2 LŨY THỪA HỒN THIỆN CÁC CƠNG TRÌNH CỦA
2.2.1 Phương trình Catalan
Xét trường hợp k = 1, một giả thuyết mạnh hơn giả thuyết Pillai 1.6 được đề xuất bởi E.Catalan năm 1944. Catalan cho rằng chỉ cĩ một cặp duy nhất các số nguyên liên tiếp là lũy thừa hồn thiện là (8,9): "Phương trình
an+1−an = 1 chỉ cĩ một nghiệm, đĩ là n = 3". 2.2.2 Phương trình Fermat mở rộng
.
Một số lớp các phương trình Diophantine mũ cĩ dạng
Axp+Byq = Czr (2.4)
trong đĩ A, B, C là các số nguyên dương cố định, các ẩn x, y, z, p, q là các số nguyên khơng âm. Trong một số tài liệu, một trong các số nguyên
x, y, z, p, q, r cĩ thể được giả thiết là cố định bao gồm các số nguyên tố cố định.
Phương trình Beal
Trong trường hợp A = B = C = 1 phương trình trên với sáu ẩn gọi là phương trình Beal
xp+yq = zr (2.5)
. Thêm các điều kiện
1 p + 1 q + 1 r < 1 (2.6)
và x, y, z là các số nguyên tố cùng nhau, thì phương trình (2.5) chỉ cĩ các nghiệm
1 + 23 = 32,25 + 72 = 34,73 + 132 = 29,27 + 173 = 712
35 + 1144 = 1222,1777 + 7627133 = 210639282,14143 + 22134592 = 657 92623+153122832 = 1137,438+962223 = 300429072,338+15490342 = 156133 Từ điều kiện (2.6) suy ra
1 p + 1 q + 1 r ≤ 41 42
Phương trình Diophantine của Pillai
Một lớp con của phương trình (2.4) gọi là phương trình Diophantine của Pillai : đĩ là trường hợp q = 1. Với các kí hiệu như trên, A, B, C, a, b, c với
a ≥2, b ≥ 2 là các số nguyên dương, phương trình
Aau−Bbv = c (2.7)
trong đĩ u, v là các số nguyên khơng âm.
Năm 1971 sử dụng phương pháp siêu việt được khởi xướng bởi A.Baker, W.J. Ellison đưa ra một sự làm mịn cho kết quả của S.S. Pillai bằng việc đưa ra cận dưới tường minh cho các số khác khơng cĩ dạng |amx−bny|: Cho
δ > 0 tùy ý, với mọi số nguyên a, b, m, n và với mọi số x đủ lớn (phụ thuộc vào δ, a, b, m, n) ta cĩ ước lượng sau
|amx −bny| ≥ m(1−δ)x.
Đặc biệt, a = b = 1, m = 2, n = 3, G.H. Hardy cho rằng
|2x−3y| > 2xe−x/10
với x ≥12, x 6= 13,14,16,19,27 và với mọi y.
Trong chương 12 "Phương trình Catalan và các phương trình liên quan" dành cho các phương trình dạng (2.7).
Trong các cơng trình tiếp theo của Polya , S.S. Pillai và T. Nagell đã chỉ ra phương trình (2.7) chỉ cĩ hữu hạn nghiệm (u, v). Họ cũng áp dụng giả thuyết abc chứng minh phương trình ax1 −ax2 = by1 −by2 chỉ cĩ hữu hạn nghiệm ngyên dương (a, b, x1, x2, y1, y2).
Năm 1986, J.Turk đưa ra một ước lượng hữu hiệu cho chặn dưới của
|xn−ym|, và được B. Brindza, J.-H. Evertse and K. Gyrory chứng minh năm 1991 và Y. Bugeaud tiếp tục hiệu chỉnh : Choxlà số nguyên dương vày, m, n
là các số nguyên ≥ 2, giả sử xn 6= ym thì |xn −ym| ≥ m2/(5n)n−52−6−42/n. Một câu hỏi liên quan, đĩ là ước lượng số lớn nhất của các lũy thừa hồn thiện trong một khoảng tương đối nhỏ. Chẳng hạn, khoảng [121,128] chứa ba lũy thừa hồn thiện 121 = 112,125 = 53,128 = 27. J.H.Loxton đã cải tiến ước lượng của của Turk, ơng nghiên cứu các lũy thừa hồn thiện của các số nguyên trong khoảng [N, N + N1/2]. Một điểm thú vị trong chứng minh của Loxton là sử dụng các chặn dưới cho đồng thời các tổ hợp tuyến tính của các logarit. Một lỗ hổng trong bài báo của Loxton đã được chỉ ra và điều chỉnh theo hai cách khác nhau bởi D. Bernstein và C.L. Stewart. Stewart
phỏng đốn cĩ vơ hạn số nguyênN sao cho khoảng [N, N +N1/2] chứa ba số nguyên trong đĩ cĩ một số là bình phương, một là bậc ba, một là bậc bốn. Hơn nữa ơng cũng phỏng đốn với số N đủ lớn, khoảng [N, N+N1/2] khơng chứa bốn lũy thừa riêng biệt và nếu nĩ chứa ba lũy thừa riêng biệt thì một là bình phương, một là bậc 3 và một là bậc 5.
Cho a, b, k, x, y là các số nguyên dương với x > 1 và y > 1, chặn dưới cho số các nghiệm nguyên (m, n) của phương trình axm − byn = k với
m > 1, n > 1 được thiết lập bởi W.J. LeVeque (1952), T.N. Shorey (1986), Z.F. Cao (1990) và Le Mao Hua (1992).
Năm 1993, R.Scott xét phương trình px−by = c, trong đĩ p là số nguyên tố, b > 1 và c là các số nguyên dương. Trong một số trường hợp ơng chỉ ra cĩ nhiều nhất 1 nghiệm.
Năm 2001, M.Bennet nghiên cứu phương trình (2.3) với a ≥ 2, b ≥ 2 và c
là các số nguyên khác nhau, x ≥ 1 và y ≥ 1 là các ẩn. Cải tiến các kết quả của Le Mao Hua , M.Bennett đã chỉ ra phương trình (2.3) cĩ nhiều nhất hai nghiệm.
Năm 2003, M.Bennettđã chứng minh nếu N và c là các số nguyên dương với N ≥2 thì phương trình Diophantine
|(N + 1)x−Ny| = c
cĩ nhiều nhất một nghiệm nguyên dương x và y, trừ khi
(N, c) ∈ {(2,1),(2,5),(2,7),(2,13),(2,23),(3,13)}
Mọi nghiệm nguyên dương x, y của phương trình trên được đưa ra trong các trường hợp ngoại lệ. Chứng minh là sự kết hợp của hai phần: Một mặt Bennett sử dụng cơng trình cũ của mình về khoảng cách tới số nguyên gần nhất, được kí hiệu là || · ||. Năm 1993, ơng làm mạnh kết quả trước đĩ của F.Beukers (1981) và D.Easton (1986) bằng việc chứng minh ||((N + 1)/N)k|| > 3−k với N và k là các số nguyên thỏa mãn 4 ≤ N ≤ k.3k. Hơn nữa, N.Bennett đã thiết lập được một kết quả hữu hiệu về ||(3/2)k||, ước lượng này yếu hơn ước lượng khơng hữu hiệu của Mahler. W.Zudilin đã chứng minh
||(3/2)k|| > ck = 0,5803k, vớik ≥K,
trong đĩ K là hằng số tuyệt đối hữu hiệu. Điều này cải thiện ước lượng của L.Habsieger đưa ra với c = 0,5770.
Năm 2004, R.Scott và R.Styer xét phương trình
px−qy = c (2.8)
trong đĩp, q vàc là cố định,p, q là các số nguyên tố phân biệt,c là số nguyên dương, x, y là các ẩn nguyên dương. Sử dụng tiêu chuẩn làm mạnh của sự độc lập tuyến tính của các logarit của các số đại số, họ đã chỉ ra nếu q 6= 1( mod 12) thì (2.8) cĩ nhiều nhất một nghiệm, ngoại trừ các trường hợp
(p, q, c) = {(3,2,1),(2,3,5),(2,3,13),(2,5,3),(13,3,10)}
hoặc
qordpq ≡ 1( mod p2), ordpq là lẻ và ordpq > 1
Hơn nữa, các tác giả đã giải quyết được vấn đề do H.Edgar đặt ra, đĩ là phương trình (2.8) với c = 2h cĩ nhiều nhất một nghiệm nguyên dương (x, y) ngoại trừ x = 3, q = 2, k = 0.
Năm 2006, cũng các tác giả đĩ đã nghiên cứu phương trình (−1)uax+ (−1)vby = c,
trong đĩ a, b, c là các số nguyên cố định, a, b ≥ 2. Họ đã chỉ ra phương trình này cĩ nhiều nhất hai nghiệm nguyên (x, y, u, v) với (u, v) ∈ {0; 1} với một số trường hợp ngoại lệ nhất định.
Năm 1982, J.Silverman nghiên cứu phương trình Pillaiaxm+byn = ctrên các trường hàm của các đa tạp xạ ảnh. Năm 1987 , J.Silverman đưa ra ước lượng cho số các điểm nguyên trên đường cong Catalan xoắn ym = xn + a
(m ≥ 2, n ≥ 2, a ∈ Z), như là hệ quả, i ơng thu được kết quả mới về giả thuyết của Lang liên quan đến số các điểm nguyên và hạng của nhĩm Mordell - Weil của một đường cong eliptic.
Phương trình Fermat - Catalan
Phương trình Fermat - Catalan là một lớp khác của phương trình dạng (2.4), trong đĩ các mũ p, q và r bằng nhau:
axn+byn = czn
trong đĩ a, b, c và n là các số nguyên dương cố định, n≥ 2, các ẩn x, y, z là các số nguyên dương. A.Wiles đã chứng minh Định lý cuối cùng của Fermat (a = b = c = 1, n ≥ 3khơng cĩ nghiệm). Một số bài báo đã mở rộng phương pháp của ơng như: A. Wiles, H. Darmon, L. Merel, A. Kraus, A. Granville, D. Goldfeld và một số người khác.
Phương trình Nagell–Ljunggren
Phương trình
xn−1
x−1 = y q,
với các ẩn x > 1, y > 1, n > 2, q ≥2 được nghiên cứu bởi T. Nagell(1920 và W. Ljunggren (1943). Các nghiệm đã được biết là
35 −1 3−1 = 11 2,7 4 −1 7−1 = 20 2,18 3 −1 3−1 = 7 3 Phương trình Goormaghtigh Các phương trình cĩ dạng ax m−1 x−1 = b yn −1 y −1
với a, b cố định, x, y, m, n là các ẩn được nhiều người nghiên cứu.
Một ứng dụng, đĩ là vấn đề được Goormaghtigh đưa ra: các nghiệm (m, n, x, y) của
xm−1 +xm−2 +...+ x+ 1 = yn−1 +yn−2 +...+ y+ 1
trong các số nguyên m > n > 2, y > x > 1 chỉ là (5,3,2,5),(13,3,2,90).
2.3 Sự làm mịn định lượng của giả thuyết Pillai
Giả thuyết 3.1 Cho ε > 0 tùy ý, khi đĩ tồn tại một hằng số κ(ε) > 0 thỏa mãn với mọi số (a, b, x, y), x ≥ 2, y ≥2 và ax 6= ay
|ax −by| ≥κ(ε) max{ax, by}1−(1/x)−(1/y)−ε
Trường hợp đặc biệt của giả thuyết 3.1 là x = 3, y = 2. Giả thuyết được quy về mệnh đề: Với mọi > 0, chỉ cĩ hữu hạn các nghiệm (a, b) thuộc Z>0×Z>0
sao cho
0 < |a3 −b2| ≤max{a3, b2}(1/6)−
M.Hall đề xuất một mệnh đề mạnh hơn, trong đĩ ơng loại bỏ .
Giả thuyết 3.2(Giả thuyết Hall): Tồn tại hằng số C > 0sao cho với mọi cặp (x, y) tùy ý các số nguyên thỏa mãn x3 6= y2 , ta cĩ:
N.Elkies đưa ra một đánh giá : giá trị của C trong giả thuyết 3.2 khơng thể lớn hơn 5−5/2.54 = 0,96598...
Ngày nay, mọi người tin rằng cĩ một dạng yếu hơn của giả thuyết này là đúng với số mũ 1/6 được thay bằng (1/6)− (và một hằng số C phụ thuộc
).
Giả thuyết 3.3(Giả thuyết Hall yếu): Tồn tại một hằng số tuyệt đối
κ >0 sao cho với mọi cặp số (x, y) các số nguyên thỏa mãn x3 6= y2 ta cĩ:
|x3 −y2| > max{x3, y2}k
Mohan Nair chỉ ra giả thuyết Hall yếu suy ra được giả thuyết Pillai 1.6. Theo hướng của Giả thuyết Hall, chúng ta đề cập đến một kết quả riêng dược V.G.Sprindzuk đưa ra.
"Tồn tại một hằng số tuyệt đối dương c > 0 thỏa mãn với mọi (x, y) các số nguyên thỏa mãn x ≥ 6 và x3 6= y2 ta cĩ:
|x3 −y2| ≥c logx
(log logx)6”
Phát biểu 3.1 xuất hiện lần đầu trong cuốn sách của Lang , trong đĩ phỏng đốn t một chặn dưới, và nĩ được chứng minh bởi Baker.
Phương pháp của A.Baker mang lại các chặn dưới tường minh khơng tầm thường cho khoảng cánh giữa các số phân biệt cĩ dạng α1β1...αβn
n , trong đĩ
α và β là các số đại số. Đặc biệt khi số mũ β là các số hữu tỷ nguyên nĩ tạo ra các bất đẳng thức được áp dụng cho phương trình Pillai (2.3). P.L Cijsouw, A. Korlaar and R. Tijdeman đã tìm được 21 nghiệm (x, y, m, n) của bất đẳng thức
|xm−yn| < xm/2
trong đĩ m và n là các số nguyên tố và x < y <20. 2.3.1 Giả thuyết abc
Cho n là số nguyên dương, ta kí hiệu
R(n) = Y p|n
p
Giả thuyết 3.7(Giả thuyết abc): Với mỗi ε > 0, tồn tại số κ(ε) > 0 sao cho nếu a, b, c thuộc Z>0, nguyên tố cùng nhau và a+b = c thì
c < κ(ε)R(abc)1+ε
Năm 1986, C.L.Stewart và R.Tijdeman đã chứng minh tồn tại một hằng số tuyệt đối κ sao cho với các giả thiết như trong giả thuyết abc thì
logc < κR15
Chứng minh liên quan đến tiêu chuẩn p-adic của sự độc lập tuyến tính của các logarit chủa các số đại số.
Kết luận
Trong luận văn này, chúng tơi đã trình bày được những vấn đề cơ bản sau đây:
1. Giới thiệu giả thuyết Catalan noỏi tiếng: lịch sử nghiên cứu; ý tưởng chính của chứng minh giả thuyết (cơng trình của Mihăilescu)
2. Giới thiệu những nghiên cứu của Pilai và nhứng người khác trong lý thuyết các số lũy thừa hồn thiện. .
Tài liệu tham khảo
[1] Y.F. Bilu, Catalan’s conjecture [after Mihăilescu], Sém. Bourbaki, 55 ème année, n0909(2002/03), 24 pp.
[2] S. Hyyro, Uber das Catalansche Problem, Ann. Univ. Turku, Ser. A I no. 79 (1964), 8 pp.MR 31:3378
[3] S. Hyyro, Uber die Gleichung axn−byn = z und das Catalansche Prob- lem, Ann. Acad. Sci. Fenn., Ser. A I no. 355 (1964),50 pp. MR 34:5750 [4] K. Inkeri, On Catalan’s problem,ActaArith. 9 (1964), 285-290. MR
29:5780
[5] K. Inkeri, On Catalan’s conjecture,J.NumberTheory 34 (1990), 142-152. MR 91e:11030
[6] W. Keller, J. Richstein, Solutions of the congruenceap−1 ≡ 1( mod pr) Math. Comput.(to appear).
[7] Chao Ko [Ko Chao], On the Diophantine equation x2 = yn + 1, xy 6= 0 Sci.Sinica(Notes) 14 (1964), 457-460. MR 32:1164.
[8] M. Mignotte, Catalan’s equation just before 2000, Number Theory (Turku, 1999), de Gruyter, Berlin, 2001, pp. 247-254. MR 2002g:11034 [9] P. Mihăilescu, A class number free criterion for Catalan’s conjecture, J.
Number Theory 99 (2003), 225-231.
[10] P. Mihăilescu, Primary cyclotomic units and a proof of Catalan’s con- jecture,preprint(September 2, 2002), submitted.
Luận văn đã được bảo vệ trước hội đồng chấm luận văn ngày ... tháng ... năm 2013 và đã được chỉnh sửa với các ý kiến đĩng gĩp của các thầy, cơ trong hội đồng.
Thái Nguyên, ngày ... tháng ... năm 2013.
Xác nhận của cán bộ hướng dẫn khoa học