Thuật toán chuyển bài toán qui hoạch phi tuyến về qui hoạch tuyến tính

Trong lý thuyết điều khiển tự động, khi giải bài toán tối ưu hoặc tìm thông số tối ưu cho bộ điều chỉnh, ta thường sử dụng chỉ tiêu tích phân bình phương sai lệch.

Tạp chí Khoa học & Công nghệ - Số 3(43)/Năm 2007 THUẬT TOÁN CHUYỂN BÀI TOÁN QUI HOẠCH PHI TUYẾN VỀ QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH Nguyễn Hữu Cơng (Trường ĐH Kỹ thuật Công nghiệp - ĐH Thái Nguyên) Đặt vấn đề Trong lý thuyết điều khiển tự động, giải tốn tối ưu tìm thơng số tối ưu cho điều chỉnh, ta thường sử dụng tiêu tích phân bình phương sai lệch Nếu ta áp dụng phương pháp số để tìm nghiệm tối ưu, thường dẫn tới việc giải toán qui hoạch phi tuyến sau: m   Tìm F ( w ) = ∑ ci  qi* − ∑ aij w j  i =0 j =0   n (1) Với ràng buộc A1 ≤ wj ≤ A2 (j = 0,1, ,m) (2) * Trong wj Nn cần tìm, qi , aij, ci số dương biết Như vậy, toán đặt tìm cực tiểu hàm (1) phụ thuộc vào m+1 biến wj tuân theo ràng buộc (2) Rõ ràng (1) toán qui hoạch phi tuyến biến wj ràng buộc (2) tuyến tính Với tốn tìm nghiệm phương pháp số sau số hữu hạn phép lặp[2], [3] Mặc dù nghiệm toán qui hoạch bậc hai thu sau số hữu hạn phép lặp thuật tốn phức tạp thời gian tính tốn lâu so với thuật tốn phương pháp đơn hình cho tốn quy hoạch tuyến tính Nội dung thuật tốn Thay việc sử dụng tiêu tích phân bình phương sai lệch, ta đặt tiêu tích phân trị tuyệt đối sai lệch Như vậy, thay tìm (1) với ràng buộc (2), ta tìm toán tương đương sau: n m i =0 j =0 L ( w ) = ∑ ci qi* − ∑ aij w j (3) Để giải toán tìm (3) với ràng buộc (2), ta đưa tốn quy hoạch tuyến tính cách dùng kỹ thuật sau[1]: Ta đưa ( n + 1) biến phụ không âm yi zi (i = 0,1, n) Ta chứng minh (3) với ràng buộc (2) tương đương với n L ' = ∑ ci ( y i + z i ) (4) i =0 với ràng buộc:  − qi* = yi − zi  j =0  ( i = 0,1, , n )  yi ≥ 0, zi ≥  m ∑a w ij 32 j (5) T¹p chÝ Khoa học & Công nghệ - Số 3(43)/Năm 2007 v A1 ≤ w j ≤ A2 với j = 0, 1, 2,…, m Khi với [wj, yi, zi] phương án tối ưu toán (4), (5) zi , yi phải thoả mãn điều kiện: zi = : yi = nếu: m ∑a w ij j =0 j − qi* không âm j − qi* m ∑a w ij j =0 âm Với cách đặt biến phụ vậy, ta có: minL = minL’ (6) Ta chứng minh kết luận sau ( ) Bổ đề 1: Giả sử w, z , y phương án tối ưu tốn (4), (5) ta phải có: a, y i z i = với ∀i = 0, 1, , n (tức biến y i z i phải = 0) b, L( w ) = L' ( w , z, y) Chứng minh: a, Giả sử trái lại z i y i ≠ Do yi ≥ zi ≥ nên lúc ta phải có z i > 0, yi > Ta đặt : h = { z i , y i }; ta thấy h > lại đặt : y i' = y i − h z i' = z i − h (7) Rõ ràng: z i ≥ ; y i ≥ với i yi’ = zi’ = nghĩa y 'i z 'i = với ' ' i Mặt khác ta thấy: yi' − zi' = yi − zi Vì w j, y'i, z'i thoả mãn điều kiện (5) nghĩa [ w j, y'i, z'i] phương án toán (4),(5) Song ( ) ( ) L ' w j , yi' , z i' = ∑ ci ( yi' + z i' ) = ∑ (ci yi + z i − 2ci h) n n i=0 i =0 (8) ý : h>0 , ci > với ∀ i=0,1….n Vậy ta dễ thấy ( ) n ( ) ( L ' w j , zi' , yi' < ∑ ci yi + zi = L ' w j , yi , zi i =0 ) (9) 33 Tạp chí Khoa học & Công nghệ - Số 3(43)/Năm 2007 ( ) iu ny trỏi vi gi thit w j , z i , y i phương án tối ưu (4), (5) Tóm lại ta phải có y i z i = với ∀i = 0,1 , n b, Do ( w , y, z ) phương án tối ưu toán (4), (5) nên phải thoả mãn ràng buộc (5) Theo chứng minh phần a, với i = 0,1,2,…n y i = z i = - Nếu z i = m ∑ a ij w j − q*i = yi ≥ j= m từ q*i − ∑ a ij w j = yi + z i (10) j= - Nếu y i = m ∑ a ij w j − q*i = - z i ≤0 j= m từ qi* − ∑ aij w j = yi = zi (11) j =0 Tóm lại ta ln có: n m n j =0 i=0 ( ) L(w) = ∑ ci q i − ∑ aij w j = ∑ (ci yi + zi = L' ( w, z , y ) * i =0 Vậy L( w ) = L' ( w , z, y) (đpcm) (12) (13) Mệnh đề 1: Giả sử ( w , y, z ) phương án tối ưu tốn (4) ,(5) Khi w phương án tối ưu toán (3) với ràng buộc (2) Chứng minh: Thật vậy, giả sử trái lại, ∃ wˆ phương án toán (3), (2) với ( ) ˆ ) = L w Từ wˆ ta xây d ự ng ph ươ ng án [ w ˆ , yˆ, zˆ ] củ a toán (4), (5) L(w nh sau: m Đặt yˆi = ∑ aij wˆ j − qi* zˆ i = j =0 m ∑ a wˆ j =0 34 ij j − qi* ≥ Tạp chí Khoa học & Công nghệ - Số 3(43)/Năm 2007 m t z i =  ∑ aij wˆ j − qi*  yˆi =  j =0  m ∑a j =0 ij − qi* < Khi ta có :   a) Bộ tham số  wˆ , yˆ , zˆ  phương án toán (4), (5)   ˆ ) = L'  wˆ , yˆ , zˆ  b) yˆ i + zˆ i = qi* − ∑ aij wˆ j , nghĩa L ( w   j =0 m (14) Theo giả thiết, theo (14) theo bổ đề (13) ta có :   L'  wˆ , yˆ , zˆ  = ∑ ci ( yˆi + zˆi ) =   i =0 n n m i =0 j =0 = ∑ ci qi* − ∑ aij wˆ j = L( wˆ ) < L( w) = L' ( w, y , z ) ( (15) ) trái với giả thiết w, y, z phương án tối ưu toán (4), (5) (đpcm) Kết luận Qua chứng minh ta có kết luận: Có thể thay việc tìm lời giải cho tốn (1), (2) việc cực tiểu hoá toán (4) với ràng buộc (5) Dùng phương pháp đơn hình giải tốn (4), (5), ta nhận phương án tối ưu toán sau số hữu hạn phép lặp Dễ thấy việc tìm lời giải cho tốn (4), (5) đơn giản nhiều so với toán (1), (2) TÓM TẮT Bài báo nghiên cứu việc chuyển toán qui hoạch phi tuyến toán qui hoạch tuyến tính Việc đưa thuật tốn làm cho việc lập trình đơn giản hơn, thời gian tính tốn ngắn Điều có ý nghĩa khoa học nói chung lĩnh vực Điều khiển Tự động nói riêng mở khả áp dụng vào thực tế Mọi quan tâm xin liên hệ: TS Nguyễn Hữu Công; Khoa Điện tử, Trường Đại học Kĩ thuật Công nghiệp - Đại học Thái Nguyên ĐT: 0913589758 Email: huucongdk55@yahoo.com 35 T¹p chÝ Khoa häc & Công nghệ - Số 3(43)/Năm 2007 Summary This paper proposes a method used to convert nonlinear programming problem into linear programming problem A new algorithm used in this paper can support for programming more easily, and calculating time is shorter This is very significant in science in general and in automation control in special and open the applying capabilities in practice Further information, please contact Dr Nguyen Huu Cong, Electronics Engineering Faculty, Thainguyen University of Technology Tel: 0913589758 Email: huucongdk55@ yahoo.com TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Hữu Công (2003), “Điều khiển tối ưu cho đối tượng có tham số phân bố, biến đổi chậm”, Luận án Tiến sỹ kỹ thuật [2] Jinghao Zhu (2006), A Numerical Method of the Optimal Control Approach to Nonlinear Programming, Problems [3] Bùi Minh Trí (1999), Qui hoạch tốn học, Nxb Khoa học Kĩ thuật, Hà Nội 36 ... ưu toán sau số hữu hạn phép lặp Dễ thấy việc tìm lời giải cho toán (4), (5) đơn giản nhiều so với tốn (1), (2) TĨM TẮT Bài báo nghiên cứu việc chuyển toán qui hoạch phi tuyến tốn qui hoạch tuyến. .. ưu toán (4), (5) (đpcm) Kết luận Qua chứng minh ta có kết luận: Có thể thay việc tìm lời giải cho toán (1), (2) việc cực tiểu hoá toán (4) với ràng buộc (5) Dùng phương pháp đơn hình giải toán. .. Tiến sỹ kỹ thuật [2] Jinghao Zhu (2006), A Numerical Method of the Optimal Control Approach to Nonlinear Programming, Problems [3] Bùi Minh Trí (1999), Qui hoạch tốn học, Nxb Khoa học Kĩ thuật, Hà