Bài tập và lời giải 1... Sử dụng trực tiếp phương trình cơ bản hoặc đặt nhân tử chung để giải các phương trình sau: 1.
Trang 1Bài tập phương trình lượng giác
* Phương trình a sin x + b cos x = c với a2+ b2 ≥ c2
pt ⇔ √ a
a2+ b2 sin x + √ b
a2 + b2 cos x = √ c
a2+ b2
Với √ a
a2+ b2 = sin α;√ b
a2+ b2 = cos β ⇒ x = α + β + k2π Điều kiện để phương trình có nghiệm là a2+ b2 ≥ c2
* Phương trình đối xứng
a(sin x + cos x) + b sin x cos x + c = 0 a(sin x − cos x) + b sin x cos x + c = 0
- Đặt:
t = sin x + cos x = √
2 sinx +π
4
=√
2 cosx −π
4
; t ∈ [−√
2,√ 2] ⇒ sin x cos x = 1
2(t
2− 1)
t = sin x − cos x =√
2 sinx − π
4
= −√
2 cosx + π
4
; t ∈ [−√
2,√ 2] ⇒ sin x cos x = 1
2(1 − t
2)
- Thay vào phương trình đã cho, giải theo t, sau đó giải ra x
Bài tập và lời giải
1 Giải các phương trình:
(a) 4 sin3x cos 3x + 4 cos3x sin 3x + 3√
3 cos 4x = 3 (b) 4 sin3x − 1 = 3 sin x −√
3 cos 3x (c) 2 sin x + cot x = 2 sin 2x + 1
(d) (sin x + cos x)3−√2(sin 2x + 1) + sin x + cos x −√
2 = 0
2 Tìm m để phương trình có nghiệm, giải phương trình trong các trường hợp đó:
2m(cos x + sin x) = 2m2+ cos x − sin x + 3
2 Giải:
1 (a) pt ⇔ sin 4x +√
3 cos 4x = 1 ⇔ 1
2sin 4x +
√ 3
2 cos 4x =
1 2
⇔ cos4x −π
6
= cosπ
3 ⇔ 4x −π
6 = ±
π
3 + k2π
⇔
x = π
8 + k
π 2
x = −π
24 + k
π 2
; k ∈ Z
Trang 2(b) pt ⇔ √
3 cos 3x − (3 sin x − 4 sin3x) = 1
⇔√3 cos x − sin 3x = 1 ⇔
√ 3
2 cos 3x −
1
2sin 3x =
1 2
⇔ cos3x + π
6
= cosπ
3 ⇔ 3x + π
6 = ±
π
3 + k2π
⇔
x = π
18 + k
2π 3
x = π
6 + k
2π 3 , k ∈ Z
(c) Điều kiện: sin x 6= 0
pt ⇔ 2 sin2x + cos x = 4 sin2x cos x + sin x
⇔ 2 sin2x − sin x = 4 sin2x cos x − cos x
⇔ sin x(2 sin x − 1) = cos x(4 sin2x − 1) = cos x(2 sin x − 1)(2 sin x + 1)
⇔ (2 sin x − 1)(sin x − cos x − 2 sin x cos x) = 0
⇔
sin x = 1
2 (∗) sin x − cos x − 2 sin x cos x = 0 (∗∗)
(∗) ⇔
x = π
6 + k2π
x = 5π
6 + k2π
, k ∈ Z
(∗∗): t = sin x − cos x ⇒ −√
2 ≤ t ≤√
2
Ta có pt: t2 − 2t − 1 = 0 ⇔ t = 1 −√2 và loại 1 +√
2 vì /∈ [−√2,√
2]
⇔ sin x − cos x = 1 −√2 ⇔√
2 cosx + π
4
= 1 −√
2
⇔ cosx +π
4
= cos α = 1 −
√ 2
√ 2
⇔ x = ±α −π
4 + k2π, k ∈ Z (d) pt ⇔ (sin x + cos x)3−√2(sin x + cos x)2+ sin x + cos x −√
2 = 0
t = sin x + cos x ⇒ t ∈ [−√
2,√ 2]
pt ⇔ t3−√2t2+ t −√
2 = 0 ⇔ t =√
2
⇔ sin x + cos x =√2 sinx +π
4
=√
2 ⇔ sinx +π
4
= 1
x +π
4 =
π
2 + k2π ⇔ x =
π
4 + k2π, k ∈ Z
2 pt ⇔ (2m + 1) sin x + (2m − 1) cos x = 2m2+ 3/2
Phương trình có nghiệm khi (2m + 1)2+ (2m − 1)2 ≥ (2m2 + 3/2)2
⇔ (4m2− 1)2 ≤ 0 ⇔ 4m2− 1 = 0 ⇔ m = ±1
2.
∗ : m = 1
2 ⇒ sin x = 1 ⇔ x = π
2 + k2π, k ∈ Z
∗ : m = −1
2 ⇒ cos x = −1 ⇔ x = π + k2π, k ∈ Z
Sử dụng trực tiếp phương trình cơ bản hoặc đặt nhân tử chung để giải các phương trình sau:
1 sin x + cos x =√
2 cos 9x
Trang 32 2 sin 4x = sin x +√
3 cos x 3
√
3
sin x+
1 cos x = 8 cos x
4 cos 2x − cos x
sin 2x + sin x =
√ 3
5 cos 3x cos3x − sin 3x sin3x = 2 + 3
√ 2 8
6 sin23x − cos24x = sin25x − cos26x
7
(2 −√
3) cos x − 2 sin2x
2 − π 4
2 cos x − 1 = 1
8 cot x = tan x + 2 cos 4x
sin 2x
9 4 sin2 x
2 −√3 cos 2x = 1 + 2 cos2
x − 3π 4
10 tanπ
2 + x
− 3 tan2x = cos 2x − 1
cos2x Giải:
1 pt ⇔√
2 cosx − π
4
=√
2 cos 9x
⇔ cosx − π
4
= cos 9x ⇔ 9x = ±x −π
4
+ k2π
⇔
x = −π
32+ k
π 4
x = π
40+ k
π 5 , k ∈ Z
2 pt ⇔ sin 4x = 1
2sin x +
√ 3
2 cos x
⇔ sin 4x = sinx +π
3
⇔
4x = x + π
3 + k2π 4x = π −x +π
3
+ k2π
⇔
x = π
9 + k
2π 3
x = 4π
15 + k
2π 5 , k ∈ Z
3 Điều kiện : sin x 6= 0, cos x 6= 0
pt ⇔√
3 cos x + sin x = 8 cos2x sin x = 8(1 − sin2x) sin x = 8 sin x − 8 sin3x
⇔√3 cos x − sin x = 6 sin x − 8 sin3x = 2(3 sin x − 4 sin3x) = 2 sin 3x
⇔
√
3
2 cos x −
1
2sin x = sin 3x
Trang 4⇔ sinπ
3 − x= sin 3x ⇔
3x = π
3 − x + k2π 3x = π − π
3 + x + k2π
⇔
x = π
12+ k
π 2
x = π
3 + kπ
, k ∈ Z (thỏa mãn)
4 Điều kiện: sin 2x + sin x = sin x(2 cos x + 1) 6= 0 ⇒ sin x 6= 0 & cos x 6= −1
2
pt ⇔ cos 2x − cos x =√
3(sin 2x + sin x)
⇔ cos 2x −√3 sin 2x = cos x +√
3 sin x
⇔ cos
2x + 2π 3
= cosx − π
3
⇔ 2x + 2π
3 = ±
x − π 3
+ k2π
⇔
x = −2π
3 + k2π
x = k2π
3
, k ∈ Z
5 pt ⇔ cos 3x cos 3x + 3 cos x
4
− sin 3x 3 sin x − sin 3x
4
= 2 + 3
√ 2 8
⇔ cos23x + sin23x + 3 (cos 3x cos x − sin 3x sin x) = 1 + 3
√ 2 2
⇔ cos 4x =√1
2 = cos
π
4 ⇔ 4x = ±π
4 + k2π
⇔⇔ x = ± π
16+ k
π
2, k ∈ Z 6
pt ⇔ 1 − cos 6x
2 − 1 + cos 8x
1 − cos 10x
2 −1 + cos 12x
2
⇔ cos 12x − cos 6x + cos 10x − cos 8x = 0
⇔ −2 sin 9x sin 3x − 2 sin 9x sin x = 0
⇔ sin 9x (sin 3x + sin x) = 0
⇔
sin 9x = 0
sin 3x = − sin x
⇔
9x = kπ 3x = −x + k2π 3x = π + x + k2π
⇔
x = kπ
9
x = kπ
2
x = π
2 + kπ
, k ∈ Z
7 Điều kiện : cos x 6= 1
2
Trang 5pt ⇔
2 −√ 3
cos x2
1 − cosx −π
2
2 = 2 cos x − 1
⇔ −√3 cos x + sin x = 0
⇔ 2 1
2sin x −
√ 3
2 cos x
!
= 0 ⇔ 2 sinx − π
3
= 0
⇔ x = π
3 + kπ Kết hợp điều kiện suy ra: x = 4π
3 + k2π, k ∈ Z
8 Điều kiện: sin 2x 6= 0
pt ⇔ cos x
sin x − sin x
cos x =
cos 4x sin x cos x ⇔ cos2x − sin2x = cos 4x
⇔ cos 2x = cos 4x ⇔ 4x = ±2x + k2π
⇔
x = kπ (loai)
x = kπ
3
, k ∈ Z
9
pt ⇔ 2 (1 − cos x) −√
3 cos 2x = 1 + cos
2x − 3π 2
⇔ −2 cos x −√3 cos 2x = − sin 2x
⇔ −2 cos x =√3 cos 2x − sin 2x
⇔
√
3
2 cos 2x −
1
2sin 2x = − cos x
⇔ cos2x + π
6
= − cos x = cos (π − x)
⇔ 2x + π
6 = ± (π − x) + k2π
⇔
x = 5π
18 + k
2π 3
x = −7π
6 + k
2π 3 , k ∈ Z
10 Điều kiện:
cos x 6= 0 cos (π/2 + x) 6= 0
⇔
cos x 6= 0 sin x 6= 0
pt ⇔ − cot x − 3 tan2x = −2 sin2x
cos2x = −2 tan
2x
⇔ −1
tan x − tan2x = 0
⇔ tan3x = −1 ⇔ tan x = −1
⇔ x = −π
4 + kπ, k ∈ Z