Bài toán phủ và bao hình (KL06369)

Lý do chọn đề tài Hình học tổ hợp là một nhánh không thể thiếu được của các bài toán tổ hợp nóichung, nó thường xuyên xuất hiện trong các đề thi học sinh giỏi ở mọi cấp.. Khác vớicác bài

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

NGUYỄN THỊ QUỲNH

BÀI TOÁN PHỦ VÀ BAO HÌNH

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Hình học

Người hướng dẫn khoa học: ThS PHẠM THANH TÂM

Hà Nội - 2014

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên của khóa luận em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫnThS.Phạm Thanh Tâm Thầy đã giao đề tài và tận tình hướng dẫn em trong suốt quátrình hoàn thành khóa luận này Em xin gửi lời cảm ơn của mình tới các thầy, cô giáotrong khoa Toán đã giảng dạy tận tình và giúp đỡ chúng em trong suốt quá trình họctập tại Khoa

Nhân dịp này em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành của mình tới gia đình,bạn bè đã ở bên cổ vũ động viên giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập vừa qua

Hà Nội, ngày 16 tháng 05 năm 2014

Sinh viên

Nguyễn Thị Quỳnh

LỜI CAM ĐOAN

Sau một thời gian nghiên cứu, tìm hiểu tài liệu cùng với sự hướng dẫn của thầygiáo ThS Phạm Thanh Tâm em đã hoàn thành bài khoá luận của mình

Em xin cam đoan khoá luận này là kết quả của quá trình làm việc nghiêm túcvới sự cố gắng nỗ lực của bản thân dưới sự hướng dẫn chỉ bảo tận tình của ThS PhạmThanh Tâm Trong khi nghiên cứu khóa luận này, em đã tham khảo một số tài liệu ghitrong tài liệu tham khảo

Hà Nội, ngày 16 tháng 05 năm 2014

Sinh viên

Nguyễn Thị Quỳnh

Mục lục

Chương 1 Kiến thức cơ bản 5

1.1 Một số khái niệm mở đầu 5

1.2 Các tính chất 6

1.3 Một số ví dụ 6

1.4 Bài tập đề nghị 8

Chương 2 Bài toán phủ hình 10

2.1 Lát mặt phẳng bằng những đa giác bằng nhau 10

2.2 Bài toán phủ hình 13

2.2.1 Bài toán phủ đa giác lồi 13

2.2.2 Bài toán phủ một đoạn thẳng 17

2.2.3 Bài toán phủ một hình vuông 19

2.3 Định lí Bloosphelt 20

2.4 Phủ bàn với những khăn hình chữ nhật 22

2.5 Một số ví dụ 23

2.6 Bài tập đề nghị 25

Chương 3 Bài toán bao hình 27

3.1 Khái niệm 27

3.2 Bài toán bao hình 27

3.2.1 Bài toán bao hình vuông 27

3.2.2 Bao hình tam giác và đường tròn 31

3.3 Bài toán Malfatti 34

3.4 Bài tập đề nghị 38

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Hình học tổ hợp là một nhánh không thể thiếu được của các bài toán tổ hợp nóichung, nó thường xuyên xuất hiện trong các đề thi học sinh giỏi ở mọi cấp Khác vớicác bài toán trong lĩnh vực Giải tích, Đại số, Lượng giác, các bài toán của hình học tổhợp thường liên quan nhiều đến các đối tượng là các tập hợp hữu hạn Vì lẽ đó các bàitoán này mang đặc trưng rõ nét của toán học rời rạc

Bài toán phủ và bao hình là một phần của hình học tổ hợp Những bài toán này rất

đa dạng về nội dung và phương pháp giải Nhiều bài toán phát biểu rất đơn giản, vớinhững kiến thức phổ thông ta cũng có thể hiểu được nhưng để giải được chúng thì cầnđến một sự hiểu biết sâu sắc những kiến thức về hình học tổ hợp Vì vậy, em đã chọn

đề tài "Bài toán phủ và bao hình" nhằm mục đích tìm hiểu sâu hơn về những vấn đềtrong hình học tổ hợp cũng như tìm ra được lời giải tối ưu cho những bài toán này

2 Mục đích nghiên cứu

Bước đầu làm quen với nghiên cứu khoa học và tìm hiểu sâu hơn về các bài toánphủ và bao hình và các vấn đề liên quan đến hình học tổ hợp

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu một số chuyên đề về hình học tổ hợp, các bài toán về phủ hình và baohình

Tìm ra lời giải và xây dựng hệ thống bài tập liên quan

4 Đối tượng nghiên cứu

Nghiên cứu các dạng bài toán phủ và bao hình trong hình học tổ hợp, các tính chất,định lí và ứng dụng có liên quan

5 Phương pháp nghiên cứu

Đọc tài liệu, phân tích, so sánh tổng hợp

6 Cấu trúc khóa luận

Ngoài phần mở đầu, danh mục tài liệu tham khảo, khóa luận bao gồm ba chương:Chương 1: Kiến thức mở đầu

Chương 2: Bài toán phủ hình

Chương 3: Bài toán bao hình

Chương 1

Kiến thức cơ bản

Trong phần này, ta chỉ giới hạn đi nghiên cứu đối tượng là các đa giác lồi, còn cáctrường hợp đa giác khác sẽ được tìm hiểu sau

Định nghĩa 1.1.1 (Tập lồi) Tập X ⊂ Rn, X 6= /0 gọi là tập lồi nếu với mọi x, y ∈ X và

Định nghĩa 1.1.3 (Đa giác) Là đường gấp khúc n cạnh trong mặt phẳng (n ≥ 3)

A1A2 An sao cho đỉnh đầu và đỉnh cuối trùng nhau Cạnh đầu A1A2 và cạnh cuối

thế kí hiệu là A1A2 An

thẳng AiAi+1 gọi là các cạnh của đa giác Góc Ai−1AiAi+1 gọi là góc đa giác ở đỉnh Ai

Định nghĩa 1.1.4 (Đa giác đơn) Là đa giác mà bất kì hai cạnh không liên tiếp nào

cũng không có điểm chung

Định nghĩa 1.1.5 (Đa giác lồi) Là đa giác mà toàn bộ đa giác này nằm về một phía

của đường thẳng chứa cạnh bất kỳ nào của đa giác đó

Định nghĩa 1.1.6 (Đa giác đều) Đa giác được gọi là đa giác đều nếu tất cả các cạnh

của chúng bằng nhau và tất cả các góc của chúng bằng nhau

Khác với đa diện đều, đa giác đều có thể có số cạnh (góc) lớn vô cùng Khi đó hìnhdáng đa giác đều tiến gần tới hình tròn

Định nghĩa 1.1.7 (Đường chéo của đa giác) Một đoạn thẳng nối hai đỉnh không kề

nhau của một đa giác gọi là đường chéo của đa giác đó

Tính chất 1.2.3 Mọi góc trong một đa giác lồi không vượt quá 180o

Tính chất 1.2.4 Trong đa giác lồi, đoạn thẳng nối hai điểm bất kỳ nằm hoàn toàn

trong đa giác

Tính chất 1.2.5 Số đo góc của đa giác n cạnh là

b) Số đường chéo gấp đôi số cạnh;

Gọi số cạnh của đa giác là n (n ≥ 3, n ∈ N)

a) Khi đó, tổng số đo các góc trong của đa giác là

(n − 2)180o;

(n − 2)180o= 360o

Suy ra n = 4 Vậy số cạnh của đa giác đó là 4

b) Theo giả thiết số đường chéo gấp hai lần số cạnh nên ta có

n(n − 3)

Suy ra n = 7 Vậy số cạnh của đa giác là 7

(n − 2)180o− bA= 2570oSuy ra

Do n ∈ N, n > 3 nên suy ra n = 17 Vậy đa giác đó có 17 cạnh

Ví dụ 1.3.2 Chứng minh rằng trong một đa giác lồi bất kỳ không thể có quá 3 góc

nhọn

Giả sử đa giác lồi có K góc nhọn (K ≥ 4) Khi đó, nếu góc trong một đỉnh của đagiác lồi là góc nhọn thì góc ngoài tương ứng tại đỉnh đó là góc tù Do vậy, nếu đa giác

có K ≥ 4 góc nhọn thì sẽ có K ≥ 4 góc tù tương ứng và tổng các góc ngoài của chúng

chỉ bằng 360o

Vậy: Trong một đa giác lồi bất kì không thể có quá 3 góc nhọn

Ví dụ 1.3.3 Có tồn tại hay không đa giác có số cạnh bằng số đường chéo?

Giải

Gọi n là số cạnh của đa giác (n ≥ 3, n ∈ Z+)

Đa giác có số cạnh bằng số đường chéo khi và chỉ khi

Bài tập 1.1 Chứng minh rằng bằng một đường chéo thích hợp, mọi n - giác đơn có

thể phân hoạch thành hai đa giác có số cạnh nhỏ hơn n

Bài tập 1.2 Chứng minh rằng ngũ giác có 5 cạnh bằng nhau và 3 góc liên tiếp bằng

nhau là ngũ giác đều

Bài tập 1.3 Tổng tất cả các góc trong và một trong các góc ngoài của đa giác là 2225o.Hỏi đa giác có bao nhiêu cạnh?

Bài tập 1.4 Tìm số cạnh của một đa giác biết các đường chéo của nó có độ dài bằng

nhau

Bài tập 1.5 Cho ngũ giác lồi ABCDE có các cạnh bằng nhau và các góc trong đều

Bài tập 1.6 Cho hình vuông ABCD, độ dài cạnh bằng 1 đơn vị Gọi P, Q lần lượt nằm

Bài tập 1.7 Chứng minh rằng trong một tứ giác lồi có các góc không bằng nhau thì

có ít nhất một góc là góc tù

Bài tập 1.8 a) Tìm số n sao cho trong mặt phẳng có thể phủ kín bởi đa giác đều có n

cạnh

b) Có tồn tại các ngũ giác bằng nhau để phủ kín mặt phẳng hay không

Bài tập 1.9 Người ta đánh dấu mỗi đỉnh của đa giác đều 1995 cạnh bởi màu xanh

hoặc đỏ Chứng minh rằng luôn tìm được 3 đỉnh của đa giác là 3 đỉnh của một tam giáccân được đánh dấu cùng màu

Bài tập 1.10 Chứng minh rằng có vô số hình bình hành MNPQ nội tiếp một hình bình

hành ABCD cho trước (mỗi đỉnh của hình bình hành MNPQ nằm trên mỗi cạnh củahình bình hành ABCD) và các hình bình hành này có chung tâm đối xứng

Bài tập 1.11 Cho lục giác đều có tất cả các góc trong bằng nhau Chứng minh rằng

hiệu giữa các cạnh đối diện thì bằng nhau

Bài tập 1.12 Một đa giác có hiệu giữa đường chéo lớn nhất và nhỏ nhất bằng cạnh

của nó Hỏi đa giác đó là đa giác gì ?

Chương 2

Bài toán phủ hình

Trong thực tế, ở bất cứ đâu, ta cũng gặp bài toán này như lát vỉa hè, sàn nhà, sântrường, bằng những viên gạch đa giác giống nhau (hình chữ nhật, hình vuông, hìnhlục giác, ) Mặt phẳng được lát bởi những đa giác giống nhau này sao cho hai đa giáctuỳ ý không có điểm chung, nhưng chúng có thể chung đỉnh và chung cạnh Khi đó ta

được "một phủ mặt phẳng" nếu mọi điểm trong mặt phẳng đều nằm trong một hình đa

a) Ta có thể lát mặt phẳng bằng những viên gạch hình tam giác Bằng cách ghép hai

viên gạch hình tam giác này ta được viên gạch có dạng hình bình hành Hiển nhiên tacũng có thể phủ được mặt phẳng bằng những viên gạch này (xem hình H.2.1 và hìnhH.2.2)

b) Tương tự, mặt phẳng cũng có thể lát bằng những viên gạch hình tứ giác có dạng

bất kỳ , ghép hai viên tứ giác lại tạo ra viên lục giác, trong đó những góc đối diện bằngnhau và các cạnh đối diện song song và bằng nhau Ta cũng thấy mặt phẳng có thể látbằng viên gạch hình này (xem hình H.2.3 và hình H.2.4)

c) Ta cũng có thể ghép mặt phẳng bằng những viên gạch lục giác sao cho mọi đỉnh

của viên gạch sẽ là đỉnh của ba góc trong của viên gạch lục giác, mà tổng của chúng là

H.2.1 H2.2

H.2.4H.2.3

d) Giả sử ta dùng những viên gạch ngũ giác giống nhau để lát mặt phẳng

+) Nếu những viên gạch ngũ giác là ngũ giác đều thì không thể phủ được mặt phẳng(vì n.180o> 360ovới n = 3, 4, 5)

+) Nếu viên gạch ngũ giác là không đều thì có thể phủ được mặt phẳng bởi mộtloại ngũ giác như sau Ta chia một lục giác đều thành ba ngũ giác bằng nhau bằng cáchdựng ba đường trung trực của ba cạnh không kề nhau Mặt phẳng có thể lát bằng nhữngviên gạch lục giác và những viên gạch ngũ giác này thực sự lát được mặt phẳng (xemhình H.2.6)

Từ đó, ta thấy với n ≤ 6, mặt phẳng có thể phủ được bởi những viên gạch hình n - giácgiống nhau

Ta xét định lí sau:

Định lý 2.1 Với n ≥ 7 không tồn tại những viên gạch có dạng n - giác lồi giống nhau

mà có thể lát được mặt phẳng.

Chứng minh

Giả sử tồn tại một phủ mặt phẳng bởi những viên gạch n - giác giống nhau với

với giả thiết d và n - giác cố định

Xét ba đường tròn đồng tâm lần lượt có bán kính R, R − d và R + d sao cho R đủ

Mặt khác, mọi điểm thuộc hình tròn có bán kính R − d sẽ nằm trong một đa giác nào

đó ở trong đường tròn bán kính R, nên

2.2.1 Bài toán phủ đa giác lồi

a) Phủ đa giác lồi bằng những đa giác vị tự với chính nó

Ta xét bài toán phủ một đa giác lồi bằng một số những đa giác khác mà chúng nhậnđược từ đa giác đã cho qua một phép vị tự với hệ số k < 1

Định nghĩa 2.2.1 Cho đa giác D và một họ đa giác Di(Dilà các đa giác vị tự với đagiác D với tỉ số vị tự k ∈ (0, 1)) Ta nói rằng một số đa giác Ditạo thành một phủ vị tựcủa đa giác D, nếu mọi điểm của đa giác đã cho thuộc ít nhất một trong những đa giácphủ

Để đơn giản, trong mục này ta nói một phủ thay cho một phủ vị tự nói trên

Ví dụ 2.2.1 Với tam giác ABC bất kì có tồn tại một phủ theo định nghĩa trên không?

A B

C D

C1B2//CB ( A1B1, A2C2, C1B2đủ gần các cạnh tương ứng AB, AC và BC) (xem hìnhH.2.7)

giác ABC và ba tam giác này phủ được tam giác ABC

Ta đi chứng minh rằng không thể phủ một tam giác bất kỳ bằng hai tam giác vị tự có

Ta có bổ đề sau:

Bổ đề 2.1 Mọi đa giác lồi D có n cạnh khác hình bình hành đều tồn tại ba cạnh, mà

kéo dài ba cạnh này tạo ra một tam giác chứa đa giác đã cho.

Chứng minh

Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp

+) Nếu n = 3, 4 thì đa giác lồi M đã cho là tam giác hoặc tứ giác thì khẳng định trênluôn đúng (xem hình H.2.9)

+) Giả sử bổ đề đúng với mọi đa giác lồi M khác hình bình hành có số cạnh nhỏ hơn n

Ta xét đa giác M có n cạnh (n ≥ 5) thì từ điều kiện M là đa giác lồi không phải là hìnhbình hành nên tồn tại ít nhất ba cạnh kề mà có hai cạnh kéo dài cắt nhau tạo thành một

đa giác có số cạnh nhỏ hơn, kí hiệu Mn−1

Khi đó theo giả thiết quy nạp :

A B

C D

E F

H.2.10

J

bình hành, do đó tồn tại điểm nào đó trong các điểm A, B, C, D không phải là đỉnh của

M ( vì nếu A, B, C, D là các đỉnh của M thì đa giác M sẽ chứa ABCD Nhưng theo cáchdựng trên ABCD chứa M, do đó M là hình bình hành ABCD , mâu thuẫn với giả thiết).Tiếp đó, ta giả sử D không thuộc M Kí hiệu F là đỉnh thuộc M gần nhất với D Xétđường thẳng đi qua F và một cạnh của M cắt hai cạnh AD, CD lần lượt ở E, F Từ đagiác M là lồi nên M sẽ nằm hoàn toàn về một phía của EF và cả về một phía của cạnh

Suy ra ba đường thẳng AB, BC và EF là ba đường đi qua ba cạnh của M mà tạothành tam giác BIJ phải tìm

Định lý 2.2 (Gohberg - Markus) Cho M là đa giác lồi không phải là hình bình hành.

Khi đó, số lượng nhỏ nhất những đa giác vị tự với M đủ để phủ M là 3.

Chứng minh

Áp dụng kết quả của bổ đề 2.1, ta sẽ chứng minh rằng mọi đa giác lồi khác hìnhbình hành có thể phủ được bởi ba đa giác vị tự

Thật vậy, cho ABC là tam giác chứa đa giác A1A2 An Giả sử A1A2, AkAk+1 và

giác và nối O với ba điểm P, Q, R (P ∈ A1A2, Q ∈ AkAk+1, R ∈ A`A`+1) Các đoạn thẳng

OP, OQ, OR chia đa giác M đã cho thành ba phần m1, m2, m3

Xét phép vị tự tâm A hệ số k = 1 − δ (với δ > 0, δ đủ nhỏ)

Khi đó, qua phép vị tự này, ảnh của A1và Ak+1 tương ứng là A01và A0k+1sẽ nằm trongđoạn A1Pvà Ak+1Q

Hơn nữa, qua phép vị tự này ảnh của đường gấp khúc Ak+1 A`A`+1 A1không có

Lập luận tương tự cho các phép vị tự có tâm tại B,C ta cũng nhận được các đa giác

vị tự phủ m2và m3

giác phủ đa giác đã cho) (xem hình H.2.11).

Do vậy, M không thể phủ bằng hai đa giác vị tự với nó Định lí được chứng minh

b) Phủ đa giác lồi bằng những đa giác đồng dạng với nó (với hệ số đồng dạng

k6= 1)

Định nghĩa 2.2.2 (Phủ đa giác bằng những đa giác đồng dạng với nó) : Tương tự

như định nghĩa phủ đa giác lồi bằng những đa giác vị tự với nó

Bổ đề 2.2 Mọi hình bình hành có thể phủ được bằng ba hình bình hành đồng dạng

với nó.

Chứng minh

tâm tương ứng tại A, D và hai hình bình hành này có thể phủ phần còn lại là hình bìnhhành AA00D00D

A G

F D

B C

O 1

H.2.12

A

B C

Kết hợp kết quả của định lí 2.2 trên và bổ đề 2.3, ta có định lí sau

Định lý 2.3 Mọi đa giác lồi có thể phủ được bằng ba đa giác đồng dạng với nó.

Xét bài toán đơn giản nhất khi đa giác là tam giác ABC

+) Nếu ABC là tam giác đều thì không tồn tại một tam giác đều khác mà có thể phủđồng thời hai đỉnh của tam giác ABC đồng thời thoả mãn cạnh của nó nhỏ hơn cạnhcủa tam giác ABC đã cho ( vì khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ trong tam giác luônnhỏ hơn một cạnh của tam giác)

Do đó, để phủ được tam giác ABC thì phải cần đến ba tam giác

+) Nếu ABC là tam giác không đều Giả sử cạnh AB > BC (xem hình H.2.13)

Ta dựng tam giác A0B0C0đồng dạng với tam giác ABC thoả mãn BC nằm trên cạnh A0B0

và A0B0 = kAB > BC, (k < 1) Khi đó, tam giác A0B0C0 sẽ phủ một tứ giác nhỏ nào đó,

ví dụ như B00BCC0

này có thể phủ được phần còn lại của tam giác ABC Do đó, có thể phủ tam giác ABCbằng hai tam giác đồng dạng

2.2.2 Bài toán phủ một đoạn thẳng

Cho ε là một số Ta xét một đoạn thẳng A có độ dài bằng 1 được phủ bởi một sốđoạn thẳng khác

Bài toán đặt ra : Từ một phủ bất kỳ của đoạn thẳng đơn vị, có tồn tại hay không một

số đoạn thẳng (trong những đoạn thẳng phủ) mà mọi cặp đoạn thẳng của chúng đềukhông có điểm chung nhưng tổng độ dài của chúng nhỏ hơn ε > 0 hoặc lớn hơn ε > 0

Định lý 2.4 Cho tập hợp M những đoạn thẳng phủ đoạn thẳng AB với độ dài bằng 1.

a) Tồn tại một tập hợp con σ ⊂ M gồm những đoạn thẳng không giao nhau mà tổng của chúng không nhỏ hơn 1

2.

b) Nếu ε >1

2 thì luôn tồn tại tập hợp M chứa những đoạn thẳng có tính chất sau: Tổng

những độ dài của những đoạn thẳng không giao nhau thuộc M nhỏ hơn ε.

Chứng minh

Ta có nhận xét sau: Cho tập M những đoạn thẳng phủ đoạn thẳng AB Nếu mộtđoạn thẳng bị phủ toàn bộ bởi một hoặc vài đoạn thẳng, thì ta bỏ đoạn thẳng này đi vànhững đoạn thẳng còn lại vẫn phủ AB

a) Xét tất cả những đoạn thẳng phủ điểm A Trong những đoạn thẳng vừa chọn, ta chọnđoạn thẳng có điểm đầu bên phải nằm về phía bên phải nhất trên đoạn thẳng AB.+) Nếu ta bỏ đi tất cả những đoạn khác phủ A ngoài đoạn thẳng ta vừa chọn ở trên, thì

ta vẫn còn một phủ đoạn AB, gọi là đoạn thẳng thứ nhất.

Tiếp tục quá trình này, ta tách được một đoạn thẳng A2B2phủ B1gọi là đoạn thẳng

thứ hai Xét tất cả các đoạn thẳng phủ B2và cũng tách được một đoạn thẳng và gọi đó

là đoạn thẳng thứ ba,

Sau khi đánh số như trên thì ta nhận được mọi cặp đoạn thẳng có số thứ tự đồngthời chẵn hoặc lẻ sẽ không có điểm chung (vì giả sử đoạn thứ nhất và đoạn thứ ba có

dài của những đoạn thẳng phủ AB không nhỏ hơn 1 Do đó, điều giả sử sai) Vậy tổng

2.b) Cho ε là một số, ε >1

2.Xét hai đoạn thẳng A1B1và A2B2giao nhau và phủ AB

2+ δ > 1

2 < ε thì chúng sẽ tạo ra tập

2.2.3 Bài toán phủ một hình vuông

Rado (1906 − 1989) là nhà toán học người Hungari Ông là người đầu tiên nghiêncứu về bài toán liên quan đến phủ một hình vuông Bài toán này cũng được lấy tên ông

a) Cho hình vuông có cạnh bằng 1 được phủ bởi tập hợp những hình vuông con Từ

mỗi tập hợp hình vuông con này, có thể chọn ra được những hình vuông không giaonhau thoả mãn tổng diện tích của chúng lớn hơn ε ( với mọi 0 < ε < εo)

b) Cho hình vuông có cạnh bằng 1, tồn tại một tập hợp hình vuông phủ hình vuông đã

cho thoả mãn tổng diện tích của những hình vuông tuỳ ý không giao nhau nhỏ hơn ε (với mọi ε > εo)

Để dễ tưởng tượng, ta coi hình vuông là cái mặt bàn hình vuông có cạnh bằng 1

đơn vị, ta muốn phủ mặt bàn hình vuông này bằng những khăn trải bàn hình vuông.

Cụ thể ta xét định lí sau:

Định lý 2.5 Cho một mặt bàn hình vuông có cạnh bằng 1, được phủ bởi những khăn

trải bàn hình vuông Khi đó, tồn tại một tập hợp con những khăn trải bàn không giao nhau sao cho tổng diện tích của chúng không nhỏ hơn 1

9.

Chứng minh

a) Theo giả thiết, từ tập hợp những khăn trải bàn phủ mặt bàn hình vuông có cạnh bằng

1 là hữu hạn nên ta chọn ra được một chiếc khăn có cạnh lớn nhất, chẳng hạn a1và ta kíhiệu là K1 Sau đó xét tất cả những khăn trải bàn còn lại có giao với K1và những khăn

phần phủ này không lớn hơn 8a21

Ta bỏ đi những khăn có giao với K1và xét những khăn còn lại trừ K1

Từ trong tập này, ta lại chọn ra một khăn có cạnh lớn nhất a2và kí hiệu nó là K2 Ta bỏ

đi những khăn có giao với K2và diện tích của phần bỏ đi này không nhỏ hơn 8a22.Bằng cách lập luận tương tự, ta sẽ nhận được một tập hợp những khăn không giaonhau K1, K2, , Kpvà tổng diện tích của những khăn này bằng a21+ a22+ + a2p

Mà theo lập luận ở trên ta có:

1 − (a21+ a22+ + a2p) ≤ 8(a21+ a22+ + a2p) ⇔ a21+ a22+ + a2p≥1

9.

K 1

H.2.16

9 và ta tìm được số εo từbất đẳng thức εo≥ 1

Định nghĩa 2.3.1 (Lưới nguyên) Trong mặt phẳng toạ độ qua mỗi điểm (m, n) có toạ

độ nguyên, ta kẻ một đường thẳng song song với trục hoành và một đường thẳng song

song với trục tung, ta được một hệ những đường thẳng gọi là một lưới nguyên (xem hình H.2.17) Những điểm có toạ độ nguyên là các đỉnh của lưới nguyên Lưới nguyên

chia mặt phẳng thành những ô vuông bằng nhau và mỗi ô có diện tích bằng 1

Bổ đề 2.3 Cho H là một hình trong mặt phẳng thoả mãn điều kiện S(H) > 1 (ở đây

(x2, y2) thuộc A mà những hiệu của chúng x2− x1và y2− y1là những số nguyên.

Chứng minh

+) Ta thấy rằng nếu một hình vuông H bất kỳ nào đó nằm trong lưới nguyên mà tịnhtiến đến trùng một hình vuông khác trong lưới nguyên thì hiệu giữa những toạ độ tươngứng của hai điểm nào đó trong hình vuông H là một số nguyên Bởi vì trong hình vuông

Khi đó ta chọn một trong những ô vuông trong lưới vuông làm cơ sở và tịnh tiếnmọi hình vuông của lưới về hình vuông cơ sở