Phương trình nghiệm nguyên và giả thuyết catalan

Giả thuyết trở thành thách thức của toán học và sớm thu được một sốkết quả trong những trường hợp riêng quan trọng, tuy nhiên trong suốt 100năm tất các các kết quả thu được đều ít nhiều

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LƯƠNG THỊ HẰNG

PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN VÀ GIẢ

THIẾT CATALAN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2013

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LƯƠNG THỊ HẰNG

PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM

NGUYÊN

VÀ GIẢ THIẾT CATALAN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành : PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

Mã số : 60 46 36

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

GS TSKH HÀ HUY KHOÁI

THÁI NGUYÊN - 2013

Mục lục

0.1 Tóm tắt 3

1 GIẢ THUYẾT CATALAN: THÊM MỘT PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANTINE ĐƯỢC GIẢI 5 1.1 Lịch sử nghiên cứu 5

1.2 Cassels và trường hợp 1 7

1.3 Bài toán có thể giải bằng máy tính? 8

1.4 Cặp Wieferich 10

1.5 Linh hóa tử - Nhân tố chìa khóa 12

1.6 Các linh hóa đặc biệt 12

1.7 Phác thảo chứng minh giả thuyết Catalan 14

1.8 Định lý của Mihăilescu 15

1.9 Xét lại các linh hóa tử 16

1.10 Mâu thuẫn 17

1.11 Kết luận 18

2 LŨY THỪA HOÀN THIỆN - CÁC CÔNG TRÌNH CỦA PILLAI VÀ NHỮNG PHÁT TRIỂN CỦA NÓ 20 2.1 Những đóng góp của Pillai cho các bài toán Diophantine 20

2.1.1 Các kết quả của Pillai trong các vấn đề Diophantine 21 2.1.2 Giả thuyết của Pillai về dãy các lũy thừa hoàn thiện 22 2.2 Giả thuyết Pillai và các bài toán mở hơn 23

2.2.1 Phương trình Catalan 24

2.2.2 Phương trình Fermat mở rộng 24

2.3 Sự làm mịn định lượng của giả thuyết Pillai 28

2.3.1 Giả thuyết abc 29

MỞ ĐẦU

0.1 Tóm tắt

Giả thuyết Catalan trong lý thuyết số một trong những bài toán rất dễphát biểu, nhưng lại rất khó giải Giả thuyết dự đoán rằng chỉ có 8 và 9 làcặp số liên tiếp duy nhất mà cả hai số đều là lũy thừa của số tự nhiên Nóicách khác, phương trình Diophantine

xu− yv = 1 (x > 0, y > 0, u > 1, v > 1) (1)không có nghiệm nào khác ngoài xu = 32, yv = 23

Giả thuyết này được công bố trên tạp trí Journal fur die Reine und wandte Mathematik bởi nhà toán học Bỉ Eugène Catalan (1814-1894) Bàibáo được xuất bản năm 1944 ([1]) Trong thời gian Catalan giảng dạy tạitrường đại học Bách khoa Paris ông đã nổi tiếng với việc giải một bài toán

Ange-tổ hợp Thuật ngữ số Catalan vẫn được sử dụng cho đến ngày này là nhắcđến công trình đó Đối với phương trình (1) Catalan đã viết Cho đến naykhông thể chứng minh đầy đủ Ông cũng chưa bào giờ công bố bất kì kết quảriêng quan trọng nào về vấn đề này

Giả thuyết trở thành thách thức của toán học và sớm thu được một sốkết quả trong những trường hợp riêng quan trọng, tuy nhiên trong suốt 100năm tất các các kết quả thu được đều ít nhiều mang đặc tính cô lập

Tiếp đó vào cuối những năm 1950 đồng thời xuất hiện một số ý tưởngđáng kể Sau đó đến những năm 1970, việc nghiên cứu được kích thích bởimột kết quả đưa bài toán tới việc tính toán hữu hạn Tuy nhiên, khối lượngtính toán là quá lớn để có tính khả thi Từ đó, hướng chính của việc nghiêncứu là các nỗ lực để giảm bới khối lượng tính toán

Đó là tình hình cho đến năm 2002, khi nhà toán học Preda Mihăilescu,người chưa được biết đến trong lĩnh vực này đã chứng minh hoàn Chỉnh Giảthuyết Điều ngạc nhiên là trong chứng minh, ông sử dụng rất ít tính toán,

mà thay vào đó ông sử dụng các lý thuyết sâu sắc, đặc biệt lý thuyết cáctrường cyclotomic

Preda Mihăilescu sinh năm 1955 tại Rumani, ông học toán tại ETH Zurich.Ông đã từng làm việc trong ngành công nghệ máy tính và tài chính, nhưnghiện tại ông đang nghiên cứu toán tại đại học Paderborn - Đức

Luận văn nhằm trình bày một số điểm mốc quan trọng trong lịch sử củabài toán Catalan và mô tả sơ lược lời giải tuyệt vời của Mihăilescu

Dù đã rất cố gắng, nhưng chắc chắn nội dung được trình bày trong luậnvăn không tránh khỏi thiếu sót nhất định, em rất mong nhận được sự góp ýcủa các thầy cô giáo và các bạn

Em xin chân thành cảm ơn!

Thái Nguyên, ngày 20 tháng 3 năm 2013

Người thực hiệnLương Thị Hằng

x3 − y2 = ±1 (x > 0, y > 0) (1.1)Chứng minh của Euler rất tài tình, nhưng có nhiều chỗ dài dòng Ngoài nhiều

kỹ thuật khác, chứng minh còn dùng phương pháp lùi vô hạn của Fermat

Để tìm hiểu phương trình (1) ta xem trường hợp đặc biệt (1.1) có thể giảinhư thế nào nếu sử dụng lý thuyết số đại số Giả sử (x, y) là một nghiệm,trước hết ta xét phương trìnhx3− y2 = −1 Ta viết phương trình trong vànhcác số nguyên Gauss Z[i]

Do Z[i] là vành nhân tử duy nhất nên ta có thể xét ước chung lớn nhất củacác phần tử của nó Gọi d là ước chung lớn nhất của y + i và y − i (sai khácmột nhân tử đơn vị) Từ các phương trình y + i = dλ, y − i = dµ ta có d|2

Từ (1.2) suy ra d chia hết x và x phải là số lẻ Từ đóy ≡ 0 hoặc 1( mod 4).Suy ra d là đơn vị Do đó d = ±1; ±i

Ta cóy +i = d(a+bi)3, a, b ∈ Z Tuy nhiêndlà lũy thừa bậc ba trong Z[i]

nên có thể bỏ qua Từ phần thực và phần ảo của phương trìnhy+i = (a+bi)3

ta tìm được y = 0 và (x = 1) Điều này mâu thuẫn Do đó phương trìnhkhông có nghiệm.

Đối với phương trình x3 − y2 = 1, ta viết phương trình dưới dạng

x3 = (y + 1)(y − 1)

Ước chung lớn nhất của (y + 1) và (y − 1) là 1hoặc 2 Trong trường hợp thứnhất, ta thấy rằng 2 sẽ là hiệu của hai lũy thừa bậc ba, điều này không thểxảy ra Trong trường hợp thứ hai, sẽ dẫn đến phương trình

a3 − 2b3 = ±1

Do đó a − bα với α = √3

2 là đơn vị trong Z[α], vành các số nguyên trongtrường các số thực Q(α) Các đơn vị của vành này là các lũy thừa của đơn vị

1 + α + α2 Từ đó, ta tìm được |a − bα| là lũy thừa bậc 0 nên α = ±1, b = 0

Do đó phương trình ban đầu có nghiệm x = 2, y = 3

Để chứng minh giả thuyết Catalan ta xét phương trình

xp− yq = 1 (x > 0, y > 0) (1.3)với p, q là các số nguyên tố khác nhau

Năm 1850, V.A Lebesgue (không phải là người cùng tên nổi tiếng vớitích phân Lebesgue!) giải được trường hợp q = 2 Sử dụng đại số các sốnguyên Gauss, ta viết phương trình dưới dạng tương tự phương trình (1.2).Ước chung lớn nhất củay + i và y − i là đơn vị Do đó ta có hai phương trình

y + i = is(a + bi)p, y − i = (−i)s(a − bi)p

trong đó s ∈ {0, 1, 2, 3} Từ đó có thể khử y và các phương trình này dẫnđến mâu thuẫn, do đó phương trình xp− y2 = 1 không có nghiệm

Đối với trường hợp p = 2 trong phương trình (2.4), năm 1961 có một kếtquả chứng minh phương trình x2− yq = 1 nếu có nghiệm thì x > 103.109 Cáitin nhà toán học Chaoko người Trung Quốc chứng minh được rằng phươngtrình này không giải được đã không được cộng đồng toán học biết đến Chứngminh chỉ được biết đến năm 1964, khi nó công bố trên tạp chí Scientia Sinica[7]

Năm 1976, E.Z Chein công bố một chứng minh rất khéo léo dựa trênkết quả của T.Nagell nói rằng nghiệm (x, y) phải thỏa mãn 2|y và q|x Xétphương trình có dạng

(x + 1)(x − 1) = yq

Chein kết luận rằng ước chung lớn nhất của (x + 1) và (x − 1) là 2 Do đó

có các số nguyên tố cùng nhau a và b, với a lẻ thỏa mãn phương trình

(x + 1) = 2aq, x − 1 = 2q−1bq (1.4)hoặc các phương trình tương tự với x + 1 và x − 1 tráo đổi cho nhau Nếu

q > 3 thì (2.5) dẫn đến điều kiện

(ha)2 + b2 = (a2 − b)2

trong đó h2 = a − 2b và các phương trình thay thế thỏa mãn điều kiện tương

tự Đây là hai phương trình kiểu Pitago và do đó đã biết lời giải Từ đó suy

ra x và y không tồn tại với q > 3

Chi tiết về cách giải trên có thể xem trong cuốn chuyên khảo của PauloRibenboim Trong cuốn sách trình bày toàn diện lịch sử của giả thuyết Cata-lan cho đến năm 1994

1.2 Cassels và trường hợp 1

Từ mục này để thuận tiện chúng ta xét phương trình Catalan đưới dạng

xp− yq = 1(xy 6= 0, p, q là các số nguyên tố lẻ khác nhau.) (1.5)

Ta viết lại phương trình dưới dạng

Một tình huống tương tự xảy ra khi nghiên cứu phương trình Fermat

xp+ yp = zp, trong đó vế trái được phân tích thành tích của x + y và xx+yp+yp,

ở đây ước chung lớn nhất của các thừa số là 1 hoặc p Điều này dẫn đếntrường hợp 1 và trường hợp 2 của bài toán Fermat Trong lịch sử, trường hợp

1 "dễ dàng" hơn và nhiều người tin rằng cách tiếp cận này sẽ chứng minhhoàn thiện bài toán Tuy nhiên, trong chứng minh của Andrew Wiles không

sử dụng sự phân loại này

Đối với phương trình (1.5) ta có thể nói tương tự về các trường hợp 1 và

2 tùy theo giá trị của các ước chung lớn nhất ở trên Trong trường hợp 1,khi gcd bằng 1 chúng ta thu được các phương trình

trong đó a và b là các số nguyên tố cùng nhau và không chia hết cho p.Năm 1960, J.W.S Cassels đã chỉ ra rằng các phương trình này dẫn đếnmâu thuẫn Ông sử dụng các phương pháp sơ cấp và sự kết hợp đáng ngạcnhiên giữa tính chia hết và các bất đẳng thức Sau đó, S Hyyro có một chứngminh khác.

Điều này có nghĩa là chúng ta chỉ còn trường hợp 2 Đặc biệt, một tronghai sốx − 1 và (xp− 1)\(x − 1) chứa lũy thừa bậc nhất củap Nhưng số nàykhông thể là x − 1, vì trong trường hợp đó xp− 1 chỉ chia hết cho p2 Vì vậychúng ta có các phương trình

(x − 1) = pq−1aq,x

p− 1

x − 1 = pb

trong đóa và b là các số nguyên tố cùng nhau và p không chia hết b ( nhưng

p có thể chia hết a) Các phương trình tương tự suy ra tự việc phân tích

xpthành tích của y + 1 và (yp− 1)\(y + 1) Đặc biệt y chia hết cho p và x

chia hết cho q Định lý Cassell là một trong những kết quả tổng quát đầutiên về phương trình Catalan (1.5), nó là động lực quan trọng để nghiên cứuphương trình này

1.3 Bài toán có thể giải bằng máy tính?

Khoảng giữa thế kỷ trước, giả thuyết Catalan bắt đầu nhận được quantâm của những người làm việc trong giải tích Diophantine Trước tiên người

ta thấy rằng số nghiệm (x, y) của phương trình với số mũ p, q cố định là hữuhạn Đây là một hệ quả của định lý tổng quát về số điểm nguyên trên đườngcong được công bố năm 1929 của C.L Siegel Năm 1955, H Davenport vàK.F Roth công bố một kết quả về chặn trên của số đó (mặc dù rất lớn)[2](các kết quả khác về số nghiệm có thể tham khảo trong phần giới thiệu).Bước ngoặt trong hướng này là vào những năm 1970 Alan Baker thu đượccác ước lượng cơ bản đối với các dạng tuyến tính logarit Đặt

Λ = b1log r1 + + bnlog rn

trong đó bj là các số nguyên, rj là các số hữu tỷ dương Ta định nghĩa độ caocủa một số hữu tỷ r = st là log max(|s|, |t|) và đặt B = max(|b1|, , |bn|}.Giả sử Λ 6= 0, Baker chứng minh bất đẳng thức sau:

|Λ| > exp(−A log B),

trong đó A là số dương tính toán được ,phụ thuộc vào n và độ cao của

r1, , rn

Kết quả này, thực ra là một sự làm mịn của nó, đã được Robert Tijdeman

sử dụng để tìm chặn trên của nghiệm (x, y, p, q) (với x, y dương) của phươngtrình Catalan Chiến lược ở đây là tìm dạng tuyến tính Λ và phụ thuộc vàonghiệm một cách đặc biệt: một chặn trên cho |Λ| suy ra bởi (1.5) phải đủgần với chặn dưới của Baker

Robert Tijdeman chọn

Λ1 = q log q − p log p + pq log pa

pa0 = log

(x − 1)p(y + 1)q

Λ2 = q log q + p log p

q−1aq + 1

qqa0q = log y

q + 1(y + 1)q

trong đóa được xác định từ phương trình x − 1 = pp−1a0p và a0 xác định bởiphương trình tương tự y + 1 = qp−1a,p Do

(x − 1)p < xp = yq + 1 < (y + 1)q

suy ra Λ1, Λ2 khác không So sánh chặn dưới và chặn trên của |Λ1| dẫn đếnbất đẳng thức giữa p và q, tương tự với |Λ2| Các bất đẳng thức này là đủchặ để, khi khử q, ta có điều kiện sau

đã đem lại những ước lượng vừa phải hơn Kết quả lớn nhất cho chặn trêncủa max(p, q) là 8.1016

Lưu ý rằng việc giả thiết x, y dương ở trên không làm mất tính tổng quát,

vì (1.5) cũng có thể viết dưới dạng

Điều gì xảy ra khi ta thay bằng phương trình xp− yq = c, trong đó c > 1 là

số nguyên? Cố định pvà q, định lý Siefel suy ra số nghiệm (x, y) là hữu hạn

Tuy nhiên, khi các số mũ biến thiên tình hình trở lên phức tạp: Ta khôngbiết số nghiệm (x, y, p, q) có hữu hạn không?

Ta viết x − ζk = (x − 1) + (1 − ζk) và nhận thấy rằng x − 1 chia hết cho p

(xem (1.6)) Suy ra thương (x − ζk)(1 − ζk) ∈ Z[ζ] Tuy nhiên vành nàykhông phải là miền có phân tích duy nhất trong trường hợp tổng quát

Để khôi phục các tính chất phân tích tốt, chúng ta thay các số bằng cácidean mà chúng sinh ra Ta nhận thấy các idean chính< (x − ζk)(1 − ζk) >

là nguyên tố cùng nhau từng cặp Do đó mỗi một trong chúng là một lũythừa bậc q của một idean nào đó Đặc biệt

trong đó J là idean khác không của Z[ζ]

Tất cả điều này là tương tự như công trình kinh điển của Kummer trongphương trình Fermat và được K Inkeri [5] công bố năm 1990 Trong bài viếtcủa mình Inkeri giả thiết số lớp của Q(ζ) là nguyên tố với q Khi đó cùng

với Jq, idean J là idean chính, chẳng hạn J =< γ > và (1.8) suy ra phươngtrình

x − ζ

1 − ζ = eγ

q

(1.9)

trong đó e là đơn vị trong Z[ζ]

Vành này có vô hạn đơn vị, nhưng ta có thể khắc phục được điều này.Thật vậy, xét (1.9)cùng với số phức liên hợp của nó, do e và e¯là khác nhaumột nhân tử là căn của đơn vị Bằng cách này Inkeri thu được kết quả q2|x.Theo Cassels, ta có q|x Lý luận trực tiếp dựa vào quy tắc nâng lên của lũythừa: nếu aq ≡ bq( mod q) thì aq ≡ bq( mod q2)

Ta viết lại phương trình thứ nhất trong (1.6) dưới dạng

x = (pq−1 − 1)aq + aq + 1

Inkeri thu được kết quả q2 chia hết pq−1 − 1 Trong (1.7) vai trò của p và q

có thể hoán vị nhau, và do đó ta thu được cặp đồng dư thức mới

pq−1 ≡ 1( mod q2), qp−1 ≡ 1( mod p2) (1.10)với điều kiện số lớp của trường cyclotomic bậc p và bậc q phần có dángđiệu tốt Cặp các số nguyên tố lẻ p, q thỏa mãn các đồng dư thức này gọi

là một cặp Wieferich Tên này bắt nguồn trong lịch sử của bài toán Fermat:năm 1909, A Weiferich chỉ ra tính giải được của phương trình xp+ yp = zp

trong trường hợp thứ nhất: 2p−1 ≡ 1( mod p2) đòi hỏi 2p−1 ≡ 1(mod p2

Số nguyên tố p như trên gọi là số nguyên tố Weiferich, và rất ít gặp Thực

tế, người ta chỉ biết hai số nguyên tố Weiferich là1093 và 3511 Số tiếp theonếu tồn tại phải lớn hơn 1, 25.1015

Các cặp số Weiferich rất đặc biệt, cặp số đầu tiên được tìm thấy là

(83; 4871), và người ta cũng chỉ biết thêm 5 cặp số nữa.[8],[6]

Các điều kiện (1.10) cùng với bảng số lớp hiện có được sử dụng để loại

bỏ một lớp các số p và q trong các nghiệm có thể của phương trình Catalan.Phương pháp này tăng hiệu quả khi tìm cách thay đổi và nới lỏng hơn cácđiều kiện về số lớp

Năm 1999, có sự tiến bộ đáng kể theo hướng này khi Preda Mihăilescu [9]chứng minh rằng các đồng dư thức (1.10) nghiệm đúng mà không cần bất kìđiều kiện nào về số lớp

1.5 Linh hóa tử - Nhân tố chìa khóa

Linh hóa một phần tử của một nhóm là ánh xạ nó tới phần tử trung lập

e; linh hóa một nhóm là ánh xạ tất cả các phần tử tới e

Nếu θ linh hóa vành Z[ζ], phương trình (1.8) suy ra

trong đó e ∈ Z[ζ]× và γ ∈ Q(ζ) được xác định bởi Jθ =< γ >

Trong bài báo thứ nhất Mihăilescu[9] đã chọn một linh hóa cổ điển gọi làquan hệ Stickelberger Tính toán tương tự Inkeri ta thu được các đồng dưthức

Trong phần cuối chứng minh giả thuyết Mihăilescu [10] đã xét phươngtrình (1.11) dưới góc độ hoàn toàn mới, thay vì đẩy đơn vị e ra ngoài thìông chỉ tập trung vào đơn vị này hoặc cho cả nhóm các đơn vị Từ (1.11)ông phát hiện ra các thông tin cho nhóm này thông qua các linh hóa khácnhau và tìm được một tính chất bất ngờ của nhóm đó Băng cách chỉ ra tínhchất như thế là vô lý, ông đi đến kết luận mâu thuẫn trong chứng minh giảthuyết

1.6 Các linh hóa đặc biệt

Đối tượng được xét sau đây là trường cyclotomic thực K = Q(ζ) ∩R,

đây là mở rộng cấp m = (p − 1)/2 của trường số hữu tỷ,chẳng hạn sinh bởi

ρ = ζ + ζ−1 Vành số nguyên của nó là Z[ρ], nhóm các đơn vị của vành này

E = Z[ρ]× là nhóm Abel vô hạn sinh bởi −1, và bởi m − 1 đơn vị khôngxoắn, các đơn vị cơ bản của K Trong trường hợp tổng quát rất khó tìmđược chúng nhưng ta có thể thay thế chúng bằng cách xét các đơn vị

sin(lπ/p)Sin(π/p) =

Kummer đã phát hiện ra một sự liên hệ giữa nhóm các đơn vị đó và lớp

H(K) của K Đó là chỉ số [E : C] bằng số lớp hk = |H(K)| Kết quả này

đã được mở rộng và làm sâu sắc theo nhiều cách Bước cuối cùng trong sựphát triển này là định lý Thaine liên hệ các linh hóa của các đơn vị với cácidean đó Trước khi đi vào chi tiết chúng ta sẽ giới thiệu các linh hóa mộtcách chính xác hơn

Cho trường K là một mở rộng Galoa của Q, nó là nhóm G chứa các tựđẳng cấu τ1, τ2, , τm xác định bởi (ζ + ζ−1)τC = ζC + ζ−C Ta đưa vào mộttập lớn hơn các ánh xạ, nhóm vành

tác động Galoa của G trong trường K ta thu được cấu trúc modun Z[G]

trên K× nhóm nhân của K bởi công thức

γn1τ1 + +n m τ m = (γn1)τ1 (γnn)τm, ∀γ ∈ K×

Đặc biệt, các nhóm E và C trở thành các modun con của K× Vành Z[G]

luôn tác động lên nhóm các idean của K trên nhóm lớp H(K) Do đó H(K)

là một Z[G]- modun Miền xác định của các linh hóa là Z[G]

Cho một nhóm Abel A, kí hiệu [A]q, với q là số nguyên tố, là một nhómcon của A, đó là nhóm con gồm các phần tử có cấp là lũy thừa bậc q Nếu

A là Z[G]- modun thì [A]q là một modun con

Định lý Thaine cho trường K và số nguyên tố q lẻ được phát biểu nhưsau: Nếu bậc m = [K;Q] là số nguyên tố cùng nhau với q thì mọi linh hóa

tử θ ∈Z[G] của nhóm [E/C]q luôn linh hóa nhóm [H(K)]q

1.7 Phác thảo chứng minh giả thuyết Catalan

Trong mục này chúng ta sẽ phác thảo chứng minh của Mihăilescu

Cho (x, y) là một nghiệm của phương trình Catalan (1.5) Như đã nêutrong (1.8) idean nguyên tố Z[ζ] sinh bởi (x − ζ)/(1 − ζ) là lũy thừa bậc q

của một idean khác không Điều này cũng đúng cho các idean liên hợp phức

và tích của hai idean Ta có



(x − ζ)(x − ζ−1)(1 − ζ)(1 − ζ−1)



= (J ¯J )q

là phương trình giữa các idean thực Đặc biệt lớp idean của J ¯J có cấpq hoặc

1 trong nhóm H(K) và như vậy thuộc nhóm q - nguyên tố [H(K)]q

Cho θ ∈ Z[G] triệt tiêu nhóm thương E/C nên Eθ ⊆ C Từ định lýThaine suy ra θ triệt tiêu nhóm [H(K)]q Theo mục 6 ta có



(x − ζ)(x − ζ−1)(1 − ζ)(1 − ζ−1)

θ

trong đó e ∈ E và γ ∈ K× Do γ chưa biết nên ta chỉ cần xét e và các đơn

vị liên quan tới một thừa số là lũy thừa bậc q trong K×

Do e ∈ C và đơn vị e trong (1.14) được giả thiết trong C Bước này cầnmột tính chất tinh vi của các linh hóa sẽ được trình bày trong mục 10.Đối với θ có một cách chọn đơn giản nhưng quan trọng là ánh xạ dạng

CτC, hoặc một bội số nguyên của nó Thật vậy, dạng chuẩn của đơn

vị tùy ý là ±1, với mỗi r ∈ Z phù hợp, phần tử ((1 + ζ)/(1 − ζ−1))θ−rN làđơn vị cyclotomic và (1.14) có dạng

((x − ζ)(x − ζ−1)θ−rN ∈ η(K×)q, η ∈ C (1.15)

Do x ≡ 0( mod q2) và từ (1.12) ta tìm được η ≡ 1( mod q2) (η là lũythừa bậc q) Các đơn vị cyclotomic thỏa mãn các điều kiện này gọi là các q-nguyên thủy Chúng tạo thành một nhóm con của C, được ký hiệu là Cq.Cho θ0 ∈ Z[G] là linh hóa tử của Cq, theo (1.15) ta có

((x − ζ)(x − ζ−1))θθ0−rN ∈ (K×)q (1.16)

Từ liên hệ này Mihăilescu suy ra θθ0 − rN chi hết cho q Ta đặt

eθθ0 = erN +qω = erN = 1 (1.17)

Nhắc lại rằng eθ ∈ C, điều này cho thấy θ0 trên thực tế là linh hóa C hơn lànhóm con Cq, do đó Cq bằng C Lập luận này được thực hiện một cách chặtchẽ Do đó tất cả các đơn vị cyclotomic là q - nguyên thủy.

Dễ thấy điều này không thể xảy ra Do đó ta có điều phải chứng minh

1.8 Định lý của Mihăilescu

Kết quả quan trọng của Mihăilescu, (1.16) suy ra (1.17), có phát biểuchính xác như sau Chúng ta nhắc lại x và y là nghiệm của phương trìnhCatalan xp− yq = 1

m

P

C=1

nC ≡ 0( mod q) thìnC chia hết choq sao cho θ = qω với ω ∈ Z[G]

Điều quan trọng trong chứng minh là sự kiện |x| lớn Năm 1964 Hyyro[2] chứng minh ước lượng |x| > qp Tuy kết quả này không khả dụng, nhưngnhững ước lượng khác yếu hơn đã được rút ra trong [10], [1]

Chúng ta sẽ trình bày các ý chính trong chứng minh của định lý

Để đơn giản ký hiệu, ta thác triển các tự đẳng cấu τc lên toàn miềncyclotomic Q(ζ) Nhóm Galois Go của Q(ζ) lập nên từ các tự đẳng cấu

Thêm vào ψ một phần tử thích hợp có dạng qψ1, chúng ta giả sử các hệ số

bk nằm trong khoảng 0, , q − 1 Ta phải chỉ ra mỗi hệ số bk bị triệt tiêu.Theo giả thiết của định lý

p−1

P

k=1

bk = tq với t ∈ {1, , p − 1} (không xéttrường hợp tầm thường t = 0), do x được cố định bởi σk, ta có (1 − xζ)ψ =

b k σ k

=



1 + ζx

 

−ζx

là một số nguyên của trường Q(ζ), tức alf thuộc Z[ζ] Ta có thể ước lượng

|β| bằng các số hạng còn lại của chuỗi Taylor chuẩn tắc Áp dụng chặn dướicủa Hyyro|x| > qp thu được kết quả |β| < 1 Điều kiện cần thiết làtbị chặn

t ≤ m, điều này thực hiện được bằng cách thay P

Kết hợp với β = 0 ta thu được đồng dư thức Pkbkζk ≡ 0( mod q) Suy ra

bk triệt tiêu với mọi k Định lý được chứng minh

1.9 Xét lại các linh hóa tử

Trong chứng minh ở mục 8 yêu cầu phải nghiên cứu sâu sắc cáclinh hóa

tử, điều này mạng lại những khía cạnh đại số của chứng minh