Bài toán cao cấp 2 nguyễn phương

NGÂN HÀNG NHÀ NƯỚC VIỆT NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC NGÂN HÀNG THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH NGUYỄN PHƯƠNG BÀI TẬP TOÁN CAO CẤP Tp Hồ Chí Minh - 2014 Mục lục GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ TÍCH PHÂN CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ 10 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 13 ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ 15 Tài liệu tham khảo 16 Chương GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ Bài 1.1 Tìm giới hạn: √ 1+x−1 a) lim √3 1+x−1 x→0 c) lim x→0 √ b) lim x→0 ln(a+x)−ln a x 1+2x−1 tan 3x x−1 d) lim ln1−e x→e x x e) lim xx ln−1x e) lim xx ln−1x x→1 x→1 2x 2x e −1 g) lim ln(1−4x) e −1 g) lim ln(1−4x) ln cos x k) lim ln(1+x 2) ln cos x k) lim ln(1+x 2) x→0 x→0 x→0 x→0 Bài 1.2 Tìm giới hạn: x − x+1 a) lim x→∞ x − c) lim x→∞ x x+2 e) lim + x2 b) lim x→∞ x x d) lim x→∞ cot2 x x−1 x+3 x→1 1 g) lim sin + cos x→∞ x x cot x + tan x h) lim x→0 + sin x √x l) lim − 2x k) lim (cos x) x2 x→0 x→0 1 sin x x Tìm lim f (x), lim f (x) Cho biết lim f (x) có tồn hay không? Bài 1.3 Cho hàm số f (x) = x→+∞ x→0 Bài 1.4 Xét tính liên tục hàm số sau miền xác định: a) f (x) = x+2 f) lim (1 + sin πx)cot πx x→0 x→−∞ 2x 3x+1 x2 − x2 ≤ x ≤ < x ≤ sin x b) f (x) =      c) f (x) =     sin πx x−1 −π ln(1+2x) −1+e3x   1−x        cos πx d) f (x) =         x−1  1+cos x     (x−π) e) f (x) =     x x = x > − 12 x ≤ − 12 x < −1 − ≤ x ≤ x > x π x = π Bài 1.5 Xét tính liên tục hàm số sau miền xác định:  x − 3x2 + 4x    x a) f (x) =    2m +x 1− x = b) f (x) = 2x2 + 3x − x < 2mx + x ≥   2x + a    2x + ax − b c) f (x) =     x + 3b     − x cos d) f (x) =    2m + x x < −1 − ≤ x ≤ x > x x =  ln(1 + x) − ln(1 − x)    x e) f (x) =  x   m x = f) f (x) = ex x < x+k x ≥ Chương ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ Bài 2.1 Tính đạohàm hàm số sau x = 0: − cos 2x   x  x b) f (x) = a) f (x) =  x  + |x|  x = c) f (x) = x2 + 2x d) f (x) = x x = e2x x ≥ + x + x2 x < Bài 2.2 Tìm giá trị tham số m để hàm số có đạo hàm x = 0: e2x x ≥ x2 + x + x b) f (x) = a) f (x) = + mx + x3 x < m x =   1      x2 sin  x sin x x d) f (x) =  c) f (x) =  x x    m  m x = x = Bài 2.3 Tính đạo hàm vi phân hàm số sau: a) y = 3cos2 x + 2sin3 x b) √ c) y = ln(x + x2 + 3) d) √ e) y = + 3cos2 x f) ln x + g) y = h) ln x − √ l) k) y = x2 ln( x2 + 4) y = cot(x2 + 2x) y = (1 + tan x)3 y= sin x + cos x sin x − cos x y = (sin x + cos x)ex y = (x2 + 1)x n) y = xln x m) y = logcos x sin x p) y = xx 2x x2 o) y = ex x4 sin 3x Bài 2.4 Tìm đạo hàm cấp vi phân cấp hàm số: a) y = x2 − x2 + b) y = ln(x2 + 1) d) y = x3 (ln x − 1) c) y = ex e) y = f) y = sin 2x + cos 3x x3 ex h) y = (1 + x2 ) arctan x g) y = ln(x2 +1) (x + 2) Bài 2.5 Tìm đạo hàm cấp n hàm số: a) y = xex b) y = c) y = ln(ax + b) x+1 d) y = − 3cos2 x   1   − x x  Bài 2.6 Cho hàm số: f (x) =  x e −1    2m x = a) Tìm m để hàm số f (x) liên tục x = b) Với m vừa tìm được, cho biết hàm số f (x) có khả vi x = hay không?     x2 x ≤ Bài 2.7 Cho hàm số: f (x) =    2ax + b x > Hãy xác định a b để hàm số liên tục khả vi x = Bài 2.8 Tìm giới hạn: x3 − 2x2 − x + a) lim x→1 x3 − 7x + b) lim x→0 ln x c) lim √3 x→+∞ x e) lim d) lim+ ln x ln(x − 1) x→1 x − sin x x→∞ x + sin x x2 sin 1x f) lim sin x √3 √ 1+x− 1+x g) lim x→0 x x→0 k) lim x→0 x cos x − sin x x3 h) lim x→0 1 − sin x x l) lim+ xα ln x x→0 − cot2 x x2 n) lim m) lim(1 − cos x) cot x x→0 x→0 p) lim x o) lim − x→1 x − ln x x→2 Bài 2.9 Tìm giới hạn: x3 sin x − x − x − x − 5x + x→0 x→0 c) lim + x2 x b) lim + x2 a) lim+ xsin x ex −1−x d) lim+ (cot x) ln x x→0 x→0 f) lim+ (sin x)x e) lim (cos 4x) x2 x→0 x→0 h) lim (ex + x) x g) lim (ex + x) x x→+∞ x→0 sin x l) lim x→0 x k) lim (ln(e + x)) x x→0 x2 Bài 2.10 Tìm khai triển Mac-Laurin hàm số sau: a) y = đến số hạng x5 − sin x b) y = cos (sin 2x) đến số hạng x6 c) y = arctan (sin 3x) đến số hạng x5 d) y = ln (cos 2x) đến số hạng x6 e) y = arctan (1 − cos x) đến số hạng x6 Bài 2.11 Tìm khai triển Taylor x0 hàm số sau đến số hạng (x − x0 )5 : b) y = x2 cos x; x0 = π3 π a) y = x sin x; x0 = x d) y = x ; x0 = c) y = x3 ex ; x0 = e e) y = x4 ln x; x0 = f) y = x2 Bài 2.12 Tìm giá trị gần của: a) arctan 1, 05 b) ln 1, 03 Bài 2.13 √ Tìm giá trị gần của: a) 1, 02 b) sin 290 x+1 ; x0 = + 2x − Chương HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ Bài 3.1 Tìm đạo hàm riêng cấp vi phân toàn phần cấp hàm số sau: a) z = x3 + y3 − 3xy b) z = ln(2x2 + 3y3 ) c) z = cos(x + 2y2 ) d) z = ysin x e) z = ex (cos y + x sin y) f) z = g) w = 3x2 y + yz h) w = x y x2 + 2y2 z Bài 3.2 Tìm đạo hàm riêng cấp vi phân toàn phần cấp hàm số sau: a) z = 4x3 + 3x2 y + 3xy2 − y3 b) z = xy + sin(x + y) x+y c) z = ln d) z = ex sin y − xy e) z = f) z = cos(x + y) ln(x2 + y2 ) Bài 3.3 Tính đạo hàm riêng: ∂3 u a) với u = x2 y + sin(2x + y) ∂x2 ∂y b) ∂3 u với u = e2x +y ∂x ∂y c) ∂3 u x với u = arctan y+1 ∂x∂y∂x d) ∂3 u với u = sin(2x + sin y) ∂x2 ∂y e) ∂3 u với u = ln(x2 + sin y) ∂y2 ∂x f) ∂3 u với u = ∂x2 ∂y Bài 3.4 Tìm ∂u biết: ∂x a) u = x + y3 , y = x2 b) u = x2 + 2x + y2 , y = c) u = x + y + z , z = 4x + y 2 z g) u = ln(2x − 3y), y = e f) u = e3x+2y , y = 2x2 x h) u = x2 + y2 , y = xz k) u = x ln y, y = 2x + x Bài 3.5 Tìm ∂u ∂u ∂2 u ∂2 u ∂2 u , , , , ∂t ∂s ∂2 t2 ∂t∂s ∂2 s2 x d) u = 3x2 y + yz, z = x2 + xy + y2 e) u = wt , w = x, t = x , y = x s x + 2y với: a) u = x3 + y3 , x = t2 − s2 , y = t2 + s2 b) u = x2 y − xy2 , x = t2 s, y = ts2 c) u = x + y , x = t cos s, y = t sin s 2 d) u = arctan xy , x = t sin s, y = t cos s e) u = 3x y + yz, x = t − s , y = t, z = s2 2 f) u = x2 y − xy + 3y2 , x = t2 + 2s2 , y = 2t2 − s2 g) u = x2 y−3xy, x = 2ts−s, y = t−3ts k) u = f (z), z = ts + Bài 3.6 h) u = ln(x2 − 3y), x = t2 , y = tes t s a) u = ev , v = sin(xyz) Tìm ∂2 u ∂t∂s ∂ b) Tìm ∂x∂y f (x2 − y, x + y2 ) dy Bài 3.7 Tìm dx biết: a) x2 y − x + 2y = b) x3 + x2 y + y2 = y d) arctan x = 12 ln(x2 + y2 ) c) tan y = xy ∂z ∂z Bài 3.8 Tìm ∂x , ∂y biết: a) xy − yz + xz = b) xy + yz − xz = c) ln xz + z ln x = y d) z = xz + z y Bài 3.9 Tìm cực trị hàm số sau: a) z = x2 + xy + y2 − 3x − 6y c) z = x + x y b) z = xy + (47 − x − y) + y + +2 4x y d) z = x3 + y3 − 18xy e) z = x3 + y2 g) z = xy + 50 20 + x y f) z = x4 + 4y2 h) z = x + y − yex (x > 0, y > 0) Bài 3.10 Tìm cực trị có điều kiện hàm số sau: a) z = 2x + y với x2 + y2 = b) z = x2 + y2 − xy + x + y − với x + y + = c) z = xy với 2x + y = d) z = 1 1 + với + = x y x y Bài 3.11 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm: a) z = x2 −xy+y2 −4x miền đóng giới hạn đường x = 0, y = 0, 2x+3y−12 = b) z = xy hình tròn x2 + y2 ≤ c) z = x2 − y2 hình tròn x2 + y2 ≤ d) z = x2 y(4 − x − y) tam giác giới hạn đường x = 0, y = 0, x + y = Chương TÍCH PHÂN CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ Bài 4.1 Sử dụng phương pháp đổi biến số tính tích phân sau: a) I = 4x(2x − 1)5 dx b) I = x26x−3 dx −x+5 6x c) I = √ dx 3−x d) I = 3xex dx √ e) I = ex ex − 1dx f) I = sin xcos5 xdx g) I = xln3 x dx cos x h) I = sin dx x cot x k) I = sin dx x Bài 4.2 Sử dụng phương pháp tích phân phần tính tích phân sau: a) I = xarc sin xdx b) I = x2 arctanxdx √ c) I = x ln xdx d) I = x2 sin 3xdx −x e) I = x e dx f) I = sin(ln x)dx g) I = ex cos xdx h) I = x cos 3xdx 2x k) I = x e dx Bài 4.3 Tích tích phân hàm hữu tỉ sau: x2 +2x+6 a) I = (x−1)(x−2)(x−4) dx c) I = x dx x4 +6x2 +5 e) I = x3 +2 g) I = x dx (x−1)(x+1)2 x3 −x dx b) I = x2 +2x−1 dx (x−1)(x2 +1) d) I = dx x(x−1) f) I = Bài 4.4 Tích tích phân hàm lượng giác sau: 10 2x dx (1+x)(1+x2 ) a) I = sin 2x cos 5xdx c) I = sin x+sin3 x dx cos2x e) I = sin3 x √ dx cos x cos x g) I = sin4 xdx k) I = sin3 x cos xdx b) I = dx sin x+3 cos x+5 d) I = sin4 xcos5 xdx f) I = cos4 xdx h) I = dx sin x+1 Bài 4.5 Sử dụng phương pháp đổi biến số tính tích phân sau: √ a) I = − x2 dx b) I = (3x + 1)4 dx −1 π c) I = π d) I = cos xdx 0 π e) I = ln √ f) I = dx 1+cosx ex − 1dx 0 g) I = √ x2 a2 − x2 dx a √ √ cos x dx (1+sin x)4 h) I = ex dx ex +e−x Bài 4.6 Sử dụng phương pháp tích phân phần tính tích phân sau: π a) I = b) I = x cos xdx x2 e−x dx 0 c) I = x ln(1 + x2 )dx d) I = cos(ln x)dx f) I = π e) I = 1 x arctan xdx −1 π g) I = x+sinx dx 1+cos x π h) I = x xsinx dx cos2 x Bài 4.7 Tính: d a) dx x dx sin2 x π d b) dx cos t sin t dt t2 x2 sin t2 dt x d x √ c) + t2 dt dx x2 cos t2 dt d) lim x→0 Bài 4.8 Xét hội tụ tính tích phân hội tụ: 11 x a) I1 = +∞ −1 b) I2 = cos xdx c) I3 = −∞ +∞ e) I5 = +∞ −∞ ln(1 + x) dx 1+x f) I = +∞ e) I5 = +∞ g) I7 = +∞ −∞ k) I9 = ln(1 + x) dx x f) I6 = e +∞ h) I8 = +∞ l) I10 = ln xdx 12 (x2 + 1)2 dx (x2 + x + 1)2 x arctan x dx √ + x3 x3/2 dx + x3 +∞ − cos dx +∞ −∞ |sin x| dx x + 3x + −x3 arctan x dx x2 + −∞ d) I4 = dx x2 + x + +∞ b) I2 = xp dx + x3 +∞ +∞ Bài 4.9 Xét hội tụ tích phân sau: +∞ sin x a) I1 = dx x2 c) I3 = +∞ d) I4 = xe−x dx dx x2 dx x Chương PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Bài 5.1 Giải phương trình đưa biến số phân li: b) y cos x = y a) x(1 + y2 )dx + y(1 + x2 )dy = c) x(y − 3)dy = 4ydx e) y = x−y+1 x−y+2 g) y = x+y−1 2x − y + d) y = f) y = h) y = 2x + y 2x + y − x+y x−y l) (x2 + 2xy)dx + xydy = k) xy y = y2 + 2x2 Bài 5.2 Giải phương trình vi phân tuyến tính cấp 1: a) y + 2xy = 4x b) xy = y + x3 + 3x2 − 2x y c) y + = 3x với y(1) = d) y + 2xy = xe−x x f) 2x(y + x2 )dx = dy e) (x + y2 )dy = ydx Bài 5.3 Giải phương trình Bernoulli sau: a) y − 2xy = 3x2 y2 c) y + y = x2 y4 x b) y − y = x y √ d) y + y = ex/2 y Bài 5.4 Giải phương trình vi phân toàn phần sau: a) (x2 + y2 + 2x)dx + 2xydy = b) (x3 −3xy2 +2)dx−(3x2 y− y2 )dy = c) (x + y2 )dx − 2xydy = d) y(1 + xy)dx − xdy = Bài 5.5 Giải phương trình sau cách hạ cấp: a) y = x2 + xex + b) y = x − y x c) y (1 + x2 ) = 2xy với y(0) = y (0) = d) y.y − (y )2 = 13 Bài 5.6 Giải phương trình vi phân cấp sau: a) y − 2y + y = với y(0) = 2, y (0) = b) y + 4y = với y(0) = 0, y (0) = c) y + 3y = với y(0) = 0, y(3) = d) y + 3y + 2y = với y(0) = 1, y (0) = −1 Bài 5.7 Giải phương trình vi phân cấp sau: a) y − 4y + 3y = e2x b) y − 3y + 2y = ex c) y + 5y + 4y = − 2x d) y + y − 2y = 3xex e) y + y = sin 2x f) y − 9y = e3x cos x g) y + y = x sin x h) y − 3y + 2y = 3e2x + 2x2 14 Chương ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ Bài 6.1 Tìm giá trị cận biên hàm sau: a) C = 0, 1Q2 + 3Q + Q = b) C = 0, 04Q3 − 0, 5Q2 + 4, 4Q + 7500 Q = c) R = 250Q + 45Q2 − Q3 Q = √ √ 10 I + 0, I3 − 0, 2I Bài 6.2 Giả sử hàm tiêu dùng quốc gia cho phương trình C = √ I với đơn vị I C tỉ đô la Tìm xu hướng tiết kiệm biên thu nhập 25 tỉ đô la Bài 6.3 Bà Cẩm có thu nhập hàng tháng triệu đồng để mua hàng hóa thịt khoai tây.Hàm hữu dụng TU = (M − 2)P với M thịt P khoai a) Giả sử giá thịt 20 ngàn đồng/kg, giá khoai tây ngàn đồng/kg Phối hợp thịt khoai tây mà bà Cẩm cần mua để tối đa hóa hữu dụng b) Nếu giá khoai tây tăng đến 10 ngàn đồng/kg phối hợp thịt khoai tây để tối đa hóa hữu dụng? Bài 6.4 Một người tiêu dùng có thu nhập I = 3500 để mua hai sản phẩm X Y với giá tương ứng PX = 500, PY = 200 Sở thích người biểu thị qua hàm số: TUX = −Q2X + 26QX TUY = − Q2Y + 58QY Xác định phương án tiêu dùng tối ưu tính tổng hữu dụng tối đa đạt Bài 6.5 Một nhà sản xuất cần yếu tố K L để sản xuất sản phẩm X Biết người chi khoản tiền TC = 15.000 để mua yếu tố với giá tương ứng PK = 600 PL = 300 Hàm sản xuất chọn Q = 2K(L − 2) a) Xác định hàm suất biên (MP) yếu tố K L b) Tìm phương án sản xuất tối ưu sản lượng tối đa đạt c) Nếu xí nghiệp muốn sản xuất 900 đơn vị, tìm phương án sản xuất tối ưu với chi phí sản xuất tối thiểu 15 Bài 6.6 Cho biết hàm tổng chi phí để sản xuất loại sản phẩm C(Q) = Q2 +2000Q+ 500 Q a) Tìm chi phí biên b) Xác định Q để chi phí trung bình bé So sánh chi phí biên tế chi phí trung bình điểm Bài 6.7 Biết hệ số co dãn hàm cầu εD = Q = 900 P = 50 Bài 6.8 Biết hệ số co dãn hàm cầu εD = Q = 500 P = 10 −P Hãy tìm hàm cầu QD = D(P) biết 500 − P −2P2 + 5P Hãy tìm hàm cầu QD = D(P) biết Q Bài 6.9 Hàm loại hàng theo giá có phương trình QD = 400 − 2P Tại điểm P = 40 giá tăng, doanh thu giảm hay tăng? Tìm mức giá để loại hàng không co dãn Bài 6.10 a) Cho MR = 1000 − Q, tìm R(Q) b) Cho MC = 12 Q + 3, tìm C(Q) biết FC = 100 c) Cho Mπ = 3Q + 700 bán 60 (đơn vị) bị lỗ 7500 (đơn vị tiền) Tính π(Q) Bài 6.11 Một doanh nghiệp có MR = −0, 01Q + 20 a) Tìm R số lượng sản phẩm bán Q = 300 b) Hỏi doanh thu thêm họ bán sản phẩm từ đơn vị 200 đến đơn vị thứ 300 Bài 6.12 Một doanh nghiệp độc quyền sản xuất kinh doanh loại sản phẩm, biết hàm cầu sản phẩm thị trường QD = 656 − 21 P hàm chi phí C = Q3 − −77Q2 + 1000Q + 100 Tìm mức sản lượng doanh nghiệp cần sản xuất để lợi nhuận đạt cực đại Bài 6.13 Cho doanh nghiệp độc quyền sản xuất kinh doanh loại hàng, biết hàm cầu loại hàng thị trường QD = 2640 − P hàm chi phí C = Q2 + 1000Q + 100 a) Hãy xác định mức thuế t đơn vị sản phẩm để thu doanh nghiệp nhiều thuế b) Tìm mức sản lượng doanh nghiệp cần sản xuất để lợi nhuận đạt cực đại Bài 6.14 Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền hai loại sản phẩm Biết hàm cầu hai loại sản phẩm QD1 = 800 − 2P1 + P2 QD2 = 960 + P1 − P2 , hàm tổng chi phí C = 160Q1 + 240Q2 + 150 a) Tìm mức sản lượng loại sản phẩm để doanh nghiệp có lọi nhuận tối đa b) Tìm mức sản lượng loại sản phẩm để doanh nghiệp có lọi nhuận tối đa với điều kiện hạn chế chi phí C = 41750 1 Bài 6.15 Giả sử doanh nghiệp có hàm sản xuất Cobb - Douglas sau:Q = L K Biết w = 1, r = 3, P = 9, tìm lượng vốn lượng lao động doanh nghiệp cần sử dụng để đạt lợi nhuận cực đại 16 Tài liệu tham khảo [1] Lê Sĩ Đồng, Toán cao cấp - Giải tích, NXB Giáo dục, 2008 [2] Bộ môn Toán - ĐH Ngân Hàng, Bài tập Toán cao cấp - Giải tích, Lưu hành nội [3] Phạm Hồng Danh (chủ biên), Toán cao cấp - Giải tích, NXB Thống kê, 2008 [4] Bộ môn Toán - ĐH Kinh Tế, Bài tập Toán cao cấp, NXB Thống kê, 2008 [5] Nguyễn Quốc Hưng, Toán cao cấp số ứng dụng kinh doanh, NXB ĐH QG TP.HCM,2009 [6] Lê Bảo Lâm (chủ biên), Kinh tế vi mô, NXB Thống kê, 2010 [7] Trương Thị Hạnh (chủ biên), Kinh tế vi mô, NXB Thống kê, 2010 [8] Nguyễn Như Ý (chủ biên), Câu hỏi – Bài tập – Trắc nghiệm Kinh tế Vi mô, NXB Thống kê, 2010 17 [...]... + 3x2 − 2x y 2 c) y + = 3x với y(1) = 1 d) y + 2xy = xe−x x f) 2x(y + x2 )dx = dy e) (x + y2 )dy = ydx Bài 5.3 Giải các phương trình Bernoulli sau: a) y − 2xy = 3x2 y2 c) y + y = x2 y4 x b) y − y 1 = x y √ d) y + y = ex /2 y Bài 5.4 Giải các phương trình vi phân toàn phần sau: a) (x2 + y2 + 2x)dx + 2xydy = 0 b) (x3 −3xy2 +2) dx−(3x2 y− y2 )dy = 0 c) (x + y2 )dx − 2xydy = 0 d) y(1 + xy)dx − xdy = 0 Bài. .. x2 1 c) I3 = +∞ d) I4 = xe−x dx dx x2 2 dx x Chương 5 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Bài 5.1 Giải các phương trình đưa về biến số phân li: b) y cos x = y a) x(1 + y2 )dx + y(1 + x2 )dy = 0 c) x(y − 3)dy = 4ydx e) y = x−y+1 x−y +2 g) y = x+y−1 2x − y + 1 d) y = f) y = h) y = 1 2x + y 2x + y − 3 x+y x−y l) (x2 + 2xy)dx + xydy = 0 k) xy y = y2 + 2x2 Bài 5 .2 Giải các phương trình vi phân tuyến tính cấp 1: a) y + 2xy... x2 sin 3xdx 2 −x e) I = x e dx f) I = sin(ln x)dx g) I = ex cos xdx h) I = x cos 3xdx 2 2x k) I = x e dx Bài 4.3 Tích tích phân các hàm hữu tỉ sau: x2 +2x+6 a) I = (x−1)(x 2) (x−4) dx c) I = x dx x4 +6x2 +5 e) I = x3 +2 g) I = x dx (x−1)(x+1 )2 x3 −x dx b) I = x2 +2x−1 dx (x−1)(x2 +1) d) I = 1 dx x(x−1) f) I = Bài 4.4 Tích tích phân các hàm lượng giác sau: 10 2x 2 dx (1+x)(1+x2 ) a) I = sin 2x cos 5xdx... Giải các phương trình sau bằng cách hạ cấp: a) y = x2 + xex + 1 b) y = x − y x c) y (1 + x2 ) = 2xy với y(0) = 1 và y (0) = 3 d) y.y − (y )2 = 0 13 Bài 5.6 Giải phương trình vi phân cấp 2 sau: a) y − 2y + y = 0 với y(0) = 2, y (0) = 1 b) y + 4y = 0 với y(0) = 0, y (0) = 2 c) y + 3y = 0 với y(0) = 0, y(3) = 0 d) y + 3y + 2y = 0 với y(0) = 1, y (0) = −1 Bài 5.7 Giải phương trình vi phân cấp 2 sau: a)... + 3y = e2x b) y − 3y + 2y = ex c) y + 5y + 4y = 3 − 2x d) y + y − 2y = 3xex e) y + y = sin 2x f) y − 9y = e3x cos x g) y + y = x sin x h) y − 3y + 2y = 3e2x + 2x2 14 Chương 6 ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ Bài 6.1 Tìm giá trị cận biên của các hàm sau: a) C = 0, 1Q2 + 3Q + 2 tại Q = 3 b) C = 0, 04Q3 − 0, 5Q2 + 4, 4Q + 7500 tại Q = 5 c) R = 25 0Q + 45Q2 − Q3 tại Q = 5 √ √ 10 I + 0, 7 I3 − 0, 2I Bài 6 .2 Giả sử... biên), Toán cao cấp - Giải tích, NXB Thống kê, 20 08 [4] Bộ môn Toán - ĐH Kinh Tế, Bài tập Toán cao cấp, NXB Thống kê, 20 08 [5] Nguyễn Quốc Hưng, Toán cao cấp 1 và một số ứng dụng trong kinh doanh, NXB ĐH QG TP.HCM ,20 09 [6] Lê Bảo Lâm (chủ biên), Kinh tế vi mô, NXB Thống kê, 20 10 [7] Trương Thị Hạnh (chủ biên), Kinh tế vi mô, NXB Thống kê, 20 10 [8] Nguyễn Như Ý (chủ biên), Câu hỏi – Bài tập – Trắc nghiệm... +e−x 0 Bài 4.6 Sử dụng phương pháp tích phân từng phần tính các tích phân sau: π 2 a) I = 1 b) I = x cos xdx x2 e−x dx 0 0 1 c) I = x ln(1 + x2 )dx d) I = cos(ln x)dx f) I = π 3 0 2 e) I = 1 1 x arctan xdx −1 π 4 g) I = x+sinx dx 1+cos x π 3 h) I = 0 x 1 xsinx dx cos2 x 0 Bài 4.7 Tính: d a) dx x dx sin2 x π 3 d b) dx cos t sin t dt t2 x2 sin t2 dt 0 x 3 d x √ c) 1 + t2 dt dx x2 cos t2 dt d) lim x→0 Bài. .. 1 Bài 6.15 Giả sử một doanh nghiệp có hàm sản xuất Cobb - Douglas như sau:Q = L 2 K 2 Biết rằng w = 1, r = 3, P = 9, tìm lượng vốn và lượng lao động doanh nghiệp cần sử dụng để đạt lợi nhuận cực đại 16 Tài liệu tham khảo [1] Lê Sĩ Đồng, Toán cao cấp - Giải tích, NXB Giáo dục, 20 08 [2] Bộ môn Toán - ĐH Ngân Hàng, Bài tập Toán cao cấp - Giải tích, Lưu hành nội bộ [3] Phạm Hồng Danh (chủ biên), Toán cao. .. a) I1 = +∞ −1 b) I2 = cos xdx 0 c) I3 = −∞ +∞ 2 0 e) I5 = +∞ 1 −∞ ln(1 + x) dx 1+x f) I = +∞ 0 e) I5 = +∞ 1 g) I7 = +∞ −∞ k) I9 = ln(1 + x) dx x f) I6 = e +∞ 1 h) I8 = +∞ 0 l) I10 = ln xdx 12 (x2 + 1 )2 dx (x2 + x + 1 )2 x arctan x dx √ 1 + x3 x3 /2 dx 1 + x3 +∞ 1 − cos 1 0 dx +∞ −∞ |sin x| dx 2 x + 3x + 1 −x3 arctan x dx x2 + 1 −∞ d) I4 = dx x2 + x + 1 +∞ b) I2 = xp dx 1 + x3 +∞ +∞ 0 Bài 4.9 Xét sự hội... x+sin3 x dx cos2x e) I = sin3 x √ dx cos x 3 cos x g) I = sin4 xdx k) I = sin3 x cos xdx b) I = 1 dx 4 sin x+3 cos x+5 d) I = sin4 xcos5 xdx f) I = cos4 xdx h) I = 1 dx sin x+1 Bài 4.5 Sử dụng phương pháp đổi biến số tính các tích phân sau: 1 √ 2 a) I = 1 − x2 dx b) I = (3x + 1)4 dx 0 −1 π 2 c) I = 5 π 2 d) I = cos xdx 0 0 π 2 e) I = ln 2 √ f) I = 1 dx 1+cosx ex − 1dx 0 0 1 g) I = √ x2 a2 − x2 dx a √ √ ... u = e3x+2y , y = 2x2 x h) u = x2 + y2 , y = xz k) u = x ln y, y = 2x + x Bài 3.5 Tìm ∂u ∂u 2 u 2 u 2 u , , , , ∂t ∂s 2 t2 ∂t∂s 2 s2 x d) u = 3x2 y + yz, z = x2 + xy + y2 e) u = wt , w =... t − s , y = t, z = s2 2 f) u = x2 y − xy + 3y2 , x = t2 + 2s2 , y = 2t2 − s2 g) u = x2 y−3xy, x = 2ts−s, y = t−3ts k) u = f (z), z = ts + Bài 3.6 h) u = ln(x2 − 3y), x = t2 , y = tes t s a) u... = ex /2 y Bài 5.4 Giải phương trình vi phân toàn phần sau: a) (x2 + y2 + 2x)dx + 2xydy = b) (x3 −3xy2 +2) dx−(3x2 y− y2 )dy = c) (x + y2 )dx − 2xydy = d) y(1 + xy)dx − xdy = Bài 5.5 Giải phương