏt: ( ) -i ) ( n n ,l l f ộở C (t ,s ) , Y (t ,s ) ựỷ = fm m ,s s r , s , p ,q =0 r ! s !( p + 1)!( 2q + 1)! r + s + p + q +1 Ơ m1+ n1 s 2+ p +1 l2 p +1 m r+ s1+ nr l1 a a b b r 1 r u1 u s t1 g q +1 a m1 a ms b% g1 b% g + + + p +1 ;m1 ms ,g g q +1 p +1 ;u1 u s ,t1 t q +1 ( x) + q +1 (3.2.25) Phim hm f tha cỏc phng trỡnh: 1ử ổ ổ 1ử ỗ L0 - ữf = 0, ỗ L0 - ữf = 2ứ 2ứ ố ố (3.2.26) Vy ta cú phng trỡnh: ổ Ơ 1 m m m ỗ ả ả - a a - lb b - ữ ổ -t ( x ) bs b% t = ồ1 -l m ,l ữ ỗ st - - ữ - k m ,k ỗỗ m k =1 ữố ứ l= ố ứ Ơ ồa -mka m ,k tst ( x ) bs1 b% t - k =1 lb-ml tst ( x ) bs1 b% t r= - 2 - - =0 ổ t = ltst ( x ) ỗ -h ms d - bs1 blm ữ b% l - ,0 ố 2 ứ -2 r= t t = - bs1 tst ( x ) b% - lb-ml tst ( x ) bs1 blm b% -2 2 t = - bs1 tst ( x ) b% -2 Nh vy ta cú: (3.2.27) 48 1 ửổ ổ1 m s %t ả ả + t x b b + ( ) ỗ ữ =0 m st ỗ ữ 2 ứố ố8 2 ứ ả m ả m tst ( x ) = (3.2.28) ị mt2st ( x ) = ổ ố Phng trỡnh ỗ L 1ử ữf = cng cho kt qu nh vy 2ứ Bõy gi chỳng ta tỡm ph lng ca trng day trng hp tng quỏt: ổ Ơ r + s + 2( p + q +1) Ơ i ( ) 1 m m m ỗ ả ả - a a - lb b - ữ ồ1 -l m ,l ữ r ,sồ - k m ,k ỗỗ m k =1 ữ , p ,q=0 r !s !( p + 1)!( 2q + 1)! l= ố ứ + + + u1 us t1 g q+1 n n ,l l ;m m ,g g s+ fm11 mrr ,s11 s22pp++11;u11 uss,t11 t22qq++11 ( x)anm11 anmrr bls11 bl22pp++11 a m1 a ms b% g1 b% g = + + + + q+1 (3.2.29) Ơ ồa k =1 m -k lb a m ,k = - ( n1 + + nr ) f b f = - ( l1 + + li )f m - l m ,l l= Nh vy ta cú: 1ử ổ1 m ỗ ả m ả + ( n1 + + nr ) + ( l1 + + l p ) - ữf = 2ứ ố8 p ổ ổ r ửử m ỗ ả m ả - + ỗ ni + li ữ ữf = i =1 ố i =1 ứứ ố p ổ r ị m = -4 + ỗ ni + li ữ i =1 ố i =1 ứ f (3.2.30) 49 ổ 1ử S dng phng trỡnh: ỗ L ữf = cho ta kt qu: ố 2ứ q ổ s m = -4 + ỗ mi + g i ữ i =1 ố i=1 ứ f (3.2.31) Nh vy lng ca trng siờu dõy dõy úng NS-NS l: p q ổ r ổ s m = -4 + ỗ ni + li ữ = -4 + ỗ mi + g i ữ i =1 i =1 ố i=1 ứ ố i=1 ứ f Min NS-R Phim hm trng siờu dõy úng NS-R cú biu thc khai trin tng quỏt: ( ) -i ) ( n n ,l l y ộở C (t ,s ) , Y (t ,s ) ựỷ = y m m ,s s r , s , p ,q =0 r !s !( p + 1)!q ! r + s + p +1 + q Ơ m1+ n1 m r+ s1+ nr l1 s 2+ p +1 l2 p +1 a a b b u1 u s t1 tq a m1 a ms d k1 d k + + + r r 1 p +1 ;m1 ms , k1 kq p +1 ;u1 u s ,t1 t q ( x) + (3.2.32) q Phim hm y tha cỏc phng trỡnh: 1ử ổ ỗ L0 - ữy = 0, L 0y = 2ứ ố (3.2.33) Vit tng minh phng trỡnh (3.2.28) cho cỏc thnh phn ng vi cỏc mode kớch thớch thp nht: ổ Ơ 1 ỗ ả ả m - a m a - lb m b - ữ ỡ -iy ( x ) b m + ỹ = ồ1 -l m ,l ữ m - ý - k m ,k ỗỗ m k =1 ữợ ỵ l= ố ứ (3.2.34) 50 ổ Ơ ỗ ả ả m - a m a - lb m b - ữ ỡ -iy ( x ) b m + ỹ = ồ1 -l m ,l ữ s - ý - k m ,k ỗỗ m k =1 ữợ ỵ l= ố ứ (3.2.35) Ơ ồa k =1 m -k a m ,ky s ( x ) bs1 = - Ơ = a -mky s ( x ) bs1 a m ,k = - k =1 lb b y s ( x ) bs1 m - l m ,l l= - 2 ổ = lb-mly s ( x ) ỗ -h ms d + bs1 blm ữ l - ,0 ố 2 ứ l= = - y s ( x ) bs1 2 (3.2.36) Vy ta cú: ổ Ơ 1 ỗ ả ả m - a m a - lb m b - ữ ỡ -iy ( x ) b m ỹ = ồ1 -l m ,l ữ s - ý - k m ,k ỗỗ m k =1 ữợ 2ỵ l= ố ứ 1 ửỡ ổ1 m s ỹ ả ả + i y x b ( ) 1ý =0 ỗ m ữớ s 2 ố ứợ 2ỵ ả m ả my s ( x ) = (3.2.37) ị my2s ( x ) = 0y = cng cho kt qu nh vy Xột L Bõy gi tỡm ph lng ca trng dõy trng hp tng quỏt: 51 1ử ổ L ỗ ữy = 2ứ ố ổ Ơ r + s + p +1 + q Ơ ( -i ) ( ) ỗ ả ả m - a m a - lb m b - ữ ồ1 -l m ,l ữ r ,sồ - k m ,k ỗỗ m k =1 ữ , p ,q=0 r !s !( p + 1)!q ! l= ố ứ y n1 nr ,l1 l2 p +1 ;m1 ms ,k1 kq m1 mr ,s s p +1 ;u1 u s ,t1 t q ( x )a m1+ n1 mr+ s 1+ nr l1 s 2+ p +1 l2 p +1 .a b b u1 u s t1 tq a m1 a ms d k1 d k =0 + + + + q (3.2.38) Ơ ồa k =1 m -k lb a m ,ky = - ( n1 + + nr )y b y = - ( l1 + + li )y m - l m ,l l= Nh vy ta cú: 1ử ổ1 m ỗ ả m ả + ( n1 + + nr ) + ( l1 + + l p ) - ữy = 2ứ ố8 p ổ ổ r ửử m ả ả + n + l ỗ m ỗ i i ữ ữy = i =1 ố i=1 ứứ ố (3.2.39) p ổ r ị m = -4 + ỗ ni + li ữ i =1 ố i =1 ứ y Tớnh toỏn tng t nh cỏc phn trờn ta cú lng ca trng siờu dõy dõy úng NS-R l: p q ổ r ổ s m = -4 + ỗ ni + li ữ = ỗ mi + ki ữ i =1 i =1 ố i =1 ứ ố i =1 ứ y Min R-NS Phim hm trng dõy cú biu thc tng quỏt: (3.2.40) 52 y ộở C (t ,s ) , Y (t ,s ) ựỷ = ( -i ) Ơ s + r + q +( p +1) y u11 us ,st1 t q ;qm1 mr r,s11 s 22pp++11 ( x ) r , s , p ,q =0 r !s !q !( p + 1)! m m ,k k ;n n ,l l m1 m r s1 s p +1 a a d d a n1 a nr d l1 d l u s+ ms u1+ m1 t1+ k1 t q+ kq + + + + (3.2.41) p +1 Phim hm y tha phng trỡnh: ổ 1ử ỗ L - ữy = 0, L0y = 2ứ ố (3.2.42) Vit tng minh cho cỏc khai trin thỏp nht: ổ Ơ m m m ỗ ả ả - a a - l d d ữ ỡ -iy ( x ) b m + ỹ = (3.2.43) ồ1 -l m ,l ữ s - ý - k m ,k ỗỗ m k =1 ữợ ỵ l= ố ứ ổ Ơ m m m ỗ ả ả - a a - l d d ữ ỡ -iy ( x ) bs + ỹ = (3.2.44) ồ1 -l m ,l ữ s - ý - k m ,k ỗỗ m k =1 ữợ ỵ l= ố ứ Ơ ồa k =1 m -k ld l= a m ,ky s ( x ) bs1 = m -l - d m ,ly s ( x ) bs1 = - ả m ả my s ( x ) = ịm ys ( x) ỡ ợ =0 (3.2.45) 1ỹ 2ỵ - ýy = cng cho kt qu nh vy Xột L Bõy gi ta tỡm ph lng trng dõy trng hp tng quỏt: 53 ổ Ơ s + r + q + p +1 Ơ ( -i ) ( ) ỗ ả ảm - a m a - ld m d ữ ồ1 -l m ,l ữ r ,sồ - k m ,k ỗỗ m k =1 ữ , p ,q=0 r !s !!q !( p + 1)! l= ố ứ m1 ms ,k1 kq ;n1 nr ,l1 l2 p+1 u1 us ,t1 t q ;m1 mr ,s1 s2 p+1 y m m s s ( x)a a d d a n11 a nrr d l11 d l2 p+1 = u1+ m1 t q+ kq us+ t1+ ms k1 + + + + p +1 (3.2.46) Ơ ồa m -k a m ,ky = - ( m1 + + ms )y ld d m ,ly = - ( k1 + + kq )y k =1 l= m -l 1ử ổ1 m ỗ ả m ả + ( m1 + + ms ) + ( k1 + + kq ) - ữy = 2ứ ố8 q ổ ổ r ửử m ả ả + m + k ỗ m ỗ i i ữ ữy = i =1 ố i =1 ứứ ố (3.2.47) q ổ r ị m = ỗ mi + ki ữ i =1 ố i =1 ứ y ỡ ợ 1ỹ 2ỵ - ýy = ta cú kt qu sau: S dng phng trỡnh L q p ổ r ổ r m = ỗ mi + ki ữ = ỗ ni + li ữ i =1 i =1 ố i=1 ứ ố i=1 ứ y (3.2.48) Min R-R Phim hm trng tng quỏt j ộở C (t ,s ) , Y (t ,s ) ựỷ = Ơ r , s , p , q =0 ( -i ) s+r + p+q j m11 mrr ,s11 sp p ;u11 usr ,t11 tq q ( x ) n n ,k k ;m m ,l l r ! s ! p !q ! u1 u s t1 tq a a d d a m1 a ms d l1 d lq m1+ n1 m r+ nr s 1+ k1 s +p kp + + + + (3.2.49) 54 Phim hm j tha cỏc phng trỡnh: 0j = L0j = 0, L (3.2.50) Vit cho cỏc trng thnh phn thp nht: ổ Ơ ỗ ả ả m - a m a - l d m d ữ{j ( x ) + } = ồ1 -l m ,l ữ - k m ,k ỗỗ m k =1 ữ l= ố ứ ổ Ơ m ỗ ả ảm - a m a l d - l d m ,l ữ j ( x ) = ồ m - k m ,k ỗỗ ữữ k =1 l= ố ứ ả m ả mj ( x ) = ịm j( x) (3.2.51) =0 Ph lng ca dõy trng hp tng quỏt: ổ Ơ s+r + p+q Ơ ( -i ) ỗ ả ảm - a m a - ld m d ữ ồ1 -l m ,l ữ r ,sồ - k m ,k ỗỗ m k =1 ữ , p ,q =0 r !s ! p !q ! l= ố ứ j n1 nr ,k1 k p ;m1 ms ,l1 lq m1 m r ,s1 s p ;u1 ur ,t1 t q u1 u s t1 tq x a a d d a a d d ms l1 ( ) m1 lq = m1+ n1 mr+ nr s1+ k1 s +p kp + p q ổ r ổ s m = ỗ ni + ki ữ = ỗ mi + li ữ i =1 i =1 ố i =1 ứ ố i =1 ứ j + + + (3.2.52) T cỏc kt qu thu c ta thy lng trng dõy tựy thuc vo trng thỏi kớch thớch, xỏc nh c trng thỏi kớch thớch ca trng dõy ta xỏc nh lng trng dõy tng ng v ch s dõy NS cú ht Tachyon, cỏc trng siờu dõy khỏc ht Tachyon khụng cũn Nh vy cn phi loi b ht Tachyon siờu dõy NS 55 KT LUN Lun nghiờn cu v trỡnh by tng quan v i s Virasoro bin dng R(q) v ph lng cỏc trng dõy, chỳng tụi ó cú nhng kt qu chớnh nh sau: Xõy dng i s Virasoro bin dng R(q) v biu din ca chỳng hỡnh thc lun dao ng R(q) a biu thc tng quỏt cho ph lng cỏc trng dõy T nhng kt qu trờn õy , lun ó gúp phn vo vic lm rừ ph ca trng dõy v gii quyt loi b Tachyon, lm cho lý thuyt dõy cú ý ngha thc tin hn Chỳng tụi hy vng lun gúp phn nh vo s phỏt trin v hon thin lý thuyt dõy lý thuyt cú nhiu trin vng i n thng nht tt c cỏc tng tỏc Trong khong thi gian gii hn, tụi ó ht sc c gng trỡnh by cng nh hon chnh lun ny nhng khụng trỏnh nhng sai sút Vỡ vy, tụi rt mong nhn c s úng gúp quý bỏu ca quý Thy, Cụ v cỏc bn tụi cú th hon thin lun hn v s nghiờn cu sõu hn iu kin cho phộp 56 TI LIU THAM KHO [1] Nguyen Thi Ha Loan and N.H.Ha, Conherent states for R(q)- Deformed Oscillators , com.in phys Vol 16 No4, December 2006, p 239243 [2] N.T.H.Loan and N.H.Ha , (q,R) - deformend Heisenberg algebra and statistics of quantum oscillators , com.in phys.Vol 13 No4 December 2003 , P 240-244 [3] N.T.H.Loan and N.H.Ha , Oscillator Representation of R(q)- Deformend Virasoro Alegebra , com.in phys Vol 15 No4 December 2005, P 238-241 [4] Dao Vong Duc, Frontiers in quantum physics, Spring 1998, P272 [5] Dao Vong Duc, Generalised q-Deformed oscillators and their Statistics, ENSLAPP-A.494/94 [6] Dao Vong Duc, Ng Hong Ha and Ng Lan Oanh, Conforman Anomaly of q-Deformed Virasoro Algebra [7] L Brink, D Friendan, A.M Polyakov, Physics and mathematics of string, World Scientific 1990 [8]M Kaku, Introduction to Super string theory, Word Scientific 1989 [9] M Chaichian, Sugawara construction and the q-deformation of Vớrasoro (Super) algebra, Physics Letters B 277 (1992), P109-118 [10] M Chaichian, Z Popawicz and P Priesnujder, q- Virasoro algebra and ớt relation to the q- deformation KdV system, Physics Letters B 249 (1990) P63-65 [11] Ng Thi Ha Loan, The (p,q)-Deformed Virasoro algebra, Com.in.Phys, December (1996) Vol 6, No2, P60-64 [...]... ( q ,q ) (1.3.3) S dng h thc (1.3.1), (1.3.2) ta cú th chng t rng cỏc vi t Ln = Ma n-1 tha món i s Virasoro bin dng q sau õy: [ Ln , Lm ]( q n-m ,q m - n ) = [ n - m ]q Ln+m (1.3.4) 1.4 Bin dng mt thụng s ca i s Virasoro cú d thng tỡm bin dng q ca i s Virasoro cú d thng ta xut phỏt t bin dng ca i s Virasoro khụng d thng ộở Ln , Lm ựỷ ( q n-m ,qm-n ) = [ n - m ]q Ln+m Cú th chng minh trc tip ng nht... õy a, b l hng s, vớ d chỳng ta cú a = -b = D cho dõy boson, D l s 12 chiu khụng thi gian Chỳ rng cho trc mt i s Virasoro cú d thng dng (1.2.6) vi b xỏc nh, ta cú th lp mt i s Virasoro mi cú d thng % A ( n ) = an3 + bn vi tựy ý, bng cỏch t ( ) n L + 1 b - b% d L n n ,0 2 thỡ ta cú i s Virasoro ự ộL ở n , L m ỷ = ( n - m ) L n+ m + A ( n ) Xột sang siờu i s Neveu Schwarz v Ramond, tỡm s liờn... ng nht thc Jacobi bin dng q nh sau (q k + q - k ) ộ Lk , [ Ln , Lm ]( qn- m ,qm-n ) ự k -n-m n+ m-k +so hang tuan hoan=0 ở ỷ ( q ,q ) (1.4.2) S bin dng q ca i s Virasoro cú d thng l s m rng tõm ca bin dng q ca i s Virasoro khụng d thng i s Virasoro cú d thng bin dng q tha món ng nht thc Jacobi bin dng q (1.4.2) cú dng: [ Ln , Lm ] ( qn-m ,qm-n ) = [ n - m]q Ln+m + A(n, q)d n+m,0 (1.4.3) 12 tỡm dng... (2.2.7) 2.3 i s Virasoro bin dng R(q) i s lng t ngy cng c quan tõm nghiờn cu bi vỡ nhng cu trỳc toỏn hc mi ca nú lien quan n nhiu vn trong vt lý lýa thuyt, vớ 23 d nh lý thuyt tỏn x ngc lng t, mu hũa tan chớnh xỏc trong c hc thng kờ, lý thuyt trng hai chiu vi thng kờ phõn b i s Heisenberg bin dng R l s bin dng bao gm toỏn t phn x R ó mụ t c nhng ht cú spin cao i s Heisenberg bin dng R(q) l i s bin... (2.3.3) chỳng ta chng minh c rng nhng vi t Ln thc hin i s Virasoro bin dng R(q): ỡ ỹ qn - qm n R ý Ln+ m [ Ln , Lm ] = ớ( n - m ) + q -1 ợ ỵ Thay cho c rng (2.3.7) Ln c nh ngha bi h thc (2.3.6) chỳng ta chng minh Ln (n) c nh ngha nh sau: Ln (n ) = ( a + ) n -1 a + Ad n,0 (2.3.8) Vi A l C- s Cng s dng (2.3.3) chỳng ta chng minh c rng Ln (n ) tha món i s Virasoro dng: ộ qn - qm ộở Ln (n ) , Lm (n ) ựỷ = ờ(... ph nng lng ca dao ng t bin dng R s tr v ph nng lng ca dao ng t iu hũa mt chiu Khi n = 1 thỡ E n = nhw suy ra E 0 = 0 Nh vy nng lng trng thỏi c ban cú giỏ tr bng 0 2.2 Dao ng t bin dng R(q) i s Heisenberg bin dng R(q) c sinh ra bi cỏc toỏn t sinh, hy a + ,a v toỏn t phn x R tha món cỏc h thc sau: aa + - a + a = 1 + nR a + R = qRa + a + R = q -1Ra + R2 =1 õy, q l thụng s bin dng thc n l mt thụng s... ( r ) = 4a 2 + b (1.2.11) õy a, b ging nh a,b trong (1.2.6) Vớ d a = -b = Neveu-schwarz v a = D cho siờu dõy 8 D , b = 0 cho siờu dõy Ramon 8 1.3 Bin dng mt thụng s ca i s Virasoro khụng d thng Ta xột s bin dng lng t ca i s Virasoro bng cỏch a vo cỏi gi l toỏn t nõng lờn ly tha Toỏn t nõng bc M tha món h thc giao hoỏn: [ M , a ]( q -1 ,q ) = -a 2 (1.3.1) 11 õy chỳng ta s dng kớ hiu [ A, B ](a ,b... ( q ) ) [ 2 n ] } x g q D thng ch kh c khi iu kin sau õy xut hin: 16 a( x ) ( q ) = -a ( g ) ( q ) ( q ) = -b( g ) ( q ) x g a(q) = - ( C ( ) ( q ) + C ( ) ( q ) ) b( x) (1.4.15) 17 Chng 2 I S VIRASORO BIN DNG R(q) 2.1 Dao ng t bin dng R Dao ng t boson bin dng R c xut di h thc sau: ộởa,a + ựỷ = 1 + nR (2.1.1) n : thụng s bin dng trong ú R: toỏn t Hermit tha món iu kin R=R+ R2=1 (2.1.2) Bờn cnh ú R... vi thng kờ phõn b i s Heisenberg bin dng R l s bin dng bao gm toỏn t phn x R ó mụ t c nhng ht cú spin cao i s Heisenberg bin dng R(q) l i s bin dng t hp ca bin dng q v bin dng R i s Heisenberg bin dng R(q) c mụ t bi nhng toỏn t sinh, hy dao ng a + , a v toỏn t phn x R tha món nhng h giao hoỏn: aa + - a + a = 1 + n R aR = qRa a + R = q _1Ra + 2.3.1) R2 = 1 õy q l thụng s bin dng thc v n l thong s bin... q-n Trong ú a, b, c l nhng hm ca q Trong trng hp c bit nu:a(q) = -b(q), c(q) = 0 thỡ (1.4.9) tr thnh: A(n, q ) = a(q) [ n - 1]q [ n + 1]q [ n]q q + q-n n (1.4.10) 15 ( x) (g) Cho Ln v Ln l hai h vi t Virasoro tỏc dng trong hai phn khỏc nhau, cú th núi l phn ta v phn ma ca dõy boson Gi thit chỳng giao hoỏn q vúi nhau Cú ngha l: ộ L(nx ) , L(ng ) ự n-m m-n = 0 ở ỷ ( q ,q ) (1.4.11) phự hp vi (1.4.3), ... i s Virasoro bin dng R(q) v ph lng cỏc trng dõy Mc ớch nghiờn cu i s Virasoro, i s Virasoro bin dng, i s Virasoro bin dng R(q) v ph lng cỏc trng dõy Nhim v nghiờn cu i s Virasoro bin dng R(q). .. lun Lun gm chng: Chng 1: i s Virasoro Chng 2: i s Virasoro bin dng R(q) Chng 3: Ph lng cỏc trng dõy 3 NI DUNG Chng I S VIRASORO 1.1 i s Virasoro khụng cú d thng i s Virasoro bao gm nhng vi t Ln... 1: i s Virasoro 1.1 i s Virasoro khụng cú d thng 1.2 i s Virasoro cú d thng 1.3 Bin dng mt thụng s ca i s Virasoro khụng d thng 1.4 Bin dng mt thụng s ca i s Virasoro