Nhóm tự do và định lí nielsen schreier

1 mục lục Trang Chỉ dẫn ký hiệu Lời nói đầu Đ1 Nửa nhóm tự hệ thức xác định Đ2 Nhóm tự Sự biểu diễn Dick 11 Đ3 Nhóm nhóm tự Định lý Nielsen - Schreier 16 Đ4 Dãy trung tâm hoán tập Định lý Magnus 20 Kết luận 22 Tài liệu tham khảo 23 Chỉ dẫn ký hiệu Ký hiệu ý nghĩa X Lực lợng tập hợp X Nhóm sinh tập S AB Tập A hợp với tập B AB Tập A giao với tập B [u] Lớp tơng đơng chứa từ u A; B Nhóm A đẳng cấu với nhóm B [G, G] Hoán tập G Lời nói đầu Cấu trúc tự cấu trúc đóng vai trò quan trọng việc nghiên cứu cấu trúc đại số nói chung Đặc biệt, nhóm tự nửa nhóm tự cấu trúc có nhiều ứng dụng toán học tin học Tuy nhiên tài liệu lu hành kiến thức nhóm tự nửa nhóm tự đợc trình bày rải rác Vì vậy, hệ thống hoá kiến thức trình bày khoá luận "Nhóm tự Định lý Nielsen - Schreier" Khoá luận đợc trình bày thành phần Đ Xây dựng khái niệm nửa nhóm tự hệ thức xác định (Định nghĩa 1.1) Nêu điều kiện cần đủ để nửa nhóm nửa nhóm tự (Định lý 1.5; Định lý 1.6) Điều kiện để nửa nhóm nửa nhóm tự nửa nhóm tự (Hệ 1.7; Mệnh đề 1.8) Đ Đa phép dựng nhóm thừa nhận hệ thức không tầm thờng tập sinh chứng tỏ chúng nhóm tự phạm trù nhóm (Định lý 2.2 ; Định nghĩa 2.3) Từ xét tính chất quan trọng nhóm tự (Hệ 2.5; Hệ 2.7; Định lý 2.8) mô tả Dick nhóm Đ Nghiên cứu nhóm nhóm tự Định lý Nielsen Schreier Với kết đáng quan tâm việc chứng tỏ nhóm nhóm tự nhóm tự (Định lý3.2) mô tả tập sinh chúng (Định lý 3.4.) Đ Trình bày dãy trung tâm hoán tập (Định nghĩa 4.1) nội dung Định lý Magnus (Định lý 4.2) Khoá luận đợc hoàn thành dới hớng dẫn thầy giáo PGS TS Lê Quốc Hán Nhân dịp bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc thầy giúp đỡ nhiệt tình, chu đáo góp ý thiết thực cho trình hoàn thành khoá luận Chúng xin cảm ơn thầy giáo, cô giáo tổ Đại số bạn sinh viên, giúp đỡ hoàn thành khoá luận Vì thời gian có hạn nên khoá luận chắn nhiều thiếu sót mong nhận đợc đóng góp ý kiến bạn đọc để khoá luận đợc hoàn thiện Tác giả Đ Nửa nhóm tự hệ thức xác định Tiết ta xây dựng khái niệm nửa nhóm tự nêu tính chất đặc trng 1.1 Định nghĩa Giả sử X tập tuỳ ý J x gồm tất dãy hữu hạn phần tử thuộc X Nếu (x1,, xm); (y1,, yn) phần tử thuộc Jx ta định nghĩa tích chúng phép ghép chúng lại: (x1,, xm) (y1,, yn) = (x1,, xm , y1,, yn) Khi Jx trở thành nửa nhóm mà ta gọi nửa nhóm tự tập X, phần tử thuộc Jx ta gọi từ Nếu ta đồng phần tử x X với dãy (x) độ dài 1, theo định nghĩa tích Jx ta đợc: (x1,, xm) = (x1)(xm) = x1xm Vậy X tập sinh nửa nhóm J x, tập sinh không chứa phần tử thừa Thờng làm việc với J1x tiện Jx Đơn vị ghép vào xem từ "rỗng" Khi J1x thờng đợc ký hiệu X* từ "rỗng" đợc ký hiệu Bây giả thiết ta muốn đặt số "hệ thức xác định" lên phần tử thuộc X, chẳng hạn: x1x2 = x3 x 24 , x13 = x4 x1x2 Giả sử hệ thức u = v ( ), đốivới thuộc tập số u v phần tử thuộc Jx Giả sử = {(u, v) } tơng đẳng Jx sinh quan hệ 0, đồng cấu tự nhiên từ Jx lên Jx/ (u) = (v) với Ta gọi Jx nửa nhóm sinh tập X cho hệ thức xác định u = v ( ) (thực sinh tập (X)) 1.2 ệnh đề Giả sử Jx nửa nhóm tự tập X Giả sử S nửa nhóm tuỳ ý ánh xạ từ X vào S Khi mở rộng cách tới đồng cấu từ Jx vào S Chứng minh Nếu đồng cấu từ nửa nhóm J x vào S trùng với X, phần tử tuỳ ý x1, x2, , xn X ta có: (x1x2xn) = 0(x1) 0(x2) 0(xn) Do tồn không đồng cấu nh Nhng đẳng thức cuối lấy làm định nghĩa cho ánh xạ từ Jx vào S mà rõ ràng đồng cấu trùng với X 1.3 Định lý Giả sử Jx nửa nhóm tự tập X , quan hệ Jx tơng đẳng Jx sinh Giả sử d đồng cấu tự nhiên từ Jx lên Jx Nếu S nửa nhóm đồng cấu từ Jx vào S cho (u) = (v) (u, v) 0, tồn đồng cấu từ Jx vào S cho o d = Chứng minh Trớc hết ta chứng tỏ w w' phần tử thuộc Jx mà ww' (w) = (w') Thật vậy, tơng đẳng sinh nên ww' ta từ w tới w' dãy hữu hạn - bắc cầu Do cần chứng tỏ (w) = (w') ta từ w tới w' - bắc cầu Nhng điều cuối có nghĩa w = w 1uw2 w' = w1vw2, w1, w2 Jx (u,v) Trong trờng hợp, theo giả thiết ta có (u) = (v) (w) = (w1).(u) (w2) = (w1) (v) (w2) = (w1vw2) = (w') Bây ta định nghĩa ánh xạ từ Jx d vào S cách đặt ( (w))= (w), với w Jx ta chứng tỏ d(w) =d(w') (w,w' Jx) tức ww' kéo theo (w) = (w') Từ suy tính đơn trị Còn miền xác định toàn tập Jx suy từ chỗ phần tử thuộc tập Jx có dạng d(w) với w thuộc Jx Vì đẳng thức o d = hiển nhiên, nên ta phải chứng minh đồng cấu Giả sử w w' hai phần tử tuỳ ý thuộc Jx Khi (d(w) d(w')) = (d(ww')) = (w.w') = (w) (w') = (d(w)) (d(w')) Do đồng cấu 1.4 Các ví dụ 1) Nhóm tự Gx tập X Giả sử X' tập không giao với X cho X'=X Giả sử x a x' ánh xạ - cố định từ X lên X' J nửa nhóm tự tập X X' Đặt: = {(xx', 1)x X} {(xx', 1) x X} Giả sử tơng đẳng J1 sinh Khi đặt Gx = J Rõ ràng Gx nhóm X sinh Gx theo nghĩa lý thuyết tập Giả sử G nhóm tuỳ ý, ánh xạ tuỳ ý từ X vào G ánh xạ từ X X' vào G thu đợc từ nh sau: 1(x) = 0(x) 0(x') = 1(x)-1 x X Khi theo Mệnh đề 1.2, mở rộng tới đồng cấu từ J1 = JX X' vào G Khi với x X ta có (xx') = (x) (x') = (x) (x)-1 = = (1) tơng tự có (x'x) = (1) Do (u) = (v) (u, v) áp dụng Định lý 1.3 ta có kết luận tồn đồng cấu từ nhóm J = Gx vào G cho o d = Vậy ta chứng tỏ ánh xạ tuỳ ý từ X vào G mở rộng thành đồng cấu từ nhóm Gx vào G Tính chất giải thích cho thuật ngữ "Nhóm tự X" Gx 2) Nửa nhóm byxyclic Nửa nhóm byxyclic C nửa nhóm với đơn vị sinh hai phần tử X = {x1, x2} cho hệ thức xác định gồm cặp (x1x2, 1) Nếu nh trên, tơng đẳng nửa nhóm J x sinh quan hệ C = J1x d d Nửa nhóm C thực sinh lớp p = x1 q = x2 thoả mãn đẳng thức pq = ta dùng ký hiệu C = C(p,q) 1.5 Định lý Nửa nhóm S nửa nhóm tự tập X phần tử thuộc S biểu diễn dới dạng tích phần tử thuộc X Chứng minh Nếu S = Jx theo định nghĩa nửa nhóm tự do, phần tử thuộc S biểu diễn đợc cách dới dạng tích phần tử thuộc X Đảo lại, giả thiết phần tử thuộc S biểu diễn cách dới dạng tích phần tử thuộc tập X Khi theo mệnh đề 1.2 ánh xạ đồng từ tập X vào S mở rộng tới đồng cấu từ nửa nhóm Jx lên S Còn ánh xạ - đẳng cấu thực chất cách phát biểu xác điều kiện nói phần tử thuộc S biểu diễn đợc cách dới dạng tích phần tử thuộc X Định lý 1.5 đợc chứng minh Nếu S nửa nhóm tự X ta định nghĩa độ dài phần tử w = x1x2xn (xi X) thuộc S số n phần tử X tham gia cách viết Ký hiệu w= n 1.6 Định lý S nửa nhóm tử thoả mãn điều kiện sau đây: S thoả mãn luật giản ớc trái phải S không chứa đơn vị hai phía Nếu ax = by a, b, x, y S a = b phần tử a, b ớc bên trái phần tử Mỗi phần tử thuộc S có số hữu hạn ớc bên trái Chứng minh Theo Định lý 1.5 ta suy điều kiện cần định lý Giả thiết điều kiện Định lý 1.6 đợc thoả mãn Ký hiệu X tập S\S2, tức tập tất phần tử thuộc S ớc Ta chứng minh S nửa nhóm tự X Trớc hết X sinh S Thật vậy, giả sử a phần tử tuỳ ý thuộc S Nếu a ớc a X Nếu a có ớc a = bc b, c X a = xyz, Hoặc trình kết thúc ta thu đ ợc biểu diễn a dới dạng tích phần tử thuộc X với số tự nhiên n lớn tuỳ ý tồn phần tử a1, a2,, an S cho a = a1 a2 an Nếu a = a1 a2 an a2,, a1 a2an -1 ớc bên trái a Chúng khác a 1, a1 x = xy S xy = xy giản ớc bên trái (theo 1) ta đợc y = y2 Nhng lũy đẳng tuỳ ý nửa nhóm thoả mãn luật giản ớc phải đơn vị nửa nhóm Theo điều kiện 2) S lũy đẳng Vậy a1, a1a2,, a1a2 an -1 ớc bên trái khác phần tử a Nhng n chọn lớn tuỳ ý, trái với điều kiện 4) Vậy X sinh S Giả thiết x1x2x3xr = x1' x2' x3'xS' xi, xj' thuộc X Giả sử x2xi = x x2'xs' = x' Thế x1x = x1'x' Do theo điều kiện 3): x = x1' phần tử x 1, x1' có ớc Khả cuối xẩy định nghĩa X Nh x1 = x1' theo điều kiện 1) x = x' Bây tơng tự ta thu đợc x2 = x2' tiếp tục trình bớc cuối tới r = s xi = xi' với i = 1,2,,r Nh phần tử thuộc S biểu diễn đợc cách dới dạng tích phần tử thuộc X, theo Định lý 1.5 S nửa nhóm tự X Nói chung nửa nhóm nửa nhóm tự nửa nhóm tự Chẳng hạn, T = nửa nhóm nửa nhóm tự 10 J{a, b}, nhng T nửa nhóm ab T Tb, ba T bT nên T Tb , T bT nhng b T (xem Mệnh đề 1.8) 1.7 Hệ Nửa nhóm T nửa nhóm tự nửa nhóm tự từ đẳng thức ax = by (a, b, x, y T) suy a = b từ phần tử a, b ớc phần tử T Hệ đợc suy trực tiếp từ Định lý 1.6 Cả Định lý 1.6 Hệ 1.7 không đợc đối xứng Kết sau Suytxenbecje cho ta đặc trng đối xứng nửa nhóm nửa nhóm tự 1.8 Mệnh đề Nửa nhóm T nửa nhóm tự S nửa nhóm tự với phần tử x S, từ điều kiện Tx T xT T suy x T Chứng minh Giả thiết T nửa nhóm tự giả sử aw wb thuộc T phần tử a, b T w S Thế a (wb) = (aw) b T, theo hệ a = aw, a = (aw)u, av = aw, u, v T Vì đẳng thức xảy nửa nhóm tự S nên theo Định lý 1.6 ta có av = aw, tức v = w Nh w T ta chứng minh điều kiện cần cuả hệ Đảo lại, giả thiết với w S từ điều kiện Tw T wT T suy w T Giả sử ax = by phần tử a, b, x, y T Vì a, b, x, y S nên a = b a = bu b = av, u, v S Giả thiết a = bu Thế ax = bux = by giản ớc bên trái ta đợc ux = y T, ux uT T bu Tu T Từ theo giả thiết ta có u T Tơng tự b = av v T Theo Hệ 1.7, T nửa nhóm tự 11 Đ Nhóm tự Sự mô tả Dick Các phần tử tập sinh M nhóm G cho trớc liên hệ với hệ thức G, chẳng hạn xx-1 = e, x-1x = e với x M, e đơn vị G Những hệ thức xảy nhóm tuỳ ý nên đợc gọi hệ thức tầm thờng Tuy nhiên, tồn nhóm thừa nhận hệ thức khác không tầm thờng tập sinh Mục đích tiết đa phép dựng nhóm nh chứng tỏ chúng nhóm tự phạm trù nhóm 2.1 Định nghĩa ký hiệu Giả sử I tập hợp số Nhóm G đợc sinh phần tử xi, i I, phần tử G đợc biểu diễn dới dạng x i1i1 x i2i2 x imim ij = 1, j = 1,m phép nhân G viết liên tiếp từ từ Điều gợi cho ta ý tởng kiến thiết phải gạch bỏ từ dạng x i x i với = chúng xuất liền phép nhân Chính xác hơn, cố định hai bảng chữ { } X = {xi i I} X-1 = x i i I Các từ bảng chữ X từ rỗng (ký hiệu 1) dãy (hữu hạn) ký hiệu thuộc X X-1 Số hiệu dãy đợc gọi độ dài từ Từ đợc gọi rút gọn đợc, chứa ký hiệu liên dạng x i , x i = 1 Chẳng hạn, từ x2.x1.x1 x x không rút gọn đợc, từ x1.x2 x x rút gọn đợc Ngời ta nói hai từ u v tơng đơng (ký hiệu u ~ v), v nhận đợc từ u qua số hữu hạn lần đặt vào rút gọn từ dạng x i x i 12 với = Rõ ràng ~ quan hệ tơng đơng Ký hiệu lớp tơng đơng chứa từ u [u] 2.2 Định lý Giả sử X = {xii I} Trên tập hợp từ tơng đơng F (X) bảng chữ X xác định phép nhân cách đặt [u] [v] = [uv] Định nghĩa không phụ thuộc vào cách chọn ngẫu nhiên đại diện lớp đó.Tập hợp F (X) nhóm phép nhân xác định nh Chứng minh Trớc hết, ta nhận xét lớp từ tơng đơng chứa từ không rút gọn đợc Thật vậy, giả sử (u) ký hiệu từ không rút gọn đợc, nhận đợc từ u sau gạch bỏ từ x i x i Hàm có tính chất sau: + (u) ~ u (1) + (u) u, u không rút gọn đợc (2) + (uv) = (u(v)) (3) + ( x i x i u) (u) với = (4) + (u x i x i v) (uv) với = (5) +(uv) ((u)(v)) (6) Các tính chất (1), (2), (3) suy trực tiếp từ định nghĩa Tính chất (4) đợc suy từ (3); tính chất (5) đợc suy từ (3) (4), tính chất (6) đợc suy từ tính chất (3), (4), (5) cách quy nạp theo độ dài từ u Bây giả sử u ~ v, u v từ không rút gọn đ ợc Từ định nghĩa suy tồn dãy từ u u, u2,,um v, từ nhận đợc từ từ khác dãy cách gắn vào hay gạch bỏ từ dạng x i x i với = Do tính chất không rút gọn đợc u v, ta có u v Tích [u].[v] không phụ thuộc vào cách chọn ngẫu nhiên đại diện u v đợc suy từ lập luận từ tính chất (6) Phép nhân có tính kết hợp đợc suy từ định nghĩa Lớp chứa từ rỗng đơn vị nghịch đảo [u] [u-1] Định lý 2.2 đợc chứng minh 13 2.3 Định nghĩa Nhóm F(X) xây dựng Định lý 2.2 đợc gọi nhóm tự với tập sinh X, lực lợng X đợc gọi hạng F(X) 2.4 Ký hiệu i) Nếu X có n phần tử, X = {x1, x2,,xn} ta dùng ký hiệu Fn(X) thay cho F(X) Nếu X = {x1, x2,,xn,} có lực lợng đếm đợc ta dùng ký hiệu F(X) thay cho F(X) ii) Từ sau, cách viết phần tử nhóm tự ta dùng đại diện lớp đó, nghĩa ta viết u = v thay cho [u] = [v], uv = w thay cho [u].[v] Theo lập luận chứng minh Định lý 2.2, ta nói cách viết từ không rút gọn đợc thuộc lớp đó, hiểu ngầm cách viết không rút gọn đợc (u) đại diện u 2.5 Hệ Mọi nhóm tự hạng nhóm Aben Chứng minh Suy trực tiếp từ cách xây dựng nhóm tự 2.6 Định lý Giả sử nhóm G sinh tập M = {gi i I} Chọn bảng chữ X = {xi i I} Khi ánh xạ f: X M theo quy tắc xi a gi, i I mở rộng đợc cách tới đồng cấu, : F(X) G Chứng minh Rõ ràng ảnh lớp [ x ii1 x iim ] phải g i1i1 g imim Tính đắn (của ánh xạ f) tính đồng cấu (của ánh xạ ) đợc suy từ định nghĩa nhóm tự F(X) Định lý đợc chứng minh 2.7 Hệ Mọi nhóm G đẳng cấu với nhóm thơng nhóm Aben tự 14 Chứng minh Vì G = F(X) = nên toàn cấu Im() = G Theo định lý đồng cấu nhóm, có G ; F( X ) H F( X ) ker ( ) ; Im ( ) hay H = ker() 2.8 Định lý Giả sử m số nguyên, m Nhóm sinh m , t m = t12(m) = ( ) ữ 21 m 1ữ SL (2, ) tự do, nghĩa đợc mô tả tập rỗng hệ thức Chứng minh Ký hiệu a: = t12(m), b: = t21(m) Giả sử w tích xen kẽ luỹ thừa khác không phần tử a, b nhóm SL (2, ) Ta cần chứng minh w e Nếu w bắt đầu với luỹ thừa b, thay w phần tử w a: = a-1wa xét phần tử vừa nhận đợc, wa e w e Bởi vậy, ta giả thiết từ w có dạng w = a b c r c = a c = b; i Giả sử Zi dòng ma trận a b c r Nếu: Z2k - = (x2k - 1, x2k) Z2k = Z2k - b2 k = (x2k+1, x2k); Z2k + = Z2k a k +1 = ( x2k+1, x2k + 2), x2k+1 = x2k-1 + m2k x2k, x2k + = m 2k + x2k+1 + x2k Từ hai công thức cuối cùng, ta nhận đợc: xi + = xi + m i +1 xi+1 với i = 1,2,, r - Chúng ta cần phải chứng minh i tăng từ đến r + xi tăng Đối với i = 1, điều thử trực tiếp Với i ta chứng minh quy nạp xi + m i + xi + - xi 2xi + 1- xixi + 1+1 Định lý đợc chứng minh 15 2.9 Sự mô tả Dick Hệ thức xác định Các phần tử hạt nhân đồng cấu : F(X) G xác định Định lý 2.6 đợc gọi hệ thức nhóm G- bảng chữ X Nếu tập hợp H' hệ thức thoả mãn điều kiện: ớc chuẩn tối tiểu G chứa H' trùng với H, H' đợc gọi tập hợp hệ thức xác định nhóm G bảng chữ X Vì G ; F ( X ) H ,nên việc cho bảng chữ X tập hợp từ H' đủ xác định nhóm G Chúng ta gọi cặp (X// H') mô tả nhóm G thuật ngữ hệ thức, hay ngắn gọn hơn: Sự mô tả Dick cuả nhóm G (Dick tác giả phép dựng tiếng này) Ta dùng ký hiệu G ; (X//H') Rõ ràng, nhóm thừa nhận nhiều mô tả Dick khác lợi ích mô tả phụ thuộc vào toán cụ thể mà quan tâm 2.10 Một số ví dụ mô tả Dick áp dụng Định lý 2.6, Hệ 2.7 Nhận xét 2.8, ta có kết sau a) Ê (2) x Ê (2) ; (x, yx2, y2, x-1y-1 xy) Ê tập hợp số phức Ê (2) = { Ê = 1} nhóm nhân bậc hai đơn vị b) S3 (x, y x2,y3, x-1yxy), S3 nhóm nhân phép bậc ba x = 1, x  n n c) Nhóm nhân ma trận G = ữ vành số nguyên thu gọn theo môđun n thừa nhận mô tả Dick nh sau G (x, y // xn, y2, xyxy-1) d) Nhóm Aben tự hạng n thừa nhận mô tả Dick sau đây: 1 (x1,, xn x i x j xi xj, i < j n) Nếu G nhóm tự sinh S = {x1,x2, xn} F nhóm Aben tự sinh S thì: 16 F ; G H , H hoán tập G, H = [G, G] H ớc chuẩn tối tiểu 1 G sinh H' = { x i x j xj = [xi, xj] i < j n} 17 Đ Nhóm nhóm tự Định lý Nielsen - Schreier Trong tiết này, chứng tỏ rằng: nhóm nhóm tự nhóm tự trình bày phơng pháp tìm hệ sinh nhóm dựa ý tởng J Nielsen Schreier 3.1 Hàm chọn Giả sử H nhóm G tuỳ ý Chúng ta cố định lớp ghép phải G theo H đại diện Đối với nhóm H, ta chọn đại diện Hàm, lấy lớp ghép giá trị - đại diện lớp ghép - đợc gọi hàm chọn Trực tiếp kiểm tra đợc tính chất sau hàm chọn u = u, uv = uv , uv G, u đại diện cố định lớp ghép phải Hu Hàm chọn cho phép xây dựng đợc phần tử sinh nhóm H từ phần tử sinh nhóm G cho 3.2 Định lý Giả sử M tập sinh nhóm G, H nhóm G, u a u hàm chọn đại diện phải G theo H, S tập đại diện đợc chọn Khi H = Chứng minh Rõ ràng phần tử sx sx đợc chứa nhóm H Chúng ta chứng tỏ phần tử thuộc H viết đợc dới dạng tích phần tử sx sx nghịch đảo chúng Trực tiếp kiểm tra đợc (sx sx -1)-1 = s'x-1 s 'x , s' = sx Bây giờ, giả sử u = x 11 x r r , (xi M, i = 1) phần tử thuộc H Chúng ta cần chứng tỏ u đợc viết dới dạng tích phần tử dạng sx sx nghịch đảo chúng Ký hiệu u = 1, ui + = x 11 x r r Khi cách viết cần tính là: 1 u = u1.x11 u1x11 ữ u x 22 u x 22 ữ u r x r r u r x r n ữ (1) 18 Thật vậy: u i x ii u i +1 = 1,i = 1, ,r Bởi vế trái hệ thức (1) là: u1u u r x r r = 1.u.u = 1.u.1 = u Định lý 3.2 đợc chứng minh 3.3 Tập Schreier Tập hợp tất phần tử nhóm tự do, đại diện từ không rút gọn đợc gọi tập Schreier, thoả mãn điều kiện Nếu từ chứa tập Schreier đoạn ban đầu từ thuộc tập Schreier 3.4 Định lý Nielsen - Schreier Giả sử X bảng chữ cái, H nhóm tuỳ ý nhóm tự F = F (X) Tồn hệ Schreier phần tử đại diện F theo H Nếu u u hàm chọn tơng ứng, H nhóm tự đợc sinh phần tử khác đơn vị có dạng sx sx , s chạy khắp phần tử đại diện chọn, x chạy khắp X Chứng minh a) Trớc hết, chứng tỏ tồn hệ Schreier đại diện phải Gọi độ dài từ đại diện lớp ghép phải F theo H độ dài lớp ghép Xây dựng hệ Schreier phơng pháp quy nạp theo độ dài lớp Chúng ta chọn từ rỗng làm đại diện cho H Nếu L lớp độ dài 1, ta chọn từ tuỳ ý độ dài làm đại diện cho L Giả sử lớp, độ dài bé r, phần tử đại diện đợc chọn, nghĩa lớp xác định đợc hàm chọn u u Giả sử L lớp tuỳ ý độ dài r Chọn lớp từ y1, y2,, yr với yi X X-1 công bố đại diện L y1y y r 1.y r Rõ ràng, hệ đại diện đợc chọn nh vật hệ Schreier b) Giả sử S hệ Schreier phần tử đại diện F theo H u u hàm chọn tơng ứng Chúng ta chứng tỏ phần tử khác đơn vị dạng 19 sx sx với s S, x X (2) hệ sinh tự H Theo Định lý 3.2 hệ sinh H Còn phải chứng minh hệ sinh tự do, nghĩa phần tử không liên hệ với hệ thức tầm thờng Trớc hết, từ (2) không rút gọn đợc Thật vậy, rút gọn đợc bắt đầu chỗ tiếp giáp với chữ x Nhng s s1 x-1 sx sx = s1 s1 = 1, sx x-1 s 21 s1 = s2 sx sx = Hơn nữa, giả sử u, v phần tử khác đơn vị có dạng (2) hay nghịch đảo chúng Từ phép chứng minh Định lý 3.2 thấy rằng: 1 u =sx sx , v = ty ty , s, t S; x, y X, = Do tính không rút gọn đợc từ u v, trình rút gọn tích uv chỗ tiếp nối Nó tắt dần, từ x đến y từ trái sang phải Thật vậy, hệ Schreier đại diện, trình rút gọn bắt đầu chiếm lấy x , t s1 x- w s1 sx Từ đó: = s1 x s1x 1 = sx sx ữ Nhng điều xảy ra, ngoặc từ u Nếu trình rút gọn bắt đầu gặp y, s1 = t.y.w, s1 = sx Từ t y ty = Nhng điều xảy ra, từ bên trái v Cuối cùng, rút gọn đồng thời xảy với x, y uv Bây giờ, giả sử cho từ không rút gọn đợc (khác từ rỗng) có dạng (2) Cần chứng tỏ rằng, xét chúng nh từ bảng chữ X tiến hành cách rút gọn, từ lại khác từ rỗng Nhng thực rút gọn bắt đầu điểm tiếp nối từ dạng (2) chấm dứt, nên tới phần lõi x chúng Định lý Nielsen - Schereier đợc chứng minh 3.5 Hệ Nhóm nhóm tự nhóm tự 20 Chứng minh Suy trực tiếp từ định lý Nielsen - Schereier Định lý sau cho phép tính hạng nhóm số hữu hạn nhóm tự hạng hữu hạn 3.6 Định lý Giả sử F = F (x1,, xn) nhóm tự hạng hữu hạn n, H nhóm F với số hữu hạn k Khi H nhóm tự hạng m = + (n -1)k Chứng minh Ta sử dụng ký hiệu dùng chứng minh định lý Nielsen - Schereier Giả sử M tập hợp n k cách viết dạng (2) Chúng ta cần biết cách viết dẫn tới đơn vị Với mục đích đó, ký hiệu S0 tập S thiếu đơn vị xác định ánh xạ : S0 M cách đặt s 'x.s 'x 1vớis s'.x;x X S = sx.sx vớis s'.x -1 ;x X Trực tiếp thử đợc rằng, ánh xạ - từ S0 lên cách viết thuộc M, mà biểu diễn đơn vị Vì hạng H số cách viết lại, nên m = nk - ( k - 1) = 1+ (n - 1)m Định lý 3.6 đợc chứng minh Từ Định lý 3.6, trực tiếp suy hệ sau: 3.7 Hệ Giả sử G nhóm tự F F2 nhóm tự chuẩn tắc có số hữu hạn G Khi F1 ; F2 3.8 Hệ Nhóm có số hữu hạn nhóm tự hạng vô hạn nhóm tự hạng vô hạn 21 Đ Dãy trung tâm hoán tập Định lý Magnus 4.1 Định nghĩa Giả sử G nhóm tuỳ ý Xác định G xích giảm nhóm 1(G) (G) (1) cách đặt 1(G) = G nhóm n (G) đợc xác định n +1 (G)= [n(G); G]; [A, B] hoán tập tơng hỗ nhóm A B Dãy nhận đợc gọi dãy tâm dới, n(G) đợc gọi tâm dới thứ n nhóm G Giao tất nhóm dãy (1) đợc gọi - nhóm trung tâm nhóm G Các từ 1(x1) = x1 n +1 (x1,, xn) = [(x1,, xn), xn + 1] với n = 1,2,, xi G đợc gọi hoán tử đơn số n đợc gọi trọng lợng hoán tử n 4.2 Định lý Magnus Trong nhóm tự F, - nhóm trung tâm đơn vị Chứng minh a) Trớc hết giả sử F đếm đợc Theo Định lý 2.8 nhúng đợc vào nhóm nhóm (2, m) với m 2, cần kiểm tra nhóm trung tâm (2, m) đơn vị Chúng ta lấy ma trận: g = e + mka (2, mk) f = e + ml.t (2, ml) Giả sử g-1 = e + mk a' f-1 = e + mlb' Khi hoán tử: [g, f] = (e + mk a') (e + ml.b') (e + mk.a) (e + ml.b) = e + (mk a' + mk a +m2k.a'.a) + (ml.b' +mlb +m2l.b'.b) + = e + Trong dấu chấm ký hiệu tích hỗn hợp dạng m 2k + l a'.a.b Rõ ràng, tích hỗn hợp nh đồng d với ma trận không theo mod m k + l [g, f] (2, mk + l) Kiểm tra trực tiếp đợc bao hàm thức sau: [(2, mk), (2, ml)] (2,mk + l), i((2, m)) (2, mi) vậy: I ( 2,m ) i i = {e} nên nhóm đếm đợc Định lý đợc chứng minh 22 b) Bây giả sử F nhóm tự tuỳ ý Giả sử ngợc lại, - nhóm trung tâm F chứa phần tử f khác đơn vị Chọn n = 1,2, phân tích f thành tích hoán tử đơn khối lợng n, thu thập hoán tử biểu diễn chúng qua phần tử sinh F Rõ ràng sử dụng đếm đợc phần tử sinh Tập hợp sinh nhóm tự Bởi đếm đợc không phụ thuộc vào Định lý Magnus nên đợc mâu thuẫn Định lý đợc chứng minh 23 Kết luận Khoá luận thu đợc kết sau Trình bày khái niệm nửa nhóm tự nhóm tự do, chứng minh tồn nửa nhóm tự nhóm tự sinh tập S cho trớc cấu trúc chúng - Nêu tính chất đặc trng nửa nhóm tự nhóm tự - Nêu điều kiện để nửa nhóm nửa nhóm tự nửa nhóm tự (Định lý Suýtxenbecje) - Chứng tỏ nhóm nhóm tự nhóm tự mô tả tập sinh chúng (Định lý Nielsen- Schreier) - Trình bày khái niệm dãy trung tâm hoán tập Định lý Magnus Việc khảo sát lớp nhóm đặc biệt (tâm, hoán tập ) nhóm tự nhóm thơng nhóm tự vấn đề hấp dẫn mà quan tâm nghiên cứu thời gian tới 24 Tài liệu tham khảo [1] A.H Cliphớt - G.B.Prestơn, Lý thuyết nửa nhóm, NXB Đại học THCN, 1978 [2] Lê Quốc Hán, Giáo trình lý thuyết nhóm, ĐHSP Vinh, 1997 [3] Sten Hu, Đại số đại, 1973 [4] Hoàng Xuân Sính, Đại số đại cơng, NXBGD, 2001 [...]... cho trớc và cấu trúc của chúng - Nêu các tính chất đặc trng của nửa nhóm tự do và nhóm tự do - Nêu điều kiện để một nửa nhóm con của một nửa nhóm tự do là nửa nhóm tự do (Định lý Suýtxenbecje) - Chứng tỏ rằng mọi nhóm con của nhóm tự do là một nhóm tự do và mô tả tập sinh của chúng (Định lý Nielsen- Schreier) - Trình bày khái niệm dãy trung tâm và hoán tập Định lý Magnus Việc khảo sát các lớp nhóm con... hoán tử và biểu diễn chúng qua các phần tử sinh của F Rõ ràng khi đó chỉ sử dụng đếm đợc phần tử sinh Tập hợp đó sinh ra nhóm con tự do Bởi vì nó đếm đợc và không phụ thuộc vào Định lý Magnus nên chúng ta đợc mâu thuẫn Định lý đợc chứng minh 23 Kết luận Khoá luận đã thu đợc các kết quả sau đây Trình bày khái niệm nửa nhóm tự do và nhóm tự do, chứng minh sự tồn tại của nửa nhóm tự do và nhóm tự do sinh... do F 1 và F2 là các nhóm con tự do chuẩn tắc có cùng chỉ số hữu hạn trong G Khi đó F1 ; F2 3.8 Hệ quả Nhóm con có chỉ số hữu hạn trong nhóm tự do hạng vô hạn là nhóm tự do hạng vô hạn 21 Đ 4 Dãy trung tâm và hoán tập Định lý Magnus 4.1 Định nghĩa Giả sử G là một nhóm tuỳ ý Xác định trong G xích giảm các nhóm 1(G) 1 (G) (1) bằng cách đặt 1(G) = G và nếu nhóm con n (G) đã đợc xác định thì n +1 (G)=... y2, xyxy-1) d) Nhóm Aben tự do hạng n thừa nhận mô tả Dick sau đây: 1 1 (x1,, xn x i x j xi xj, 1 i < j n) Nếu G là nhóm tự do sinh bởi S = {x1,x2, xn} và F là nhóm Aben tự do sinh bởi S thì: 16 F ; G H , trong đó H là hoán tập của G, H = [G, G] và H là ớc chuẩn tối tiểu 1 1 của G sinh bởi H' = { x i x j xj = [xi, xj] 1 i < j n} 17 Đ 3 Nhóm con của nhóm tự do Định lý Nielsen - Schreier Trong tiết... u Định lý 3.2 đợc chứng minh 3.3 Tập Schreier Tập hợp tất cả các phần tử của một nhóm tự do, đại diện bởi các từ không rút gọn đợc gọi là tập Schreier, nếu thoả mãn điều kiện Nếu một từ chứa trong tập Schreier thì mọi đoạn ban đầu của từ ấy cũng thuộc tập Schreier 3.4 Định lý Nielsen - Schreier Giả sử X là một bảng chữ cái, H là một nhóm con tuỳ ý của nhóm tự do F = F (X) Tồn tại ít nhất một hệ Schreier. .. bảng chữ cái X và tiến hành các cách rút gọn, thì từ còn lại sẽ khác từ rỗng Nhng thực ra do sự rút gọn đã chỉ ra có thể bắt đầu tại điểm tiếp nối của từ dạng (2) và chấm dứt, nên không thể đi tới phần lõi x của chúng Định lý Nielsen - Schereier đợc chứng minh 3.5 Hệ quả Nhóm con bất kỳ của một nhóm tự do là một nhóm tự do 20 Chứng minh Suy ra trực tiếp từ định lý Nielsen - Schereier Định lý sau đây... Định lý Nielsen - Schreier Trong tiết này, chúng tôi sẽ chứng tỏ rằng: nhóm con bất kỳ của nhóm tự do là nhóm tự do và trình bày phơng pháp tìm hệ sinh của các nhóm con đó dựa trên ý tởng của J Nielsen và Schreier 3.1 Hàm chọn Giả sử H là nhóm con của G tuỳ ý Chúng ta cố định trong mỗi lớp ghép phải của G theo H một đại diện Đối với nhóm con H, ta chọn đại diện là 1 Hàm, lấy trên lớp ghép bất kỳ giá trị... định lý Nielsen - Schereier Định lý sau đây cho phép tính hạng của nhóm con chỉ số hữu hạn trong nhóm tự do hạng hữu hạn 3.6 Định lý Giả sử F = F (x1,, xn) là nhóm tự do hạng hữu hạn n, H là nhóm con của F với chỉ số hữu hạn k Khi đó H là nhóm tự do hạng m = 1 + (n -1)k Chứng minh Ta vẫn sử dụng các ký hiệu đã dùng khi chứng minh định lý Nielsen - Schereier Giả sử M là tập hợp n k cách viết dạng (2)... với = 1 Do tính chất không rút gọn đợc của u và v, ta có u v Tích [u].[v] không phụ thuộc vào cách chọn ngẫu nhiên các đại diện u và v đợc suy ra từ lập luận trên và từ tính chất (6) Phép nhân có tính kết hợp đợc suy ra từ định nghĩa Lớp chứa từ rỗng là đơn vị và nghịch đảo của [u] là [u-1] Định lý 2.2 đợc chứng minh 13 2.3 Định nghĩa Nhóm F(X) xây dựng trong Định lý 2.2 đợc gọi là nhóm tự do với... minh 2.7 Hệ quả Mọi nhóm G đều đẳng cấu với nhóm thơng của một nhóm Aben tự do nào đó 14 Chứng minh Vì G = và F(X) = nên là toàn cấu Im() = G Theo định lý cơ bản đồng cấu nhóm, có G ; F( X ) H F( X ) ker ( ) ; Im ( ) hay trong đó H = ker() 2.8 Định lý Giả sử m là số nguyên, m 2 Nhóm con sinh bởi 1 m 1 0 , t m = t12(m) = ( ) ữ 21 m 1ữ 0 1 trong SL (2, ) là tự do, nghĩa là đợc mô tả ... nửa nhóm tự nhóm tự sinh tập S cho trớc cấu trúc chúng - Nêu tính chất đặc trng nửa nhóm tự nhóm tự - Nêu điều kiện để nửa nhóm nửa nhóm tự nửa nhóm tự (Định lý Suýtxenbecje) - Chứng tỏ nhóm nhóm... Định nghĩa 2.3) Từ xét tính chất quan trọng nhóm tự (Hệ 2.5; Hệ 2.7; Định lý 2.8) mô tả Dick nhóm Đ Nghiên cứu nhóm nhóm tự Định lý Nielsen Schreier Với kết đáng quan tâm việc chứng tỏ nhóm nhóm... chúng Định lý Nielsen - Schereier đợc chứng minh 3.5 Hệ Nhóm nhóm tự nhóm tự 20 Chứng minh Suy trực tiếp từ định lý Nielsen - Schereier Định lý sau cho phép tính hạng nhóm số hữu hạn nhóm tự hạng