Toán rời rạc bài 4 functions

Module #4 - Functions University of Florida Dept of Computer & Information Science & Engineering COT 3100 Applications of Discrete Structures Dr Michael P Frank Slides for a Course Based on the Text Discrete Mathematics & Its Applications (5th Edition) by Kenneth H Rosen 12/03/15 (c)2001-2003, Michae Module #4 - Functions Module #4: Hm s - Functions Rosen 5th ed., Đ1.8 ~31 slides, ~1.5 lectures 12/03/15 (c)2001-2003, Michae Module #4 - Functions On to section 1.8 Functions Trong gii tớch ta ó lm quen vi khỏi nim hm thc f l tng ng cho vi mi xR xỏc nh c mt giỏ tr c th no ú y=f(x), vi yR Nhng khỏi nim hm s cú th m rng: ng vi mi phn t ca ny cho tng ng mt phn t ca (c bit nh ỏnh x.) 12/03/15 (c)2001-2003, Michae Module #4 - Functions Hm s: nh ngha hỡnh thc Với hai tập A, B, ta nói hàm f từ (hoặc ánh xạ) A vào B (f:AB) phép tương ứng phần tử f(x)B cho phần tử xA Cú th khỏi quỏt tip ý tng ny: Hm b phn (khụng ton cc) f xỏc nh khụng cú hoc mt phn t ca B cho mi phn t xA Hm n bin; hoc quan h (ch 6) 12/03/15 (c)2001-2003, Michae Module #4 - Functions Biểu diễn đồ thị Graphical Representations Functions can be represented graphically in several ways: f a A f b B Like Venn diagrams 12/03/15 A B y Bipartite Graph (c)2001-2003, Michae x Plot Module #4 - Functions Cỏc hm chỳng ta ó bit Mnh cú th coi nh hm s t cỏc tỡnh vo cỏc giỏ tr chõn lý{T,F} H logic c gi l lý thuyt tỡnh p=Tri ang ma.; s=trong tỡnh õy, hen ti p(s){T,F} Phộp toỏn mnh cú th coi nh hm ca cp cú th t cỏc giỏ tr chõn lý vo giỏ tr chõn lý: nh, ((F,T)) = T 12/03/15 (c)2001-2003, Michae Module #4 - Functions Núi thờm v hm V t (predicate) cú th coi l hm t cỏc i tng vo mnh (hoc giỏ tr chõn lý): P : is feet tall; P(Mike) = Mike is feet tall. = False Xõu bit B cú di n cú th coi nh hm s t cỏc s {1,,n} (v trớ bit) vo cỏc bit {0,1} E.g., B=101 B(3)=1 12/03/15 (c)2001-2003, Michae Module #4 - Functions Núi tip v hm Tp S v tr U cú th xem nh hm (c trng ca S) t cỏc phn t ca U vo {T, F}, núi rng mi phn t ca U cú l phn t ca S khụng? S={3} S(0)=F, S(3)=T Phộp toỏn hp nh ,, cú th coi nh hm t cp cỏc hp vo hp Example: (({1,3},{3,4})) = {3} 12/03/15 (c)2001-2003, Michae Module #4 - Functions Th thut n gin ụi ta vit YX ch F bao gm mi hm cú th f:XY Ký hiu ny c bit phự hp, bi vỡ i vi hai hu hn X, Y, ta cú |F| = |Y||X| Nu ta s dng biu din F0, T1, 2:{0,1}={F,T}, thỡ TS cú th xem l hm t S vo 2, vỡ vy m ca S (tp mi hm nh vy) l 2S nh ó ký hiu 12/03/15 (c)2001-2003, Michae Module #4 - Functions Mt s thut ng v hm s Nu vit f:AB, v f(a)=b (vi aA & bB), thỡ ta núi: A l miền (domain) ca f We also say B l đối miền (codomain) ca f the signature of f is AB b l nh ca a qua f a l tin nh ca b qua f Núi chung, b cú th cú nhiu hn mt tin nh Min giỏ tr (Range) RB ca f l R={b | a f(a)=b } 12/03/15 (c)2001-2003, Michae 10 Module #4 - Functions Cỏc iu kin cho ỏnh x 1-1 Với hàm f tập số, ta nói: f đơn điệu tăng chặt x>y f(x)>f(y) x,y miền; f đơn điệu giảm chặt tnh Liờn h: Sinh viờn -> s in thai Bn thõn: Sinh viờn -> Sinh viờn Danh tớnh: Sinh viờn -> mó sinh viờn ng ký: Sinh viờn -> hc phn Bng im thi mụn: Sinh viờn -> im thi mụn Bng im sinh viờn: mụn hc -> im Tm trỳ: Sinh viờn -> a ch nh Phõn phũng hc: Lp -> phũng hc Phõn ph trỏch mụn: Mụn hc -> Thy giỏo Phõn ging: Hc phn -> Thy giỏo 12/03/15 (c)2001-2003, Michae 34 [...]... 12/03/15 (c)2001-2003, Michae 14 Module #4 - Functions Ví dụ phép toán hàm số Function Operator Example +,ì (cộng,nhân) là các phép toán hai ngôI trên R (Cộng và nhân bình thường hai số) Khi đó, ta có thể cộng và nhân hàm số f,g:RR: (f + g):RR, trong đó (f + g)(x) = f(x) + g(x) (f ì g):RR,trong đó (f ì g)(x) = f(x) ì g(x) 12/03/15 (c)2001-2003, Michae 15 Module #4 - Functions Phộp hp hm Function... ton ỏnh (song ỏnh) 12/03/15 (c)2001-2003, Michae 24 Module #4 - Functions Biểu diễn hàm đồng nhất Identity Function Illustrations The identity function: y Domain and range 12/03/15 y = I(x) = x x (c)2001-2003, Michae 25 Module #4 - Functions th cỏc hm Graphs of Functions Ta cú th biu din hm f:AB nh mt tp cỏc cp cú th t {(a,f(a)) | aA}.The functions graph Lu ý rng a, ch cú mt cp (a,b) Sau... and The RZ functions x and x 12/03/15 (c)2001-2003, Michae 32 Module #4 - Functions Vớ d hm s Tp sinh viờn hc phn Toỏn Ri rc: S Tp cỏc im t 0 n 100: D={0,1, ,100} Chm im hc k cú l ỏnh x C: S ->D? Cỏc khỏi nim v hm s liờn quan n C: Có là ánh xạ không? Miền, đối miền, miền giá trị lên, 1-1, song ánh? 12/03/15 (c)2001-2003, Michae 33 Module #4 - Functions Cỏi gỡ l hm s v nờu tớnh cht4` ... (Núi chung, fg gf.) 12/03/15 (c)2001-2003, Michae 16 Module #4 - Functions nh ca tp hp qua hm s Cho f:AB, v SA, nh ca S qua f l tp gm tt c cỏc nh (qua f) ca cỏc phn t trong S f(S) : {f(s) | sS} : {b | sS: f(s)=b} Lu ý rng min giỏ tr l nh (qua f) ca domain ca f! 12/03/15 (c)2001-2003, Michae 17 Module #4 - Functions Hm s 1-1 One-to-One Functions A function is one-to-one (1-1), hoc n ỏnh, iff mi... Michae 27 Module #4 - Functions Mt cp hm quan trng A Couple of Key Functions Trong toỏn ri rc, ta thng s dng hai hm sau trờn s thc: Hm nn (floor function) ã:RZ, trong ú x (nn ca x) l s nguyờn ln nht m nh hn x I.e., x : max({iZ|ix}) Hm trn (ceiling function) ã :RZ, trong ú x (trn ca x) l s nguyờn nh nht m ln hn x Tc l x : min({iZ|ix}) 12/03/15 (c)2001-2003, Michae 28 Module #4 - Functions Biu din... số thực rơi xuống sàn của chúng hoặc nâng lên sàn của chúng3 Lưu ý rằng nếu xZ, 2 1 x x & 0 x x 1 Lưu ý rằng nếu xZ, 2 x = x = x 3 1.6=2 1.6 1.6=1 1 .4= 1 1 .4 1 .4= 2 3 3=3= 3 12/03/15 (c)2001-2003, Michae 29 Module #4 - Functions V hm qua nn v trn Plots with floor/ceiling V th hm f(x)=x, th ca f cha im (a, 0) i vi mi giỏ tr ca a m a0 v a ...Module #4 - Functions Module #4: Hm s - Functions Rosen 5th ed., Đ1.8 ~31 slides, ~1.5 lectures 12/03/15 (c)2001-2003, Michae Module #4 - Functions On to section 1.8 Functions Trong... g)(a) = f(a)g(a) 12/03/15 (c)2001-2003, Michae 14 Module #4 - Functions Ví dụ phép toán hàm số Function Operator Example +,ì (cộng,nhân) phép toán hai ngôI R (Cộng nhân bình thường hai số) ... Michae 24 Module #4 - Functions Biểu diễn hàm đồng Identity Function Illustrations The identity function: y Domain and range 12/03/15 y = I(x) = x x (c)2001-2003, Michae 25 Module #4 - Functions