QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH

CHƯƠNG QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH Kết thúc chương này, sinh viên có thể: Nắm thành phần dạng khác toán Có thể thực chuyển đổi dạng toán Xây dựng toán Nắm phương pháp giải toán Hiểu toán đối ngẫu thực biến đổi toán đối ngẫu toán gốc Hiểu phân tích độ nhạy sử dụng chúng phân tích Biết toán qui hoạch nguyên ứng dụng Sử dụng phần mềm phổ biến để giải toán Mục lục 26 2.1 Đặt vấn đề 2.2 Những dạng toán qui hoạch 2.3 Những phương pháp giải toán qui hoạch tuyến tính 2.4 Bài toán đối ngẫu 2.5 Phân tích độ nhạy 2.6 Qui hoạch nguyên 2.1 Đặt vấn đề 27 Trong thực tế, tồn nhiều toán qui hoạch tuyến tính đáp ứng nhiều nhu cầu khác nghiên cứu Tuy nhiên, xét theo hàm mục tiêu, toán qui hoạch tuyến tính chia thành hai toán sau: • Bài toán cực đại, • Bài toán cực tiểu Cách thức xây dựng, dạng thành phần toán nào? 2.1.1 Bài toán cực đại đơn giản 28 ABC công ty nhỏ chuyên sản xuất sản phẩm hoá chất Trong trình sản xuất, có nguyên liệu thô dùng để sản xuất sản phẩm: chất phụ gia, bazơ hoà tan Ba nguyên liệu thô pha trộn thành chất phụ gia bazơ hoà tan Bảng: Sản phẩm Nguyên liệu Chất phụ gia Bazơ hoà tan Khả cung ứng (tấn) 0,4 0,5 20 0,2 21 Nguyên liệu Nguyên liệu 0,6 0,3 Lợi nhuận 40 30 Xây dựng toán 29 Xác định biến định F = số chất phụ gia sản xuất B = số bazơ hoà tan sản xuất Hàm mục tiêu : Max 40F + 30B Các ràng buộc 0,4F + 0,5B ≤ 20 Nguyên liệu 0,2B ≤ Nguyên liệu 0,6F + 0,3B ≤ 21 Nguyên liệu F, B ≥ 2.1.2 Bài toán cực tiểu đơn giản 30 Công ty hoá chất M&D sản xuất sản phẩm A B để bán làm nguyên liệu cho công ty sản xuất xà phòng Dựa mức tồn kho nhu cầu tiềm tàng cho tháng tới, nhà quản trị xác định tổng mức sản xuất tháng tới hai sản phẩm 350 galông Riêng sản phẩm A phải không 125 galông Thời gian để sản xuất sản phẩm A, B tương ứng giờ/galông 1giờ/galông Trong tháng đến, tổng quỹ thời gian 600 Chi phí sản xuất sản phẩm A B tương ứng 2$/galông 3$/galông Mục tiêu công ty M&D cực tiểu tổng chi phí sản xuất Xây dựng toán 31 Ký hiệu: A = số galông sản phẩm A sản xuất, B = số galông sản phẩm B sản xuất Bài toán: Min 2A+3B Ràng buộc 1A ≥ 125 Nhu cầu sản phẩm A 1A+1B ≥ 350 Nhu cầu tổng sản phẩm 2A+1B ≤ 600 Thời gian sản xuất A,B ≥ 2.1.3 Những ký hiệu chung toán QHTT 32 Ký hiệu: x1= số chất phụ gia sản xuất x2= số chất bazơ hoà tan sản xuất Khi đó, toán RMC có dạng sau: Max (40x1 + 30x2) Ràng buộc Nguyên liệu 0,4x1 + 0,5x2 ≤ 20 0,2x2 ≤ Nguyên liệu 0,6x1 + 0,3x2 ≤ 21 Nguyên liệu x1, x2 ≥ 2.1.3 Những ký hiệu chung toán QHTT 33 Ký hiệu: x1= số galông sản phẩm A sản xuất x2= số galông sản phẩm B sản xuất Khi đó, toán M&D có dạng sau: Min (2x1+3x2) Ràng buộc 1x1 ≥ 125 Nhu cầu sản phẩm A 1x1+1x2 ≥ 350 Nhu cầu tổng sản phẩm 2x1+1x2 ≤ 600 Thời gian sản xuất x1, x2 ≥ 2.2 Những dạng toán qui hoạch 34 2.2.1 Những thành phần toán 2.2.2 Các dạng toán qui hoạch tuyến tính 2.2.3 Biến đổi dạng toán qui hoạch a Đưa dạng tổng quát dạng tắc b Đưa dạng tắc dạng chuẩn 2.2.1 Những thành phần toán 35 – Hàm mục tiêu (Objective function), hàm tuyến tính biến định đạt cực trị – Các ràng buộc (Constraints) phương trình hay bất phương trình tuyến tính thể kết hợp biến định – Các ràng buộc dấu biến định: biến định toán kinh tế thường không âm Tuy nhiên, trường hợp tổng quát, biến nhận giá trị âm Dạng tổng quát (theo ký hiệu thông thường) 36 Hàm mục tiêu Ràng buộc n n j=1 j=1 f ( x ) = ∑ c j x j → min(max ) hay Min (Max )∑ c j x j ⎧ n ⎪ ∑ a ij x j = b i i ∈ I ⎪ j=1 ⎪ n ⎨ ∑ a ij x j ≤ b i i ∈ I ⎪ j=1 ⎪ n ⎪ ∑ a ij x j ≥ b i i ∈ I ⎩ j=1 Ràng buộc dấu: xj≥0 (j∈J1); xj≤0 (j∈J2); xj tuỳ ý (j∈J3) Ví dụ: 37 Max (3x1 − S.t x + 2x3 + 2x1 − x + 4x1 − 2x + x1 − x1 + x + 5x5 ) x + 2x + x3 x + 2x3 x + 2x3 x1 , x ≥ 0; x , x ≤ 0; x tùy ý I1={2}, I2={1,4} I3={3} J1={1,4}, J2={2,5} J3={3} + x4 x5 ≤ = 17 20 x ≥ − 18 ≤ 100 Dạng tắc (Theo ký hiệu thông thường) 38 n n j=1 j=1 Hàm mục tiêu f ( x ) = ∑ c j x j → min(max ) hay Min (Max)∑ c j x j Ràng buộc n ∑a j =1 Ràng buộc dấu : ij x j =b i i ∈ I1 xj≥0 (j∈J1) Chỉ phương trình Không âm Dạng tắc (ký hiệu ma trận) 39 Min (Max) cx Ax = b x≥0 Trong đó: ⎛ a 11 ⎜ ⎜ a 21 ⎜ A=⎜ ⎜ a i1 ⎜ ⎜ ⎜a ⎝ m1 a 12 a 22 a j a j a i2 a m2 a mj c = (c1 c Κ cn ) a ij a 1n ⎞ ⎡ x1 ⎤ ⎟ ⎢x ⎥ a n ⎟ ⎢ 2⎥ ⎟ ⎢ Μ⎥ ⎟ x=⎢ ⎥ a in ⎟ ⎢x j ⎥ ⎢ Μ⎥ ⎟⎟ ⎢ ⎥ ⎟ a mn ⎠ ⎢⎣ x n ⎥⎦ ⎡ b1 ⎤ ⎢b ⎥ ⎢ 2⎥ ⎢ Μ⎥ b=⎢ ⎥ ⎢ bi ⎥ ⎢ Μ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣b m ⎥⎦ ⎡0 ⎤ ⎢0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ Μ⎥ 0=⎢ ⎥ ⎢0 ⎥ ⎢ Μ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣0⎥⎦ Dạng chuẩn 40 n n j=1 j=1 Hàm mục tiêu f (x) = ∑ c j x j → min(max) hay Min(Max)∑ c j x j Ràng buộc ⎧x1 ⎪ x ⎪ ⎨ Ο ⎪ ⎪⎩ xm + a1(m+1) x(m+1) + a2(m+1) x(m+1) Κ Κ + am(m+1) x(m+1) + Κ + a1nxn + Κ + a2nxn Κ Κ Κ Κ + Κ + amnxn Ràng buộc dấu: xj≥0 ∀j=1,…,n bi ≥0 ∀i=1,…,m = b1 = b2 Κ Κ = bm Dạng chuẩn (Theo ký hiệu ma trận) 41 Min (Max) cx S.t Ax = b Không âm (b≥0) x≥0 Trong đó: ⎛1 ⎜ ⎜0 A=⎜ Λ ⎜ ⎜0 ⎝ Λ Λ 0 a1( m +1) a 2( m +1) Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Ma trận đơn vị cấp m a m ( m +1) Λ a1n ⎞ ⎟ a 2n ⎟ Λ ⎟ ⎟ a mn ⎟⎠ Nhận xét 42 Bài toán dạng chuẩn toán dạng tắc có thêm điều kiện: • Các số hạng tự vế phải không âm; • Ma trận hệ số ràng buộc A có chứa ma trận đơn vị cấp m Hàm mục tiêu: Min (3x1-x2+x3-3x4+x5) Ràng buộc 2x1+ x2- x3 + x4 2x1-2x2+ x3 + x1 - x2+2x3 +x5 = 10 x6 = 20 = 18 xj ≥0 ∀j=1,…,6 Một số khái niệm 43 – Một tập giá trị biến định thỏa mãn ràng buộc toán gọi phương án toán – Các biến ứng với véc tơ cột đơn vị ma trận A gọi biến – Các biến lại biến không – Biến ứng với véc tơ đơn vị thứ i gọi biến thứ i – Một phương án mà biến không gọi phương án – Một phương án có đủ m thành phần dương gọi không suy biến; có m thành phần dương gọi suy biến 2.2.3 Biến đổi dạng toán qui hoạch 44 Bài toán qui hoạch tuyến tính tồn nhiều dạng khác nhau: dạng tổng quát, dạng tắc dạng chuẩn Trong thuật toán giải toán qui hoạch tuyến tính phương pháp đơn hình đòi hỏi toán dạng chuẩn Chính vậy, cần phải chuyển toán dạng tổng quát, dạng tắc dạng chuẩn Dạng Dạng tổng tổng quát quát Dạng Dạng chính tắc tắc Dạng Dạng chuẩn chuẩn a Đưa dạng tổng quát dạng tắc 45 – Nếu ràng buộc dạng ≤ → cộng thêm vào vế trái biến phụ không âm xn+1≥0 để biến dạng phương trình; – Nếu gặp ràng buộc dạng ≥ → trừ vế trái biến phụ không âm xn+1≥0 để biến thành phương trình; – Nếu gặp biến xj ≤0 → thay xj=-tj với tj ≥0; – Nếu gặp biến xj tuỳ ý → thay xj=x’j-x’’j với x’j ≥0 x’’j≥0 b Đưa dạng tắc dạng chuẩn 46 – Nếu số hạng tự vế phải âm đổi dấu hai vế để số hạng tụ dương; – Thêm vào phương trình biến giả không âm xn+1≥0 với hệ số 1; – Trong hàm mục tiêu, biến giả có hệ số –M (đối với toán Min) có hệ số M (đối với toán Min) Bài toán gọi toán mở rộng toán xuất phát Chú ý 47 – Phân biệt biến phụ biến giả với điểm sau: • Biến phụ để đưa toán dạng tổng quát dạng tắc biến giả đưa dạng tắc dạng chuẩn • Trong hàm mục tiêu, hệ số biến giả M toán dạng Min, –M toán dạng Max biến phụ có hệ số • Biến phụ số thực giúp biến đổi ràng buộc dạng bất phương trình phương trình biến giả vế mà cộng thêm làm việc “giả tạo” để tạo véc tơ đơn vị mà Chú ý 48 – Nếu toán dạng tắc có sẵn số véc tơ cột đơn vị A, cần thêm biến giả vào phương trình cần thiết đủ để tạo toán mở rộng dạng chuẩn – Quan hệ toán xuất phát toán mở rộng: Nếu biến giả 0, bài toán lại toán xuất phát, phải cho biến giả Để đạt kết bố trí sẵn sau: • Với toán min, biến giả có hệ số M • Với toán max, biến giả có hệ số –M Nhận xét 49 – Nếu xT=(x1 x2…xn) phương án toán xuất phát (x*)T=(x1 x2…xn 0…0) phương án toán mở rộng; – Nếu (x0)T=(x10 x20…xn0) phương án tối ưu toán xuất phát (x*0)T=(x10 x20…xn 0…0) phương án tối ưu toán mở rộng [...]... thành phần dương gọi là không suy biến; có ít hơn m thành phần dương gọi là suy biến 2.2.3 Biến đổi dạng của bài toán qui hoạch 44 Bài toán qui hoạch tuyến tính tồn tại nhiều dạng khác nhau: dạng tổng quát, dạng chính tắc và dạng chuẩn Trong thuật toán giải bài toán qui hoạch tuyến tính bằng phương pháp đơn hình đòi hỏi bài toán ở dạng chuẩn Chính vì vậy, cần phải chuyển bài toán dạng tổng quát, dạng...2.2.1 Những thành phần của bài toán 35 – Hàm mục tiêu (Objective function), đây là hàm tuyến tính của các biến quyết định và có thể đạt cực trị – Các ràng buộc (Constraints) là những phương trình hay bất phương trình tuyến tính thể hiện sự kết hợp các biến quyết định – Các ràng buộc về dấu của các biến quyết định: các biến quyết định trong những bài toán ... toán qui hoạch 2.3 Những phương pháp giải toán qui hoạch tuyến tính 2.4 Bài toán đối ngẫu 2.5 Phân tích độ nhạy 2.6 Qui hoạch nguyên 2.1 Đặt vấn đề 27 Trong thực tế, tồn nhiều toán qui hoạch tuyến. .. 2.2.3 Biến đổi dạng toán qui hoạch 44 Bài toán qui hoạch tuyến tính tồn nhiều dạng khác nhau: dạng tổng quát, dạng tắc dạng chuẩn Trong thuật toán giải toán qui hoạch tuyến tính phương pháp đơn hình... gian sản xuất x1, x2 ≥ 2.2 Những dạng toán qui hoạch 34 2.2.1 Những thành phần toán 2.2.2 Các dạng toán qui hoạch tuyến tính 2.2.3 Biến đổi dạng toán qui hoạch a Đưa dạng tổng quát dạng tắc b Đưa