Malfatti (1731−1087) là một nhà toán học người Italy. Ông đã có những công trình nghiên cứu về bài toán bao hình mà nhiều bài toán cho đến nay vẫn chưa có lời
giải trọn vẹn.
Xét bài toán sau:Trong một tam giác hãy tìm ba hình tròn không giao nhau sao cho tổng diện tích của chúng lớn nhất đồng thời thoả mãn chúng đôi một tiếp xúc với nhau và tiếp xúc với hai cạnh của tam giác đã cho.
Malfatti là người đầu tiên nghiên cứu về bài toán này nên những đường tròn có tính chất trên được mang tênnhững đường tròn Malfatti và bài toán trên cũng được gọi làbài toán Malfatti.
Cho đến nay vẫn chưa có lời giải hoàn chỉnh cho bài toán này, vì thế ta đi xét những bài toán ở dạng đơn giản hơn.
Ví dụ 3.3.1. Trong một hình vuông, hãy đặt hai hình tròn không giao nhau sao cho tổng diện tích của chúng lớn nhất.
Giải
Xét hai hình tròn nằm trong hình vuông cạnh bằng1, chúng không cắt nhau và nằm ở hai góc đối diện của hình vuông.
Ta tăng bán kính của chúng đến khi hai đường tròn tiếp xúc với nhau(H.3.9). Kí hiệur1,r2là bán kính của những hình tròn này. Khi đó, ta có
√
2r1+r1+r2+√
2r2=√
2. (3.15)
⇔r1+r2=2−√2.
Do hai hình tròn nằm trong hình vuông nên
0≤r1,r2≤1
2. (3.16)
Tổng diện tích của hai hình tròn này là
π(r21+r22).
Do đó, tổng diện tích của chúng lớn nhất khi biểu thức(r12+r22)lớn nhất. Giả sửr1≤r2và đặt
r1= 2−√2
2 −x,r2= 2−√2
r1 r2 H.3.9 Từ 3.16 suy rax≤ √ 2−1 2 Và r21+r22=3−2√ 2+2x2lớn nhất khix= √ 2−1 2 . Vậy ta tìm đượcr1= 3−2√ 2 2 vàr2= 1 2.
Ví dụ 3.3.2. a) Hãy tìm các bán kính đường tròn Malfatti cho một tam giác đều cạnh bằng1.
b) CMR những đường tròn này không là nghiệm của bài toán Malfatti.
Giải
a) Áp dụng bài toán Malfatti cho tam giác đều cạnh bằng1ta được những đường tròn Malfatti cho tam giác đều là ba hình tròn bằng nhau và có bán kính
r1=r2=r3= √
3−1
4 . (3.17)
Tổng diện tích của ba đường tròn là 3π
8 (2−√3)(xem hình H.3.10).
b) Xét hình tròn nội tiếp tam giác bán kínhr và hai hình tròn nhỏ bán kínhr10,r02tiếp xúc với nó và hai cạnh tương ứng được tính bằng
r= 1 2√ 3,r 0 1=r02= 1 6√ 3. Tổng diện tích các hình tròn này bằng
A B C H.3.10 S=π.( 1 2√ 3) 2+2.π.( 1 6√ 3) 2=11π 108. Ta thấy 11π 108 > 3π 8 (2−√3).
Suy ra những đường tròn này không là nghiệm của bài toán Malfatti.
Ví dụ 3.3.3. Tìm hai hình tròn không giao nhau có bán kính r1,r2 nằm trong hình vuông sao cho :
a)r1r2là lớn nhất; b)r13+r32là lớn nhất.
Giải
Vận dụng kết quả của bài toán 3.3.1, ta chỉ cần xét trường hợp những bán kính đường tròn thoả mãn
r1+r2=2−√2,0≤r1,r2≤ 1
2. (3.18)
a) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho2số dươngr1,r2ta có r1r2≤(r1+r2 2 ) 2= (1−√1 2) 2. Do đó,r1r2lớn nhất khir1=r2= 2−√2 2 . b) Ta có r31+r32= (r1+r2 2 )[3(r 2 1+r22)−(r1+r2)2]. (3.19)
Vìr1+r2=2−√2nênr13+r23lớn nhất khi và chỉ khir21+r22lớn nhất và ta tính được r1=3−2√ 2 2 vàr2= 1 2.
Ví dụ 3.3.4. Chứng minh rằng mọi hình có đường kính bằng1 có thể bao bởi hình vuông có cạnh bằng1.
Giải
Mọi hình F có đường kính bằng 1 đều có thể bao nó bằng một hình vuông đủ lớn.Sau khi ta làm co lại bốn cạnh của hình vuông những khoảng bằng nhau, ta được một hình vuông mà nó vẫn bao hìnhF và trên hai cạnh của nó có hai điểm tương ứng AvàBthuộc biên của hìnhF.
VìAB≤1nên cạnh của hình vuông đã cho không lớn hơn1. Tức là, không có khả năng bao một đường tròn đường kính bằng1bởi một hình vuông có cạnh nhỏ hơn1.
Ví dụ 3.3.5. Cho hình vuông có cạnh 8 cm. Lấy ra100 điểm trong hình vuông và chứng minh rằng có ít nhất bốn điểm cùng nằm trong một đường tròn có bán kính là1
cm.
Giải
Ta chia hình vuông đã cho thành32hình vuông nhỏ có diện tích bằng nhau.
Ta thấy100 : 32=3dư4nên theo nguyên lí Dirichlet thì tồn tại ít nhất một hình vuông chứa4điểm trong100điểm đã cho.
Diện tích mỗi hình vuông nhỏ là2cm2. Suy ra +) Độ dài mỗi cạnh hình vuông nhỏ là√
2cm; +) Độ dài đường chéo là 2 cm.
Do đó, bán kính hình tròn ngoại tiếp hình vuông nhỏ là 1 cm.
Vậy: luôn tồn tại ít nhất 4 điểm cùng nằm trong một đường tròn bán kính 1 cm.
3.4. Bài tập đề nghị
Bài tập 3.1. Trong hình vuôngABCDcó cạnh bằng 1, đặt một đa giác có diện tích 1
2.
CMR tồn tại đường thẳngl song song với cạnhABmà nó giao với đa giác thành một đoạn thẳng với độ dài lớn hơn 1
Bài tập 3.2. Trong hình chữ nhật có cạnh 20 và 25, ta đặt 120 hình vuông có cạnh bằng 1. Chứng minh rằng trong hình chữ nhật đó có thể đặt một hình tròn đường kính bằng 1, mà nó không giao với bất cứ hình vuông nào.
Bài tập 3.3. Hãy tìm cạnh của hình vuông nhỏ nhất, mà trong nó đặt được hai hình tròn không giao nhau có các bán kính 2 và√
2.
Bài tập 3.4. Hãy tìm cạnh của hình vuông nhỏ nhất, mà trong nó đặt được ba hình tròn không giao nhau có các bán kính 1,√
2và 2.
Bài tập 3.5. Trong một tam giác đều, hãy đặt hai hình tròn sao cho tích của các diện tích của chúng là lớn nhất.
Bài tập 3.6. Trong hình chữ nhật với các cạnh a và b, tìm hai hình tròn không giao nhau sao cho:
a) Tổng diện tích lớn nhất; b) Tích các diện tích lớn nhất.
Bài tập 3.7. Chứng minh rằng mọi hình có đường kính bằng 1 có thể bao bằng lục giác, mà nó nhận từ hình vuôngABCDcó cạnh bằng 1, sau đó từ nó cắt đi hai tam giác 41và42tạo bởi các cạnh hình vuôngABCDvà các đường tiếp tuyến với đường tròn nội tiếp trong hình vuông ABCD, đồng thời vuông góc với đường phân giác của góc vuông tại các đỉnhAvàB.
Bài tập 3.8. Một hình bình hành được bao bởi một hình tam giác. CMR diện tích của hình bình hành không lớn hơn nửa diện tích của tam giác.
Bài tập 3.9. Trong hình lập phương, hãy đặt hai hình cầu không giao nhau với tổng lớn nhất của :
a) Những diện tích; b) Diện tích bề mặt.
Tài liệu tham khảo
[1] Nguyễn Hữu Điển,Một số chuyên đề hình học tổ hợp, NXB Giáo dục,2005 . [2] Văn Như Cương,Hình học sơ cấp và thực hành giải toán,NXB Đại học Sư phạm,
2009.
KẾT LUẬN
Trong khóa luận này, em đã trình bày một số kết quả liên quan đến một số vấn đề trong hình học tổ hợp. Những bài toán phủ hình và bao hình cùng với các tính chất,định lí và một số ứng dụng của nó có liên quan đến những bài toán trong thực tế.
Tuy đã có nhiều cố gắng nhưng do thời gian và khả năng có hạn của mình nên các vấn đề trong khóa luận vẫn chưa được trình bày sâu sắc và không thể tránh khỏi có những thiếu sót . Em rất mong nhận được những lời góp ý của thầy cô và các bạn để khoá luận của em được hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn! .
Hà Nội, ngày 16 tháng 05 năm 2014 Sinh viên