a) Bao hình vuông bởi hình tam giác vuông
Xét bài toán cụ thể sau: Cho tam giác vuôngABC có độ dài các cạnh làa,b và cạnh huyềnc. Hãy tìm hình vuông có diện tích lớn nhất được bao bởi hình tam giác vuông đã cho.
Giải
Chú ý rằng các hình vuôngKnằm trong tam giác đều không phải là hình cần tìm. Thật vậy, xét phép vị tự tâmOtỉ sốknhư sau :
+) Với tỉ số vị tựk=1thìK có các đỉnh trong hình vuông. +) Vớik>1đủ lớn thì tồn tại một đỉnh nằm ngoài tam giác.
Vì vậy tồn tại một hình vuông có đỉnh nằm trên cạnh tam giác có diện tích lớn hơnK. Do đó ta xét các trường hợp của bài toán theo số đỉnh của hình vuông nằm trên các cạnh của tam giác.
•) Nếu hai đỉnh của hình vuông nằm trên cạnh huyền, thì do các tam giác đồng dạng với nhau ta suy ra cạnhxcủa hình vuông là
x
h = c−x
c ⇔x= ch
c+h. (3.1)
Trong đó,hlà chiều cao hạ từ đỉnh góc vuông xuống cạnh huyền.
•) Nếu một đỉnh của hình vuông thuộc cạnh huyền thì một đỉnh khác của hình vuông sẽ trùng với đỉnh góc vuông của tam giác.
Khi đó đường chéo của hình vuông` sẽ là đường phân giác của góc vuông và ta tính được `= 2abcos45 o a+b =ab √ 2 a+b. (3.2)
Từ đó suy ra được cạnhxcủa hình vuông là ab
a+b. (3.3)
Từ (3.1) và (3.3) ta đi so sánh hai cạnh của hình vuông vừa tính được ở trên. Giả sử
ch
c+h< ab a+b.
Doab=ch(hệ thức lượng trong tam giác vuông) nên ta chỉ cần đi chứng minh
a+b<c+h. Bình phương2vế và áp dụng định lí Pytago ta được
2ab<2ch+h2(luôn đúng). Do đó, ch
c+h < ab
a+b và ta thấy rằng trong tất cả các hình vuông có bốn đỉnh nằm trên các cạnh của tam giác vuông, hình vuông có cạnh lớn nhất là những hình vuông có đường chéo trùng với đường phân giác của góc vuông.
Trường hợp 2) : Ba đỉnh của hình vuông nằm trên các cạnh của tam giác.
Giả sửa≥b, thìβ ≤45o (vớiα,β là những góc nhọn của tam giácABCtại các đỉnh AvàB).
•) Nếu hai đỉnh của hình vuông cùng nằm trên cạnh huyền hoặc cạnh bên thì so sánh với các trường hợp ở phần trước, ta tính được cạnhxcủa hình vuông làx< ab
A B C P Q H.3.1 M N α β ϕ O β ϕ θ f(ϕ) H.3.2
•) Nếu trên mỗi cạnh của tam giác có một đỉnh của hình vuông. Kí hiệuMNPQlà hình vuông nằm trong tam giácABC(xem hình H.3.1). ĐặtQPCd =ϕ ≤β. Áp dụng định lí Cosin cho4NBP, ta được
NB= xsin(90
o−ϕ)
sinβ = xcosϕ
sinβ . (3.4)
Kéo dài cạnhMNcắt cạnhAC tại điểmR. Áp dụng định lí Cosin cho4ANRta được
AN= RM+MN
sinα sin(90o+ϕ) = x(1+tanϕ)
sinα cosϕ. (3.5) Từ 3.4 và 3.5 ta suy ra c=AB=AN+NB=x( 1 sinα + 1 cosα) +xsinϕ cosα . (3.6) Rút ra ta được x= ab (a+b)cosϕ+bsinϕ. (3.7) Ta sẽ đi chứng minh bất đẳng thức sau
ab
(a+b)cosϕ+bsinϕ < ab
a+b. (3.8)
Điều này tương đương với
(a+b)cosϕ+bsinϕ >a+b. (3.9) Xét hàm số
A B C A0 B0 C0 K1 H.3.3
Đạo hàm bậc nhất hàm số trên ta được
f0(ϕ) =bcosϕ−(a+b)sinϕ. Ta thấy f0(ϕ)≥0nếutanϕ≤ b
a+b (hoặc f0(ϕ)≤0 nếutanϕ ≥ b
a+b) nên suy ra f(β)>0và f(0) =0. Đồ thị của hàm số f(ϕ)có dạng như hình H.3.2. Từ đó suy ra được bất đẳng thức 3.8 đúng.
Vớiϕ≥β ta có
(a+b)sinϕ+acosϕ >a+b. (3.10) Lập luận tương tự như trên ta cũng suy ra điều phải chứng minh.
Vậy cạnhxcủa hình vuông thoả mãn 3.8.
Trường hợp 3: Hình có hai đỉnh nằm trên cạnh của tam giác.
Thực hiện phép tịnh tiến ta đưa về trường hợp hình vuông có 3 đỉnh nằm trên các cạnh của tam giác (xem hình H.3.3).
Vậy hình vuông có diện tích lớn nhất được bao bởi một tam giác vuông cho trước là hình vuông có đường chéo là đường phân giác của góc vuông tam giác.
b) Bao hai hình vuông bởi một hình vuông
Định nghĩa 3.2.1. Cho hai hình vuôngK1vàK2có các cạnh tương ứng làa,b. Ta nói rằng hình vuôngK bao hai hình vuông K1 và K2, nếuK1và K2không có điểm trong chung vàKchứa cả hai hình vuôngK1vàK2.
Bài toán của chúng ta là đi tìm hình vuôngK có diện tích nhỏ nhất bao cảK1 và K2. Ta có một kết quả nếu bất đẳng thức a+b≤1 xảy ra thì ta có thể baoK1 và K2 bằng một hình vuôngK có cạnh là1đơn vị (xem hình H.3.4).
a2 b2 H.3.4 a b A B C D M N K1 K2 H.3.5 `
Định lý 3.1. Cho hai hình vuôngK1vàK2có các cạnh tương ứng làa,bđược bao bởi một hình vuôngKcó cạnh là1đơn vị. Khi đó, bất đẳng thứca+b≤1xảy ra.
Chứng minh
Cho hình vuông K có cạnh bằng 1. Khi đó, ta luôn tìm được một đường thẳng ` chia hình vuông này làm hai đa giác mà mỗi đa giác chứa chỉ một trong những hình vuôngK1vàK2(xem hình H.3.5) .
•Nếu`song song với một cạnh củaKthì hiển nhiên hai hình vuông sẽ nằm trong hai hình chữ nhật. Suy ra điều phải chứng minh (xem hình H.3.4) .
•Nếu`không song song với các cạnh củaK, thì tồn tại hai tam giác vuông mà chúng tương ứng bao hình vuông K1 và K2 (không phụ thuộc vào loại đa giác gì mà ` chia hình vuôngK) (xem hình H.3.5).
Thật vậy, xét những tam giác do` tạo ra với hình vuông K và các đường kéo dài cạnh nào đó củaK. Khi đó, cạnh huyền của các tam giác vừa tạo ra nằm trên đường`, còn các đường phân giác ở các góc vuông của chúng sẽ nằm trên đường chéo củaK.
Tổng độ dài các đường phân giác này là √
2 và áp dụng kết quả bài toán ở phần trước ta được bất đẳng thứca+b≤1.