Đại số SU(2) biến dạng - p, q

1 LỜI CẢM ƠN Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới PGS- TS Nguyễn Thị Hà Loan quan tâm bảo, tận tình hướng dẫn suốt q trình học tập, quan tâm tận tình bảo tạo động lực cho tơi có thêm niềm tin, cố gắng để thực luận văn Tơi xin trân trọng cảm ơn Phòng Sau đại học Ban Chủ nhiệm khoa, thầy giáo, giáo khoa Vật Lí- Trường Đại học sư phạm Hà Nội quan tâm, tạo điều kiện tận tình giảng dạy, bảo tơi suốt q trình học tập hồn thành luận văn Tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đồng nghiệp sát cánh bên suốt thời gian học tập nghiên cứu để hoàn thành luận văn Tác giả PHẠM HẢI MÁC LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan số liệu kết nghiên cứu luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác Tôi xin cam đoan thông tin trích dẫn giúp đỡ luận văn rõ nguồn gốc Tác giả PHẠM HẢI MÁC MỤC LỤC Trang Lời cảm ơn Lời cam đoan Mục lục MỞ ĐẦU NỘI DUNG Chương ĐẠI SỐ LƯỢNG TỬ SU(2) 1.1 Đại số SU(2) 1.2 Đại số SU(2)q biến dạng tham số 13 1.3 Đại số SU(2)pq biến dạng hai tham số 15 Chương HÌNH THỨC LUẬN BRST 20 2.1 Hình thức luận BRST 20 2.2 Hình thức luận BRST với nhóm tham số 2.3 Hình thức luận BRST với nhóm tham số SU (2) biến dạng p SU (2) pq biến dạng 26 27 KẾT LUẬN 29 TÀI LIỆU THAM KHẢO 30 PHỤ LỤC 32 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Lí thuyết đối xứng đóng vai trò vật lí lí thuyết Ngơn ngữ tốn học đối xứng lí thuyết nhóm Sau phát triển mẫu quark lí thuyết Gauge khơng abelian tương tác mạnh tương tác điện yếu, hiểu biết nhóm Lie trở thành cần thiết cho việc nghiên cứu lí thuyết hạt Nhóm Lie ngày trở thành cơng cụ chủ yếu vật lí lí thuyết đại giải tích phức, phương trình vi phân riêng, lí thuyết nhóm vơ hạn Đại số nhóm Lie xuất lâu song gần đòi hỏi ứng dụng nghiên cứu vật lí mà V I Drinfeld lượng tử hóa đại số nhóm Lie làm nảy sinh cấu trúc đại số biến dạng hay gọi đại số lượng tử Gần nhóm lượng tử đại số chúng thu hút quan tâm nhiều nhà vật lí lí thuyết vật lí tốn quan điểm ứng dụng chúng mẫu vật lí mối liên quan với lời giải phương trình vi phân phi tuyến Chúng liên quan đến vấn đề đa dạng nghiên cứu nghiệm phương trình Yang-Baxter lượng tử, lí thuyết trường Conformal hữu tỷ, lí thuyết trường hai chiều với thống kê phân bố Đại số lượng tử xem biến dạng phụ thuộc vào nhiều tham số đại số Lie thông thường Đại số lượng tử đơn giản SU (2)q phụ thuộc thông số lần đưa Sklyanin, Kulish, Reshetikhin nghiên cứu phương trình Yang-Baxter lượng tử, phương trình đóng vai trò quan trọng hệ khả tích lượng tử Lí thuyết biểu diễn đại số lượng tử với thông số biến dạng đưa đến phát triển đại số dao động biến dạng q Đại số dao động biến dạng xem xét với quan điểm để nghiên cứu q trình lượng tử hóa Những dao động q đưa đến loại lí thuyết trường có vi phạm nhỏ nguyên lí loại trừ Pauli sai lệch từ thống kê Bose thảo luận Những hệ cấu trúc đại số biến dạng q mẫu cụ thể mẫu Jeynes-Cumming quang học lượng tử nghiên cứu Từ quan điểm áp dụng mẫu vật lí cụ thể, đại số biến dạng nhiều thơng số quan tâm nghiên cứu Trong lí thuyết đối xứng Gauge thông thường tác giả BRST phát loại đối xứng đối xứng trường ma trường thực Đặc biệt tác giả xây dựng toán tử Q từ vi tử nhóm đối xứng Gauge tốn tử trường ma thỏa mãn điều kiện nilpotent cụ thể Q2 =0 toán tử mang tên tải BRST tốn tử BRST Có thể nghiên cứu lí thuyết trường dây lượng tử dựa hình thức luận BRST Hình thức luận đặc biệt hiệu xây dựng lí thuyết tương tác dây lượng tử Tải BRST có dạng khác nhóm đối xứng khác Đề tài "Đại Số SU(2) Biến Dạng – p, q" nghiên cứu đại số biến dạng hai tham số SU (2) cách đưa khái niệm hình thức luận dao động pq điều hòa biến dạng hai tham số p, q mà mở rộng hình thức luận dao động điều hòa biến dạng tham số q đại số lượng tử SU (2)q Nghiên cứu tải BRST đại số biến dạng lượng tử đại số SU (2) Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu đại số lượng tử SU (2) biến dạng tham số hai tham số Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu biến dạng hai tham số đại số SU (2) Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu đại số SU (2) , đại số SU (2) SU (2) biến dạng tham số, đại số biến dạng hai tham số Phương pháp nghiên cứu Dùng phương pháp nghiên cứu vật lí lí thuyết cụ thể phương pháp nhóm lượng tử dao động lượng tử NỘI DUNG CHƯƠNG I ĐẠI SỐ LƯỢNG TỬ SU(2) Trong chương nghiên cứu biến dạng hai tham số đại số SU (2) cách xây dựng dao động điều hòa biến dạng phụ thuộc hai tham số Trong trường hợp giới hạn p =q trở đại số biến dạng tham số SU (2)q Trong trường hợp đặc biệt p, q đại số biến dạng phụ thuộc → hai tham số SU (2) pq trở đại số SU (2) thông thường 1.1 Đại số SU(2) (i = 1, Giả sử có tốn tử boson 2) thỏa mãn hệ thức giao hoán +   a i, aj  = ij   a i , a j  = (1.1) Đưa vào định nghĩa toán tứ số hạt + (1.2) N i= a i a  Ni , N j  = Các véctơ riêng trực chuẩn toán tử số hạt + n | n1, n2 〉 = Xét toán tử + n2 (a ) (a ) n1 !n2 ! J | 0〉 = (1.3) (a + a + )σ i Trong σ i  a1  ma trận Pauli (1.4)  ÷  a2  i  1 σ1 =  10 ÷,   J =+ a Ta được:  σ 1 J + + 2 + 2 = J = 2i 1 + + ) 0  ) − i  a1    i + − a a (a (a   a1  a +a a a0+ = 0 ÷ −1  ÷ ÷ 1  a2  2 ) 1 σ 0÷ ,  i a+ (a = (a = = ( − i a2 ) ÷ ÷ (1.5)  a2  1  a1  a2+  ÷ ÷ −1  a2  0 ) + = 1 a a2 ( + − a a ) Hệ thức giao hoán Ji : [ J , J ] = J1J2 − J J1 = 1 a2 + a2 a1  4i  = (N − N ) 2i = iJ [ J , J ] = J J3 − J2 J3 )( a a 2− a2 a1 ) − (a a 2− a2 a1 )( a  ) = 1 − a2 a1  i + = 4i a a ) + ( 1 2 1 − a2 a2 )( a a  +a a = iJ1 )( a a − a a ) − ( a a ) ( + q− q F [H ] −1 ) ({ C + q ( = q− q ]C C + + q − + − + − 2{C+ ,b+b−C+C−C0}) )2 ( F [ H −1 ,b C C } ,b C C } + {C − F [H b C C C ] q + + + [ H Fb C C C ] − + q − ) + Số hạng 13 ( SH13) = 2{[H ]q C0 ,b0C+C−} = [ H q] 2q [H {C0 ,b0C+C−}− ] ,b0C+C−  C0 = [ H q] {C0 ,b0 } C+C− − [ H ] b0 [C0 ,C+C− ] = [ H ] C+ C − q Số hạng 14 ( (SH14) = ( q + q−1 ) {[H ] ( = q+q [H ] ) − q+q [ H ] )  ) (b C + {C , q −1 −H q −1 ( +q C C, qH (q +q C H , q −H (q H +q C −H −b C C − + − ) (b C + −b C C − + − ) (b C )} − )} +0 ) C −b C C − + 0 ( = q+q [H ] ) ( −1 + q+q H q ( C , qH q ( −1 )[H ] +q C −H ) ( b C  +q −H ){C + − ,(b C C 0 −b C C ) − + −b C C )} ( −1 − q+q [ H ]  ) − (q + q )( q ( ( −1 −1 ( −1 q =0 Số hạng 15 −H H  −H +q [ H ]  ) ( b C + )[H ] +q ) [H ] ( q q + q− H − + − 0 ) C −b C C − + + − b C C )C − ,(b C C −H ){C H + q − − ,(b C C ) q = q+ ( , q +q C q H = q+q qH + q + 0 −b C C )} − − + ) ( { C , ( b C C ) } − {C , ( b C C )} ) + − + − 0 (SH15) = ( q − {[ H ] q −1 )2 C , [ H ] (b C C q ( = q− q [H ] ) −1 ( −1 {  ( ) ( + q− q ( ( )  q {[ H ] q (SH17) = ( q + q , −1 C C ( = q+q C C ) {b ( q + −1 − + + − ) b + − 0 + 0 0 + − 2b b C C C ) + + − − −  − )}C + − 2b b C C C ( b C C + + − + − + − q +  + − 2b b C C C ) C − − ,( b C C q + H +q C − −H − − 0 ( )(b C + −H , qH + q C + + − + + − 2b b C C C =0 Số hạng 17 − C0 , ( b+C−C0 + b−C+C0 − 2b+b−C+C−C0 )  q ] −1 + + − 2b b C C C )  − − q 0 ) ,[H  + q− q [H ] + − C , [ H  ( b C C ] ) ( [H ] −1 + q + q− q [H ] + C −1 ) − )2 ,[ H ] (b C q −1 + q 0 q = q− q [H ] − C , [ H ] ( b C C q + q− q [H ] + q )} + − 2b b C C C − ) ( b C + + − + −b C C − + )} −b C C ) − − 0 0 )}C  ( )( = (q + q )( q + q+q qH H −1 −1 +  − −H +q C −H +q C + ){b C ,(b C C + + − )({b C + − + + −b C C − ,(b C C − − − − )} + )} − {b C C + )}) ,( b C C − − + Trong số hạng ta thấy: {b0C+C− ,(b+C−C0 )} = b0 {C+C− ,(b+C−C0 )} − [b0 ,b+C−C0 ]C+C− = b0C+ {C− ,(b+C−C0 )} − b0 [C+ ,b+C−C0 ] C− −[b0 ,b+ ]C−C0C+C− − b+ [b0 ,C−C0 ]C+C− = b0C+ {C− ,(b+ )}C−C0 − b0C+b+ [C− ,C−C0 ] −b0 [C+ ,b+ ]C−C0C− − b0b+ [C+ ,C−C0 ]C− −b+ [b0 ,C− ]C0C+C− − b+C− [b0 ,C0 ] C + C− = b0C+C−C0 {b0C+C− ,(b−C+C0 )} = b0 {C+C− ,b−C+C0} − [b0 ,b−C+C0 ]C+C− = b0C+ [C− ,b−C+C0 ] + b0 {C+ ,b−C+C0}C− −[b0 ,b− ]C+C0C+C− − b− [b0 ,C+C0 ] C +C − = b0C+ [C− ,b− ]C+C0 + b0C+b− [C− ,C+C0 ] +b0 {C+ ,b−}C+C0C− − b0b− [C+ ,C+C0 ]C − −b− [b0 ,C+ ]C0C+C− − b−C+ [b0 ,C0 ]C+ C− = −2b0C+b−C−C+C0 + b0C+C0C− = −2b0 (1 − b−C+ )C−C+C0 − b0C+C0C− = 2b0C+C−C0 − b0C+C−C0 = b0C+C−C0 Như vậy: {b0C+C− ,(b+C−C0 )} − {b0C+C− ,(b−C+C0 )} = b0C+C−C0 − b0C+C−C0 = Tức (SH17)=0 Số hạng 18 (SH18) = ( q − {b C C q −1 )2 = (q − q C C { −1 ,[ H ] (b C + b C C C + − q + − )2 b , [ H ] ( b C C + − q + − − + − 2b b C C C + − + )} − + b C C − 2b b C C C − + + − + − )} − ( q − q ) b , [ H ] (b C C + q  0 − C = (q −1 − q )2 b C 0 + +( q − q )2 b 0 −1 q − ( b C C ] q [ H {C ] C −1 − ,[H −  + − + + + − + − − + + b C C − 2b b C C C − ,( b C C + ) C C + b C C − 2b b C C C − + + − + − − + + − + )} + b C C − 2b b C C C − ) − ( b C + b C C − 2b b C C ) C C − ( q − q )2 b , [ H ] C C + − − + + − + − + − q  0 − − ( q − q b , ( b C + b C C − 2b b C C ) C C C C )2 [ H ] + − − + q + − + − + = (q − − q )2 b −( q − q )2 [ H ] [ H {C ] C 0 −1 q ,(b C C + − + − + b C C − 2b b C C C − − + + − b , ( b C + b C C − 2b b C C C C + − − + q + − + 0 − + )} − ) C C − + Trong số hạng ta thấy: {C+C− ,(b+C−C0 + b−C+C0 − 2b+b−C+C−C0 )} = {C+C− ,(b+C−C0 )} + {C+C− ,(b−C+C0 )} − 2{C+C− ,(b+b−C+C−C0 )} = C+ {C− ,(b+C−C0 )} − [C+ ,b+C−C0 ]C− + C+ {C− ,(b−C+C0 )} −[ C+ ,b−C+C0 ]C− − 2C+ {C− ,(b+b−C+C−C0 )} + 2[C+ ,b+b−C+C−C0 ]C− = C+ {C− ,(b+ )}C−C0 − C+b+ [C− ,C−C0 ] − [C+ ,b+ ]C−C0C− − b+ [C+ ,C−C0 ]C− + C+ {C− ,(b− )}C+C0 − C+b− [C− ,C+C0 ] − [C+ ,b− ]C+C0C− −b− [C+ ,C+C0 ]C− − 2C+ {C− ,(b+ )}b−C+C−C0 + 2C+b+ [C− ] + 2[C+ ,b+ ]b−C+C−C0C− ,b−C+C−C0 + 2b+ [C+ ,b−C+C−C0 ]C− = C+C−C0 − C+C0C− − 2C+b−C+C−C0 + 2b+C+b−C+C−C0C− − 2b+b−C+C−C0C+C− = 2C+C−C0 − 2(1 − b−C+ )C+C−C0 = Và ta có: b0 , ( b+C−C0 + b−C+C0 − 2b+b−C+C−C0 )  C+C− = b0 , ( b+C−C0 )  C+C− + b0 , ( b−C+C0 )  C+C− − b0 , ( b+b−C+C−C0 )  C+C− = b0 , ( b+ )  C−C0C+C− + b+ b0 , ( C−C0 )  C+C− + b0 , ( b− )  C+ C 0C+ C − + b− b0 , ( C+C0 )  C+C− − b0 , ( b+ )  b−C+C−C0C+C− − b+ b0 , ( b−C+C−C0 )  C+C− = b+ b0 , ( C−C0 )  C+C− + b− b0 , ( C+C0 )  C+C− − 2b+ b0 , ( b−C+C−C0 )  C+C− − b+C−C0b0C+C− + b−C+C0b0C+C− + 2b+b−C+C−C0b0C+C− = b+C−C−C0b0C+ + b−C+C+C0b0C− − 2b+b−C+C−C−C0b0C+ =0 Số hạng 20 (SH 20) = ( q − q )2 ( q + q ) −1 {( q = H ) (b C C + q− + H −1 − − b −C+C0 ) , [ H q] (b+C−C0 + b−C+C0 − ( q − q )2 ( q + q −1 )(( −1 qH −H +q C ) { (b C + } 2b+b−C+C−C0 ) − b C C ), − − + 0 [ H q] (b+C−C0 + b−C+C0 − } 2b+b−C+C−C0 ) −(b+C−C0 − b−C+CH0 − +q H ,  ) q ) ( [ H ] (b+C−C0 + b−C+C0 − q  ) = ( q − q )2 ( q + q −1 )((q −1 H −H +q C ) b C  + 2b+b−C+C−C0 ,[ H ]  −b C C − − + q 0 (b+C−C0 + b−C+C0 − 2b+b−C+C−C0 ) +( qH H ) [ H ]q {(b+C−C0 − b−C+C0 ), (b+C−C0 + b−C+C0 − 2b+b−C+C−C0 )}  − ( b C −C H + − ) ,[ H ] q q  H − b −C +C ) ( q + q− +   (b+C−C0 + b−C+C0 − 2b+b−C+C−C0 ) −(b+C−C0 − b−C+C0 ) [ H ]q (  qH + q− H = ( q−  ) ,(b C C ) ) + −1 )( − + b C C0 − 2b b C C C0 − + + − −1 )( + H −  − H )[ ] q q+q q + q {( ), b+C−C0 − b−C+C0 H q (b+C−C0 + b−C+C0 − 2b+b−C+C−C0 )} Trong số hạng ta xét riêng: {(b+C−C0 − b−C+C0 ),(b+C−C0 + b−C+C0 − 2b+b−C+C−C0 )} = {b+C−C0 ,(b+C−C0 )} + {b+C−C0 ,(b−C+C0 )} − 2{b+C−C0 , ( b + b −C+ C−C ) } −{b−C+C0 ,(b+C−C0 )} − {b−C+C0 ,(b−C+C0 )} + 2{b−C+C0 ,(b+b−C+C−C0 )} = b+ {C−C0 ,(b+C−C0 )} − [b+ ,b+C−C0 ]C−C0 + b+ {C−C0 ,(b−C+C0 )} −[b+ ,b−C+C0 ]C−C0 − 2b+ {C−C0 ,(b+b−C+C−C0 )} + 2[b+ ,b+b−C+C−C0 ]C−C0 −b− {C+C0 ,(b+C−C0 )} + [b− ,b+C−C0 ]C+C0 − b− {C+C0 ,(b−C+C0 )} +[b− ,b−C+C0 ]C+C0 + 2b− {C+C0 ,(b+b−C+C−C0 )} − [b− ,b+b−C+C−C0 ]C+C0 = b+C− {C0 ,(b+C−C0 )} − b+ [C− ,b+C−C0 ]C0 − [b+ ,b+ ]C−C0C−C0 −b+ [b+ ,C−C0 ]C−C0 + b+C− {C0 ,(b−C+C0 )} − b+ [C− ,b−C+C0 ]C0 −[b+ ,b− ]C−C0C−C0 − b− [b+ ,C+C0 ]C−C0 − 2b+C− {C0 ,(b+b−C+C−C0 )} +2b+ [C− ,b+b−C+C−C0 ]C0 + 2[b+ ,b+ ]b−C+C−C0C−C0 + 2b+ [b+ ,b−C+C−C0 ] C−C +[b− ,b+ ]C−C0C+C0 + b+ [b− ,C−C0 ]C+C0 + [b− ,b− ]C+C0C+C0 +b− [b− ,C+C0 ]C+C0 + 2b−C+ {C0 ,(b+b−C+C−C0 )} − 2b− [C+ ,b+b−C+C−C0 ]C0 −[b− ,b+ ]b−C+C−C0C+C0 − b+ [b− ,b−C+C−C0 ]C+C0 = −b+ [C− ,b+C−C0 ]C0 − b+ [b+ ,C−C0 ]C−C0 + 2b+ [C− ,b+b−C+C−C0 ]C +2b+ [b+ ,b−C+C−C0 ]C−C0 + b− [b− ,C+C0 ]C+C0 − 2b− [C+ ,b+b−C+C−C0 ]C0 =0 (SH20)=0 Tổng hợp số hạng ta có: {Q,Q} = −2[ E, F ]C C C −  E, [ H ] C + −  q  ( + q+q qH ( − −1 )E +q −H )C C − ( − + q+q  E, q H −H +q ) (  + ( q − q )2 ( E [ H  − + − − E [H b C C C ] −1 ]C C − q −2 F ,[ H ]  − q+q H , q ( ( ( −1 + q −1   ) (  + q− q C C ) ) ( b C C ) C ( F +q q+ −H F [H ] C C ] q − + − + q+q qH ( + [ H Eb C C C ) −1 )F +q −H q + − q + − F [H b C C C ] − + + + + )C C ( b C C )C  − ) + − q − + + [ H Fb C C C ] ) q +2[ H ] C+ C − =0 ... q x= − p − x x [] pq q − p−1 với p, q số thực Đại số xem biến dạng đại số SU (2) đặc trưng hai thông số biến dạng p, q Trong trường hợp giới hạn p =q [ x] →và đại số (1.34) trở đại số biến dạng. .. (1.21) ]q [ J , J± ] = ±J ± đưa vào kí hiệu [ x ]q = q x − q (1.22) −x q1 − q −1 Đại số biến dạng đại số SU (2) đặc trưng thông số biến dạng q Trong trường hợp giới hạn q [ x ] → → x đại số q (1.20)... cam đoan Mục lục MỞ ĐẦU NỘI DUNG Chương ĐẠI SỐ LƯỢNG TỬ SU(2) 1.1 Đại số SU(2) 1.2 Đại số SU(2 )q biến dạng tham số 13 1.3 Đại số SU(2)pq biến dạng hai tham số 15 Chương HÌNH THỨC LUẬN BRST 20 2.1