Bài tập phương trình lượng giác có đáp án

Phương trình lượng giác Bài tập phương trình lượng giác * Phương trình a sin x + b cos x = c với a2 + b2 ≥ c2 pt ⇔ √ Với √ a a2 + b = sin α; √ a a2 b a2 + b + b2 sin x + √ b a2 + b2 cos x = √ c a2 + b2 = cos β ⇒ x = α + β + k2π Điều kiện để phương trình có nghiệm a2 + b2 ≥ c2 * Phương trình đối xứng a(sin x + cos x) + b sin x cos x + c = a(sin x − cos x) + b sin x cos x + c = -Đặt: √ √ √ √ π π  t = sin x + cos x = sin x + = cos x − ; t ∈ [− 2, 2] ⇒ sin x cos x = (t2 − 1)  4   √ √ √ √ π π t = sin x − cos x = sin x − = − cos x + ; t ∈ [− 2, 2] ⇒ sin x cos x = (1 − t2 ) 4 - Thay vào phương trình cho, giải theo t, sau giải x Bài tập lời giải Giải phương trình: √ (a) sin3 x cos 3x + cos3 x sin 3x + 3 cos 4x = √ (b) sin3 x − = sin x − cos 3x (c) sin x + cot x = sin 2x + √ √ (d) (sin x + cos x)3 − 2(sin 2x + 1) + sin x + cos x − = Tìm m để phương trình có nghiệm, giải phương trình trường hợp đó: 2m(cos x + sin x) = 2m2 + cos x − sin x + Giải: √ 1 (a) pt ⇔ sin 4x + cos 4x = ⇔ sin 4x + cos 4x = 2 π π π π ⇔ cos 4x − = cos ⇔ 4x − = ± + k2π 6  π π  x= +k  ⇔ ;k ∈ Z  π π x=− +k 24 √ 2 Phương trình lượng giác √ (b) pt ⇔ cos 3x − (3 sin x − 4√sin3 x) = √ 1 cos 3x − sin 3x = ⇔ cos x − sin 3x = ⇔ 2 π π π π = cos ⇔ 3x + = ± + k2π ⇔ cos 3x + 6  π 2π  x= +k  18 ,k ∈ Z ⇔  π 2π x= +k (c) Điều kiện: sin x = pt ⇔ sin2 x + cos x = sin2 x cos x + sin x ⇔ sin2 x − sin x = sin2 x cos x − cos x ⇔ sin x(2 sin x − 1) = cos x(4 sin2 x − 1) = cos x(2 sin x − 1)(2 sin x + 1) ⇔ (2 sin x − 1)(sin x − cos x − sin x cos x) =  sin x = (∗)  ⇔  sin x − cos x − sin x cos x = (∗∗)  π  x = + k2π  (∗) ⇔  ,k ∈ Z  5π x= + k2π √ √ (∗∗): t = sin x − cos x ⇒ − ≤ t ≤ √ √ √ √ Ta có pt: t2 − 2t − = ⇔ t = − loại + ∈ / [− 2, 2] √ √ √ π =1− ⇔ sin x − cos x = − ⇔ cos x + √ π 1− ⇔ cos x + = cos α = √ π ⇔ x = ±α − + k2π, k ∈ Z √ √ (d) pt ⇔ (sin x + cos x)3 − 2(sin x + cos x)2 + sin x + cos x − = √ √ t = sin x + cos x ⇒ t ∈ [− 2, 2] √ √ √ pt ⇔ t3 − 2t2 + t − = ⇔ t = √ √ π π ⇔ sin x + cos x = sin x + = ⇔ sin x + =1 4 π π π x + = + k2π ⇔ x = + k2π, k ∈ Z 4 pt ⇔ (2m + 1) sin x + (2m − 1) cos x = 2m2 + 3/2 Phương trình có nghiệm (2m + 1)2 + (2m − 1)2 ≥ (2m2 + 3/2)2 ⇔ (4m2 − 1)2 ≤ ⇔ 4m2 − = ⇔ m = ± π ∗ : m = ⇒ sin x = ⇔ x = + k2π, k ∈ Z 2 ∗ : m = − ⇒ cos x = −1 ⇔ x = π + k2π, k ∈ Z Sử dụng trực tiếp phương trình đặt nhân tử chung để giải phương trình sau: √ sin x + cos x = cos 9x Phương trình lượng giác √ 2 sin 4x = sin x + cos x √ + = cos x sin x cos x cos 2x − cos x √ = sin 2x + sin x √ 2+3 cos 3x cos x − sin 3x sin x = 3 sin2 3x − cos2 4x = sin2 5x − cos2 6x √ x π (2 − 3) cos x − sin2 − =1 cos x − cot x = tan x + sin2 10 tan cos 4x sin 2x 3π x √ − cos 2x = + cos2 x − cos 2x − π + x − tan2 x = cos2 x Giải: √ π = cos 9x cos x − π π ⇔ cos x − = cos 9x ⇔ 9x = ± x − + k2π 4  π π  x=− +k  32 ,k ∈ Z ⇔  π π x= +k 40 √ cos x pt ⇔ sin 4x = sin x + 2 π ⇔ sin 4x = sin x +  π  4x = x + + k2π  ⇔  π + k2π 4x = π − x +  π 2π  x= +k  ⇔ ,k ∈ Z  4π 2π x= +k 15 pt ⇔ √ Điều kiện : sin x = 0, cos x = √ pt ⇔ cos x + sin x = cos2 x sin x = 8(1 − sin2 x) sin x = sin x − sin3 x √ ⇔ √3 cos x − sin x = sin x − sin3 x = 2(3 sin x − sin3 x) = sin 3x ⇔ cos x − sin x = sin 3x 2 Phương trình lượng giác  π  3x = − x + k2π π  − x = sin 3x ⇔  ⇔ sin  π 3x = π − + x + k2π  π π  x= +k  12 , k ∈ Z (thỏa mãn) ⇔  π x = + kπ Điều kiện: sin 2x + sin x = sin x(2 cos x + 1) = ⇒ sin x = & cos x = − √ pt ⇔ cos 2x − cos x = 3(sin 2x + sin x) √ √ ⇔ cos 2x − sin 2x = cos x + sin x 2π π ⇔ cos 2x + = cos x − 3 π 2π =± x− + k2π ⇔ 2x + 3  2π  x=− + k2π  ⇔ ,k ∈ Z  2π x=k √ cos 3x + cos x sin x − sin 3x 2+3 pt ⇔ cos 3x − sin 3x = 4 √ ⇔ cos2 3x + sin2 3x + (cos 3x cos x − sin 3x sin x) = + π π ⇔ cos 4x = √ = cos ⇔ 4x = ± + k2π 4 π π ⇔⇔ x = ± + k , k ∈ Z 16 − cos 6x + cos 8x − cos 10x + cos 12x − = − 2 2 ⇔ cos 12x − cos 6x + cos 10x − cos 8x = pt ⇔ ⇔ −2 sin 9x sin 3x − sin 9x sin x = ⇔ sin 9x (sin 3x + sin x) =   9x = kπ  sin 9x = ⇔ ⇔  3x = −x + k2π sin 3x = − sin x 3x = π + x + k2π  kπ x=   π  ⇔ x = k ,k ∈ Z  π x = + kπ Điều kiện : cos x = Phương trình lượng giác √ − cos x − π pt ⇔ − cos x2 = cos x − √ ⇔ − cos x + sin x = √ π ⇔2 sin x − cos x = ⇔ sin x − =0 2 π ⇔ x = + kπ 4π Kết hợp điều kiện suy ra: x = + k2π, k ∈ Z Điều kiện: sin 2x = cos 4x cos x sin x − = ⇔ cos2 x − sin2 x = cos 4x pt ⇔ sin x cos x sin x cos x ⇔ cos 2x = cos 4x ⇔ 4x = ±2x + k2π  x = kπ (loai) ⇔ ,k ∈ Z π x=k pt ⇔ (1 − cos x) − √ cos 2x = + cos 2x − √ cos 2x = − sin 2x √ ⇔ −2 cos x = cos 2x − sin 2x √ ⇔ cos 2x − sin 2x = − cos x 2 π ⇔ cos 2x + = − cos x = cos (π − x) π ⇔ 2x + = ± (π − x) + k2π  5π 2π x= +k  18 ,k ∈ Z ⇔ 7π 2π x=− +k    cos x =  cos x = 10 Điều kiện: ⇔  cos (π/2 + x) =  sin x = ⇔ −2 cos x − pt ⇔ − cot x − tan2 x = −2 sin2 x = −2 tan2 x cos x −1 − tan2 x = tan x ⇔ tan3 x = −1 ⇔ tan x = −1 π ⇔ x = − + kπ, k ∈ Z ⇔ 3π ... x = −1 ⇔ x = π + k2π, k ∈ Z Sử dụng trực tiếp phương trình đặt nhân tử chung để giải phương trình sau: √ sin x + cos x = cos 9x Phương trình lượng giác √ 2 sin 4x = sin x + cos x √ + = cos x sin...2 Phương trình lượng giác √ (b) pt ⇔ cos 3x − (3 sin x − 4√sin3 x) = √ 1 cos 3x − sin 3x = ⇔ cos x − sin 3x... cos x − sin x = sin x − sin3 x = 2(3 sin x − sin3 x) = sin 3x ⇔ cos x − sin x = sin 3x 2 Phương trình lượng giác  π  3x = − x + k2π π  − x = sin 3x ⇔  ⇔ sin  π 3x = π − + x + k2π  π π  x=