Phương trình nghiệm nguyên và giả thuyết catalan

Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ ĐẠI HỌC THÁI NGUN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC LƯƠNG THỊ HẰNG PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUN VÀ GIẢ THIẾT CATALAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thái Ngun - 2013 Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ ĐẠI HỌC THÁI NGUN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC LƯƠNG THỊ HẰNG PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUN VÀ GIẢ THIẾT CATALAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành : PHƯƠNG PHÁP TỐN SƠ CẤP Mã số : 60 46 36 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS TSKH HÀ HUY KHỐI THÁI NGUN - 2013 Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Mục lục 0.1 Tóm tắt GIẢ THUYẾT CATALAN: THÊM MỘT PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANTINE ĐƯỢC GIẢI 1.1 Lịch sử nghiên cứu 1.2 Cassels trường hợp 1.3 Bài tốn giải máy tính? 1.4 Cặp Wieferich 1.5 Linh hóa tử - Nhân tố chìa khóa 1.6 Các linh hóa đặc biệt 1.7 Phác thảo chứng minh giả thuyết Catalan 1.8 Định lý Mihăilescu 1.9 Xét lại linh hóa tử 1.10 Mâu thuẫn 1.11 Kết luận 5 10 12 12 14 15 16 17 18 LŨY THỪA HỒN THIỆN - CÁC CƠNG TRÌNH CỦA PILLAI VÀ NHỮNG PHÁT TRIỂN CỦA NĨ 2.1 Những đóng góp Pillai cho tốn Diophantine 2.1.1 Các kết Pillai vấn đề Diophantine 2.1.2 Giả thuyết Pillai dãy lũy thừa hồn thiện 2.2 Giả thuyết Pillai tốn mở 2.2.1 Phương trình Catalan 2.2.2 Phương trình Fermat mở rộng 2.3 Sự làm mịn định lượng giả thuyết Pillai 2.3.1 Giả thuyết abc 20 20 21 22 23 24 24 28 29 Kết luận 31 Tài liệu tham khảo 32 Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ MỞ ĐẦU 0.1 Tóm tắt Giả thuyết Catalan lý thuyết số tốn dễ phát biểu, lại khó giải Giả thuyết dự đốn có cặp số liên tiếp mà hai số lũy thừa số tự nhiên Nói cách khác, phương trình Diophantine xu − y v = (x > 0, y > 0, u > 1, v > 1) (1) khơng có nghiệm khác ngồi xu = 32 , y v = 23 Giả thuyết cơng bố tạp trí Journal fur die Reine und Angewandte Mathematik nhà tốn học Bỉ Eugène Catalan (1814-1894) Bài báo xuất năm 1944 ([1]) Trong thời gian Catalan giảng dạy trường đại học Bách khoa Paris ơng tiếng với việc giải tốn tổ hợp Thuật ngữ số Catalan sử dụng ngày nhắc đến cơng trình Đối với phương trình (1) Catalan viết Cho đến khơng thể chứng minh đầy đủ Ơng chưa bào cơng bố kết riêng quan trọng vấn đề Giả thuyết trở thành thách thức tốn học sớm thu số kết trường hợp riêng quan trọng, nhiên suốt 100 năm tất các kết thu nhiều mang đặc tính lập Tiếp vào cuối năm 1950 đồng thời xuất số ý tưởng đáng kể Sau đến năm 1970, việc nghiên cứu kích thích kết đưa tốn tới việc tính tốn hữu hạn Tuy nhiên, khối lượng tính tốn q lớn để có tính khả thi Từ đó, hướng việc nghiên cứu nỗ lực để giảm bới khối lượng tính tốn Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Đó tình hình năm 2002, nhà tốn học Preda Mihăilescu, người chưa biết đến lĩnh vực chứng minh hồn Chỉnh Giả thuyết Điều ngạc nhiên chứng minh, ơng sử dụng tính tốn, mà thay vào ơng sử dụng lý thuyết sâu sắc, đặc biệt lý thuyết trường cyclotomic Preda Mihăilescu sinh năm 1955 Rumani, ơng học tốn ETH Zurich Ơng làm việc ngành cơng nghệ máy tính tài chính, ơng nghiên cứu tốn đại học Paderborn - Đức Luận văn nhằm trình bày số điểm mốc quan trọng lịch sử tốn Catalan mơ tả sơ lược lời giải tuyệt vời Mihăilescu Dù cố gắng, chắn nội dung trình bày luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót định, em mong nhận góp ý thầy giáo bạn Em xin chân thành cảm ơn! Thái Ngun, ngày 20 tháng năm 2013 Người thực Lương Thị Hằng Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Chương GIẢ THUYẾT CATALAN: THÊM MỘT PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANTINE ĐƯỢC GIẢI 1.1 Lịch sử nghiên cứu Khoảng 100 năm trước Catalan gửi thư cho Crelle, Euler chứng minh số lũy thừa bậc hai bậc ba, có số ngun liên tiếp, tức cặp số (8,9) nghiệm phương trình x3 − y = ±1 (x > 0, y > 0) (1.1) Chứng minh Euler tài tình, có nhiều chỗ dài dòng Ngồi nhiều kỹ thuật khác, chứng minh dùng phương pháp lùi vơ hạn Fermat Để tìm hiểu phương trình (1) ta xem trường hợp đặc biệt (1.1) giải sử dụng lý thuyết số đại số Giả sử (x, y) nghiệm, trước hết ta xét phương trình x3 − y = −1 Ta viết phương trình vành số ngun Gauss Z[i] x3 = (y + i)(y − i) (1.2) Do Z[i] vành nhân tử nên ta xét ước chung lớn phần tử Gọi d ước chung lớn y + i y − i (sai khác nhân tử đơn vị) Từ phương trình y + i = dλ, y − i = dµ ta có d|2 Từ (1.2) suy d chia hết x x phải số lẻ Từ y ≡ 1( mod 4) Suy d đơn vị Do d = ±1; ±i Ta có y +i = d(a+bi)3 , a, b ∈ Z Tuy nhiên d lũy thừa bậc ba Z[i] nên bỏ qua Từ phần thực phần ảo phương trình y+i = (a+bi)3 Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ ta tìm y = (x = 1) Điều mâu thuẫn Do phương trình khơng có nghiệm Đối với phương trình x3 − y = 1, ta viết phương trình dạng x3 = (y + 1)(y − 1) Ước chung lớn (y + 1) (y − 1) Trong trường hợp thứ nhất, ta thấy hiệu hai lũy thừa bậc ba, điều khơng thể xảy Trong trường hợp thứ hai, dẫn đến phương trình a3 − 2b3 = ±1 √ Do a − bα với α = đơn vị Z[α], vành số ngun trường số thực Q(α) Các đơn vị vành lũy thừa đơn vị + α + α2 Từ đó, ta tìm |a − bα| lũy thừa bậc nên α = ±1, b = Do phương trình ban đầu có nghiệm x = 2, y = Để chứng minh giả thuyết Catalan ta xét phương trình xp − y q = (x > 0, y > 0) (1.3) với p, q số ngun tố khác Năm 1850, V.A Lebesgue (khơng phải người tên tiếng với tích phân Lebesgue!) giải trường hợp q = Sử dụng đại số số ngun Gauss, ta viết phương trình dạng tương tự phương trình (1.2) Ước chung lớn y + i y − i đơn vị Do ta có hai phương trình y + i = is (a + bi)p , y − i = (−i)s (a − bi)p s ∈ {0, 1, 2, 3} Từ khử y phương trình dẫn đến mâu thuẫn, phương trình xp − y = khơng có nghiệm Đối với trường hợp p = phương trình (2.4), năm 1961 có kết chứng minh phương trình x2 − y q = có nghiệm x > 103.10 Cái tin nhà tốn học Chaoko người Trung Quốc chứng minh phương trình khơng giải khơng cộng đồng tốn học biết đến Chứng minh biết đến năm 1964, cơng bố tạp chí Scientia Sinica [7] Năm 1976, E.Z Chein cơng bố chứng minh khéo léo dựa kết T.Nagell nói nghiệm (x, y) phải thỏa mãn 2|y q|x Xét phương trình có dạng (x + 1)(x − 1) = y q Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Chein kết luận ước chung lớn (x + 1) (x − 1) Do có số ngun tố a b, với a lẻ thỏa mãn phương trình (x + 1) = 2aq , x − = 2q−1 bq (1.4) phương trình tương tự với x + x − tráo đổi cho Nếu q > (2.5) dẫn đến điều kiện (ha)2 + b2 = (a2 − b)2 h2 = a − 2b phương trình thay thỏa mãn điều kiện tương tự Đây hai phương trình kiểu Pitago biết lời giải Từ suy x y khơng tồn với q > Chi tiết cách giải xem chun khảo Paulo Ribenboim Trong sách trình bày tồn diện lịch sử giả thuyết Catalan năm 1994 1.2 Cassels trường hợp Từ mục để thuận tiện xét phương trình Catalan đưới dạng xp − y q = 1(xy = 0, p, q số ngun tố lẻ khác nhau.) (1.5) Ta viết lại phương trình dạng xp − (x − 1) = yq x−1 Sử dụng đồng thức xp = ((x − 1) + 1)p ta dễ thấy ước chung lớn p −1 (x − 1) xx−1 p Một tình tương tự xảy nghiên cứu phương trình Fermat p +y p p x + y p = z p , vế trái phân tích thành tích x + y xx+y , ước chung lớn thừa số p Điều dẫn đến trường hợp trường hợp tốn Fermat Trong lịch sử, trường hợp "dễ dàng" nhiều người tin cách tiếp cận chứng minh hồn thiện tốn Tuy nhiên, chứng minh Andrew Wiles khơng sử dụng phân loại Đối với phương trình (1.5) ta nói tương tự trường hợp tùy theo giá trị ước chung lớn Trong trường hợp 1, gcd thu phương trình xp − x − = aq , = bq , y = ab x−1 Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ a b số ngun tố khơng chia hết cho p Năm 1960, J.W.S Cassels phương trình dẫn đến mâu thuẫn Ơng sử dụng phương pháp sơ cấp kết hợp đáng ngạc nhiên tính chia hết bất đẳng thức Sau đó, S Hyyro có chứng minh khác Điều có nghĩa trường hợp Đặc biệt, hai số x − (xp − 1)\(x − 1) chứa lũy thừa bậc p Nhưng số khơng thể x − 1, trường hợp xp − chia hết cho p2 Vì có phương trình (x − 1) = p xp − a, = pbq , y = pab x−1 q−1 q (1.6) a b số ngun tố p khơng chia hết b ( p chia hết a) Các phương trình tương tự suy tự việc phân tích xp thành tích y + (y p − 1)\(y + 1) Đặc biệt y chia hết cho p x chia hết cho q Định lý Cassell kết tổng qt phương trình Catalan (1.5), động lực quan trọng để nghiên cứu phương trình 1.3 Bài tốn giải máy tính? Khoảng kỷ trước, giả thuyết Catalan bắt đầu nhận quan tâm người làm việc giải tích Diophantine Trước tiên người ta thấy số nghiệm (x, y) phương trình với số mũ p, q cố định hữu hạn Đây hệ định lý tổng qt số điểm ngun đường cong cơng bố năm 1929 C.L Siegel Năm 1955, H Davenport K.F Roth cơng bố kết chặn số (mặc dù lớn) [2](các kết khác số nghiệm tham khảo phần giới thiệu) Bước ngoặt hướng vào năm 1970 Alan Baker thu ước lượng dạng tuyến tính logarit Đặt Λ = b1 log r1 + + bn log rn bj số ngun, rj số hữu tỷ dương Ta định nghĩa độ cao số hữu tỷ r = st log max(|s|, |t|) đặt B = max(|b1 |, , |bn |} Giả sử Λ = 0, Baker chứng minh bất đẳng thức sau: |Λ| > exp(−A log B), Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ A số dương tính tốn ,phụ thuộc vào n độ cao r1 , , rn Kết này, thực làm mịn nó, Robert Tijdeman sử dụng để tìm chặn nghiệm (x, y, p, q) (với x, y dương) phương trình Catalan Chiến lược tìm dạng tuyến tính Λ phụ thuộc vào nghiệm cách đặc biệt: chặn cho |Λ| suy (1.5) phải đủ gần với chặn Baker Robert Tijdeman chọn pa (x − 1)p = log pa (y + 1)q q−1 q q p log p a + y +1 Λ2 = q log q + = log qq a q (y + 1)q Λ1 = q log q − p log p + pq log a xác định từ phương trình x − = pp−1 a p a xác định phương trình tương tự y + = q p−1 a,p Do (x − 1)p < xp = y q + < (y + 1)q suy Λ1 , Λ2 khác khơng So sánh chặn chặn |Λ1 | dẫn đến bất đẳng thức p q , tương tự với |Λ2 | Các bất đẳng thức đủ chặ để, khử q , ta có điều kiện sau p < c1 (log p)c2 c1 , c2 số Điều u cầu q < p, trường hợp q > p ta có điều kiện tương tự cho q Từ suy số mũ p, q bị chặn chặn khơng phụ thuộc vào x y Do tính chất tốn hồn tồn thay đổi: có hữu hạn nghiệm (x, y, p, q)., tính tốn cận ẩn Thật số c1 , c2 tính Những kết tính tốn chi tiết chặn p q vơ lớn, cải tiến đem lại ước lượng vừa phải Kết lớn cho chặn max(p, q) 8.1016 Lưu ý việc giả thiết x, y dương khơng làm tính tổng qt, (1.5) viết dạng (−y)q − (−x)p = (1.7) Điều xảy ta thay phương trình xp − y q = c, c > số ngun? Cố định p q , định lý Siefel suy số nghiệm (x, y) hữu hạn Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Một câu hỏi dặt liệu phương trình (1.19) giải trường hàm hay khơng? Do kết M.B Nathason thấy vấn đề khơng thật hấp dẫn 19 Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Chương LŨY THỪA HỒN THIỆN - CÁC CƠNG TRÌNH CỦA PILLAI VÀ NHỮNG PHÁT TRIỂN CỦA NĨ Tóm tắt Một lũy thừa hồn thiện số ngun dương có dạng ax , a ≥ x ≥ số ngun Subbayya Sivasankaranarayana Pillai viết số báo số Năm 1936 1945 ơng dự đốn "Cho số k ≥ số tùy ý, số nghiệm ngun dương a, b, x, y với x ≥ 2, y ≥ phương trình Diophantine ax − by = k hữu hạn".Ơng đưa giả thuyết nói "Khoảng cánh hai số hạng liên tiếp dãy lũy thừa hồn hảo tiến tới vơ cùng" Sau đây, chúng tơi giới thiệu cơng trình Pillai tốn Diophantine, số phát triển sau tốn mở có liên quan 2.1 Những đóng góp Pillai cho tốn Diophantine Phần lớn cơng việc Pillai dành cho tốn Diophantine Năm 1930, ơng bắt đầu quan tâm đến vấn đề Diophantine Tiếp đó, năm 1940 ơng nghiên cứu phương trình Diophantine tuyến tính Ơng nghiên cứu số vơ tỷ Bài báo viết vấn đề xấp xỉ Diophantine, vấn đề Hary Littlewood nghiên cứu phân số liên tục phương pháp siêu việt, đóng góp Pillai sử dụng lập luận sơ cấp 20 Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Sau đây, chúng tơi chủ yếu đề cập đến vấn đề liên quan đến lũy thừa hồn thiện 2.1.1 Các kết Pillai vấn đề Diophantine Năm 1931, S.S.Pillai chứng minh rằng: Với số ngun dương cố định a b lớn 2, số nghiệm (x, y) bất đẳng thức Diophantine < ax − by ≤ c tiệm cận tới (log c)2 2(log a)(log b) (2.1) c → ∞ Trong năm 1932 Pillai chứng minh a → ∞ số N (a) cặp (x, y) với x, y ngun dương lớn với < xy − y x ≤ a thỏa mãn (log a)2 N (a) ∼ (log(log a))2 Ơng suy rằng, với ε > với số a đủ lớn so với ε, số nghiệm phương trình xy − y x = a nhỏ (1 + ε log a log(log a) Cơng việc bắt đầu vào năm 1930 S.S.Pillai A Herschfeld tiếp tực nhiên cứu Ơng c số ngun với |c| đủ lớn phương trình 2x − 3y = c (2.2) có nhiều nghiệm (x, y) với x, y số ngun dương Khi |c| nhỏ điều khơng A Herschfeld dùng phương pháp sơ cấp ba số (x, y, c) với x, y dương cho 2x − 3y = c với |c| ≤ 10 (2, 1, 1), (1, 1, −1), (3, 2, −1), (3, 1, 5), (5, 3, 5), (2, 2, −5), (4, 2, 7), (1, 2, −7) Do x > y > |2x − 3y | > 10 Tương tự A Herschfeld x > 8, y > |2x − 3y | > 100 S.S.Pillai mở rộng kết Herschfeld trong(2.2) cho số mũ tổng qt phương trình Diophantine ax − b y = c (2.3) 21 Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ a, b c số ngun cố định, gcd(c, d) = a > b ≥ Ơng tồn số c0 (a, b) cho |c| > c0 (a, b) để phương trình có nhiều nghiệm Cơng trình Pillai phụ thuộc vào làm mạnh bất đẳng thức Thue Siegel xấp xỉ hữu tỷ số đại số Trong chứng minh khơng đưa giá trị cụ thể cho c0 (a, b) Kết hợp kết với ước lượng (2.1), S.S.Pillai suy số số ngun khoảng [1; n] biểu diễn dạng ax − by tiệm cận với (log n)2 2(log a)(log b) n → ∞ Trong trường hợp đặc biệt phương trình Herschfeld (2.2) với (a, b) = (3, 2), S.S.Pillai dự dốn c0 (3, 2) = 13 Dự đốn giải R J Stroeker and R Tijdeman năm 1982 S.S.Pillai chứng minh số số có dạng 2a 3b bị chặn số x xấp xỉ (log(2x)(log(3x)) 2(log 2)(log 3) Ơng tiếp tục nghiên cứu báo chung với A George Từ kết Pillai suy số ngun dương a b, phương trình ax − by = az − bw có hữu hạn nghiệm x, y, z, w Ơng dự định chứng minh kết tương tự cho ax − by = bz aw Tuy nhiên, A Brauer kết với gcd(a, b) = Mặc dù vậy, S.S.Pillai xét trường hợp gcd(a, b) > Điều thể ví dụ sau: 3k+1 − 3k = 3k + 3k 2αk+2 − (2α )k + 2αk+1 a = b = a = 2, b = 2α Trong báo mình, Pillai giải hồn chỉnh phương trình Diophantine sau: 2x − 3y = 3Y − 2X , 2x − 3y = 2X + 3Y , 3y − 2x = 2X + 3Y Số nghiệm (x, y, X, Y ) 6, 2.1.2 Giả thuyết Pillai dãy lũy thừa hồn thiện S.S.Pillai nêu số đốn dãy lũy thừa hồn thiện Năm 1945, ơng viết 22 Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Nhân dịp này, tơi xin đưa đốn, phát biểu hội nghị Hội tốn học Ấn Độ tổ chức Aligarh Sắp xếp tất lũy thừa số ngun (bình phương, bậc ba, ) sau 1, 4, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 81, 100, 121, Nếu gọi an số hạng thứ n dãy số, a1 = 1, a2 = 4, a3 = 8, , lim inf(an − an−1 ) = ∞” n→∞ Giả thuyết 1.6(Giả thuyết Pillai): Cho k ≥ số ngun tùy ý, phương trình Diophantine ax − by = k có hữu hạn nghiệm ngun dương (a, b, x, y) với x ≥ 2, y ≥ Từ ước lượng tiệm cận 1/3 n − a1/2 n ∼ an n → ∞ an = n2 − (2 + o(1))n3/2 n → ∞ suy lim sup(an − an−1)=∞ n→∞ Trong phần đầu dãy (an )n≥1 , giá trị nhỏ cho an − an−1 (8,9), (25,27), (125,128), (4,8), (32,36), (121,125), (4,9), (27,32) Trong báo viết năm 1737, Euler xem cơng thức sau =1 a − n n≥2 Goldbach Ta có cơng thức ∞ k=1 2.2 π2 = − = 0, 789868133696452 ak + Giả thuyết Pillai tốn mở Có giá trị k giả thuyết Pillai giải, k = 1: "Chỉ có hữu hạn cặp số ngun liên tiếp lũy thừa hồn thiện" Phát biểu Tijdeman chứng minh năm 1976 Mặt khác, ta biết phương trình Pillai (1.2) có hữu hạn nghiệm bốn biến x, y, m, n cố định 23 Số hóa Trung tâm Học liệu 2.2.1 http://lrc.tnu.edu.vn/ Phương trình Catalan Xét trường hợp k = 1, giả thuyết mạnh giả thuyết Pillai 1.6 đề xuất E.Catalan năm 1944 Catalan cho có cặp số ngun liên tiếp lũy thừa hồn thiện (8, 9): "Phương trình an+1 − an = có nghiệm, n = 3" 2.2.2 Phương trình Fermat mở rộng Một số lớp phương trình Diophantine mũ có dạng Axp + By q = Cz r (2.4) A, B, C số ngun dương cố định, ẩn x, y, z, p, q số ngun khơng âm Trong số tài liệu, số ngun x, y, z, p, q, r giả thiết cố định bao gồm số ngun tố cố định Phương trình Beal Trong trường hợp A = B = C = phương trình với sáu ẩn gọi phương trình Beal xp + y q = z r (2.5) Thêm điều kiện 1 + + tùy ý, với số ngun a, b, m, n với số x đủ lớn (phụ thuộc vào δ, a, b, m, n) ta có ước lượng sau |amx − bny | ≥ m(1−δ)x Đặc biệt, a = b = 1, m = 2, n = 3, G.H Hardy cho |2x − 3y | > 2x e−x/10 với x ≥ 12, x = 13, 14, 16, 19, 27 với y Trong chương 12 "Phương trình Catalan phương trình liên quan" dành cho phương trình dạng (2.7) Trong cơng trình Polya , S.S Pillai T Nagell phương trình (2.7) có hữu hạn nghiệm (u, v) Họ áp dụng giả thuyết abc chứng minh phương trình ax1 − ax2 = by1 − by2 có hữu hạn nghiệm ngn dương (a, b, x1 , x2 , y1 , y2 ) Năm 1986, J.Turk đưa ước lượng hữu hiệu cho chặn n |x − y m |, B Brindza, J.-H Evertse and K Gyrory chứng minh năm 1991 Y Bugeaud tiếp tục hiệu chỉnh : Cho x số ngun dương y, m, n số ngun ≥ 2, giả sử xn = y m |xn − y m | ≥ m2/(5n) n−5 2−6−42/n Một câu hỏi liên quan, ước lượng số lớn lũy thừa hồn thiện khoảng tương đối nhỏ Chẳng hạn, khoảng [121, 128] chứa ba lũy thừa hồn thiện 121 = 112 , 125 = 53 , 128 = 27 J.H.Loxton cải tiến ước lượng của Turk, ơng nghiên cứu lũy thừa hồn thiện số ngun khoảng [N, N + N 1/2 ] Một điểm thú vị chứng minh Loxton sử dụng chặn cho đồng thời tổ hợp tuyến tính logarit Một lỗ hổng báo Loxton điều chỉnh theo hai cách khác D Bernstein C.L Stewart Stewart 25 Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ đốn có vơ hạn số ngun N cho khoảng [N, N + N 1/2 ] chứa ba số ngun có số bình phương, bậc ba, bậc bốn Hơn ơng đốn với số N đủ lớn, khoảng [N, N + N 1/2 ] khơng chứa bốn lũy thừa riêng biệt chứa ba lũy thừa riêng biệt bình phương, bậc bậc Cho a, b, k, x, y số ngun dương với x > y > 1, chặn cho số nghiệm ngun (m, n) phương trình axm − by n = k với m > 1, n > thiết lập W.J LeVeque (1952), T.N Shorey (1986), Z.F Cao (1990) Le Mao Hua (1992) Năm 1993, R.Scott xét phương trình px − by = c, p số ngun tố, b > c số ngun dương Trong số trường hợp ơng có nhiều nghiệm Năm 2001, M.Bennet nghiên cứu phương trình (2.3) với a ≥ 2, b ≥ c số ngun khác nhau, x ≥ y ≥ ẩn Cải tiến kết Le Mao Hua , M.Bennett phương trình (2.3) có nhiều hai nghiệm Năm 2003, M.Bennettđã chứng minh N c số ngun dương với N ≥ phương trình Diophantine |(N + 1)x − N y | = c có nhiều nghiệm ngun dương x y , trừ (N, c) ∈ {(2, 1), (2, 5), (2, 7), (2, 13), (2, 23), (3, 13)} Mọi nghiệm ngun dương x, y phương trình đưa trường hợp ngoại lệ Chứng minh kết hợp hai phần: Một mặt Bennett sử dụng cơng trình cũ khoảng cách tới số ngun gần nhất, kí hiệu || · || Năm 1993, ơng làm mạnh kết trước F.Beukers (1981) D.Easton (1986) việc chứng minh ||((N + 1)/N )k || > 3−k với N k số ngun thỏa mãn ≤ N ≤ k.3k Hơn nữa, N.Bennett thiết lập kết hữu hiệu ||(3/2)k ||, ước lượng yếu ước lượng khơng hữu hiệu Mahler W.Zudilin chứng minh ||(3/2)k || > ck = 0, 5803k , vớik ≥ K, K số tuyệt đối hữu hiệu Điều cải thiện ước lượng L.Habsieger đưa với c = 0, 5770 26 Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Năm 2004, R.Scott R.Styer xét phương trình px − q y = c (2.8) p, q c cố định, p, q số ngun tố phân biệt, c số ngun dương, x, y ẩn ngun dương Sử dụng tiêu chuẩn làm mạnh độc lập tuyến tính logarit số đại số, họ q = 1( mod 12) (2.8) có nhiều nghiệm, ngoại trừ trường hợp (p, q, c) = {(3, 2, 1), (2, 3, 5), (2, 3, 13), (2, 5, 3), (13, 3, 10)} q ordp q ≡ 1( mod p2 ), ordp q lẻ ordp q > Hơn nữa, tác giả giải vấn đề H.Edgar đặt ra, phương trình (2.8) với c = 2h có nhiều nghiệm ngun dương (x, y) ngoại trừ x = 3, q = 2, k = Năm 2006, tác giả nghiên cứu phương trình (−1)u ax + (−1)v by = c, a, b, c số ngun cố định, a, b ≥ Họ phương trình có nhiều hai nghiệm ngun (x, y, u, v) với (u, v) ∈ {0; 1} với số trường hợp ngoại lệ định Năm 1982, J.Silverman nghiên cứu phương trình Pillai axm + by n = c trường hàm đa tạp xạ ảnh Năm 1987 , J.Silverman đưa ước lượng cho số điểm ngun đường cong Catalan xoắn y m = xn + a (m ≥ 2, n ≥ 2, a ∈ Z), hệ quả, i ơng thu kết giả thuyết Lang liên quan đến số điểm ngun hạng nhóm Mordell - Weil đường cong eliptic Phương trình Fermat - Catalan Phương trình Fermat - Catalan lớp khác phương trình dạng (2.4), mũ p, q r nhau: axn + by n = cz n a, b, c n số ngun dương cố định, n ≥ 2, ẩn x, y, z số ngun dương A.Wiles chứng minh Định lý cuối Fermat (a = b = c = 1, n ≥ khơng có nghiệm) Một số báo mở rộng phương pháp ơng như: A Wiles, H Darmon, L Merel, A Kraus, A Granville, D Goldfeld số người khác 27 Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Phương trình Nagell–Ljunggren Phương trình xn − = yq , x−1 với ẩn x > 1, y > 1, n > 2, q ≥ nghiên cứu T Nagell(1920 W Ljunggren (1943) Các nghiệm biết 35 − 74 − 183 − = 112 , = 202 , = 73 3−1 7−1 3−1 Phương trình Goormaghtigh Các phương trình có dạng xm − yn − a =b x−1 y−1 với a, b cố định, x, y, m, n ẩn nhiều người nghiên cứu Một ứng dụng, vấn đề Goormaghtigh đưa ra: nghiệm (m, n, x, y) xm−1 + xm−2 + + x + = y n−1 + y n−2 + + y + số ngun m > n > 2, y > x > (5, 3, 2, 5), (13, 3, 2, 90) 2.3 Sự làm mịn định lượng giả thuyết Pillai Giả thuyết 3.1 Cho ε > tùy ý, tồn số κ(ε) > thỏa mãn với số (a, b, x, y), x ≥ 2, y ≥ ax = ay |ax − by | ≥ κ(ε) max{ax , by }1−(1/x)−(1/y)−ε Trường hợp đặc biệt giả thuyết 3.1 x = 3, y = Giả thuyết quy mệnh đề: Với > 0, có hữu hạn nghiệm (a, b) thuộc Z>0 × Z>0 cho < |a3 − b2 | ≤ max{a3 , b2 }(1/6)− M.Hall đề xuất mệnh đề mạnh hơn, ơng loại bỏ Giả thuyết 3.2(Giả thuyết Hall): Tồn số C > cho với cặp (x, y) tùy ý số ngun thỏa mãn x3 = y , ta có: |x3 − y | > C max{x3 , y }1/6 28 Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ N.Elkies đưa đánh giá : giá trị C giả thuyết 3.2 khơng thể lớn 5−5/2 54 = 0, 96598 Ngày nay, người tin có dạng yếu giả thuyết với số mũ 1/6 thay (1/6) − (và số C phụ thuộc ) Giả thuyết 3.3(Giả thuyết Hall yếu): Tồn số tuyệt đối κ > cho với cặp số (x, y) số ngun thỏa mãn x3 = y ta có: |x3 − y | > max{x3 , y }k Mohan Nair giả thuyết Hall yếu suy giả thuyết Pillai 1.6 Theo hướng Giả thuyết Hall, đề cập đến kết riêng dược V.G.Sprindzuk đưa "Tồn số tuyệt đối dương c > thỏa mãn với (x, y) số ngun thỏa mãn x ≥ x3 = y ta có: |x3 − y | ≥ c log x ” (log log x)6 Phát biểu 3.1 xuất lần đầu sách Lang , đốn t chặn dưới, chứng minh Baker Phương pháp A.Baker mang lại chặn tường minh khơng tầm thường cho khoảng cánh số phân biệt có dạng α1β1 αnβn , α β số đại số Đặc biệt số mũ β số hữu tỷ ngun tạo bất đẳng thức áp dụng cho phương trình Pillai (2.3) P.L Cijsouw, A Korlaar and R Tijdeman tìm 21 nghiệm (x, y, m, n) bất đẳng thức |xm − y n | < xm/2 m n số ngun tố x < y < 20 2.3.1 Giả thuyết abc Cho n số ngun dương, ta kí hiệu R(n) = p p|n gọi phần khơng có ước phương n 29 Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Giả thuyết 3.7(Giả thuyết abc): Với ε > 0, tồn số κ(ε) > cho a, b, c thuộc Z>0 , ngun tố a + b = c c < κ(ε)R(abc)1+ε Năm 1986, C.L.Stewart R.Tijdeman chứng minh tồn số tuyệt đối κ cho với giả thiết giả thuyết abc log c < κR15 Chứng minh liên quan đến tiêu chuẩn p-adic độc lập tuyến tính logarit chủa số đại số 30 Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Kết luận Trong luận văn này, chúng tơi trình bày vấn đề sau đây: Giới thiệu giả thuyết Catalan noỏi tiếng: lịch sử nghiên cứu; ý tưởng chứng minh giả thuyết (cơng trình Mihăilescu) Giới thiệu nghiên cứu Pilai nhứng người khác lý thuyết số lũy thừa hồn thiện 31 Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Tài liệu tham khảo [1] Y.F Bilu, Catalan’s conjecture [after Mihăilescu], Sém Bourbaki, 55 ème année, n0 909(2002/03), 24 pp [2] S Hyyro, Uber das Catalansche Problem, Ann Univ Turku, Ser A I no 79 (1964), pp.MR 31:3378 [3] S Hyyro, Uber die Gleichung axn − by n = z und das Catalansche Problem, Ann Acad Sci Fenn., Ser A I no 355 (1964),50 pp MR 34:5750 [4] K Inkeri, On Catalan’s problem,ActaArith (1964), 285-290 MR 29:5780 [5] K Inkeri, On Catalan’s conjecture,J.NumberTheory 34 (1990), 142-152 MR 91e:11030 [6] W Keller, J Richstein, Solutions of the congruence ap−1 ≡ 1( mod pr ) Math Comput.(to appear) [7] Chao Ko [Ko Chao], On the Diophantine equation x2 = y n + 1, xy = Sci.Sinica(Notes) 14 (1964), 457-460 MR 32:1164 [8] M Mignotte, Catalan’s equation just before 2000, Number Theory (Turku, 1999), de Gruyter, Berlin, 2001, pp 247-254 MR 2002g:11034 [9] P Mihăilescu, A class number free criterion for Catalan’s conjecture, J Number Theory 99 (2003), 225-231 [10] P Mihăilescu, Primary cyclotomic units and a proof of Catalan’s conjecture,preprint(September 2, 2002), submitted 32 Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Luận văn bảo vệ trước hội đồng chấm luận văn ngày tháng năm 2013 chỉnh sửa với ý kiến đóng góp thầy, hội đồng Thái Ngun, ngày tháng năm 2013 Xác nhận cán hướng dẫn khoa học GS.TSKH Hà Huy Khối 33 [...]... với x ≥ 12, x = 13, 14, 16, 19, 27 và với mọi y Trong chương 12 "Phương trình Catalan và các phương trình liên quan" dành cho các phương trình dạng (2.7) Trong các cơng trình tiếp theo của Polya , S.S Pillai và T Nagell đã chỉ ra phương trình (2.7) chỉ có hữu hạn nghiệm (u, v) Họ cũng áp dụng giả thuyết abc chứng minh phương trình ax1 − ax2 = by1 − by2 chỉ có hữu hạn nghiệm ngn dương (a, b, x1 , x2 ,... liệu 2.2.1 http://lrc.tnu.edu.vn/ Phương trình Catalan Xét trường hợp k = 1, một giả thuyết mạnh hơn giả thuyết Pillai 1.6 được đề xuất bởi E .Catalan năm 1944 Catalan cho rằng chỉ có một cặp duy nhất các số ngun liên tiếp là lũy thừa hồn thiện là (8, 9): "Phương trình an+1 − an = 1 chỉ có một nghiệm, đó là n = 3" 2.2.2 Phương trình Fermat mở rộng Một số lớp các phương trình Diophantine mũ có dạng Axp... nhất 1 nghiệm Năm 2001, M.Bennet nghiên cứu phương trình (2.3) với a ≥ 2, b ≥ 2 và c là các số ngun khác nhau, x ≥ 1 và y ≥ 1 là các ẩn Cải tiến các kết quả của Le Mao Hua , M.Bennett đã chỉ ra phương trình (2.3) có nhiều nhất hai nghiệm Năm 2003, M.Bennettđã chứng minh nếu N và c là các số ngun dương với N ≥ 2 thì phương trình Diophantine |(N + 1)x − N y | = c có nhiều nhất một nghiệm ngun dương x và. .. ), ordp q là lẻ và ordp q > 1 Hơn nữa, các tác giả đã giải quyết được vấn đề do H.Edgar đặt ra, đó là phương trình (2.8) với c = 2h có nhiều nhất một nghiệm ngun dương (x, y) ngoại trừ x = 3, q = 2, k = 0 Năm 2006, cũng các tác giả đó đã nghiên cứu phương trình (−1)u ax + (−1)v by = c, trong đó a, b, c là các số ngun cố định, a, b ≥ 2 Họ đã chỉ ra phương trình này có nhiều nhất hai nghiệm ngun (x,... ra 1 1 1 41 + + ≤ p q r 42 Giả thuyết abc phỏng đốn đốn tập các nghiệm của (2.5) là hữu hạn 24 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Phương trình Diophantine của Pillai Một lớp con của phương trình (2.4) gọi là phương trình Diophantine của Pillai : đó là trường hợp q = 1 Với các kí hiệu như trên, A, B, C, a, b, c với a ≥ 2, b ≥ 2 là các số ngun dương, phương trình Aau − Bbv = c (2.7)... liệu, một trong các số ngun x, y, z, p, q, r có thể được giả thiết là cố định bao gồm các số ngun tố cố định Phương trình Beal Trong trường hợp A = B = C = 1 phương trình trên với sáu ẩn gọi là phương trình Beal xp + y q = z r (2.5) Thêm các điều kiện 1 1 1 + + 1, y > 1, n > 2, q ≥ 2 được nghiên cứu bởi T Nagell(1920 và W Ljunggren (1943) Các nghiệm đã được biết là 35 − 1 74 − 1 183 − 1 = 112 , = 202 , = 73 3−1 7−1 3−1 Phương trình Goormaghtigh Các phương trình có dạng xm − 1 yn −... trong giả thuyết 3.2 khơng thể lớn hơn 5−5/2 54 = 0, 96598 Ngày nay, mọi người tin rằng có một dạng yếu hơn của giả thuyết này là đúng với số mũ 1/6 được thay bằng (1/6) − (và một hằng số C phụ thuộc ) Giả thuyết 3.3 (Giả thuyết Hall yếu): Tồn tại một hằng số tuyệt đối κ > 0 sao cho với mọi cặp số (x, y) các số ngun thỏa mãn x3 = y 2 ta có: |x3 − y 2 | > max{x3 , y 2 }k Mohan Nair chỉ ra giả thuyết. .. biệt thì một là bình phương, một là bậc 3 và một là bậc 5 Cho a, b, k, x, y là các số ngun dương với x > 1 và y > 1, chặn dưới cho số các nghiệm ngun (m, n) của phương trình axm − by n = k với m > 1, n > 1 được thiết lập bởi W.J LeVeque (1952), T.N Shorey (1986), Z.F Cao (1990) và Le Mao Hua (1992) Năm 1993, R.Scott xét phương trình px − by = c, trong đó p là số ngun tố, b > 1 và c là các số ngun dương ... 12 "Phương trình Catalan phương trình liên quan" dành cho phương trình dạng (2.7) Trong cơng trình Polya , S.S Pillai T Nagell phương trình (2.7) có hữu hạn nghiệm (u, v) Họ áp dụng giả thuyết. .. 3} Từ khử y phương trình dẫn đến mâu thuẫn, phương trình xp − y = khơng có nghiệm Đối với trường hợp p = phương trình (2.4), năm 1961 có kết chứng minh phương trình x2 − y q = có nghiệm x > 103.10... tổng qt phương trình Catalan (1.5), động lực quan trọng để nghiên cứu phương trình 1.3 Bài tốn giải máy tính? Khoảng kỷ trước, giả thuyết Catalan bắt đầu nhận quan tâm người làm việc giải tích