2 LŨY THỪA HỒN THIỆN CÁC CƠNG TRÌNH CỦA
2.3 Sự làm mịn định lượng của giả thuyết Pillai
Giả thuyết 3.1 Cho ε > 0 tùy ý, khi đĩ tồn tại một hằng số κ(ε) > 0 thỏa mãn với mọi số (a, b, x, y), x ≥ 2, y ≥2 và ax 6= ay
|ax −by| ≥κ(ε) max{ax, by}1−(1/x)−(1/y)−ε
Trường hợp đặc biệt của giả thuyết 3.1 là x = 3, y = 2. Giả thuyết được quy về mệnh đề: Với mọi > 0, chỉ cĩ hữu hạn các nghiệm (a, b) thuộc Z>0×Z>0
sao cho
0 < |a3 −b2| ≤max{a3, b2}(1/6)−
M.Hall đề xuất một mệnh đề mạnh hơn, trong đĩ ơng loại bỏ .
Giả thuyết 3.2(Giả thuyết Hall): Tồn tại hằng số C > 0sao cho với mọi cặp (x, y) tùy ý các số nguyên thỏa mãn x3 6= y2 , ta cĩ:
N.Elkies đưa ra một đánh giá : giá trị của C trong giả thuyết 3.2 khơng thể lớn hơn 5−5/2.54 = 0,96598...
Ngày nay, mọi người tin rằng cĩ một dạng yếu hơn của giả thuyết này là đúng với số mũ 1/6 được thay bằng (1/6)− (và một hằng số C phụ thuộc
).
Giả thuyết 3.3(Giả thuyết Hall yếu): Tồn tại một hằng số tuyệt đối
κ >0 sao cho với mọi cặp số (x, y) các số nguyên thỏa mãn x3 6= y2 ta cĩ:
|x3 −y2| > max{x3, y2}k
Mohan Nair chỉ ra giả thuyết Hall yếu suy ra được giả thuyết Pillai 1.6. Theo hướng của Giả thuyết Hall, chúng ta đề cập đến một kết quả riêng dược V.G.Sprindzuk đưa ra.
"Tồn tại một hằng số tuyệt đối dương c > 0 thỏa mãn với mọi (x, y) các số nguyên thỏa mãn x ≥ 6 và x3 6= y2 ta cĩ:
|x3 −y2| ≥c logx
(log logx)6”
Phát biểu 3.1 xuất hiện lần đầu trong cuốn sách của Lang , trong đĩ phỏng đốn t một chặn dưới, và nĩ được chứng minh bởi Baker.
Phương pháp của A.Baker mang lại các chặn dưới tường minh khơng tầm thường cho khoảng cánh giữa các số phân biệt cĩ dạng α1β1...αβn
n , trong đĩ
α và β là các số đại số. Đặc biệt khi số mũ β là các số hữu tỷ nguyên nĩ tạo ra các bất đẳng thức được áp dụng cho phương trình Pillai (2.3). P.L Cijsouw, A. Korlaar and R. Tijdeman đã tìm được 21 nghiệm (x, y, m, n) của bất đẳng thức
|xm−yn| < xm/2
trong đĩ m và n là các số nguyên tố và x < y <20. 2.3.1 Giả thuyết abc
Cho n là số nguyên dương, ta kí hiệu
R(n) = Y p|n
p
Giả thuyết 3.7(Giả thuyết abc): Với mỗi ε > 0, tồn tại số κ(ε) > 0 sao cho nếu a, b, c thuộc Z>0, nguyên tố cùng nhau và a+b = c thì
c < κ(ε)R(abc)1+ε
Năm 1986, C.L.Stewart và R.Tijdeman đã chứng minh tồn tại một hằng số tuyệt đối κ sao cho với các giả thiết như trong giả thuyết abc thì
logc < κR15
Chứng minh liên quan đến tiêu chuẩn p-adic của sự độc lập tuyến tính của các logarit chủa các số đại số.
Kết luận
Trong luận văn này, chúng tơi đã trình bày được những vấn đề cơ bản sau đây:
1. Giới thiệu giả thuyết Catalan noỏi tiếng: lịch sử nghiên cứu; ý tưởng chính của chứng minh giả thuyết (cơng trình của Mihăilescu)
2. Giới thiệu những nghiên cứu của Pilai và nhứng người khác trong lý thuyết các số lũy thừa hồn thiện. .
Tài liệu tham khảo
[1] Y.F. Bilu, Catalan’s conjecture [after Mihăilescu], Sém. Bourbaki, 55 ème année, n0909(2002/03), 24 pp.
[2] S. Hyyro, Uber das Catalansche Problem, Ann. Univ. Turku, Ser. A I no. 79 (1964), 8 pp.MR 31:3378
[3] S. Hyyro, Uber die Gleichung axn−byn = z und das Catalansche Prob- lem, Ann. Acad. Sci. Fenn., Ser. A I no. 355 (1964),50 pp. MR 34:5750 [4] K. Inkeri, On Catalan’s problem,ActaArith. 9 (1964), 285-290. MR
29:5780
[5] K. Inkeri, On Catalan’s conjecture,J.NumberTheory 34 (1990), 142-152. MR 91e:11030
[6] W. Keller, J. Richstein, Solutions of the congruenceap−1 ≡ 1( mod pr) Math. Comput.(to appear).
[7] Chao Ko [Ko Chao], On the Diophantine equation x2 = yn + 1, xy 6= 0 Sci.Sinica(Notes) 14 (1964), 457-460. MR 32:1164.
[8] M. Mignotte, Catalan’s equation just before 2000, Number Theory (Turku, 1999), de Gruyter, Berlin, 2001, pp. 247-254. MR 2002g:11034 [9] P. Mihăilescu, A class number free criterion for Catalan’s conjecture, J.
Number Theory 99 (2003), 225-231.
[10] P. Mihăilescu, Primary cyclotomic units and a proof of Catalan’s con- jecture,preprint(September 2, 2002), submitted.
Luận văn đã được bảo vệ trước hội đồng chấm luận văn ngày ... tháng ... năm 2013 và đã được chỉnh sửa với các ý kiến đĩng gĩp của các thầy, cơ trong hội đồng.
Thái Nguyên, ngày ... tháng ... năm 2013.
Xác nhận của cán bộ hướng dẫn khoa học